Սիրելի բարեկա°մ

ՙՖիզիկա-10՚ դասագիրքն առաջինն է ավագ դպրոցի ֆիզիկայի

դասագրքերից, որոնք նախատեսված են ընդհանուր և խորացված

ուսուցմամբ հոսքերի համար: Դասագրքում շարադրված նյութը

համապատասխանում է ՀՀ ԿԳ նախարարության հաստատած չա-

փորոշիչներին և ծրագրերին (ՙՖիզիկա՚. Հանրակրթական ավագ

դպրոցի չափորոշիչներ և ծրագրեր, Երևան, 2009 թ©):

Հեղինակները փորձել են մեկ միասնական գրքի շրջանակում ներ-

կայացնել ինչպես ընդհանուր, այնպես էլ խորացված ուսուցմամբ

հոսքերի համար նախատեսված ծրագրային նյութը: Որպես հիմք

վերցված է ընդհանուր հոսքի ծրագիրը, որտեղ ընդգրկված թեմանե-

րը լրացված են խորացված ուսուցմամբ հոսքերի ծրագրից: Հատուկ

ընդգծված են առանձին պարագրաֆների վերջում տրված լրացու-

ցիչ նյութը, ինչպես նաև դրան վերաբերող հարցերը, առաջադրանք-

ները և խնդիրների լուծման օրինակները:

Ընդգծված են նաև այն պարագրաֆները, որոնք նախատեսված

են միայն խորացված ուսուցմամբ հոսքերի համար: Շարադրան-

քի միասնականությունը պահպանելու նպատակով որոշ թեմաների

մատուցման հերթականությունը համապատասխանեցված է ընդ-

հանուր հոսքի ծրագրին:

Ինչպես և ավագ դպրոցի՝ ներկայումս օգտագործվող դասագրքե-

րում, նյութի յուրացումը հեշտացնելու և հստակեցնելու նպատակով

պարագրաֆները բաժանված են առանձին մասերի՝ յուրաքանչյուր

մասի բովանդակությունը բացահայտող ենթավերնագրով: Պահ-

պանված է նաև լաբորատոր աշխատանքներն ընդհանուր շարա-

դրանքում ներկայացնելու օգտակար ձևը:

Ինքնուրույն լուծման համար նախատեսված խնդիրները և դրանց

պատասխանները տրված են դասագրքի վերջում՝ ըստ նյութի շա-

րադրման հերթականության: Որպես լրացուցիչ խնդիրների շտե-

մարան՝ առաջարկում ենք Ռուդիկ Հովհաննիսյանի և այլոց ՙՖի-

զիկայի խնդիրների և հարցերի ժողովածու՚-ն (Երևան, ՙԼույս՚,

2005 թ.):

Հեղինակներ

ԳԼՈՒԽI

ԳԻՏԱԿԱՆ ՃԱՆԱՉՈՂՈՒԹՅԱՆ

ՄԵԹՈԴՆԵՐԸ

ՖԻԶԻԿԱՆ ՈՐՊԵՍ ԲՆՈՒԹՅԱՆ ՄԱՍԻՆ

ՀԻՄՆԱՐԱՐ ԳԻՏՈՒԹՅՈՒՆ

Ի՞նչ է ուսումնասիրում ֆիզիկան: Բնությունը կարծես մի վիթխարի ՙբեմ՚

է, որտեղ տեղի են ունենում տարբեր իրադարձություններ, որոնք էլ բնության

երևույթներն են:

Ինչպե՞ս է կառուցված բնությունը, որ մեզ շրջապատող աշխարհն է, ի՞նչ

օրենքներով են ղեկավարվում այդ աշխարհի երևույթները. այս հարցերի պատաս-

խաններն է որոնում ֆիզիկան: Այն հետազոտում է բնության երևույթները նկա-

րագրող հիմնարար օրենքներն ու օրինաչափությունները, բնության օբյեկտների

հատկությունները, կառուցվածքը, շարժման օրենքները: Հենց այդ ՙդերով՚ է, որ

բնական գիտությունների շարքում ֆիզիկան հանդես է գալիս որպես առաջատար:

Ֆիզիկայում կատարված հայտնագործությունները ոչ միայն ընդլայնում են

մեր գիտելիքները հիմնական ֆիզիկական պրոցեսների վերաբերյալ, այլև վճռորոշ

դեր ունեն այլ գիտությունների զարգացման համար: Այդ տեսակետից բնորոշ է

20-րդ դարասկիզբը, երբ ֆիզիկան մտավ զարգացման նոր՝ ժամանակակից փուլ, և

դասական ֆիզիկայից սկզբնավորվեցին նոր բաժիններ՝ քվանտային տեսությու-

նը և հարաբերականության տեսությունը: Քվանտային տեսությունը, մասնա-

վորապես, կարողացավ նորովի բացատրել քիմիական տարրերի պարբերական

աղյուսակի կառուցվածքը: Զինված քվանտային տեսությամբ՝ քիմիկոսները կարո-

ղացան ժամանակակից տեսանկյունից մեկնաբանել նյութի կառուցվածքին և քի-

միական ռեակցիաներին վերաբերող բազմաթիվ ու բազմազան փաստեր:

Ձայնային ալիքների տարածման ֆիզիկական օրենքներն ընկած են այն մե-

թոդների հիմքում, որոնք երկրաբաններին հնարավորություն են տալիս հետազո-

տելու Երկրի ընդերքը: Հեղուկների և գազերի շարժման ֆիզիկական տեսությունը

կարևորագույն ՙզենք՚ է օդերևութաբանների, օվկիանագետների և բնապահպան-

ների ձեռքին՝ հետազոտելու մեզ շրջապատող օդային և ջրային ավազանները:

Ֆիզիկայի օրենքները ՙղեկավարում՚ են բոլոր ֆիզիկական պրոցեսները, իսկ

այն մեթոդները, որոնցով ֆիզիկոսները հետազոտում են բնությունը, օգտագործում

են նաև հարակից մյուս գիտություններում: Աստղաֆիզիկայում, օրինակ, հետա-

զոտման ֆիզիկական մեթոդներով ուսումնասիրում են Արեգակը« մոլորակները,

միջաստղային նյութը, միգամածությունները և աստղերը:

ԳԼՈՒԽ

ԳԻՏԱԿԱՆ ՃԱՆԱՉՈՂՈՒԹՅԱՆ ՄԵԹՈԴՆԵՐԸ

Լույսն անցնում է

Տիեզերքի կառուցվածքը՝ միկրո-, մակրո- և

- 24

միջուկի չափին հավա-

մեգաաշխարհներ: Ժամանակակից ֆիզիկայում

սար հեռավորություն

ընդունված է բնությունը բաժանել երեք մակարդակի

Միջուկի տատանումների

կամ ՙաշխարհի՚՝ միկրոաշխարհ, մակրոաշխարհ

- 21

պարբերություն

և մեգաաշխարհ:

Լույսն անցնում է ատո-

Միկրոաշխարհն ատոմների, ատոմային մի-

- 18

մի ՙտրամագծին՚ հա-

ջուկների, տարրական մասնիկների զարմանահրաշ

վասար հեռավորություն

աշխարհն է: Այդ աշխարհի օբյեկտների (միկրոօբ-

Ատոմի տատանումների

- 15

յեկտներ) չափերն այնքան փոքր են, իսկ ժամանա-

պարբերություն

կային միջակայքները՝ այնքան կարճ, որ այդ միկրո-

Մոլեկուլի

տատանումների

օբյեկտներն անմիջականորեն դիտել հնարավոր չէ:

- 12

պարբերություն

Մակրոաշխարհն այն ամենն է, ինչ շրջապա-

տում է մեզ Երկրի վրա և նրա ոչ շատ հեռու շրջա-

-9

կայքում (մակրոմոլեկուլներ, բյուրեղներ, երկրային

Ռադիոճառագայթման

մարմիններ, մոլորակներ և այլն):

-6

տատանումների

Մեգաաշխարհը տիեզերքն է՝ իր բոլոր դիտելի

պարբերություն

օբյեկտներով՝ աստղերով, գալակտիկաներով, քվա-

Ձայնային

տատանումների

զարներով և այլ երկնային մարմիններով: Դիտելի

-3

պարբերություն

տիեզերքի չափերն աներևակայելիորեն մեծ են. նրա

սահմանները (աստղագիտության մեջ անվանում են

Տևողությունը սրտի

տիեզերքի հորիզոն) մեզնից հեռու են մոտավորապես

երկու զարկերի միջև

15 միլիարդ լուսատարիով (1 լուսատարին այն հե-

Լույսն Արեգակից

ռավորությունն է, որը լույսն անցնում է 1 տարվա ըն-

հասնում է Երկիր

թացքում© 1 լուսատարին

9, 46

10¹²կմ):

Նշված ՙաշխարհներից՚ յուրաքանչյուրը բնո-

րոշվում է իր յուրահատուկ կառուցվածքով և շար-

1 տարի = 3«156 .10⁷ վ

ժումների առանձնահատկությամբ: Օրինակ՝ մակ-

Մարդու կյանքի միջին

տևողությունը

րոմարմինների շարժումները նկարագրվում են դա-

սական մեխանիկայի օրենքներով, մինչդեռ միկրո-

Եգիպտական բուրգերի

աշխարհին բնորոշ է մասնիկների և ալիքների սերտ

տարիքը

կապը, որն արտահայտվում է նրանով, որ միկրոաշ-

խարհը, ի տարբերություն մակրոաշխարհի, ենթարկ-

Երկրի տարիքը

վում է բոլորովին այլ ֆիզիկական օրենքների:

Ինչ վերաբերում է մեգաաշխարհին, ապա այս-

Տիեզերքի տարիքը

տեղ ևս սպասելի են միանգամայն նոր, այդ թվում՝

նաև հիմնարար, ֆիզիկական օրենքների հայտնա-

Տիեզերքում հանդիպող

գործություններ:

ժամանակային միջակայքերի

մասշտաբային պատկերումը:

Գաղափար ժամանակի և տարածության

Ուղղահայաց առանցքի վրա

մասին: Բոլոր մարմինները շարժվում են ժամանա-

նշված թվերը նշանակում են 10-ի

կի ընթացքում և տարածության մեջ: Նրանց շարժ-

համապատասխան ցուցիչով

աստիճաններ՝ արտահայտված

ման միջոցով են դրսևորվում ժամանակի և տարա-

վայրկյանով:

ծության հատկությունները:

ՖԻԶԻԿԱ 10

Ըստ Նյուտոնի՝ ժամանակը գոյություն ունի

ինքնիրեն, և նրա

գոյությունը պայմանավորված

Միջուկի շառավիղը

- 15

չէ ոչնչով: Ընդհակառակը, ժամանակի ընթացքին

ենթարկվում են բնության բոլոր մարմինները, բոլոր

- 12

ֆիզիկական երևույթները: Բայց այդ մարմինները և

երևույթները ոչ մի կերպ չեն ազդում ժամանակի ըն-

Ատոմի շառավիղը

-9

թացքի վրա, այլ կերպ ասած՝ ժամանակը բացար-

ձակ է: Ժամանակի բոլոր պահերը հավասարազոր

Լույսի ալիքի

են և միատեսակ© ժամանակը համասեռ է: Բացի

-6

երկարությունը

այդ՝ ժամանակի ընթացքն ամենուրեք միատեսակ

Մանրէ

է, ընդ որում« այդ ընթացքը միատեսակ հավասա-

-3

րաչափ է ինչպես անցյալում, այնպես էլ ներկայում

և ապագայում: Ժամանակը նաև միաչափ է:

1մ

Ժամանակի նման նյուտոնյան մեխանիկայում

Մարդու հասակը

տարածությունը նույնպես բացարձակ է, նշանա-

կում է՝ տարածությունը գոյություն ունի ինքնիրեն,

1 կմ

և նրա գոյությունը պայմանավորված չէ ոչնչով: Այն

նման է ՙպատեր չունեցող անսահման մեծ չափե-

րով անշարժ արկղի՚, որտեղ զետեղված է ամեն ինչ«

Երկրի տրամագիծը

և տեղի են ունենում բնության բոլոր երևույթները,

Երկիր¬Լուսին

հեռավորությունը

ընդ որում« վերջիններս որևէ կերպ չեն ազդում տա-

րածության հատկությունների վրա: Տարածության

Երկիր¬Արեգակ

հատկություններն ամենուր միատեսակ են, իսկ տա-

հեռավորությունը

րածական կետերը հավասարազոր են և միատե-

սակ. տարածությունը համասեռ է: Հավասարազոր

Մեզ ամենամոտ աստղը

և միատեսակ են նաև տարածության բոլոր ուղղու-

(Կենտավրոսի Պրոքսի-

թյունները. այդ դեպքում ասում են, որ տարածու-

մա)« հեռավորությունը

1 լուսատարի

թյունն իզոտրոպ է: Տարածության հատկություն-

ները ժամանակի ընթացքում չեն փոփոխվում: Ի

տարբերություն ժամանակի՝ տարածությունը եռա-

Մեր Գալակտիկայի

շառավիղը

չափ է:

Առօրյա փորձից հայտնի է, որ այն տարածու-

Մոտակա գալակտիկայի

թյան մեջ, որտեղ ապրում ենք, երկու կամայական

հեռավորությունը

կետեր միացնող ուղղի հատվածն ամենակարճն է:

Դիտելի տիեզերքի

սահմանները

Այդպիսի տարածությունն անվանում են եվկլիդես-

յան, և ասում, որ տարածությունը նկարագրվում է

եվկլիդեսյան երկրաչափությամբ:

Տիեզերքում հանդի-

Սակայն, համաձայն ժամանակակից ֆիզիկա-

պող հեռավորությունների

յի պատկերացումների, առանձին տարածություն և

մասշտաբային պատկերումը:

Ուղղահայաց առանցքի վրա

առանձին ժամանակ գոյություն չունեն. գոյություն

նշված թվերը նշանակում են

ունի մեկ միասնական

ՙտարածություն-ժամա-

10-ի համապատասխան

նակ՚ հասկացություն: Ժամանակն այլևս բացար-

ցուցիչով աստիճաններ՝

արտահայտված մետրով:

ձակ և ինքնուրույն չէ. այն չի կարելի դիտարկել

ԳԼՈՒԽ

ԳԻՏԱԿԱՆ ՃԱՆԱՉՈՂՈՒԹՅԱՆ ՄԵԹՈԴՆԵՐԸ

տարածությունից դուրս, իսկ ավելի որոշակի՝ հաշվարկման տրված համակարգից

դուրս: Խոսելով ժամանակի մասին՝ պետք է նշել, թե որտե±ղ է դրված ժամացույցը,

ըստ որի հաշվարկվում է ժամանակը: Ժամանակի ընթացքը տարբեր հաշվարկ-

ման համակարգերում տարբեր է, այլ կերպ ասած՝ ժամանակը հարաբերական է:

Եթե դասական ֆիզիկայում ժամանակը և տարածությունն իրար հետ կապ-

ված էին միայն մարմինների շարժման միջոցով, ապա, համաձայն հարաբերակա-

նության տեսության, ժամանակը կապված է նաև տարածության հետ. ՙայստեղի՚

ժամանակը, օրինակ, տարբեր է ՙայնտեղի՚ ժամանակից:

Վերջապես, ըստ ժամանակակից ֆիզիկայի« տարածություն-ժամանակը

կապված է մատերիայի հետ: Ինչպե՞ս են բաշխված մարմինները տարածության

մեջ և ինչպե՞ս են շարժվում© այս ամենն ազդում է տարածության երկրաչափա-

կան հատկությունների վրա: Վերջիններս, փոփոխվելով, հակազդում են տարա-

ծության մեջ մարմինների բաշխմանը և շարժմանը:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ի՞նչ

է ուսումնասիրում ֆիզիկան: 2. Ինչու± է անհրաժեշտ ֆիզիկայի օրենքների և

բնության հետազոտման ֆիզիկական մեթոդների իմացությունը: 3. Ի՞նչ են միկրոաշ-

խարհը, մակրոաշխարհը, մեգաաշխարհը: 4. Նշեք ժամանակի, տարածության հատ-

կությունները համաձայն դասական ֆիզիկայի պատկերացումների: 5. Բացատրեք ՙժա-

մանակը համասեռ է՚, ՙտարածությունը համասեռ է՚, ՙտարածությունը իզոտրոպ է՚

արտահայտությունները: 6. Ի՞նչ է տարածություն-ժամանակը: Ի՞նչ է նշանակում ՙժա-

մանակը հարաբերական է՚ արտահայտությունը: 8. Կապվա±ծ է արդյոք տարածություն-

ժամանակը մատերիայի հետ: Միակողմանի± է այդ կապը, թե՞ փոխադարձ:

ՆՅՈՒԹ ԵՎ ԴԱՇՏ: ԲՆՈՒԹՅԱՆ

ԵՐԵՎՈՒՅԹՆԵՐԸ ՈՐՊԵՍ ՆՅՈՒԹԻ

ԵՎ ԴԱՇՏԻ ՇԱՐԺՈՒՄ ԵՎ ՓՈԽԱԶԴԵՑՈՒԹՅՈՒՆ

Ինչպես գիտեք, այն ամենը, ինչ գոյություն ունի աշխարհում՝ տարրական

մասնիկները, ատոմներն ու մոլեկուլները, էլեկտրամագնիսական ալիքները, մեզ

շրջապատող մարմինները, կենդանիները և բույսերը, այսինքն՝ այն ամենը, ինչ

գոյություն ունի մեր գիտակցությունից անկախ և ազդում է կամ հատուկ սարքե-

րի միջոցով կարող է ազդել մեր զգայարանների վրա, գիտության մեջ անվանում

են մատերիա: Գոյություն ունի մատերիայի երկու տեսակ՝ նյութ և ֆիզիկական

դաշտ:

Նյութը մատերիայի այն տեսակն է, որն ունի ՙհատիկային՚ բնույթ, այսինքն՝

կազմված է մասնիկներից, որոնցից են հիմնականում էլեկտրոնները, պրոտոնները

և նեյտրոնները: Վերջին երկուսն ատոմային միջուկների բաղկացուցիչ մասնիկ-

ներն են, իսկ էլեկտրոնների հետ միասին՝ ատոմների, որոնք կարող են առաջացնել

մոլեկուլներ, բյուրեղներ և այլն:

Ի տարբերություն նյութի՝ ֆիզիկական դաշտն օժտված է որոշակի հատ-

կություններով, որոնցով այն զանազանվում է նյութից: Օրինակ՝ նյութական օբ-

յեկտը՝ մարմինը, կարող է տեղափոխվել միայն այնպիսի արագությամբ, որը փոքր

է վակուումում լույսի արագությունից, մինչդեռ ֆիզիկական դաշտի տարածման

ՖԻԶԻԿԱ 10

արագությունը հավասար է լույսի արագությանը: Նյութական օբյեկտներն ունեն

զանգված, իսկ դաշտը զանգված չունի. այն անընդհատորեն բաշխված է տարա-

ծության մեջ: Յուրաքանչյուր ֆիզիկական դաշտ համապատասխան հիմնարար

փոխազդեցության կրողն է: Այդ փոխազդեցությունները չորսն են՝ գրավիտացիոն,

էլեկտրամագնիսական, ուժեղ և թույլ:

Մարմինների միջև գրավիտացիոն փոխազդեցությունն իրականացվում է

գրավիտացիոն դաշտով:

Ձեզ հայտնի է նաև էլեկտրամագնիսական փոխազդեցությունը, որն իրակա-

նացվում է էլեկտրամագնիսական դաշտի միջոցով: Ուժեղ և թույլ փոխազդեցու-

թյուններին կծանոթանաք հետագայում: Կարելի է ասել, որ մասնիկների փոխազ-

դեցությունը կատարվում է մասնիկ-դաշտ-մասնիկ սխեմայով, որը նշանակում է՝

յուրաքանչյուր մասնիկ համապատասխան դաշտով ազդում է մնացած մասնիկ-

ների վրա:

Դաշտի էական տարբերությունը մասնիկներից նաև այն է, որ դաշտը պար-

փակված չէ պարզորոշ սահմաններ ունեցող տիրույթներում: Բացի դրանից՝

դաշտերն օժտված են փոխթափանցելիությամբ, այսինքն՝ տարածության միև-

նույն տիրույթում միաժամանակ կարող է գոյություն ունենալ մի քանի դաշտ, մինչ-

դեռ միևնույն տիրույթում հնարավոր չէ զետեղել մի քանի մարմին՝ առանց փոփո-

խելու նրանց հատկությունները:

Չնայած նշված տարբերություններին՝ նյութը և դաշտն ունեն մի շարք ընդհա-

նուր հատկություններ. գոյություն ունեն ֆիզիկական մեծություններ, որ հավասա-

րապես հատուկ են և° նյութական օբյեկտներին, և° դաշտերին՝ էներգիա, իմպուլս և

այլն:

Մատերիայի տեսակները և նրա շարժման ձևերն անփոփոխ չեն: Բնության

բոլոր երևույթները մատերիայի՝ մի տեսակից մյուսին փոխակերպվելու կամ շարժ-

ման մի ձևից մեկ այլ ձևին անցնելու պրոցեսներ են: Սակայն մատերիան ու մա-

տերիայի շարժումն անստեղծելի և անոչնչանալի են: Այս պնդման ապացույցներն

էներգիայի և իմպուլսի պահպանման օրենքներն են, որոնց ենթարկվում են բնու-

թյան բոլոր երևույթները:

Նյութի և դաշտի փոխակերպման օրինակ է մասնիկի և հակամասնիկի անի-

հիլյացիան (ոչնչանալը)« իսկ թե ինչ են հակամասնիկը և անիհիլյացիան, դուք

կիմանաք 12-րդ դասարանի ֆիզիկայի դասընթացում: Օրինակ՝ էլեկտրոնը և հա-

կաէլեկտրոնը՝ պոզիտրոնը, հանդիպելիս

ՙոչնչանում՚

են՝

փոխակերպվելով

էլեկտրամագնիսական դաշտի: Վերջինիս էներգիան, էներգիայի պահպանման

օրենքին համապատասխան, էլեկտրոնի և պոզիտրոնի էներգիաների գումարն է:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Մատերիայի ո՞ր տեսակն են անվանում նյութ և ո՞ր տեսակը՝ դաշտ: 2. Ո±ր հատկու-

թյուններով են նյութը և դաշտը տարբերվում իրարից: 3. Ի՞նչ ընդհանուր հատկություն-

ներ ունեն նյութը և դաշտը: 4. Ի՞նչ սխեմայով է իրականացվում նյութական մասնիկների

փոխազդեցությունը: Բացատրե°ք: 5. Ի՞նչ է նշանակում ՙմատերիան ու նրա շարժումն

անստեղծելի և անոչնչանալի են՚ արտահայտությունը: 6. Բերե°ք նյութի և դաշտի փոխա-

կերպման որևիցե օրինակ: Պահպանման ո՞ր օրենքներին համապատասխան է տեղի

ունենում այդ փոխակերպումը:

ԳԼՈՒԽ

ԳԻՏԱԿԱՆ ՃԱՆԱՉՈՂՈՒԹՅԱՆ ՄԵԹՈԴՆԵՐԸ

ՖԻԶԻԿԱԿԱՆ ԵՐԵՎՈՒՅԹՆԵՐԻ ՈՒՍՈՒՄՆԱՍԻՐՄԱՆ

ՓՈՐՁԱՐԱՐԱԿԱՆ ԵՎ ՏԵՍԱԿԱՆ ՄԵԹՈԴՆԵՐ

Ֆիզիկայի« ինչպես և յուրաքանչյուր գիտության գլխավոր նպատակը ոչ մի-

այն շրջապատող աշխարհի երևույթների գրանցումն է դիտումների, գիտափորձե-

րի, մարդու զգայության օրգանների միջոցով, այլ նաև դրանց համակարգումը:

Սակայն բնության երևույթների յուրաքանչյուր դիտում պահանջում է նաև

երևակայություն և եզրահանգումներ անելու կարողություն, առանց որոնց անհնար

է բացահայտել ճշմարտությունը: Բնության երկու կամ ավելի երևույթների ենթա-

դրվող կապն արտահայտող տեսական պնդումը՝ արտահայտված ֆիզիկական մե-

ծությունների, հասկացությունների միջոցով, անվանում են գիտական վարկած:

Սակայն միայն դատողություններով և վարկածների առաջադրմամբ հաճախ հնա-

րավոր չէ բացահայտել ճշմարտությունը:

Դիտարկենք, օրինակ, երկու մեծ մտածողների՝ Արիստոտելի և Գալիլեյի

եզրահանգումները նույն երևույթի մասին: Այդ երևույթը, ինչպես գիտեք հիմնական

դպրոցից, մարմինների ազատ անկումն է: Դիտելով ծանր և թեթև մարմինների

անկման երևույթը՝ Արիստոտելը եկել է այն եզրահանգման, որ ծանր մարմիններն

ընկնում են ավելի արագ, քան թեթևները: Դիտումները կարծես վկայում էին Արիս-

տոտելի վարկածի օգտին. չէ± որ, օրինակ, փետուրն ավելի դանդաղ է ընկնում, քան

քարի կտորը:

Ըստ Գալիլեյի՝ եթե որևէ գիտական վարկած ճշմարիտ է, ապա դրանից պետք

է հետևեն ճիշտ եզրակացություններ: Ուստի՝ Արիստոտելի ենթադրության ճշմար-

տացիությունը պարզելու նպատակով Գալիլեյն առաջարկել է ծանր և թեթև մար-

մինները կապելով իրար, բաց թողնել:

Համաձայն Արիստոտելի տրամաբանության՝ կապված մարմինների համակ-

ցությունը պետք է ավելի արագ ընկնի, քան թեթև և ծանր մարմիններն առանձին-

առանձին: Բայց, մյուս կողմից, եթե մարմինները կապված են, ապա թեթևը պետք

է ընկնի դանդաղորեն՝ խոչընդոտելով ծանր մարմնի անկումը: Իսկ այդ դեպքում

մարմինների համակցությունը չի կարող ավելի արագ ընկնել, քան ծանր մարմինը:

Այսպիսով՝ հանգեցինք հակասության: Ուրեմն՝ Արիստոտելի վարկածը ճիշտ չէ©

բոլոր մարմինները նույն բարձրությունից գետին են ընկնում նույն ժամանակում:

Գալիլեյը, ինչպես գիտեք, իր առաջ քաշած վարկածն ապացուցել է փորձով:

Այսպիսով, ի տարբերություն Արիստոտելի, Գալիլեյն առաջադրել է գիտա-

կան հետազոտման նոր մեթոդ՝ գիտական վարկածի և փորձի մեթոդը: Հետևե-

լով այս մեթոդին՝ գերմանացի աստղագետ Յոհան Կեպլերը, վերլուծելով մոլո-

րակների դիրքերի բազմաթիվ չափումների արդյունքները, եկել է այն ճշմարիտ

եզրահանգմանը, որ մոլորակներն Արեգակի շուրջը շարժվում են էլիպսաձև ուղե-

ծրերով:

Հետագայում Գալիլեյի գիտական վարկածի և փորձի մեթոդը լրացրել են այլ

հետազոտողներ« և ստեղծվել է գիտական հետազոտության ցիկլային մեթոդը: Այս

մեթոդի յուրաքանչյուր ցիկլ բաղկացած է հետևյալ չորս հաջորդական փուլերից՝

1) ելակետային փորձնական փաստերի կուտակում, 2) գիտական վարկածի առա-

ջադրում, 3) տրամաբանական հետևություններ, 4) փորձ:

ՖԻԶԻԿԱ 10

Դրանից հետո միայն վարկածը դառնում է գիտական տեսություն: Տեսու-

թյունը պետք է բացատրի հայտնի բոլոր փորձառական փաստերը տվյալ երևույթի

վերաբերյալ և, բացի այդ, ճիշտ կանխատեսի ամեն մի նոր փորձի արդյունքները:

Ֆիզիկական տեսության կայացման պրոցեսը բացահայտենք էլեկտրամագ-

նիսական դաշտի տեսության ստեղծման օրինակով:

Հայտնի է, որ 19-րդ դարի երկրորդ կեսին էլեկտրական ու մագնիսական

երևույթների բնագավառներում Կուլոնի, Էրստեդի, Ամպերի, Ֆարադեյի և այլ ֆի-

զիկոսների աշխատանքներն այն ելակետային փորձնական փաստերն էին (ցիկ-

լի առաջին փուլ), որոնց հիման վրա Մաքսվելը մշակել է էլեկտրամագնիսական

դաշտի ամբողջական տեսությունը, որը որպես գիտական վարկած (երկրորդ փուլ)

ամփոփվել է նրա հավասարումների համակարգում: Ընդ որում, այդ տեսությունը

ոչ միայն բացատրել է էլեկտրադինամիկայի մինչ այդ հայտնի բոլոր օրենքները,

այլև նրանից բխել են նոր հետևություններ՝ նոր գիտելիքներ:

Մաքսվելի տեսությունից (դեռևս գիտական վարկած) մասնավորապես բխել

է, որ մագնիսական դաշտ ստեղծվում է ոչ միայն հոսանքով, այլև փոփոխական

էլեկտրական դաշտով, որ բնության մեջ գոյություն ունեն էլեկտրամագնիսական

ալիքներ, որոնք տարածվում են լույսի արագությամբ և այլն:

Վերոհիշյալ տրամաբանական հետևությունները, որոնք բխում են Մաքսվելի

գիտական վարկածից, կարիք ունեին փորձնական հիմնավորման: Մաքսվելի մա-

հից 10 տարի անց՝ 1887-88 թվականներին Հերցը փորձով ապացուցել է էլեկտրա-

մագնիսական ալիքների գոյությունը, նրանց տարածման վերջավոր արագությու-

նը, հայտնաբերել մի շարք հատկություններ, որոնք բոլորն էլ բխում են Մաքսվելի

տեսությունից: Մաքսվելի տեսական վարկածից բխած տրամաբանական հետևու-

թյունների՝ փորձնական ճանապարհով հաստատվելուց հետո է միայն էլեկտրա-

մագնիսական դաշտի տեսությունը դարձել հիմնավորված գիտական տեսություն:

Այսպիսով՝ ֆիզիկոսները ոչ միայն դիտում են բնության երևույթները, այլև

դրանց հետ կապում են ֆիզիկական մեծություններ, որոնց չափումը փորձի միջո-

ցով տալիս է որոշակի թվեր: Դրանով իսկ, վերջին հաշվով, բնության երևույթների

նկարագրումն արտահայտվում է ֆիզիկական մեծությունների միջև մաթեմատի-

կական առնչությունների (հավասարումների, անհավասարությունների) տեսքով:

Մոդել, մոդելավորում: Բնության այս կամ այն երևույթի, օբյեկտի լրիվ հե-

տազոտումը մաթեմատիկայի միջոցներով գործնականում հնարավոր չէ: Ուստի՝

ֆիզիկայում գործ են ունենում ոչ թե բնության երևույթների կամ օբյեկտների, այլ

դրանց իդեալականացված տարբերակների՝ մոդելների հետ: Մոդելների միջոցով

բնության երևույթների և օբյեկտների հետազոտման մեթոդն անվանում են մոդե-

լավորում:

Բնության որևէ օբյեկտի կամ պրոցեսի մոդելը պահպանում է իրական օբ-

յեկտի կամ պրոցեսի բոլոր բնութագրական հատկությունները, բացառությամբ

նրանց, որոնք տվյալ դիտարկման ժամանակ էական չեն: Միևնույն իրական օբ-

յեկտը կամ պրոցեսը տարբեր պայմաններում կարող է ունենալ տարբեր մոդելներ:

Յուրաքանչյուր մոդել ընտրելիս անհրաժեշտ է հաշվի առնել հետևյալ հան-

գամանքները: Նախ՝ մոդելը պետք է հնարավոր լինի նկարագրել մաթեմատիկա-

յի միջոցներով: Հենց այդպիսի ընտրությամբ է ֆիզիկան դառնում ճշգրիտ գիտու-

ԳԼՈՒԽ

ԳԻՏԱԿԱՆ ՃԱՆԱՉՈՂՈՒԹՅԱՆ ՄԵԹՈԴՆԵՐԸ

թյուն, քանի որ մաթեմատիկան, բնության երևույթների ճշգրիտ քանակական

նկարագրությունից զատ, հնարավորություն է տալիս նաև կանխատեսելու դեռևս

անհայտ բնական երևույթներ:

Մյուս կողմից՝ մոդելի ընտրությունը պետք է հնարավորություն ընձեռի փորձի

միջոցով ստուգելու իրական երևույթի կամ օբյեկտի թեկուզ մի քանի բնութագրիչ

առանձնահատկություններ: Հենց այս փաստն էլ հնարավորություն է տալիս ֆիզի-

կան համարելու փորձարարական գիտություն:

Մոդելավորումից՝ որպես մեթոդից, գիտնականներն օգտվել են դեռևս ան-

տիկ շրջանում: Մոդելներ օգտագործել են նաև Գալիլեյը, Նյուտոնը: Մոդելները

մեծ դեր են ունեցել Կելվինի, Մաքսվելի, Այնշտայնի և ուրիշ ֆիզիկոսների աշխա-

տանքներում:

Բնության երևույթների վերաբերյալ որոշ հակիրճ, բայց բավական ընդհա-

նուր բնույթի պնդումն անվանում են օրենք: Օրինակ՝ պնդումն այն մասին, որ լիցքը

պահպանվում է, լիցքի պահպանման օրենքն է: Երբեմն նմանօրինակ պնդումները

կարելի է արտահայտել երևույթը նկարագրող մեծությունների միջև մաթեմատի-

կական առնչության միջոցով, ինչպիսին, օրինակ, Ջոուլ-Լենցի օրենքն է՝ Q = I2Rt:

XIX դարավերջին Մայքելսոնի կատարած գիտափորձի արդյունքը ցույց

տվեց, որ, օրինակ, արագությունների գումարման դասական օրենքը ճշմարիտ

չէ շատ մեծ արագությունների համար: Այդ օրենքը, մասնավորապես, արդեն պի-

տանի չէ նկարագրելու այն երևույթները, որոնք այս կամ այն չափով առնչվում են

լույսի տարածման հետ: Բայց արագությունների գումարման դասական օրենքը

բխում է նյուտոնյան մեխանիկայի հիմնական օրենքներից: Հետևաբար՝ կարելի

է ասել, որ դասական մեխանիկան ունի կիրառելիության սահմանափակ ոլորտ:

Բայց այդ սահմանները որոշողն արդեն ոչ թե դասական մեխանիկան է, այլ մեկ ու-

րիշ՝ ավելի ընդգրկուն տեսություն, որն անվանում են հարաբերականության հա-

տուկ տեսություն:

Հարաբերականության հատուկ տեսությունը նույնպես ունի իր կիրառելիու-

թյան ոլորտը, որի սահմանները որոշողն արդեն հարաբերականության ընդհա-

նուր տեսությունն է: Հարաբերականության հատուկ տեսությունը բխում է ընդ-

հանուր տեսությունից, երբ հաշվի չեն առնում գրավիտացիոն դաշտերը: Իսկ երբ

մարմնի շարժման արագությունն անհամեմատ փոքր է լույսի արագությունից, հա-

րաբերականության հատուկ տեսությունից հետևում են դասական մեխանիկայի

օրենքները:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Որո±նք են մարմինների ազատ անկման վերաբերյալ Արիստոտելի և Գալիլեյի եզրա-

հանգումները: 2. Ի՞նչ մտային փորձով էր Գալիլեյն ապացուցում իր եզրահանգման

ճշմարտացի լինելը: 3. Որո±նք են գիտության հետազոտման ցիկլային մեթոդի փուլերը:

4. Ֆիզիկական տեսության կայացման պրոցեսը բացահայտե°ք էլեկտրամագնիսական

դաշտի տեսության օրինակով: 5. Ի՞նչ է մոդելը: Ինչպե՞ս են ընտրում մոդելը: 6. Ի՞նչ է

օրենքը: 7. Ի՞նչ եք հասկանում ՙօրենքի (կամ տեսության) կիրառելիության սահման՚

ասելով: Բերե°ք օրինակ:

ՖԻԶԻԿԱ 10

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԴԵՐԸ ՖԻԶԻԿԱՅՈՒՄ:

ԱՇԽԱՐՀԻ ՖԻԶԻԿԱԿԱՆ ՊԱՏԿԵՐԸ

Ինչպես նշեցինք, ֆիզիկայի խնդիրն աշխարհի ճշգրիտ պատկերը հնարավո-

րինս ՙվերակերտելն՚ է՝ օգտագործելով բոլոր հայտնի դիտողական ու փորձնա-

կան փաստերը և տեսական դիտարկումները: Բայց բնության ճշգրիտ պատկերի

քանակական նկարագրությունն անհնար է առանց մաթեմատիկայի: Մաթեմատի-

կան տալիս է ոչ միայն ֆիզիկայի հավասարումների լուծման եղանակները, այլև

ստեղծում է մեթոդներ, որոնք համապատասխանում են ֆիզիկայի խնդրի բնույթին:

Օրինակ՝ ֆիզիկայի բոլոր այն բնագավառներում, որտեղ հանդիպում են վեկտո-

րական ֆիզիկական մեծություններ (արագություն, ուժ և այլն), սովորաբար օգտա-

գործվում է մաթեմատիկայի այն բաժինը, որն անվանում են վեկտորական հաշիվ:

Մաթեմատիկոսը, ստանալով տարբեր մեծություններ իրար կապող այս կամ

այն հավասարումը, ֆունկցիան, չի հետաքրքրվում, թե ի վերջո դրանք ի՞նչ կի-

րառություններ կունենան ֆիզիկայում: Իսկ նույն հավասարումը հաճախ կարող է

նկարագրել ֆիզիկական տարբեր երևույթներ, օբյեկտներ: Օրինակ՝ ինչպես կտես-

նենք մեխանիկայի և էլեկտրադինամիկայի բաժիններում, իրարից միանգամայն

տարբեր ֆիզիկական երևույթներ՝ տատանողական շարժումները և էլեկտրամագ-

նիսական տատանումները« նկարագրվում են միևնույն մաթեմատիկական հավա-

սարումներով և բանաձևերով: Հենց այս փաստն էլ այն կարևորագույն դերն է, որ

ունի մաթեմատիկան բոլոր բնական գիտություններում, այդ թվում՝ ֆիզիկայում:

Մաթեմատիկան, սակայն, հնարավորություն է տալիս միայն ճշգրտորեն

նկարագրելու աշխարհի, բնության, տիեզերքի այն պատկերը, որը համապատաս-

խանում է տվյալ դարաշրջանի գիտական գիտելիքներին և մտածողությանը: Իսկ

այդ գիտելիքներին և մակարդակին ֆիզիկան կարող էր հասնել անցնելով պատ-

մական մի շարք փուլեր, որոնցից յուրաքանչյուրում ձևավորվել է բնության այս

կամ այն մոդելը կամ, ինչպես ասում են, աշխարհի ֆիզիկական պատկերը:

Աշխարհի մեխանիկական պատկերը ծնունդ է առել Հին աշխարհում: XVII-

XIX դարերում բնագիտության մեջ ձևավորվել է այն խորին համոզմունքը, որ բնու-

թյան բոլոր երևույթները պետք է դիտարկել որպես մեխանիկական պրոցեսների

դրսևորում: Այդ համոզմունքի ՙկերտմանը՚ մեծապես նպաստել են նյուտոնյան

մեխանիկայի հաջողությունները, իսկ Նյուտոնի հեղինակությունն այնքան մեծ էր,

որ այդ համոզմունքն էլ դարձավ այդ ժամանակաշրջանին բնորոշ այսպես կոչ-

ված՝ աշխարհի մեխանիկական պատկերի ստեղծման հիմք:

Ինչպիսի՞ն էր աշխարհը՝ ըստ այդ պատկերի:

Բոլոր մարմինները՝ պինդ, հեղուկ և գազային, կազմված են ատոմներից

և մոլեկուլներից, որոնց ջերմային շարժումը երբեք չի դադարում: Մարմիննե-

րը փոխազդում են ինչպես անմիջական հպմամբ (օրինակ՝ առաձգականության,

շփման ուժերով փոխազդեցություն), այնպես էլ՝ իրարից որոշ հեռավորությունից

(օրինակ՝ գրավիտացիոն փոխազդեցություն): Ատոմներն ընկալվում են որպես

նյութի անբաժանելի ՙաղյուսիկներ՚, որոնք, խմբավորվելով, ստեղծում են մոլե-

կուլներ և, վերջին հաշվով, բոլոր մարմինները: Ըստ աշխարհի մեխանիկական

ԳԼՈՒԽ

ԳԻՏԱԿԱՆ ՃԱՆԱՉՈՂՈՒԹՅԱՆ ՄԵԹՈԴՆԵՐԸ

պատկերի՝ ամբողջ տիեզերքը, նյութի մասնիկների միջակա տարածությունը

լցված են անկշիռ, անորոշ ֆիզիկական հատկություններով օժտված միջավայրով,

որն անվանել են եթեր:

Այսպիսով, համաձայն աշխարհի մեխանիկական պատկերի, բնության բոլոր

երևույթների փոխադարձ կապերն արտահայտող օրինաչափությունները կարելի

է բացատրել նյուտոնյան մեխանիկայի օրենքներով: Միկրոաշխարհն իր մասնիկ-

ների շարժումներով ու փոխազդեցությամբ նման է մակրոաշխարհին և դարձյալ

նկարագրվում է նույն օրենքներով:

Աշխարհի մեխանիկական պատկերում, սակայն, բացակայում է զարգացու-

մը. աշխարհն ամբողջությամբ միշտ այնպիսին է, ինչպիսին եղել է միշտ: XVIII-

XIX դդ. ֆրանսիացի ֆիզիկոս և մաթեմատիկոս Պիեռ Սիմոն Լապլասի կարծի-

քով՝ կարելի է նկարագրել նույնիսկ ապագա աշխարհի ֆիզիկական վիճակը, եթե

հայտնի է նրա վիճակը ներկայումս:

Աշխարհի էլեկտրամագնիսական պատկերը ծնունդ է առել XIX դարի

երկրորդ կեսում: Նրա հիմքում ընկած են աշխարհի վերաբերյալ այն պատկերա-

ցումները, որոնց համաձայն՝ բնության բոլոր երևույթները կարելի է նկարագրել

գրավիտացիոն և էլեկտրամագնիսական փոխազդեցությունների օգնությամբ:

Էլեկտրական, մագնիսական, էլեկտրամագնիսական դաշտերն սկզբնապես դիտ-

վել են որպես եթերի տարբեր ՙվիճակներ՚: Ավելի ուշ՝ XX դարասկզբին, սակայն,

եթերը կորցրել է իր ՙգոյություն ունենալու՚ անհրաժեշտությունը: Էլեկտրամագ-

նիսական փոխազդեցության տարածման համար եթերն այլևս պետք չէր. այդ

փոխազդեցությունն իրականացվում էր էլեկտրամագնիսական դաշտի միջոցով:

Համաձայն աշխարհի էլեկտրամագնիսական պատկերի՝ գոյություն ունի մա-

տերիայի երկու տեսակ՝ նյութ և դաշտ, ընդ որում« նյութը չի կարող փոխակերպվել

դաշտի, դաշտը չի կարող փոխակերպվել նյութի:

Գոյություն ունեն երկու տիպի դաշտեր՝ էլեկտրամագնիսական և գրավի-

տացիոն, որոնցով իրականացվում են էլեկտրամագնիսական և գրավիտացիոն

փոխազդեցությունները: Էլեկտրամագնիսական փոխազդեցությունը բացատրում

է ոչ միայն էլեկտրական և մագնիսական երևույթները, այլև ուրիշ երևույթներ՝ օպ-

տիկական, ջերմային, քիմիական, նույնիսկ մի շարք մեխանիկական երևույթներ

(շփում, առաձգականություն):

Աշխարհի էլեկտրամագնիսական պատկերում այն ՙաղյուսիկները՚, որոնցից

կազմված է ամբողջ մատերիան, երեքն են՝ էլեկտրոնը, պրոտոնը և ֆոտոնը: Ֆո-

տոններն էլեկտրամագնիսական դաշտի ՙաղյուսիկները՚ կամ ՙհատիկներն՚ են:

XX դարի 20-ական թվականներին ֆրանսիացի ֆիզիկոս Լուի դը Բրոյլը

ՙհաշտեցրել՚ է ալիքները և մասնիկները՝ առաջ քաշելով ալիքամասնիկային

երկվության հայեցակարգը: Համաձայն այդ հայեցակարգի՝ էլեկտրամագնիսա-

կան դաշտը, բացի ալիքային հատկանիշներից, օժտված է նաև մասնիկներին բնո-

րոշ հատկություններով: Հանգունորեն՝ բոլոր միկրոմասնիկներին բնորոշ են նաև

ալիքային հատկանիշներ:

Էլեկտրոնները և պրոտոնները նյութի ՙաղյուսիկներն՚ են, որոնցից գոյանում

են ատոմները: Ե°վ էլեկտրոնը, և° պրոտոնը կայուն մասնիկներ են, և թվում էր, թե

կայուն պետք է լինեին թե° ատոմները, թե° միջուկները:

ՖԻԶԻԿԱ 10

Բայց XIX դարի վերջին հայտնաբերվել է մի երևույթ, որն առաջին հայացքից,

կարծես, ՙմանրուք՚ էր, բայց որը հանգեցրել է աշխարհի էլեկտրամագնիսական

պատկերի ՙփլուզման՚: Այդ երևույթը ճառագայթաակտիվությունն էր:

Աշխարհի ժամանակակից ֆիզիկական պատկերը: Թեև աշխարհի էլեկտ-

րամագնիսական պատկերը, մեխանիկականի համեմատությամբ,

աշխարհի

ճանաչողության ավելի բարձր աստիճան էր, այլ կերպ ասած՝ բնության ավելի

շատ երևույթներ էր բացատրում, բայց, մեխանիկականի նման, օժտված էր մի շատ

էական թերությամբ՝ այնտեղ բացակայում էր զարգացումը: Աշխարհն այսօր էլ

ամբողջության մեջ այնպիսին է, ինչպիսին միշտ եղել է:

Աշխարհի ժամանակակից գիտական պատկերի ստեղծման առաջին քայլն

արվել է XIX դարավերջին« երբ, ինչպես նշեցինք, հայտնագործվել է ճառագայ-

թաակտիվության երևույթը: Հաջորդ քայլը 1900 թվականին կատարել է գերմանա-

ցի ֆիզիկոս Մաքս Պլանկը՝ ձևակերպելով հետևյալ վարկածը. նյութի ատոմները

լույսն արձակում են և կլանում առանձին բաժիններով՝ քվանտներով: Ավելի ուշ՝

1905 թվականին« Ալբերտ Այնշտայնը ենթադրել է, որ լույսը նաև տարածվում է

առանձին քվանտներով, որոնք հետագայում անվանել են ֆոտոններ: 1913 թվա-

կանին դանիացի ֆիզիկոս Նիլս Բորն առաջարկել է ատոմի նոր մոդել. էլեկտրոն-

ները միջուկի շուրջը շարժվում են որոշակի՝ կայուն կամ ստացիոնար ուղեծրերով

և ֆոտոն արձակում կամ կլանում են միայն մի կայուն ուղեծրից մյուսն անցնելիս:

Միջուկային երևույթները բացատրելու համար ենթադրել են, որ գոյություն

ունի ևս մեկ՝ երրորդ հիմնարար փոխազդեցությունը, որն անվանել են միջուկային

կամ ուժեղ փոխազդեցություն:

1960-ական թվականներին գոյություն ունեցող երեք հիմնարար փոխազդե-

ցություններին ավելացել է ևս մեկը՝ թույլ փոխազդեցությունը, որի միջոցով բա-

ցատրվել են մի շարք երևույթներ (օրինակ՝ ճառագայթում և այլն), որոնք առաջ

անբացատրելի էին:

Ի տարբերություն աշխարհի էլեկտրամագնիսական պատկերի՝ ժամանակա-

կից պատկերում դաշտի և նյութի միջև անանցանելի սահման չկա: Դաշտը կարող

է փոխակերպվել նյութի և հակառակը: Ինչպես արդեն գիտեք, ֆոտոնները կարող

են փոխակերպվել էլեկտրոն-պոզիտրոն զույգի, իսկ այս զույգը, անիհիլացվելով,

կարող է փոխակերպվել ֆոտոնների:

Պարզվում է, որ մեկը մյուսին փոխարկվելը բնորոշ է գրեթե բոլոր տարրական

մասնիկներին: Այլ կերպ ասած՝ մասնիկների կայունությունն ավելի շուտ բացա-

ռություն է: Գրեթե բոլոր տարրական մասնիկներն անկայուն են:

Աշխարհի ժամանականից պատկերը նախորդներից տարբերվում է ևս մեկ

առանձնահատկությամբ: Եթե առաջ նյութը, դաշտը, վակուումը դիտարկվում էին

իրարից առանձնացված, ապա ներկայումս այդ երեք օբյեկտներն էլ ունեն ՙհա-

տիկային՚ բնույթ: Ե°վ նյութը, և° դաշտը կազմված են տարրական մասնիկներից,

իսկ մասնիկներն իրար հետ փոխազդում են, ինչպես նաև փոխակերպվում են մեկը

մյուսին: Իսկ ինչ վերաբերում է վակուումին, ապա այն նույնպես ՙկազմված՚ է

մասնիկներից, որոնք կոչվում են վիրտուալ: Վիրտուալ մասնիկները փոխազդում

են ինչպես իրար, այնպես էլ սովորական մասնիկների հետ:

ԳԼՈՒԽ

ԳԻՏԱԿԱՆ ՃԱՆԱՉՈՂՈՒԹՅԱՆ ՄԵԹՈԴՆԵՐԸ

Այսպիսով՝ աշխարհի ժամանակակից պատկերում ջնջվում են նյութը, դաշ-

տը և նույնիսկ վակուումն իրարից առանձնացնող սահմանները: Տարածությունը

և ժամանակը հանդես են գալիս որպես միասնական տարածություն-ժամանակ,

զանգվածը և էներգիան փոխկապված են, միևնույն օբյեկտը կարող է օժտված լի-

նել և° մասնիկային, և° ալիքային հատկություններով, և, վերջապես, նյութը և դաշտը

կարող են փոխակերպվել մեկը մյուսին: Բնության ժամանակակից պատկերին

բնորոշ է նրա տարբեր դրսևորումների միասնականությունը:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ո±րն է մաթեմատիկայի դերը ֆիզիկայում: 2. Ինչպե՞ս է ներկայանում աշխարհը՝ ըստ

մեխանիկական պատկերի: Ի՞նչ օրենքներով են նկարագրվում մակրոաշխարհը և միկրո-

աշխարհը: 3. Ի՞նչ է աշխարհի էլեկտրամագնիսական պատկերը: Քանի± տիպի փոխազ-

դեցություն գոյություն ունի այդ պատկերում, և ինչպե՞ս են դրանք տեղի ունենում: 4. Ի՞նչ

ՙաղյուսիկներից՚ է կազմված մատերիան՝ ըստ էլեկտրամագնիսական պատկերի: Մատե-

րիան ի՞նչ տեսակների է բաժանվում: 5. Ի՞նչ է ալիքամասնիկային երկվությունը: 6. Ի՞նչն

է ընդհանուրն աշխարհի էլեկտրամագնիսական և մեխանիկական պատկերներում: Ին-

չո±վ են տարբերվում այդ երկու պատկերները: 7. Ձևակերպե°ք Պլանկի վարկածը: 8. Ո±րն

է ատոմի մոդելը՝ ըստ Բորի: 9. Որո±նք են հիմնարար փոխազդեցությունները աշխարհի

ժամանակակից պատկերում: 10. Նշե°ք դաշտի և նյութի փոխադարձ փոխակերպման մեկ

օրինակ: 11. Ի՞նչ կառուցվածք ունեն նյութը, դաշտը և վակուումը՝ համաձայն աշխարհի

ժամանակակից պատկերի: 12. Ո±րն է աշխարհի ժամանակակից պատկերում բնության

տարբեր դրսևորումների միասնականությունը:

Այնշտայնի կանխատեսումը

Ֆիզիկայում մաթեմատիկայի օգտագործման հրաշալի օրինակ է Առաջին աշ-

խարհամարտի տարիներին Ալբերտ Այնշտայնի կատարած անսպասելի և

կարևորագույն մի հայտնագործություն, որը ցնցել է աշխարհի բոլոր աստղա-

գետներին, ֆիզիկոսներին և մաթեմատիկոսներին: Ելնելով իր իսկ ստեղծած

հարաբերականության ընդհանուր տեսության դրույթներից՝ Այնշտայնը մաթե-

մատիկական ճշգրիտ հաշվարկներով պարզել է, որ լույսի ճառագայթն ուժեղ

գրավիտացիոն դաշտերում պետք է շեղվի իր տարածման սկզբնական ուղղու-

թյունից և« անցնելով աստղերի (օրինակ՝ Արեգակի) մոտով« պետք է ՙձգվի՚ վեր-

ջիններից:

Այս վարկածն ստուգելու նպատակով անգլիական աստղագիտական ընկե-

րությունը կազմակերպել է գիտական արշավախումբ: Իսկ վարկածը կարե-

լի էր ստուգել միայն Արեգակի լրիվ խավարման ժամանակ, որը սպասվում էր

1919 թվականին, Հարավային Աֆրիկայի անապատներում: Չէ± որ միայն այդ

դեպքում կարելի էր տեսնել այն աստղը, որից եկող լույսի ճառագայթը շեղվում

է՝

անցնելով Արեգակի մոտով: Եվ այդ փորձնական ստուգումը հաստատել է

Այնշտայնի վարկածը: Մեծ գիտնականի հայտնագործությունն ավելորդ անգամ

վկայել է, որ մաթեմատիկան կարող է օգտագործվել որպես մարդկային մտքի

ստեղծագործական հզորությունն ապացուցող հրաշալի միջոց:

ՖԻԶԻԿԱ 10

ԿԻՆԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՀԻՄՈՒՆՔՆԵՐԸ

ԳԼՈՒԽ II

ԸՆԴՀԱՆՈՒՐ ՏԵՂԵԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

ՇԱՐԺՄԱՆ ՄԱՍԻՆ

ՄԵԽԱՆԻԿԱԿԱՆ ՇԱՐԺՈՒՄ:

ՄԵԽԱՆԻԿԱՅԻ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ԽՆԴԻՐԸ

Շարժումը մատերիայի հիմնական հատկություններից է: Լայն իմաստով

ՙշարժում՚ ասելով ընդհանրապես հասկանում են մատերիայի ամեն մի փոփո-

խություն: Բնական գիտությունների ուսումնասիրության առարկան մատերիայի

շարժման տարբեր ձևերն են: Ֆիզիկան« օրինակ« ուսումնասիրում է մատերիայի

շարժման մի քանի՝ առավել ընդհանուր ձևերը և անցումները մի ձևից մյուսին: Ֆի-

զիկայի յուրաքանչյուր բաժին ուսումնասիրում է մատերիայի շարժման որոշակի

ձև՝ մեխանիկական, մոլեկուլային, էլեկտրամագնիսական, միջուկային և այլն:

Մատերիայի շարժման ձևերից պարզագույնը մեխանիկական շարժումն

է: Ինչպես բնության յուրաքանչյուր երևույթի, այնպես էլ մեխանիկական շարժ-

ման օրենքների ուսումնասիրման հիմքում դիտումներն են, փորձը, մարդու պրակ-

տիկ գործունեությունը: Դիտելով մեր շրջապատը՝ կարող ենք տեսնել, օրինակ, որ

մարդիկ քայլում են փողոցներով, ավտոմեքենաները սլանում են մայրուղիներով,

ամպերը լողում են երկնքում, ինքնաթիռը թռչում է, ջուրը թափվում է, խնձորն

ընկնում է, բիլիարդի գնդիկը գլորվում է սեղանի վրայով, զսպանակից ամրաց-

ված բեռը տատանվում է և այլն: Նշված և էլի շատ բառերի փոխարեն հաճախ

օգտագործում են միևնույն բառն ու պարզապես ասում, որ այդ մարմինները շարժ-

վում են: Իսկ ի՞նչն է ընդհանուրն այդ մարմինների վարքագծում, որ մեզ նման

եզրահանգում անելու հնարավորություն է տալիս: Ընդհանուրն այն է, որ փոխ-

վում է մի մարմնի դիրքը այլ մարմինների նկատմամբ: Մարդը, ավտոմեքենան, ամ-

պը, ինքնաթիռը, խնձորը փոխում են իրենց դիրքը Երկրի նկատմամբ: Բիլիարդի

գնդիկը փոխում է իր դիրքը սեղանի նկատմամբ, զսպանակից ամրացված բեռը՝

կախման կետի նկատմամբ և այլն: Այս օրինակներից հետևում է մի շատ կարևոր

պնդում. մարմինները կարող են ժամանակի ընթացքում փոխել իրենց դիրքերն

այլ մարմինների նկատմամբ:

Դիտարկենք այլ օրինակներ: Զինվորը քայլում է տեղում: Այս դեպքում փո-

փոխվում են զինվորի ձեռքերի և ոտքերի դիրքերը նրա իրանի նկատմամբ: Աշա-

կերտն օդամղիչ պոմպով փչում է հեծանվի անվադողը: Պոմպի իրանի նկատմամբ

անընդհատ փոխվում է բռնակի դիրքը: Հրշեջ ավտոմեքենան բարձրացնում է

շարժասանդուղքը: Միմյանց նկատմամբ դիրքերը փոխում են շարժասանդուղքի

ԳԼՈՒԽ

II. ԿԻՆԵՄԱՏԻԿԱ

առանձին մասերը: Այս օրինակներից հետևում է երկրորդ կարևոր պնդումը՝ միմ-

յանց նկատմամբ դիրքերը կարող են փոխել նաև մարմնի մասերը:

Փորձերից ու դիտումներից ստացված հենց այս երկու արդյունքներն էլ ըն-

կած են մեխանիկական շարժման սահմանման հիմքում: Մեխանիկական շար-

ժում կոչվում է ժամանակի ընթացքում տարածության մեջ մարմնի դիրքի

փոփոխությունն այլ մարմինների կամ մարմնի մասերի դիրքերի փոփո-

խությունը միմյանց նկատմամբ:

Ֆիզիկայի այն բաժինը, որն ուսումնասիրում է մարմինների մեխանիկական

շարժումը, կոչվում է մեխանիկա: Մեխանիկայի հիմնական խնդիրը մարմնի դիր-

քը տարածության մեջ ժամանակի կամայական պահին որոշելն է:

Առաջին հայացքից թվում է՝ խնդիրը միանգամայն հասկանալի է և կա-

րելի է անմիջապես անցնել դրա լուծմանը, սակայն այդպես չէ© անհրաժեշտ է

պարզաբանել խնդրի ձևակերպման մեջ մտնող հասկացությունները: Օրինակ՝

ինչպիսի՞ մարմինների շարժումն

է ուսումնասիրում մեխանիկան, ինչպե՞ս

տրվում մարմնի դիրքը տարածության մեջ, ինչպե՞ս է նշվում ժամանակի պահը և,

վերջապես, որ ամենակարևորն է, ի՞նչ է նշանակում լուծել մեխանիկայի հիմնա-

կան խնդիրը, այսինքն՝ ի՞նչ ենք ուզում ստանալ խնդրի լուծման արդյունքում: Այս

բոլոր հարցերի պատասխանները կստանանք հաջորդ պարագրաֆներում:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Բերե°ք օրինակ, երբ երկու մարմին իրար նկատմամբ փոխում են իրենց դիրքերը: 2. Բե-

րե°ք օրինակ, երբ մարմնի մասերն են իրար նկատմամբ փոխում իրենց դիրքերը: 3. Ի՞նչն

են անվանում մեխանիկական շարժում: 4. Ձևակերպե°ք մեխանիկայի հիմնական խնդիրը:

5. Ի՞նչ անհասկանալի արտահայտություններ կան մեխանիկայի հիմնական խնդրի ձև-

ակերպման մեջ:

ՀԱՇՎԱՐԿՄԱՆ ՄԱՐՄԻՆ: ՀԱՇՎԱՐԿՄԱՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ:

ՄԱՐՄՆԻ ԴԻՐՔԸ ՏԱՐԱԾՈՒԹՅԱՆ ՄԵՋ

Մեխանիկական շարժման սահմանումից հետևում է, որ այն ուսումնասիրելու

համար ենթադրում է առնվազն երկու մարմնի առկայություն: Դրանցից մեկը պայ-

մանականորեն ընդունվում է անշարժ, իսկ մյուս մարմնի դիրքը որոշվում է հենց

այդ մարմնի նկատմամբ« որն ընդունված է անվանել հաշվարկման մարմին. հաշ-

վարկման մարմին կոչվում է այն մարմինը, որի նկատմամբ դիտարկում են

այլ մարմինների դիրքերը:

Եթե մարմնի դիրքը փոխվում է հաշվարկման մարմնի նկատմամբ, ապա

ասում են, որ այն շարժվում է:

Հաշվարկման ու շարժվող մարմինները համարժեք են© նրանցից յուրաքան-

չյուրը, նպատակահարմարությունից ելնելով, կարող է դիտարկվել թե° որպես

հաշվարկման և թե° որպես շարժվող մարմին: Օրինակ՝ եթե ճամփեզրին կանգնած

մարդն ասում է, որ ավտոմեքենան սլանում է մայրուղով, ապա նա որպես հաշ-

վարկման մարմին ընդունում է Երկիրը, որի նկատմամբ ինքն անշարժ է: Իսկ երբ

նա նստած է մայրուղով սլացող ավտոմեքենայում և ասում է, որ ճամփեզրի սյունե-

րը մեծ արագությամբ անցնում են պատուհանի մոտով, ապա նա կրկին իրավացի

ՖԻԶԻԿԱ 10

է: Պարզապես այս դեպքում նա որպես հաշվարկման մարմին ընդունում է ավտո-

մեքենան, որի նկատմամբ ինքն անշարժ է, իսկ որպես շարժվող մարմին՝ Երկիրը:

Այսպիսով՝ հաշվարկման մարմնի ընտրությունը կամայական

է: Հաշ-

վարկման մարմին կարող է լինել յուրաքանչյուր մարմին՝ ավտոմեքենան, որով

ճանապարհորդում եք, Երկիրը, որի վրա կանգնած եք, Արեգակը, աստղերը և այլն,

ընդ որում« հաշվարկման մարմինն ընտրվում է այնպես, որ շարժումն առավել պարզ

տեսք ունենա: Օրինակ՝ մարդկանց, ավտոմեքենաների, ինքնաթիռների շարժումը

հարմար է դիտարկել Երկրի նկատմամբ՝ այն համարելով անշարժ: Իսկ Երկրի և

մյուս մոլորակների շարժումը հարմար է դիտարկել Արեգակի նկատմամբ: Երկրա-

մերձ ուղեծրով տիեզերանավի շարժումը հարմար է դիտարկել Երկրի նկատմամբ

(նկ. 1, ա), իսկ նրա թռիչքը դեպի այլ մոլորակ՝ Արեգակի նկատմամբ (նկ. 1« բ):

Մարմնի դիրքը տարածության մեջ և այդ դիրքի փոփոխությունը ժամանակի

ընթացքում նկարագրելու համար անհրաժեշտ են ժամանակատվածներ և հեռա-

վորություններ չափող գործիքներ և սարքեր: Հաշվարկման մարմնից և նրա հետ

կապված հեռավորություններ ու ժամանակ չափող գործիքներից կազմված համա-

կարգը մեխանիկայում անվանում են հաշվարկման համակարգ:

Կամայական մեխանիկական շարժում դիտարկվում է հաշվարկման որևէ

համակարգում: Միևնույն շարժումը կարելի է դիտարկել տարբեր հաշվարկման

համակարգերում, ընդ որում« դրանց շարժումը տեղի է ունենում տարբեր ձևերով:

Օրինակ՝ 1« ա նկարում տիեզերանավը Երկրի հետ կապված հաշվարկման համա-

կարգում շարժվում է շրջանաձև ուղեծրով, իսկ Արեգակի հետ կապված հաշվարկ-

ման համակարգում՝ Երկրի ուղեծրին ՙփաթաթված՚ պարույրագծով (նկ. 2):

Նկ©1© ա© Տիեզերանավը երկրամերձ ուղեծրում«

Նկ© 2© Տիեզերանավի շարժումն

բ© տիեզերանավի թռիչքը դեպի Հրատ

Արեգակի նկատմամբ

Այն փաստը, որ շարժվող մարմնի վարքագիծը կախված է հաշվարկման հա-

մակարգի ընտրությունից, նշանակում է, որ մեխանիկական շարժումը հարաբե-

րական է: Հետևաբար՝ շարժման վերաբերյալ որևէ խնդիր լուծելիս առաջին հերթին

պետք է նշել այն համակարգը, որտեղ նկարագրվում է մարմնի շարժումը: Նկա-

րագրել շարժումը՝ նշանակում է գտնել մեծություններ, որոնք հնարավորություն են

տալիս պատասխանելու շարժման առանձնահատկությունների ու արդյունքի վե-

րաբերյալ հարցերին: Մեխանիկայի այն բաժինը, որն ուսումնասիրում է մեխանի-

կական շարժման քանակական նկարագրության ձևերն ու եղանակները՝ առանց

քննարկելու դրանք առաջացնող պատճառները, կոչվում է կինեմատիկա:

Մարմնի դիրքը որոշելը բարդ խնդիր է, քանի որ մարմնի տարբեր մասեր

տարածության մեջ տարբեր դիրքեր են գրավում: Սակայն« կախված խնդրի պայ-

մաններից, շատ դեպքերում կամ մարմինը կարելի է դիտարկել որպես կետ, կամ

ԳԼՈՒԽ

II. ԿԻՆԵՄԱՏԻԿԱ

բավական է որոշել մարմնի որևէ կետի դիրքը« և մյուս կետերի դիրքերը կորոշվեն

միարժեքորեն: Ուստի՝ սկզբում կդիտարկենք ավելի պարզ՝ տարածության մեջ կե-

տի դիրքը որոշելու խնդիրը: Ի վերջո, եթե կարողանում ենք որոշել կետի դիրքը,

ապա մարմնի դիրքը կարելի է որոշել՝ տալով նրա բոլոր կետերի դիրքերը:

Հաշվարկման մարմին ընտրելուց հետո նրա հետ կապում են կոորդինատա-

յին համակարգ և կետի դիրքը տարածության մեջ ներկայացնում են թվերի (կոոր-

դինատների) միջոցով:

Հաճախ օգտագործում են կոորդինատային եղանակը, երբ մարմնի դիրքը

տարածության մեջ որոշելու համար հաշվարկման մարմնի հետ կապում են ուղ-

ղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգ: Մարմնի դիրքի որոշումն

այս համակարգում կատարվում է մոտավորապես այնպես, ինչպես որոշվում է

առարկաների դիրքը սենյակում:

Հաշվարկման մարմնի որևէ կետ համարում են հաշ-

վարկման սկզբնակետ և այդ կետով տանում կոորդինատ-

ների երեք փոխուղղահայաց առանցքներ՝ OX, OY և OZ:

Մարմնի յուրաքանչյուր կետի դիրքը որոշվում է նրա x, y

և z կոորդինատներով (նկ. 3): M կետի z կոորդինատը նրա

հեռավորությունն է XY հարթությունից, ընդ որում, կոոր-

դինատը դրական է, եթե M կետն OZ առանցքի դրական

կողմում է, և բացասական՝ հակառակ դեպքում: Նման

Նկ. 3© Կետի կոորդի-

նատներն ուղղանկյուն

ձևով x և y կոորդինատները M կետի հեռավորություններն

դեկարտյան կոորդինա-

են« համապատասխանաբար« YZ և XZ հարթություննե-

տային համակարգում

րից: Այսպիսով՝ կետի դիրքը տարածության մեջ որոշում

են երեք կոորդինատով:

Եթե մարմինը շարժվում է մի հարթության մեջ (օրի-

նակ՝ նավակը՝ լճում), ապա բավական է ընտրել երկու

կոորդինատային առանցք (նկ. 4): Այս դեպքում մարմնի

դիրքը որոշում են երկու կոորդինատով© x կոորդինատը

նրա հեռավորությունն է Y առանցքից, իսկ y կոորդինա-

Նկ. 4. Կետի կոորդինատ-

տը՝ հեռավորությունն X առանցքից՝ վերցրած համապա-

ները հարթության վրա

տասխան նշանով:

Եթե մարմինը շարժվում է ուղիղ գծի երկայնքով,

ապա կոորդինատային առանցքներից մեկն ուղղելով այդ

Նկ. 5© Կետի

ուղղով՝ մարմնի դիրքը կամայական պահի կարելի է որո-

կոորդինատն ուղղի վրա

շել մեկ կոորդինատով (նկ. 5):

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ի՞նչն են անվանում հաշվարկման մարմին: 2. Ինչի±ց է կազմված հաշվարկման համա-

կարգը: 3. Բերե°ք օրինակ, որտեղ շարժվող մարմնի վարքագիծը տարբեր հաշվարկման

համակարգերում տարբեր է: 4. Ի՞նչ է նշանակում մեխանիկական շարժման հարաբե-

րականությունը: 5. Ինչո±վ է պայմանավորված տարածական մարմնի դիրքի որոշման

դժվարությունը:

7. Ինչպե՞ս

են ստանում ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատական

համակարգը: 8. Ի՞նչ են ցույց տալիս մարմնի x, y և z կոորդինատները: 9. Ո±ր դեպքում

մարմնի դիրքը կարելի է որոշել՝ ա) երկու կոորդինատով, բ) մեկ կոորդինատով:

ՖԻԶԻԿԱ 10

ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ՎԵԿՏՈՐՆԵՐՈՎ

Ֆիզիկայում օգտագործվում են տարբեր բնույթի մեծություններ:

Սկալյար մեծություններ կամ սկալյարներ կոչվում են այն ֆիզիկական մե-

ծությունները, որոնք բնութագրվում են միայն թվային արժեքով՝ արտահայտված

համապատասխան միավորով: Այդպիսի մեծությունների օրինակներ են ծավալը«

ջերմաստիճանը, ժամանակը« երկարությունը, զանգվածը, էներգիան և այլն: Սկա-

լյարներով գործողությունները մաթեմատիկայի դասընթացից հայտնի հանրա-

հաշվական գործողություններն են՝ գումարումը, հանումը, բազմապատկումը, բա-

ժանումը, աստիճան բարձրացնելը, արմատ հանելը, լոգարիթմելը և այլն:

Այն ֆիզիկական մեծությունները, որոնք բնութագրվում են ոչ միայն թվային

արժեքով, այլև ուղղությամբ, կոչվում են վեկտորական մեծություններ կամ վեկ-

տորներ: Վեկտորը պատկերում են հատվածի տեսքով, որի ծայրակետերից մեկը

համարվում է սկզբնակետ (կամ սկիզբ), իսկ մյուսը, որը նշվում է սլաքով՝ վերջնա-

կետ (կամ վերջ): Հատվածի երկարությունն ընտրված մասշտաբով արտահայտում

է վեկտորի մոդուլը, որը նույնպես սկալյար է: Վեկտորները նշանակում են տառե-

րով, որոնց վերևում սլաք է դրվում: Օրինակ՝ արագության վեկտորը նշանակվում է

v տառով: Նույն տառով և առանց սլաքի նշանակում են վեկտորի մոդուլը՝

=v:

Հավասար կոչվում են համուղղված և մոդուլով հավասար վեկտորները:

Վեկտորական հանրահաշվում դիտարկվում են տարբեր գործողություններ

վեկտորներով: Համառոտակի ձևակերպենք վեկտորական հանրահաշվի մի քանի

գործողություն, որոնք կօգտագործենք հետագայում:

Վեկտորների գումարումը: a և b վեկտորների վեկտորական (կամ երկրա-

չափական) գումար կոչվում է այն c = a + b վեկտորը, որը a և b գումարելի վեկ-

տորներով կառուցված զուգահեռագծի անկյունագիծն է, որ ելնում է նրանց ընդ-

հանուր սկզբնակետից (նկ. 6, ա): Գումար վեկտորը գտնելու այս եղանակը հայտնի

է ՙզուգահեռագծի կանոն՚ անունով:

a և b վեկտորները զուգահեռագծի կանոնով գումարելու համար պետք է

դրանք զուգահեռ տեղափոխել մեկ կետ, համընկեցնելով վեկտորների սկզբնակե-

տերը, այնուհետև այդ վեկտորների վրա կառուցել զուգահեռագիծ և վերցնել գու-

մարվող վեկտորների հետ նույն սկզբնակետն ունեցող անկյունագիծը:

Վեկտորները կարելի է գումարել նաև եռանկյան կանոնով: Եթե a և b վեկ-

տորները զուգահեռ տեղափոխենք այնպես, որ b վեկտորի սկզբնակետը համընկ-

նի a վեկտորի վերջնակետին, ապա a վեկտորի սկզբնակետը b վեկտորի վերջնա-

կետին միացնող վեկտորը (նկ. 6, բ) կլինի c = a + b վեկտորական գումարը:

Նկ.6. Երկու վեկտորների գումարը

Նկ.7. Մի քանի վեկտորների գումարը

ԳԼՈՒԽ

II. ԿԻՆԵՄԱՏԻԿԱ

Նույն կերպ կարող ենք վարվել երկուսից ավելի վեկտորներ գումարելիս: Դրա

համար անհրաժեշտ է գումարելի վեկտորները զուգահեռ տեղափոխել այնպես,

որ հաջորդ վեկտորի սկզբնակետը համընկնի նախորդ վեկտորի վերջնակետին:

Ստացված բեկյալը փակող վեկտորը, որն առաջին գումարելի վեկտորի սկզբնա-

կետը միացնում է վերջին գումարելի վեկտորի վերջնակետին, կլինի տրված վեկ-

տորների գումարը (նկ. 7):

Երկու վեկտորների գումարի մոդուլը որոշում են կոսինուսների թեորեմից.

a2+b

2ab cosa

(2.1)

որտեղ a-ն a և b վեկտորներով կազմված անկյունն է: (2.1) բանաձևից հետևում

է, որ վեկտորի երկարությունը կախված է a և b վեկտորների մոդուլներից, այդ

վեկտորների կազմած a անկյան արժեքից: a և b վեկտորների գումարն ունի առա-

վելագույն մոդուլ, երբ a = 0c (a և b վեկտորները համուղղված են)՝

c=a+b,

(2.2)

և նվազագույնն է, երբ a = 180c (a և b վեկտորները հակուղղված են)՝

a-b

(2.3)

Երբ a և b վեկտորների կազմած անկյունը փոփոխվում է 0c

# a # 180cտի-

րույթում, գումար վեկտորի մոդուլը փոփոխվում է

a-b

#c#a+b

(2.4)

տիրույթում: Մասնավորապես, երբ

= a,

0 # c # 2a:

Վեկտորի բազմապատկումը սկալյարով: a վեկտորի և p սկալյարի

արտադրյալն այն c վեկտորն է, որի մոդուլը հավասար է արտադրիչների մոդուլ-

ների արտադրյալին, իսկ ուղղությունը համընկնում է վեկտորի ուղղությանը, եթե

p-ն դրական է, և վեկտորի հակադիր ուղղությանը, եթե p-ն բացասական է.

c = pa, որտեղ c =

(2.5)

Եթե p = - 1, ապա c վեկտորը մոդուլով հավասար է a վեկտորին և նրան հա-

կադիր է: a և -a վեկտորները կոչվում են հակադիր:

Վեկտորների հանումը: a և b վեկտորների տարբերությունը որոշելու հա-

մար a վեկտորին գումարում են b վեկտորի հակադիր վեկտորը՝ a - b = a + (- b):

Երկու վեկտորների տարբերությունը գտնե-

լու համար անհրաժեշտ է վեկտորները զուգահեռ

տեղափոխել այնպես, որ երկուսն էլ սկսվեն նույն

կետից: Հետո վեկտորների ծայրերը պետք է մի-

ացնել մեկ այլ վեկտորով, որն ուղղված լինի հա-

Նկ. 8. Երկու վեկտորների

տարբերությունը

նելիից դեպի նվազելին (նկ. 8):

Վեկտորների պրոյեկցիաները կոորդինատային առանցքների վրա: 9-րդ

նկարում պատկերված են X կոորդինատային առանցքը և այդ առանցքի հետ նույն

հարթության մեջ ընկած a վեկտորը: a վեկտորի A սկզբնակետից և B վերջնա-

կետից X առանցքին իջեցնենք AA₁ և BB₁ ուղղահայացները: A₁ և B₁ կետերն A

ՖԻԶԻԿԱ 10

և B կետերի պրոյեկցիաներն են X առանցքի վրա:

Առանցքի վրա վեկտորի սկզբնակետի և վերջնակե-

տի պրոյեկցիաների կոորդինատները նշանակենք«

համապատասխանաբար« x_A և x_B: a վեկտորի պրո-

յեկցիա X առանցքի վրա անվանում են x_B-x_Aտար-

բերությունը: Վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրա

նշանակում են նույն տառով, ինչ որ վեկտորի մոդուլը՝

ներքևում առանցքի պայմանանշանով, օրինակ՝ a_x:

Ինչպես երևում է 9-րդ նկարից, վեկտորի պրո-

յեկցիան կարելի է արտահայտել վեկտորի մոդուլի և

վեկտորի՝ առանցքի հետ կազմած a անկյան միջոցով՝

Նկ. 9. Վեկտորի պրոյեկցիան

ax= acosa:

(2.6)

X առանցքի վրա

Եթե a անկյունը սուր է, վեկտորի պրոյեկցիան դրական է (նկ. 9, ա), եթե բութ

է՝ բացասական (նկ. 9, բ): Եթե վեկտորն ուղղահայաց է առանցքին, ապա նրա պրո-

յեկցիան զրո է (նկ. 10, ա): Երբ վեկտորը համուղղված է առանցքին (նկ. 10, բ), նրա

պրոյեկցիան հավասար է վեկտորի մոդուլին, եթե հակուղղված է (նկ. 10, գ), ապա

նրա պրոյեկցիան հավասար է մոդուլին՝ հակառակ նշանով:

Նկ.10. Վեկտորի պրոյեկցիաների՝ հաճախ հանդիպող դեպքեր

Վեկտորների գումարի և տարբերության պրո-

յեկցիան: 11¬րդ նկարում պատկերված են a և b

վեկտորները և նրանց գումարը՝ c = a + b : Պատկեր-

ված են նաև այդ երեք վեկտորների պրոյեկցիաները

X առանցքի վրա: Սահմանումից հետևում է, որ

ax= xB- xA, bx= xC- x_B,

cx=xC x

=(x

xB)+(x

xA)=ax+b

Նկ.11. Վեկտորների գումարի

պրոյեկցիան

այսինքն՝ երկու վեկտորների գումարի պրոյեկցիան

հավասար է այդ վեկտորների պրոյեկցիաների գու-

մարին:

a վեկտորի մոդուլը և ուղղությունը միարժեքորեն

արտահայտվում են նրա պրոյեկցիաների միջոցով:

Մասնավորապես, հարթության մեջ ընկած վեկտորի

մոդուլը և նրա՝ X առանցքի հետ կազմած a անկյունը

(նկ. 12) որոշվում են հետևյալ բանաձևերով՝

Նկ.12. Վեկտորի

մեծությունը և ուղղությունը՝

արտահայտած նրա

a2+a2, tga

(2.7)

պրոյեկցիաներով

ԳԼՈՒԽ

II. ԿԻՆԵՄԱՏԻԿԱ

Երկու վեկտորների սկալյար արտադրյալ: Երկու վեկտորների սկալյար

արտադրյալը հավասար է այդ վեկտորների մոդուլների արտադրյալին՝ բազմա-

պատկած նրանցով կազմված անկյան կոսինուսով.

a $ b = b $ a = abcosa:

(2.8)

Սահմանումից հետևում է, որ սկալյար արտադրյալը հանրահաշվական մե-

ծություն է: Նրա նշանը կախված է արտադրիչ վեկտորներով կազմված անկյունից:

Եթե անկյունը սուր է, սկալյար արտադրյալը դրական է, եթե բութ է՝ բացասական:

Փոխուղղահայաց վեկտորների սկալյար արտադրյալը զրո է:

Սկալյար արտադրյալը կարելի է արտահայտել արտադրիչ վեկտորների

պրոյեկցիաների միջոցով.

ab cosa=

axbx+ayby+azbz

(2.9)

Երկու վեկտորների վեկտորական արտադրյալ: a և b վեկտորների

վեկտորական արտադրյալ կոչվում է այն c վեկտորը, որը բավարարում է հե-

տևյալ պայմանները:

1. c վեկտորի մոդուլը հավասար է a և b վեկտորների մոդուլների

արտադրյալին՝ բազմապատկած նրանցով կազմված a անկյան սինուսով.

c = absina,

2. c վեկտորն ուղղահայաց է a և b վեկտոր-

ներից յուրաքանչյուրին, հետևաբար՝ նաև նրանցով

կազմված հարթությանը:

3. c վեկտորի ուղղությունը որոշվում է աջ ձեռ-

քի կանոնով. եթե աջ ձեռքը պահենք այնպես, որ

ցուցամատը ուղղված լինի a վեկտորի, իսկ ափին

Նկ©13. Աջ ձեռքի կանոնը

ուղղահայաց ծալված միջնամատը՝ b վեկտորի

ուղղությամբ, ապա 90-ով բացված բութ մատը ցույց կտա վեկտորի ուղ-

ղությունը (նկ.13):

Վեկտորական արտադրյալը նշանակվում է այսպես.

c = a # b կամ c = 6a,b@:

Սահմանումից հետևում է, որ վեկտորական արտադրյալի մոդուլը կախ-

ված է արտադրիչ վեկտորներով կազմված անկյունից: Եթե վեկտորներն

ուղղված են մի ուղղով (համուղղված կամ հակուղղված են), ապա վեկտորա-

կան արտադրյալը զրո է, իսկ արտադրյալի մոդուլն առավելագույնն է, եթե

վեկտորները փոխուղղահայաց են:

Ի տարբերություն սկալյար արտադրյալի՝ արտադրիչների տեղերը փո-

խելիս վեկտորական արտադրալը փոխում է իր նշանը՝

a#b=-b#a:

(2.10)

Վեկտորական արտադրյալի պրոյեկցիաները որոշվում են հետևյալ բա-

նաձևերով.

aybz azby, cy= azbx axbz, cz= axby aybx:

(2.11)

ՖԻԶԻԿԱ 10

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ո±ր մեծությունն

են անվանում սկալյար: 2. Ի՞նչն են անվանում երկու վեկտորների

երկրաչափական գումար: 3. Ինչպե՞ս է որոշվում համուղղված վեկտորների գումարի

մոդուլը: 4. Ինչպե՞ս

է որոշվում հակուղղված վեկտորների գումարի մոդուլը: 5. Վեկ-

տորի պրոյեկցիան արտահայտ°ք նրա ծայրակետերի կոորդինատներով: 6. Վեկտորի

պրոյեկցիան արտահայտե°ք նրա մոդուլի և վեկտորի՝ առանցքի հետ կազմած անկյան

միջոցով: 7. Ինչպե՞ս է որոշվում երկու վեկտորների՝ ա) գումարի պրոյեկցիան, բ) տար-

բերության պրոյեկցիան:

8. Սահմանե°ք

երկու վեկտորների սկալյար

արտադրյալը:

9. Ինչպիսի՞ մեծություն է սկալյար արտադրյալը: 10. Սահմանե°ք երկու վեկտորների վեկ-

տորական արտադրյալը: 11. Ինչպիսի՞ մեծություն է վեկտորական արտադրյալը: 12. Ի՞նչ

հատկությամբ է օժտված երկու վեկտորների՝ ա) սկալյար արտադրյալը, բ) վեկտորական

արտադրյալը: 13. Երկու վեկտորների վեկտորական արտադրյալն արտահայտե°ք այդ վեկ-

տորների պրոյեկցիաներով:

ՇԱՌԱՎԻՂ - ՎԵԿՏՈՐ: ՀԵՏԱԳԻԾ: ՃԱՆԱՊԱՐՀ

Ուղղանկյուն

դեկարտյան կոորդինատային

համակարգը լայնորեն կիրառվում է շնորհիվ իր

պարզության: Սակայն պրակտիկ շատ խնդիրնե-

րում դժվար, երբեմն էլ անհնար է որոշել մարմնի

դեկարտյան կոորդինատները: Պատկերացրեք,

թե ինչ դժվարություններ կունենաք, եթե« լինելով

Երևանում, փորձեք, օրինակ, Վանաձոր քաղաքի

դիրքը նկարագրել օգտվելով այդ համակարգից:

Ինչպե՞ս ընտրեք կոորդինատային հարթություննե-

րը, ինչպե՞ս որոշեք Վանաձորի հեռավորություն-

ներն

այդ կոորդինատային հարթություններից,

եթե դրանց միջև կան լեռներ, ձորեր ու անտառներ:

Բայց բավական է վերցնեք Հայաստանի քարտե-

զը (նկ. 14)« և հեշտությամբ կորոշեք, որ Վանաձորը

Երևանի հյուսիսում է՝ 70 կմ հեռավորությամբ:

Նկ.14. Վանաձոր քաղաքի դիրքը

Տեղանքի քարտեզը կազմելու համար գեոդե-

զիստը կողմնացույցի և այլ սարքերի միջոցով որոշում է դեպի մարմին ուղղությու-

նը, և հաշվարկման կետից չափում մարմնի հեռավորությունը չափերիզի, հեռաչա-

փի կամ այլ սարքի միջոցով: Ռադիոտեղորոշիչը« հայտնաբերելով թռչող օբյեկտ,

որոշում է նրա շարժման ուղղությունը և հեռավորությունը:

Բերված բոլոր օրինակներում մարմնի դիրքը ցույց տալու համար նշվում է

երկու հատկանիշ՝ ուղղություն և մեծություն: Ինչպես արդեն գիտեք, ուղղությամբ

և մեծությամբ բնութագրվում են վեկտորական մեծությունները: Ուրեմն՝ նշված բո-

լոր դեպքերում մենք գործ ունենք վեկտորական ֆիզիկական մեծության հետ: Դա

հաշվարկման սկզբնակետը մարմնի դիրքին միացնող վեկտորն է (նկ. 15), որն ու-

նի հատուկ անվանում՝ շառավիղ-վեկտոր: Շառավիղ-վեկտոր կոչվում է հաշ-

վարկման սկզբնակետը մարմնի դիրքին միացնող ուղղորդված հատվածը:

Շառավիղ-վեկտորի ուղղությունը հաշվարկման սկզբնակետը մարմնի դիրքին

միացնող ուղղությունն է, իսկ մոդուլը՝ մարմնի հեռավորությունն է սկզբնակետից:

ԳԼՈՒԽ

II. ԿԻՆԵՄԱՏԻԿԱ

Շառավիղ-վեկտորով մարմնի դիրքի ներկայաց-

ման եղանակը կոչվում է վեկտորական եղանակ:

Հարթության մեջ շառավիղ-վեկտորի ուղղությու-

նը որոշվում է ընտրված որևէ ուղղության, օրինակ՝ OX

առանցքի հետ նրա կազմած { անկյունով (նկ. 16): Տա-

Նկ.15. M կետի

րածության մեջ շառավիղ-վեկտորի ուղղությունը որոշե-

շառավիղ-վեկտորը

լու համար տրվում է երկու անկյուն:

Այսպիսով, կոորդինատական եղանակից բացի,

մարմնի դիրքը կարելի է նկարագրել նաև վեկտորական

եղանակով: Կախված ուսումնասիրվող խնդրի բնույթից՝

կարող ենք օգտվել այդ եղանակներից յուրաքանչյու-

րից: Ցույց տանք, որ անհրաժեշտության դեպքում կա-

րող ենք նաև մի եղանակից անցնել մյուսին:

Նկ.16. Շառավիղ-

Դիցուք՝ հայտնի են մի հարթության մեջ շարժվող

վեկտորի երկարության ու

մարմնի x և y կոորդինատները (նկ. 16): Որոշենք նրա

մոդուլի կապը դեկարտյան

շառավիղ-վեկտորի r մոդուլը և OX առանցքի հետ կազ-

կոորդինատների հետ

մած { անկյունը: OMN եռանկյունից՝

x2+y2, tg{

(2.12)

Եթե հայտնի են շառավիղ-վեկտորի r մոդուլը և OX առանցքի հետ կազմած {

անկյունը, ապա կարելի է որոշել մարմնի կոորդինատները: Իրոք, նույն եռանկյու-

նից երևում է, որ մարմնի կոորդինատները նրա շառավիղ-վեկտորի պրոյեկցիա-

ներն են համապատասխան կոորդինատային առանցքների վրա՝

x=r =rcos{, y=r

=r sin{:

(2.13)

Ուրեմն՝ եթե մարմնի դիրքը որոշված է կոորդինատային եղանակով, ապա

(2.11)-(2.13) բանաձևերով այն կարելի որոշել նաև վեկտորական եղանակով և հա-

կառակը: Այս հնարքից հաճախ կօգտվենք՝ ամեն անգամ ընտրելով այն եղանակը,

որն առավել պարզ ու հարմար է տվյալ խնդրի լուծման համար:

Հետագիծ: Մարմինն իր շարժման ընթացքում անցնում է որոշակի կետերով:

Այդ կետերի բազմությունը կազմում է որոշակի գիծ, որն անվանում են մարմնի

շարժման հետագիծ: Հետագիծ կոչվում է այն կետերի բազմությունը (կետերի

երկրաչափական տեղը), որոնցով տվյալ հաշվարկման համակարգում հաջոր-

դաբար անցնում է մարմինը շարժման ընթացքում:

Որոշ դեպքերում մարմնի շարժման ընթացքում հետագիծը կարող է տեսանելի

լինել: Եթե շարժվող մարմինը հետք է թողնում, ինչպես, օրինակ« դահուկորդը՝ ձյան

վրա, կավիճը՝ գրատախտակին, վրձինը՝ կտավի վրա և այլն, ապա հետագիծը

հենց այդ հետքն է: Այլ դեպքերում, օրինակ« նետված գնդակի, չոր ճանապարհով

ընթացող մեքենայի, թռչունների, մոլորակների շարժման հետագծերը չեն երևում:

Մարմնի դիրքի որոշման վեկտորական եղանակի դեպքում հետագիծը ժամանակի

տարբեր պահերին պատկերված շառավիղ-վեկտորի ծայրակետերի երկրաչափա-

կան տեղն է (նկ. 17):

ՖԻԶԻԿԱ 10

Կոորդինատային եղանակի դեպքում հետագիծը կա-

րելի է ստանալ ժամանակի տարբեր պահերին համապա-

տասխան կոորդինատներով կետերը պատկերելով (նկ. 18),

որը, ինչպես հայտնի է մաթեմատիկայի դասընթացից, x-ից

y-ի կախումն արտահայտող ֆունկցիայի գրաֆիկն է: Եթե,

օրինակ, մարմինը շարժվում է այնպես, որ ժամանակի կա-

Նկ.17. Հետագիծը

մայական պահի նրա y կոորդինատն ուղիղ համեմատա-

վեկտորական

կան է x-ին, ապա մարմնի շարժման հետագիծը կլինի ուղիղ

եղանակի դեպքում

գիծ, եթե x 2-ուն՝ ապա պարաբոլ և այլն:

Հետագիծը շարժումն

ամբողջությամբ նկարագրող

առաջին կարևորագույն բնութագիրն է: Մեխանիկական

խնդիրների լուծման կարևոր փուլերից մեկը շարժման հե-

տագծի որոշումն է: Հետագծի տեսքը կախված է այն հաշ-

վարկման համակարգի ընտրությունից, որտեղ դիտարկ-

վում է մարմնի շարժումը: Այսպես՝ ավտոմեքենայի հետ

Նկ.18. Հետագիծը

կապված հաշվարկման համակարգում նրա անիվի C կենտ-

կոորդինատային

րոնը դադարի վիճակում է, իսկ B և A կետերի հետագծերը

եղանակի դեպքում

շրջանագծեր են՝ համապատասխանաբար« CB և CA շառա-

վիղներով (նկ. 19): Երկրի հետ կապված հաշվարկման համակարգում C կետի հե-

տագիծն ուղիղ գիծ է, իսկ B և A կետերի հետագծերն ունեն 19-րդ նկարում պատ-

կերված բարդ տեսքը:

Նկ.19. Անիվի մի քանի կետերի հետագծերը

Երբեմն մարմինների շարժման հետագծերը նախապես հայտնի են լինում:

Այսպես՝ երկաթուղին ամբողջությամբ որոշում է գնացքի շարժման հետագիծը,

մայրուղին՝ ավտոմեքենայի, գետի հունը՝ շոգենավի և այլն: Այդ պատճառով ըն-

դունված է հետագիծ անվանել նաև այն գիծը, որով պետք է շարժվի մարմինը:

Եթե ուշադրություն դարձնեք, ապա մայրուղիների ճամփեզրին կնկատեք սյուներ,

որոնց վրա թվեր են գրված: Այդ թվերը ցույց են տալիս մայրուղու սկզբից (սկզբնա-

կետից) մինչև տվյալ սյունը հեռավորությունը, այսինքն՝ տվյալ կետի դիրքը:

Այսպիսով՝ նախապես հայտնի հետագծերով շարժումների դեպքում մարմնի

դիրքը նշելու համար բավական է հետագծի որևէ O կետ համարել հաշվարկման

սկզբնակետ (նկ. 20) և նշել այդ կետի ու մարմնի

դիրքի միջև հեռավորությունը՝ հետագծի երկայն-

քով: Ըստ որում, O կետի մի կողմում ընկած կետե-

րի հեռավորությունները պայմանականորեն կհա-

մարվեն դրական, իսկ հակառակ կողմի կետերի

Նկ.20. Մարմնի դիրքի տրման

հեռավորությունները՝ բացասական: Սկզբնակե-

բնական եղանակը

ԳԼՈՒԽ

II. ԿԻՆԵՄԱՏԻԿԱ

տից հետագծի երկայնքով մինչև մարմնի դիրքը l հեռավորությունը, վերց-

րած համապատասխան նշանով, կոչվում է դիրքաթիվ:

Դիրքաթվի միջոցով մարմնի դիրքը որոշելու այս՝ երրորդ եղանակը կոչվում է

բնական եղանակ:

Ճանապարհ: Եթե հայտնի է հետագծի յուրաքանչյուր կետի դիրքաթիվը,

ապա կարող ենք ոչ միայն որոշել մարմնի դիրքը հետագծի վրա, այլ նաև հաշվել

շարժման ընթացքում հետագծի երկայնքով մարմնի անցած հեռավորությունը«

որը կոչվում է ճանապարհ:

Եթե դիտարկվող ժամանակահատվածում

մարմնի շարժման ուղղությունը չի

փոխվում

(նկ. 21« ա), ապա մարմնի անցած s ճանապարհը

հավասար է դիրքաթվի փոփոխության մոդու-

լին. s

: Իսկ եթե այդ ընթացքում շարժ-

Նկ.21. Ճանապարհը հետագծի

ման ուղղությունը փոխվում է, ապա դիտարկվող

երկարությունն է:

ժամանակահատվածը պետք է բաժանել այն-

պիսի ժամանակահատվածների, որոնց ընթացքում շարժման ուղղությունը մնացել

է անփոփոխ, հաշվել մարմնի անցած ճանապարհներն այդ ժամանակահատված-

ներից յուրաքանչյուրում և դրանք գումարել: Օրինակ՝ եթե մարմինը, շարժվելով մի

ուղղությամբ (նկ. 21, բ), A կետից հասել է C կետը՝ անցնելով s₁ ճանապարհ, այնու-

հետև փոխել է շարժման ուղղությունը և հասել B կետը՝ անցնելով s₂ ճանապարհ,

ապա ամբողջ շարժման ընթացքում մարմնի անցած ճանապարհը՝ s = s₁ + s₂:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ի՞նչն են անվանում շառավիղ-վեկտոր: 2. Ո±րն է շառավիղ-վեկտորի՝ ա) ուղղությունը,

բ) մեծությունը: 3. Ինչպե՞ս է տրվում շառավիղ-վեկտորի ուղղությունը հարթության մեջ:

4. Մարմնի դիրքի տրման վեկտորական եղանակի դեպքում մարմնի դիրքը որոշվում է

շառավիղ-վեկտորի ուղղությամբ և մեծությամբ: Չի± հակասում արդյոք սա տարածության

եռաչափության հատկությանը: 5. Ի՞նչն են անվանում մարմնի շարժման հետագիծ: 6. Բե-

րե°ք շարժման օրինակներ, որտեղ մարմնի հետագիծը՝ ա) տեսանելի է, բ) տեսանելի չէ:

7. Ինչպե՞ս է որոշվում մարմնի հետագիծը նրա դիրքի նկարագրման՝ ա) վեկտորական« բ)

կոորդինատային եղանակի դեպքում: 8. Կախվա±ծ է արդյոք հետագծի տեսքը հաշվարկ-

ման համակարգի ընտրությունից: Պատասխանը հիմնավորե°ք: 9. Ո±ր մեծությունն են

անվանում դիրքաթիվ: 10. Ի՞նչն են անվանում մարմնի անցած ճանապարհ:

ՏԵՂԱՓՈԽՈՒԹՅՈՒՆ: ՇԱՐԺՄԱՆ ՕՐԵՆՔ:

ՇԱՐԺՈՒՄՆԵՐԻ ԴԱՍԱԿԱՐԳՈՒՄԸ ԸՍՏ ՀԵՏԱԳԾԻ

ՁԵՎԻ ԵՎ ԸՍՏ ՇԱՐԺՄԱՆ ՕՐԵՆՔԻ

Տեղափոխություն: Մեխանիկական շարժման սահմանումից բխում է, որ

շարժման արդյունքը մարմինների փոխադարձ դիրքի փոփոխությունն է:

Սովորաբար եթե ուզում ենք ցույց տալ, թե ինչ է տեղի ունեցել շարժման

հետևանքով, ապա դա անում ենք երկու եղանակով:

1. Նշում ենք, թե սկզբնական դիրքից ո՞ր ուղղությամբ և որքա՞ն է տեղափոխ-

վել մարմինը շարժման հետևանքով: Օրինակ՝ ասում ենք, որ երկրապահ ջոկա-

տը 20 կմ-անոց մանևր կատարեց դեպի հարավ-արևելք, քամին ձկնորսական նա-

ՖԻԶԻԿԱ 10

վը հեռացրեց ափից 5 կմ դեպի հյուսիս, ալեհավաքը 15 մետր վերև բարձրացրին,

ճոճանակը 15 սմ շեղեցին դեպի ձախ ու բաց թողեցին և այլն:

2. Պարզապես ասում ենք« թե ու՞ր է հասել մարմինը շարժման վերջում, ընդ

որում« այս դեպքում ենթադրվում է, որ շարժման վերջնակետի դիրքն սկզբնական

դիրքի նկատմամբ հայտնի է: Օրինակ՝ կարող ենք ասել, որ Փարիզ-Երևան չվերթ

կատարող ինքնաթիռը վայրէջք կատարեց ՙԶվարթնոց՚ օդանավակայանում,

գնացքը Սոչիից ժամանեց Երևան և այլն:

Այսպիսով՝ շարժման արդյունքը որոշելու համար նորից անհրաժեշտ է տալ

մի մեծություն, որը միաժամանակ կորոշի և° ուղղություն, և° հեռավորություն:

Եթե մարմինը« շարժվելով M₀ կետից« տեղափոխվել է

M կետ, ապա մարմնի սկզբնական դիրքը վերջնական դիր-

քին միացնող M0 M վեկտորը կարող է դիտվել որպես շարժ-

ման հետևանքով կատարված դիրքի փոփոխության չափ

(նկ. 22): Այն կոչվում է տեղափոխության վեկտոր: Ժամա-

նակի ընթացքում մարմնի դիրքի փոփոխության քանակա-

կան բնութագիրը տեղափոխության վեկտորն է, որը կարճ

անվանվում է տեղափոխություն ( s ): Մարմնի սկզբնական

Նկ. 22. Տեղափոխու-

դիրքը վերջնական դիրքին միացնող վեկտորը կոչվում

թյան վեկտորը

է տեղափոխություն: Տեղափոխության վեկտորի ուղղու-

թյունը ցույց է տալիս սկզբնական դիրքից մարմնի տեղաշարժման ուղղությունը,

իսկ մոդուլը՝ այդ դիրքի և վերջնական (տվյալ պահին) դիրքի հեռավորությունը:

Ինչպես երևում է 22-րդ նկարից, տեղափոխության վեկտորն արտահայտվում

է մարմնի սկզբնական և վերջնական դիրքերի շառավիղ-վեկտորների միջոցով՝

s=r-r₀:

(2.14)

Այլ կերպ ասած՝ տեղափոխության վեկտորը շարժման հետևանքով մարմնի

շառավիղ-վեկտորի փոփոխությունն է՝ s = Dr :

Եթե հայտնի են մարմնի սկզբնական դիրքի շառավիղ-վեկտորը և տեղափո-

խությունը, ապա (2.14) բանաձևից կարելի է որոշել մարմնի վերջնական դիրքի շա-

ռավիղ-վեկտորը և կոորդինատները.

r=r0+s,

(2.15)

(2.16)

Այսպիսով, իմանալով մարմնի սկզբնական դիրքը և տեղափոխության վեկ-

տորը, (2.15) կամ (2.16) բանաձևերով կարող ենք որոշել մարմնի վերջնական դիր-

քը (կոորդինատները), այսինքն՝ լուծել մեխանիկայի հիմնական խնդիրը:

Շարժման օրենք: Մենք արդեն պատասխանել ենք երկու կարևոր հարցի,

որոնք առնչվում են տարածության մեջ մարմնի դիրքը տալուն և դիրքի փոփոխու-

թյունը քանակապես նկարագրելուն: Սակայն որոշ հարցեր, որոնք կապված են

ժամանակի ընթացքում դիրքի փոփոխության հետ, դեռ պարզաբանման կարիք ու-

նեն: Օրինակ՝ ե±րբ է մարմինը եղել տարածության այս կամ այն կետում, ինչքա±ն

ժամանակ կպահանջվի տվյալ տեղափոխությունը կատարելու համար, ինչպե՞ս է

տարածության մեջ մարմնի դիրքը փոխվում ժամանակի ընթացքում և այլն:

ԳԼՈՒԽ

II. ԿԻՆԵՄԱՏԻԿԱ

Նմանատիպ հարցերին պատասխանելու համար պետք է կարողանանք

կապ հաստատել մարմնի դիրքի փոփոխության և ժամանակի միջև: Դրա համար

նախ պետք է պայմանավորվել, թե որ պահից է սկսվում ժամանակի հաշվարկը

և ընտրել ժամանակը չափելու եղանակ: Օրինակ՝ մարզադաշտում վազքի սկիզբն

ազդարարող ազդանշանի հետ միաժամանակ գործի է դրվում վայրկենաչափը« որը

կանգնեցվում է, երբ վազորդը հասնում է վազքուղու վերջնակետին: Այս դեպքում

ժամանակի հաշվարկման սկիզբն ընտրվում է վազքն սկսելու պահը, վայրկենաչա-

փի ցուցմունքը համընկնում է վազքատարածությունն անցնելու ժամանակի հետ:

Եթե չվացուցակում կարդում ենք, որ ինքնաթիռը մեկնում է Երևանից ժամը

10⁰⁰ -ին և ժամանում Մոսկվա 12⁴⁰ -ին, ապա թռիչքի ժամանակը՝ 2 ժամ 40 րոպե,

հաշվում ենք չվերթի սկբնական և վերջնական պահերով: Այս դեպքում օգտվում

ենք օրական աստղաբաշխական ժամանակի ընդհանուր հաշվարկից:

Եթե ժամանակի հաշվարկման սկիզբն ընտրված է, ապա« հետևելով ժամա-

ցույցի ցուցմունքին, կարելի է որոշել, թե ժամանակի ո°ր պահին տարածության ո°ր

կետում է եղել մարմինը, այսինքն՝ ստանալ մարմնի դիրքը նկարագրող մեծության

(կոորդինատ, շառավիղ-վեկտոր, դիրքաթիվ) կախումը ժամանակից: Կոորդինա-

տի կախման տեսքը ժամանակից կոչվում է շարժման օրենք կամ շարժման

հավասարում:

Մարմնի շարժման օրենքը կարող է տրվել երեք ձևով. 1. աղյուսակով, որը

ցույց է տալիս մարմնի կոորդինատի արժեքները ժամանակի տարբեր պահերին,

2. գրաֆիկով, որը պատկերում է կոորդինատի կախումը ժամանակից, որին կարճ

անվանում են շարժման գրաֆիկ, 3. բանաձևով, որը կապ է հաստատում t ժամա-

նակի և մարմնի կոորդինատների միջև:

Շարժման օրենքի ներկայացման ձևերից յուրաքանչյուրը, մյուսներից ան-

կախ, կարող է տալ շարժման վերաբերյալ բոլոր հարցերի պատասխանները:

Մարմնի դիրքի որոշման վեկտորական և կոորդինատային եղանակների

դեպքում շարժման օրենքից կարելի է որոշել մարմնի շարժման հետագիծը: Վեկ-

տորական եղանակի դեպքում հետագիծը ժամանակի տարբեր պահերին պատ-

կերված r շառավիղ-վեկտորների ծայրակետերի երկրաչափական տեղն է (նկ. 16):

Կոորդինատական եղանակի դեպքում մարմնի շարժման հետագիծն ստացվում է

շարժման հավասարումներից t ժամանակն արտաքսելով:

Շարժման օրենքը շարժումն ամբողջությամբ նկարագրող երկրորդ կարևո-

րագույն բնութագիրն է:

Շարժման օրենքն ու հետագիծը տալիս են շարժման սպառիչ պատկերը և

հնարավորություն են ընձեռում դատելու շարժման բոլոր առանձնահատկություն-

ների մասին: Միաժամանակ դրանք մեխանիկական շարժման կարևոր բնու-

թագրեր են, ուստի՝ շարժման մասին խոսելիս նշվում է դրանցից յուրաքանչյուրի

բնույթը: Օրինակ՝ ուղղագիծ (հետագծի տեսքը) անհավասարաչափ (շարժման

օրենքի բնույթը) շարժում, կորագիծ (հետագծի տեսքը) հավասարաչափ (շարժ-

ման օրենքի բնույթը) շարժում և այլն: Շարժումների դասակարգումը՝ ըստ հե-

տագծի ձևի և ըստ շարժման օրենքի« ներկայացված է 23-րդ նկարում:

Ըստ հետագծի ձևի՝ ամենապարզն ուղղագիծ շարժումն է: Շարժումը կոչվում

է ուղղագիծ, եթե շարժման հետագիծն ուղիղ գիծ է: Ուղղագծորեն են շարժվում,

օրինակ« մետրոյի շարժասանդուղքի վրա կանգնած ուղևորը, թռիչքուղի դուրս եկած

ՖԻԶԻԿԱ 10

Նկ©23© Շարժումների դասակարգումը՝ ըստ հետագծի ձևի և շարժման օրենքի

ինքնաթիռը, վերելակի խցիկը և այլն: Թեև ուղղագիծ շարժումներ քիչ են հանդի-

պում, բայց դրանց ուսումնասիրությունը կարևոր նշանակություն ունի:

Շարժումը կոչվում է կորագիծ, եթե շարժման հետագիծը կոր գիծ է, օրի-

նակ« շրջանագիծ, պարաբոլ և այլն: Մարմնի հետագծի տեսքը սովորաբար ներ-

կայացվում է կա°մ գծագրի օգնությամբ, կա°մ մաթեմատիկական բանաձևերով:

Ըստ բնույթի՝ շարժումները լինում են հավասարաչափ և անհավասա-

րաչափ: Դրանց սահմանումները կձևակերպենք հաջորդ գլխում:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1.Ի՞նչն են անվանում մարմնի կատարած տեղափոխություն: 2. Ի՞նչ է ցույց է տալիս տեղա-

փոփության վեկտորի՝ ա) ուղղությունը, բ) մոդուլը: 3. Մարմնի տեղափոխության վեկտորն

արտահայտե°ք նրա սկզբնական և վերջնական դիրքերի շառավիղ-վեկտորներով: 4. Գրե°ք

մարմնի սկզբնական և վերջնական դիրքերի կոորդինատների և մարմնի տեղափոխության

վեկտորի պրոյեկցիայի կապն արտահայտող բանաձևը: 5. Ի՞նչն են անվանում շարժման

օրենք: 6. Թվարկե°ք շարժման օրենքի տրման ձևերը: 7. Որո±նք են շարժումն ամբողջու-

թյամբ բնութագրող հիմնական բնութագրերը:

ՆՅՈՒԹԱԿԱՆ ԿԵՏ:

10.

ՀԱՄԸՆԹԱՑ ՇԱՐԺՈՒՄ: ՊՏՏԱԿԱՆ ՇԱՐԺՈՒՄ

Նյութական կետ: Ինչպես նշեցինք, տարածության մեջ մարմնի դիրքը և նրա

շարժումը նկարագրելու համար շատ դեպքերում բավական է դիտարկել նրա որևէ

կետ: Իսկ ե±րբ է դա հնարավոր: Նախ՝ այն դեպքում, երբ դիտարկվող շարժման

համար մարմնի ձևն ու չափերը էական նշանակություն չունեն և դրանք կարելի է

անտեսել: Օրինակ՝ թիրախին արձակած գնդակի շարժումը նկարագրելիս գնդակի

չափերը կարելի է անտեսել: Այն մարմինը, որի չափերը տվյալ պայմաննե-

րում կարելի է անտեսել, կոչվում է նյութական կետ:

ՙՆյութական՚ բառն ընդգծում է այդ մարմնի տարբերությունը ֆիզիկական

հատկություններից զուրկ երկրաչափական կետից: Նյութական կետն իրական

մարմնի մոդելն է, որին բնորոշ են այդ մարմնի հիմնական ֆիզիկական հատկու-

թյունները:

ՙՏվյալ պայմաններում՚ ասելով պետք է հասկանալ, որ միևնույն մարմինը

մի դեպքում կարելի է համարել նյութական կետ, իսկ մեկ այլ դեպքում՝ ոչ: Օրինակ՝

գնացքով ճանապարհորդության մեկնող խմբի անդամներին ուղղված այն հարցին,

թե որտե±ղ են նրանց տեղերը, կարող են հետևել միանգամայն տարբեր պատաս-

խաններ: Բնականաբար« այս պայմաններում գնացքը նյութական կետ համարել չի

կարելի. այն կազմված է վագոններից, վագոններում կան ուղևորախցիկներ, նստա-

ԳԼՈՒԽ

II. ԿԻՆԵՄԱՏԻԿԱ

տեղեր և այլն: Սակայն եթե ճանապարհորդությունից վերադառնալուց հետո խմբի

անդամներին հարցնեն, թե ու՞ր էին նրանք հասել ճանապարհորդությունն սկսե-

լուց 4 ժ անց, բոլորը կտան նույն պատասխանը, օրինակ՝ ՙՀասել էինք Գյումրի՚:

Այս դեպքում գնացքի չափերը շատ փոքր են նրա անցած հեռավորության համե-

մատությամբ, և այն համարվում է նյութական կետ:

Այսպիսով՝ ՙնյութական կետ՚ հասկացությունը հարաբերական է, այսինքն՝

կախված է որոշակի խնդրի պայմաններից: Եթե մարմնի չափերը բավականաչափ

փոքր են նրա անցած հեռավորության կամ մինչև մյուս մարմիններն ունեցած

հեռավորությունների համեմատությամբ, ապա այն դիտարկվում է որպես կետ,

այսինքն՝ մարմին, որը չափեր չունի:

Համընթաց շարժում: Մարմնի շարժման նկարագրությունը փոխարինել նրա

որևէ կետի շարժման նկարագրությամբ հնարավոր է նաև պինդ մարմնի համըն-

թաց շարժման դեպքում:

Կամայական մարմին այլ մարմինների ազդեցությամբ այս կամ այն չափով

փոխում է իր չափերը կամ ձևը, կամ և° մեկը, և° մյուսը: Մեխանիկայում ՙպինդ մար-

մին՚ ասելով հասկանում են բացարձակ պինդ մարմին, այսինքն՝ մարմին, որի

չափերի կամ ձևի փոփոխությունները տվյալ պայմաններում կարելի է անտեսել:

Բացարձակ պինդ կոչվում է այն մարմինը, որի երկու կամայական կետերի

հեռավորությունը շարժման ընթացքում չի փոխվում:

Եթե բացարձակ պինդ մարմնի բոլոր կետե-

րը շարժվում են միատեսակ, ապա մարմնի շարժու-

մը նկարագրելու համար բավական է որոշել մարմնի

որևէ կետի դիրքերը ժամանակի տարբեր պահերին:

Մյուս կետերի

դիրքերը կորոշվեն միարժեքորեն:

Օրինակ՝ միատեսակ են շարժվում ճոպանուղու ու-

ղևորախցիկի բոլոր կետերը (նկ. 24): Այս դեպքում

Նկ.24. Ուղևորախցիկի

մարմնի կամայական երկու կետեր միացնող ուղիղը

համընթաց շարժումը

շարժման ընթացքում մնում է ինքն իրեն զուգահեռ:

Մարմինների այսպիսի շարժումն անվանում են համընթաց: Համընթաց են շարժ-

վում ավտոմեքենաներն ու գնացքները ճանապարհների ուղղագիծ տեղամասե-

րում, գետով ընթացող բեռնանավը, բետոնե սալը՝ վերամբարձ կռունկով բարձ-

րացնելիս և այլն: Այսպիսով՝ մարմնի համընթաց շարժման ուսումնասիրությունը

հանգում է նրա որևէ կետի շարժման ուսումնասիրությանը: Համընթաց կոչվում է

այն շարժումը, որի ընթացքում մարմնի երկու կամայական կետեր միացնող

ուղիղը մնում է ինքն իրեն զուգահեռ:

Պտտական շարժում: Բացարձակ պինդ մարմնի շարժման ուսումնասի-

րումը հանգում է նրա որևէ կետի շարժման ուսումնասիրմանը նաև այն դեպքում,

երբ մարմնի բոլոր կետերը շարժվում են շրջանագծերով, որոնց կենտրոնները

շրջանագծերի հարթություններին ուղղահայաց ուղղի վրա են: Այդ ուղիղը կոչվում

է պտտման առանցք (25-րդ նկարում՝ OO° ուղիղը), իսկ մարմնի շարժումը՝ պտտա-

կան: Այդպես են շարժվում, օրինակ, ժամացույցի սլաքները, ձայնասկավառակը

և այլն: Պտտական է կոչվում մարմնի այն շարժումը, որի ընթացքում նրա

բոլոր կետերը շարժվում են այնպիսի շրջանագծերով, որոնց կենտրոնները

ՖԻԶԻԿԱ 10

մի ուղղի վրա են, որն ուղղահայաց է շրջանագծերի

հարթություններին և կոչվում է պտտման առանցք:

Եթե պտտման առանցքն անցնում է մարմնով, ապա

մարմնի՝ պտտման առանցքին պատկանող կետերը չեն մաս-

նակցում պտտական շարժմանը:

Նկ. 25. Պինդ

Սահմանափակվենք հարթ շարժումով, երբ մարմնի բո-

մարմնի պտտական

լոր կետերը տեղափոխվում են զուգահեռ հարթություններում

շարժումը

(պտտման առանցքներն ուղղահայաց են այդ հարթություն-

ներին): Պինդ մարմնի կամայական հարթ շարժում հնարա-

վոր է ներկայացնել որպես երկու՝ համընթաց և պտտական

շարժումների վերադրում: Իրոք, ենթադրենք՝ 26-րդ նկարում

պատկերված մարմինը I դիրքից հասել է II դիրք: Մարմնի

վերջնական դիրքին կարելի է հասնել նաև նախ՝ այն համըն-

Նկ.26. Հարթ շար-

թաց տեղափոխելով՝ մինչև նրա որևէ կետի դիրքը վերջնա-

ժումը համընթաց և

կան դիրքի հետ համընկնելը, այնուհետև՝ այդ կետով անցնող

պտտական շարժում-

ների վերադրում է:

առանցքի շուրջը համապատասխան անկյունով պտտելով:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ի՞նչ է նյութական կետը: 2. Ի՞նչ պայմանի դեպքում կարելի է անտեսել մարմնի չափե-

րը: 3. Ե±րբ կարելի է ավտոմեքենան համարել նյութական կետ. ա) քարտեզի վրա գծում

են ավտոմեքենայի երթուղին, բ) նորոգում են ավտոմեքենան: 4. Ո±ր մարմինն է կոչվում

բացարձակ պինդ: 5. Ո±ր շարժումն է կոչվում համընթաց: Բերե°ք օրինակ: 6. Ո±ր շար-

ժումն է կոչվում պտտական: Բերե°ք օրինակ:

Խնդիրների լուծման օրինակներ

1. 3 մ բարձրությունից ընկնող գնդակը, դիպչելով հատակին« փոխում է շարժ-

ման ուղղությունը և« հետ թռչելով, հասնում է 1,5 մ բարձրության: Գտնել գնդա-

կի տեղափոխության մոդուլը և անցած ճանապարհը:

Լուծում: Գնդակի տեղափոխությունը նրա սկզբնական A դիրքը վերջնական C

դիրքին միացնող վեկտորն է, ուստի՝ նրա մոդուլը՝

=1, 5r:

Երբ դիտարկվող ժամանակամիջոցում գնդակը փոխում է շարժման ուղղությու-

նը, ճանապարհի հաշվարկը կատարվում է առանձին ժամանակամիջոցների հա-

մար, որոնց ընթացքում գնդակը չի փոխել շարժման ուղղությունը: A կետից B կետ

շարժվելիս գնդակն անցնում է s

=3 մ ճանապարհ: B-ից C շարժվելիս այն

անցնում է ևս s2=

=1,5 մ ճանապարհ: Ամբողջ շարժման ընթացքում գնդակի

անցած ճանապարհը՝ s = s1+ s2 =4,5 մ:

2. Նյութական կետի շարժումը նկարագրվում է x = at և y = a2t² հավասա-

րումներով, որտեղ a-ն հաստատուն է: Ստացեք հետագծի հավասարումը:

Ի՞նչ տեսք ունի այն:

Լուծում: Մարմնի շարժման հետագիծն ստացվում է շարժման հավասարումներից

t ժամանակն արտաքսելով: Առաջին հավասարումից՝ t = x a: Տեղադրելով երկ-

րորդ հավասարման մեջ՝ կստանանք հետագծի հավասարումը՝ y = x² « այսինքն՝

հետագիծը պարաբոլ է, որի գագաթը կոորդինատների սկզբնակետում է, իսկ ճյու-

ղերն ուղղված են Y առանցքի ուղղությամբ:

ԳԼՈՒԽ

II. ԿԻՆԵՄԱՏԻԿԱ

ԳԼՈՒԽ III

ՈՒՂՂԱԳԻԾ ՀԱՎԱՍԱՐԱՉԱՓ

ՇԱՐԺՈՒՄ

ՈՒՂՂԱԳԻԾ ՀԱՎԱՍԱՐԱՉԱՓ ՇԱՐԺՈՒՄ:

ԱՐԱԳՈՒԹՅՈՒՆ: ՄԵԽԱՆԻԿԱՅԻ ՀԻՄՆԱԿԱՆ

ԽՆԴՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄՆ ՈՒՂՂԱԳԻԾ

11.

ՀԱՎԱՍԱՐԱՉԱՓ ՇԱՐԺՄԱՆ ԴԵՊՔՈՒՄ

Մեխանիկական շարժումների՝ ըստ հետագծի տեսքի և շարժման բնույթի

դասակարգման սխեմայում շարժման ամենապարզ տեսակն ուղղագիծ հավա-

սարաչափ շարժումն է, որովհետև այս շարժման ժամանակ և° հետագծի տեսքն է

պարզագույնը, և° շարժման օրենքը: Այն շարժումը, որի ընթացքում մարմինը

կամայական հավասար ժամանակամիջոցներում կատարում է նույն տե-

ղափոխությունները, կոչվում է ուղղագիծ հավասարաչափ շարժում:

Ինչպես գիտեք, ժամանակի յուրաքանչյուր պահի մարմնի դիրքը որոշելու

համար պետք է իմանալ տեղափոխության վեկտորի կախումը ժամանակից: Իսկ

ինչպե՞ս որոշել տեղափոխության վեկտորը:

Դիցուք՝ հավասարաչափ շարժվող մարմինը D t₁ ժամանակամիջոցում

կատարել է Ds₁ տեղափոխություն, Dt₂ -ում՝ Ds₂ , ... , Dt_n -ում՝

Dsn

: Հավասա-

րաչափ շարժման սահմանումից հետևում է, որ եթե Dt

=Dt

= $$$ = D

ապա

=Ds

= $$$ = Dsn: Ավելին, քանի որ D s1 D t1, Ds

և այլ հարաբերություն-

ները միևնույն՝ միավոր ժամանակում մարմնի տեղափոխություններն են, ապա

=$$$=

const:

(3.1)

Այսպիսով՝ հավասարաչափ շարժման սահմանումից բխում է, որ Dt ժամա-

նակում մարմնի Ds տեղափոխության և այդ ժամանակամիջոցի հարաբերությու-

նը շարժման ընթացքում մնում է հաստատուն: Այն ցույց է տալիս մարմնի տե-

ղափոխությունը միավոր ժամանակում և կոչվում է ուղղագիծ հավասարաչափ

շարժման արագություն: Ուղղագիծ հավասարաչափ շարժման արագություն

կոչվում է այն ֆիզիկական մեծությունը« որը հավասար է կամայական ժա-

մանակամիջոցում մարմնի տեղափոխության և այդ ժամանակամիջոցի

հարաբերությանը:

Եթե t ժամանակամիջոցում մարմինը A կետից հասել է B կետ՝ կատարելով s

տեղափոխություն (նկ. 27), ապա շարժման արագությունը՝

ՖԻԶԻԿԱ 10

= const :

(3.2)

Տեղափոխությունը վեկտորական մեծություն է, իսկ ժամանակը՝ դրական

սկալյար, ուստի՝ արագությունը վեկտոր է, որի ուղղությունը համընկնում է տեղա-

փոխության ուղղությանը:

Մարմնի արագությունը կարելի է որոշել՝

չափելով հետագծի կամայական տեղամաս,

նույնիսկ ամենափոքրը, և այն ժամանակա-

միջոցը, որի ընթացքում մարմինն անցել է

Նկ. 27. Ուղղագիծ հավասարաչափ

այդ տեղամասը:

շարժման արագությունը

Արագության մոդուլը և ճանապարհը: Արագության v մոդուլը որոշելու հա-

մար արագության (3.2) բանաձևը պետք է գրել սկալյար տեսքով, այսինքն՝ արտա-

հայտել բանաձևի մեջ մտնող ֆիզիկական մեծությունների մոդուլներով.

(3.3)

Քանի որ ուղղագիծ հավասարաչափ շարժման հետագիծն ուղիղ գիծ է, և մար-

մինը շարժվում է միշտ նույն ուղղությամբ, ապա նրա տեղափոխության մոդուլը՝

-ը, հավասար է անցած s ճանապարհին: Հետևաբար՝ մարմնի արագության մո-

դուլը հավասար է t ժամանակում մարմնի անցած ճանապարհի և այդ ժամանա-

կամիջոցի հարաբերությանը՝

(3.4)

Այս պատճառով արագության մոդուլը հաճախ ան-

վանում են ճանապարհային կամ տրանսպորտային

արագություն: Հենց ճանապարհային արագությունն է

ցույց տալիս ավտոմեքենաներում տեղադրվող արագաչա-

փը: Օրինակ՝ եթե արագաչափի սլաքը (նկ. 28) շարժման

ժամանակ անընդհատ ցույց է տալիս միևնույն, ասենք«

90 կմ/ժ թիվը, ապա մեքենան շարժվում է հավասարաչափ

և յուրաքանչյուր 1 րոպեում անցնում է 1«5 կմ ճանապարհ,

Նկ.28. Արագաչափ

5 րոպեում՝ 7«5 կմ, 1 ժամում՝ 90 կմ և այլն:

(3.4) բանաձևից մարմնի անցած ճանապարհի համար կունենանք՝

s=vt:

(3.5)

Այս արդյունքը կարելի է դնել ուղղագիծ հավասարաչափ շարժման վերը

նշված սահմանմանը համարժեք՝ երկրորդ սահմանման հիմքում: Այն շարժումը,

որի ժամանակ մարմնի հետագիծն ուղիղ գիծ է, և մարմինը միշտ շարժվում

է նույն ուղղությամբ՝ կամայական հավասար ժամանակամիջոցներում

անցնելով հավասար ճանապարհներ, կոչվում է ուղղագիծ հավասարաչափ

շարժում:

Արագության միավորը: Արագության սահմանումից հետևում է, որ եթե

ուղղագիծ հավասարաչափ շարժվող մարմինը 1 վայրկյանում տեղափոխվում է

1 մետր, ապա նրա շարժման արագությունը հավասար կլինի մեկ միավորի (1 մ/վ):

ԳԼՈՒԽ

III. ՈՒՂՂԱԳԻԾ ՀԱՎԱՍԱՐԱՉԱՓ ՇԱՐԺՈՒՄ

Այդպիսի շարժման արագությունն էլ հենց ընդունվում է որպես արագության միա-

վոր Միջազգային համակարգում (ՄՀ): A ֆիզիկական մեծության չափման միա-

վորը նշելու համար օգտագործելով [A] նշանակումը« կստանանք՝

[s]

[v]

=1 մ/վ:

(3.6)

Որպես արագության միավոր են ընդունում այն ուղղագիծ հավասա-

րաչափ շարժման արագությունը, որի ընթացքում մարմինը յուրաքանչյուր

1 վարկյանում անցն ում է 1մ ճան ապարհ:

Եթե մարմնի ուղղագիծ հավասարաչափ շարժման v արագությունը հայտնի

է, ապա« համաձայն (3.2) բանաձևի« t ժամանակում նրա տեղափոխությունը՝

s =vt:

(3.7)

Իմանալով մարմնի սկզբնական դիրքը և նրա տեղափոխությունը կամայա-

կան ժամանակահատվածում, կարելի է գտնել մարմնի դիրքը ժամանակի յու-

րաքանչյուր պահին, այսինքն՝ ստանալ մեխանիկայի հիմնական խնդրի լուծումը:

Դիցուք՝ մարմինը շարժումն սկսում է M₀ կետից,

և որպես ժամանակի հաշվարկման սկիզբ ընտրվում

է շարժումն սկսելու պահը: Այս դեպքում մարմնի

շարժման t ժամանակը համընկնում է ժամանակը

չափող սարքի ցուցմունքի հետ, հետևաբար՝ ժամա-

նակի t պահին մարմնի կատարած տեղափոխու-

թյունը որոշվում է (3.7) բանաձևով, իսկ այդ պահին

Նկ.29. Շառավիղ-վեկտորը

ժամանակի t պահին

նրա դիրքի r շառավիղ-վեկտորը՝

r =r0+vt,

(3.8)

որտեղ r₀ -ն մարմնի սկզբնական դիրքի շառավիղ-վեկտորն է (նկ© 29):

Այսպիսով՝ ուղղագիծ հավասարաչափ շարժման դեպքում շառավիղ-վեկտո-

րի կախումը ժամանակից գծային է: Ճիշտ է նաև հակառակ պնդումը՝ եթե շառա-

վիղ-վեկտորը ժամանակից կախված փոխվում է գծային օրենքով, ապա մարմնի

շարժումն ուղղագիծ և հավասարաչափ է: (3.8) բանաձևն արտահայտում է մարմնի

շառավիղ-վեկտորի կախումը ժամանակից՝ շարժման հավասարումը, իսկ դա նշա-

նակում է, որ այն վեկտորական եղանակով մեխանիկայի հիմնական խնդրի լու-

ծումն է ուղղագիծ հավասարաչափ շարժման դեպքում:

Այժմ ստանանք ուղղագիծ հավասարաչափ շարժման հավասարումը կոորդի-

նատային եղանակով: Հաշվի առնելով, որ մարմնի հետագիծն ուղիղ գիծ է, հարմար

է կոորդինատային առանցքներից մեկը (օրինակ՝ X-ը) ուղղել հետագծի երկայնքով:

Այդ դեպքում մարմնի շարժման ընթացքում կփոփոխվի միայն մեկ՝ x կոորդինատը:

Այդ առանցքի երկայնքով ուղղված կլինեն մարմնի և° շարժման արագության, և°

տեղափոխության վեկտորները:

s =

vt բանաձևից հետևում է s և vt վեկտորների պրոյեկցիաների հավասա-

րությունը կամայական ուղղության վրա: Մասնավորապես, հավասար են նրանց

պրոյեկցիաներն X առանցքի վրա՝

vxt:

(3.9)

ՖԻԶԻԿԱ 10

Մարմնի x կոորդինատը ժամանակի կամայական պահին հաշվելու բանաձևը

բխում է (3.8) և (3.9) հավասարումներից.

x = x0+ vxt«

(3.10)

որտեղ x₀ - ն մարմնի սկզբնական կոորդինատն է (նկ. 30): (3.10) բանաձևը կապ է

հաստատում t ժամանակի և x կոորդինատի միջև, ու-

րեմն՝ այն մեխանիկայի հիմնական խնդրի լուծումն է:

Բանաձևը հնարավորություն է տալիս պարզելու նաև

արագության վեկտորի պրոյեկցիայի ֆիզիկական

Նկ. 30. Մարմնի x

իմաստը: Իսկապես, այդ բանաձևից հետևում է, որ

կոորդինատը t պահին

x x

(3.11)

այսինքն՝ արագության վեկտորի x պրոյեկցիան թվապես հավասար է միավոր ժա-

մանակում x կոորդինատի փոփոխությանը: Եթե կոորդինատը ժամանակի ընթաց-

քում աճում է, ապա արագության պրոյեկցիան դրական է, իսկ հակառակ դեպքում՝

բացասական:

(3.10) բանաձևն ստացանք՝ ենթադրելով, որ ժամանակի հաշվարկման սկիզ-

բը համընկնում էր շարժումն սկսելու պահի հետ: Եթե մարմինը շարժումն սկսում է

t₀ պահին, ապա նրա շարժման փաստացի ժամանակը կլինի t - t₀, իսկ բանաձևը՝

(3.12)

(3.10) և (3.12) բանաձևերից երևում է, որ ուղղագիծ հավասարաչափ շարժվող

մարմնի դիրքը ժամանակի որևէ պահին որոշելու համար պետք է իմանալ մարմ-

նի սկզբնական կոորդինատը և արագության վեկտորի պրոյեկցիան այն առանցքի

վրա, որով շարժվում է մարմինը:

Եթե մարմինը շարժվում է կոորդինատային առանցքի դրական ուղղությամբ,

ապա արագության վեկտորի պրոյեկցիան դրական է և հավասար արագության v

մոդուլին, այսինքն՝ ճանապարհային արագությանը: Այս դեպքում մարմնի կոոր-

դինատի կախումը ժամանակից արտահայտվում է

x = x0+ vt

(3.13)

հավասարումով: Իսկ եթե մարմինը շարժվում է կոորդինատային առանցքի բացա-

սական ուղղությամբ, ապա արագության վեկտորի պրոյեկցիան բացասական է, և

մարմնի կոորդինատի կախումը ժամանակից արտահայտվում է հետևյալ կերպ՝

x = x0- vt:

(3.14)

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ո±ր շարժումն է կոչվում ուղղագիծ հավասարաչափ: 2. Ի՞նչն են անվանում ուղղագիծ

հավասարաչափ շարժման արագություն: 3. Ի՞նչ է ցույց տալիս ճանապարհային արագու-

թյունը: 4. Ի՞նչ միավորով է արտահայտվում արագությունը ՄՀ-ում, և ո՞րն է այդ միավորի

ֆիզիկական իմաստը: 5. Գրե°ք ուղղագիծ հավասարաչափ շարժման օրենքը վեկտորա-

կան տեսքով: 6. Գրե°ք ուղղագիծ հավասարաչափ շարժում կատարող նյութական կետի

տեղափոխության պրոյեկցիայի և x կոորդինատի՝ ժամանակից կախումն արտահայտող

բանաձևերը: 7. Ինչպե՞ս է արագության վեկտորի v_x պրոյեկցիան կապված x կոորդինատի

փոփոխության հետ: 8. Ե±րբ է արագության պրոյեկցիան՝ ա) դրական« բ) բացասական:

ԳԼՈՒԽ

III. ՈՒՂՂԱԳԻԾ ՀԱՎԱՍԱՐԱՉԱՓ ՇԱՐԺՈՒՄ

ՈՒՂՂԱԳԻԾ ՀԱՎԱՍԱՐԱՉԱՓ ՇԱՐԺՎՈՂ

ՄԱՐՄՆԻ ՏԵՂԱՓՈԽՈՒԹՅԱՆ, ԿՈՈՐԴԻՆԱՏԻ

12.

ԵՎ ԱՐԱԳՈՒԹՅԱՆ ԳՐԱՖԻԿՆԵՐԸ

Թեև մարմնի կոորդինատի՝ ժամանակից կախումն արտահայտող (3.10) բա-

նաձևն ամբողջությամբ նկարագրում է ուղղագիծ հավասարաչափ շարժումը, սա-

կայն հաճախ հարմար է այդ կախումն արտահայտել շարժման գրաֆիկի միջոցով,

որը պարզորոշ կերպով ցույց է տալիս կոորդինատի փոփոխման պատկերը և կա-

րող է հեշտացնել որոշ հաշվարկներ:

Ենթադրենք՝ մարմինը t = 0 պահին եղել է x₀ = 20 մ կոորդինատով կետում և

v=2մ/վ արագությամբ հավասարաչափ շարժվում է կոորդինատային առանցքի

դրական ուղղությամբ (նկ. 30): Այդ դեպքում մարմնի շարժման օրենքը« համաձայն

(3.10) հավասարման« կարտահայտվի x = 20 + 2t բանաձևով:

Մարմնի շարժման գրաֆիկը կառուցելու համար ուղղաձիգ առանցքի վրա տե-

ղադրենք x-ի արժեքները, իսկ հորիզոնական առանցքի վրա՝ t ժամանակի արժեք-

ները (նկ.31): Այդ շարժման գրաֆիկն ուղիղ գիծ է, քանի որ մարմնի կոորդինատը

ժամանակից ունի գծային կախում:

Շարժման գրաֆիկը տալիս է մեխանիկայի հիմնական խնդրի լուծումը, քանի

որ հնարավորություն է ընձեռում որոշելու մարմնի դիրքը ժամանակի յուրաքան-

չյուր պահի՝ ներառյալ նաև այն պահերը, որոնք նախորդում են սկզբնականին

(եթե ենթադրենք, որ մարմինը նույն արագությամբ շարժվել է նաև մինչև ժամա-

նակի հաշվարկման սկիզբը): 31¬րդ նկարում պատկերված գրաֆիկը շարունակե-

լով ժամանակի առանցքի դրական ուղղությանը հակառակ՝ կտեսնենք, օրինակ, որ

մարմինը x = 20 մ կոորդինատով կետում հայտնվելուց 10 վ առաջ եղել է կոորդի-

նատի հաշվարկման սկզբնակետում:

Կախված x₀ -ի և v_x -ի նշաններից՝ մարմնի շարժման գրաֆիկը կարող է ու-

նենալ 32-րդ նկարում պատկերված 5 տեսքերից մեկը: (1) գրաֆիկը համապա-

տասխանում է այն դեպքին, երբ մարմնի սկզբնական կոորդինատը դրական է

>0), և մարմինը շարժվում է x առանցքի դրական ուղղությամբ (vx > 0), (2) գրա-

ֆիկը համապատասխանում է x > 0, v

դեպքին, (3) և (4) գրաֆիկները՝ համա-

պատասխանաբար« x < 0

, v

և x < 0

, v

դեպքերին, (5)-ը՝ v

x =

դեպքին:

Շարժման գրաֆիկ են անվանում նաև մարմնի անցած ճանապարհի կախումը

ժամանակից պատկերող գրաֆիկը: s = vt բանաձևից երևում է, որ ճանապարհի

կախումը ժամանակից նույնպես գծային է: Ի տարբերություն կոորդինատի գրա-

ֆիկի, որն օրդինատների առանցքը կարող է հատել կամայական կետում՝ աճել

կամ նվազել, ճանապարհի գրաֆիկը միշտ սկսվում է կոորդինատների սկզբնակե-

տից և չի նվազում (նկ. 33):

Ժամանակի առանցքի հետ շարժման գրաֆիկի կազմած անկյունը կախված

է մարմնի արագությունից: Որքան մեծ է մարմնի շարժման արագությունը, այնքան

մեծ է անկյունը, այսինքն՝ գրաֆիկը թեքված է շեշտակի: Ինչպես երևում է 31-րդ

նկարից, ժամանակի առանցքի հետ x կոորդինատի գրաֆիկի կազմած a անկյան

տանգենսը (տրված մասշտաբի դեպքում)՝

x x₀

tga=

(3.15)

ՖԻԶԻԿԱ 10

Նկ.31. Ուղղագիծ

Նկ.32. Ուղղագիծ

Նկ.33. Ճանապարհի

հավասարաչափ շարժման

գրաֆիկը

գրաֆիկի մասնավոր դեպք

գրաֆիկները

(3.15) և (3.11) բանաձևերից հետևում է« որ

vx= tga:

(3.16)

33-րդ նկարից ճանապարհի գրաֆիկի թեքությանa_s անկյան տանգենսը հա-

վասար է s t , իսկ s t -ն արագության մոդուլն է, հետևաբար՝

v = t

(3.17)

Այսպիսով՝ ժամանակի առանցքի հետ x կոորդինատի գրաֆիկի կազմած

անկյան տանգենսը, տրված մասշտաբի դեպքում, հավասար է արագության վեկ-

տորի պրոյեկցիային, իսկ ճանապարհի գրաֆիկի կազմած անկյան տանգենսը՝

ճանապարհային արագությանը:

Արագության գրաֆիկը: Շարժման գրաֆիկի հետ օգտվում են նաև արագու-

թյան գրաֆիկից« որը կառուցում են՝ օրդինատների առանցքի վրա տեղադրե-

լով մարմնի արագության վեկտորի պրոյեկցիայի կամ մոդուլի, իսկ աբսցիսների

առանցքի վրա՝ ժամանակի արժեքները: Այդպիսի գրաֆիկը ցույց է տալիս, թե ինչ-

պես է փոփոխվում արագությունը ժամանակի ընթացքում:

Ուղղագիծ հավասարաչափ շարժվող մարմնի արագության վեկտորի պրոյեկ-

ցիան և ճանապարհային արագությունը ժամանակի ընթացքում չեն փոփոխվում,

ուստի՝ դրանց գրաֆիկները ժամանակի առանցքին զուգահեռ ուղիղներ են (նկ. 34):

Քանի որ արագության վեկտորի պրոյեկցիան կարող է լինել ինչպես դրական,

այնպես էլ բացասական, ապա նրա գրաֆիկն ունի 34, ա նկարի կամ 34, բ նկարի

տեսքերից մեկը՝ կախված այն բանից, թե որ ուղղությամբ է շարժվում մարմինը,

իսկ ճանապարհային արագությունը միշտ դրական մեծություն է, և, անկախ մարմ-

նի շարժման ուղղությունից, նրա գրաֆիկը համընկնում է 34, գ նկարի պատկերին:

Ինչպես շարժման գրաֆիկներից կարելի է որոշել մարմնի արագությունը,

այնպես էլ արագության գրաֆիկներից կարելի է իմանալ տվյալ ժամանակամի-

ջոցում մարմնի տեղափոխության պրոյեկցիան և անցած ճանապարհը: Իրոք, ուղ-

ղանկյան մակերեսը հա-

վասար է նրա երկու կից

կողմերի

արտադրյալին:

34-րդ նկարի ներկած ուղ-

ղանկյունների կողմերից

մեկը որոշակի մասշտա-

բով հավասար է t ժամա- Նկ. 34. Արագության պրոյեկցիայի և մոդուլի գրաֆիկները

ԳԼՈՒԽ

III. ՈՒՂՂԱԳԻԾ ՀԱՎԱՍԱՐԱՉԱՓ ՇԱՐԺՈՒՄ

նակամիջոցին, իսկ մյուսը՝ արագության վեկտորի պրոյեկցիային (ա և բ

դեպ-

քեր) կամ ճանապարհային արագությանը (գ դեպք): ա և բ դեպքերում նրանց vxt

արտադրյալը մարմնի տեղափոխության պրոյեկցիան է, գ դեպքում՝ vt արտադ-

րյալը հենց հավասար է մարմնի անցած ճանապարհին:

Այսպիսով՝

ճանապարհային արագության գրաֆիկով սահմանափակված

ուղղանկյան մակերեսը թվապես հավասար է մարմնի անցած ճանապարհին, իսկ

արագության վեկտորի պրոյեկցիայի գրաֆիկով սահմանափակված ուղղանկյան

մակերեսը՝ տեղափոխության պրոյեկցիային:

Արագության գրաֆիկով մարմնի տեղափոխության պրոյեկցիան և անցած

ճանապարհը հաշվելու նշված մեթոդը մեծ գործնական նշանակություն ունի, քանի

որ այն կարելի է կիրառել նաև կամայական շարժման դեպքում:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ինչի±ց և ինչպե՞ս է կախված ժամանակի առանցքի հետ շարժման գրաֆիկի կազ-

մած անկյունը: 2. Ի՞նչ է ցույց տալիս շարժման գրաֆիկի շարունակությունը, որը 31-րդ

նկարում պատկերված է կետագծերով: 3. Ի՞նչ է արտահայտում ուղղանկյան մակերեսը,

որը սահմանափակված է. ա) ճանապարհային արագության գրաֆիկով, բ) արագության

վեկտորի պրոյեկցիայի գրաֆիկով:

ՇԱՐԺՄԱՆ ԵՎ ԴԱԴԱՐԻ ՀԱՐԱԲԵՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆԸ:

ՏԵՂԱՓՈԽՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ԵՎ ԱՐԱԳՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ

13.

ԳՈՒՄԱՐՈՒՄԸ: ՀԱՐԱԲԵՐԱԿԱՆ ԱՐԱԳՈՒԹՅՈՒՆ

Մարմնի դիրքը տարածության մեջ որոշակի է

(արտահայտվում

է որոշակի կոորդինատներով)

միայն որոշակի հաշվարկման համակարգի նկատ-

մամբ: Ակներև է, որ նույն մարմնի դիրքը տարբեր

հաշվարկման համակարգերում կարտահայտվի

տարբեր կոորդինատներով: Օրինակ՝ 35-րդ նկարում

Նկ.35. Մարմնի դիրքը

ավտոմեքենայի դիրքը կարելի է որոշել՝ նշելով, որ

տարբեր հաշվարկման

այն տնից հեռու է 200 մ դեպի արևելք կամ կամր-

մարմինների նկատմամբ

ջից՝ 300 մ դեպի հյուսիս-արևելք: Սա նշանակում է,

որ մարմնի դիրքը հարաբերական է՝ կախված է այն բանից, թե որ համակարգի

նկատմամբ է որոշվում:

Բայց միայն մարմնի դիրքը չէ, որ հարաբերական է: Հարաբերական են նաև

նրա շարժումը և դադարը: Այն« որ շարժումը և դադարը հարաբերական են« կարելի

է համոզվել թերևս հետևյալ օրինակով:

Ձեզանից ամեն մեկն էլ, հավանաբար, անշարժ գնացքի վագոնի պատուհա-

նից հարևան գծով սլացող գնացքին նայելիս զգացած կլինի, որ եթե հայացքը սևե-

ռի միայն այդ գնացքին (այն է՝ չտեսնի գետինը, մոտակա կառույցները և այլն),

ապա դժվար է պարզել, թե գնացքներից ո՞րն է շարժվում: Եվ եթե սլացող գնացքի

ուղևորը պնդի, թե շարժվում է ՙիր՚ գնացքը, իսկ դուք դադարի վիճակում եք, ապա

դուք էլ ձեր հերթին նույնչափ իրավունք ունեք ասելու, որ, հակառակը, շարժվում է

ՙձեր՚ գնացքը, իսկ մյուսն անշարժ է: Երկուսդ էլ կլինեք իրավացի, քանի որ, ինչ-

ՖԻԶԻԿԱ 10

պես ասացինք, և° շարժումը, և° դադարը հարաբերական են. ՙշարժվու±մ է գնացքը,

թե՞ ոչ՚ հարցն անիմաստ է, եթե չենք ասում՝ ՙո՞ր մարմնի նկատմամբ՚:

Ուսումնասիրենք մարմնի շարժումը միմյանց նկատմամբ շարժվող երկու

հաշվարկման համակարգերում: Համարենք, որ նրանցից մեկն անշարժ է, իսկ

երկրորդն առաջինի նկատմամբ շարժվում է ուղղագիծ հավասարաչափ: Օրինակ՝

մարդը քայլում է կայարանից հեռացող երկաթուղային հարթակի վրայով (նկ. 36):

Պատկերացնենք, որ մարդու շարժմանը հետևում է երկու դիտորդ, որոնցից

մեկը կանգնած է կառամատույցին, իսկ մյուսը՝ հարթակին: Երկուսն էլ որոշում են

մարդու տեղափոխությունը: Առաջին դիտորդին կապված հաշվարկման համա-

կարգը պայմանականորեն անվանենք

անշարժ, իսկ

երկրորդին կապվածը՝

շարժվող:

Երբ t ժամանակ անց մարդը հաս-

նում է հարթակի եզրին՝ շարժվող հա-

Նկ. 36. Տեղափոխություններն ուղղագիծ

մակարգի նկատմամբ կատարելով s'

շարժման դեպքում

տեղափոխություն, հարթակն այդ ըն-

թացքում կատարում է s₀ տեղափոխություն: Կառամատույցին կանգնած դիտորդի

նկատմամբ մարդու տեղափոխությունը s -ն է: Ինչպես երևում է 36-րդ նկարից՝

s=s'

+s₀:

(3.18)

Ստացված հավասարությունը կրում է տեղափոխությունների գումարման

բանաձև անվանումը: Չնայած բանաձևը ստացանք այն դեպքի համար, երբ մար-

դը և հարթակը շարժվում էին միևնույն ուղղի երկայնքով, սակայն այն ճիշտ է բո-

լոր դեպքերում: 37-րդ նկարում պատկերված է ընդհանուր դեպքը, երբ մարմինը

և շարժվող համակարգը տեղափոխվում են կամայական

ուղղություններով:

Դիցուք՝ ժամանակի t = 0 պահին

մարմինը և շարժվող համակարգի սկզբնակետը նույն՝

Ol կետում են, իսկ t պահին տեղափոխվել են« համապա-

տասխանաբար« M և Om կետերը, ընդսմին« s = OlM-ը

մարմնի տեղափոխությունն է O սկզբնակետով անշարժ

համակարգի նկատմամբ, s' = OmM-ը՝ շարժվողի, որի

տեղափոխությունն

անշարժ համակարգի նկատմամբ

Նկ.37. Տեղափոխու-

թյունները կամայական

OlO

0 =

m վեկտորն է: Օգտվելով վեկտորների գումար-

շարժման դեպքում

ման եռանկյան կանոնից՝ դարձյալ ստանում ենք (3.18)

հավասարությունը: Այսպիսով՝ մարմնի տեղափոխությունն անշարժ համա-

կարգի նկատմամբ հավասար է շարժվող համակարգի նկատմամբ նրա տե-

ղափոխության և անշարժ համակարգի նկատմամբ շարժվող համակարգի

տեղափոխության վեկտորական (երկրաչափական) գումարին:

Տեղափոխությունների գումարման բանաձևի երկու կողմերը բաժանենք t-ի՝

(3.19)

Բայց s t հարաբերությունը մարմնի v արագությունն է անշարժ համակարգի

նկատմամբ, s0 t հարաբերությունը՝ շարժվող համակարգի v₀

արագությունն

ԳԼՈՒԽ

III. ՈՒՂՂԱԳԻԾ ՀԱՎԱՍԱՐԱՉԱՓ ՇԱՐԺՈՒՄ

անշարժ համակարգի նկատմամբ, իսկ s' t հարաբերությունը՝ մարմնի v' արագու-

թյունը շարժվող համակարգի նկատմամբ: Ուստի՝

v=v'+v₀:

(3.20)

Այս արտահայտությունը կոչվում է արագությունների գումարման բանաձև:

Մարմնի արագությունն անշարժ համակարգի նկատմամբ հավասար

է շարժվող համակարգի նկատմամբ մարմնի արագության և անշարժ հա-

մակարգի նկատմամբ շարժվող համակարգի արագության վեկտորական

գումարին:

(3.20) բանաձևից հետևում է, որ եթե մարմինը շարժվող համակարգի նկատ-

մամբ դադարի վիճակում է (v'= 0), ապա անշարժ համակարգի նկատմամբ այն

շարժվում է v = v₀ արագությամբ:

Այսպիսով՝ մարմինը« որ մի համակարգի նկատմամբ դադարի վիճակում է«

շարժվում է մի այլ համակարգի նկատմամբ, ընդ որում« մարմնի և° տեղափոխու-

թյունը, և° շարժման արագությունն ու հետագիծը տարբեր են տարբեր հաշվարկ-

ման համակարգերում: Հենց դա էլ շարժման և դադարի հարաբերականությունն է:

(3.20) բանաձևով որոշվում է մարմնի արագությունն անշարժ համակարգի

նկատմամբ, երբ հայտնի են նրա արագությունը շարժվող համակարգի նկատմամբ

և շարժվող համակարգի արագությունն անշարժ համակարգի նկատմամբ: Որպես

կանոն՝ հենց այդ արագություններն են հայտնի լինում, օրինակ« երբ նավը լողում է

գետում, ինքնաթիռը թռչում է քամու առկայության պայմաններում, որովհետև նա-

վում և ինքնաթիռում տեղադրված արագաչափերը ցույց են տալիս դրանց արագու-

թյունը« համապատասխանաբար« ջրի և օդի նկատմամբ: Այս դեպքերում նույն

մարմնի շարժումը քննարկվում է երկու տարբեր հաշվարկման համակարգերում:

Գործնականում հանդիպում են դեպքեր, երբ հայտնի են երկու տարբեր մար-

մինների արագությունները միևնույն հաշվարկման համակարգի նկատմամբ, և

հարկ է լինում ուսումնասիրել դրանցից մեկի շարժումը մյուսի նկատմամբ:

Դիցուք՝ երկու մարմին O սկզբնակետով անշարժ համակարգի նկատմամբ

շարժվում են v₁ և v₂ արագություններով:

Որոշենք մի մարմնի արագությունը մյու-

սի նկատմամբ, այսինքն՝ հարաբերական

արագությունը (նկ.38):

ՙԵրկրորդ մարմնի արագությունն առա-

ջինի նկատմամբ՚ ասելով հասկանում ենք

Նկ©38. Հարաբերական արագության

II մարմնի արագությունն I մարմնին կապ-

վեկտորը

ված հաշվարկման համակարգում: Դիցուք՝

հայտնի է II մարմնի v₂ արագությունն անշարժ համակարգի նկատմամբ, և պետք

է որոշել նրա v₂₁ արագությունը v₁ արագությամբ շարժվող համակարգի նկատ-

մամբ: Համաձայն արագությունների գումարման բանաձևի՝ v2= v +v

, որտե-

ղից՝

v2 v

(3.21)

Հանգունորեն՝ I մարմնի արագությունը երկրորդի նկատմամբ՝

v1 v

այսինքն՝ v

ՖԻԶԻԿԱ 10

Այսպիսով՝ երկու մարմիններից յուրաքանչյուրի հարաբերական արագու-

թյունը հավասար է նրանց արագությունների տարբերությանը: Օրինակ՝ եթե v₁

արագությամբ շարժվող I գնացքում ուղևորը նայում է հանդիպակաց ուղղությամբ

v₂ արագությամբ շարժվող II գնացքին, ապա տեսնում է, որ II գնացքը շարժվում է

v2 v

արագությամբ, որի մոդուլը v1+ v₂ է, քանի որ հակուղղված վեկտոր-

ների տարբերության մոդուլը հավասար է վեկտորների մոդուլների գումարին:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ի՞նչ է նշանակում՝ ՙմարմնի դիրքը հարաբերական է՚: 2. Բերե°ք օրինակ, որտեղ տար-

բեր հաշվարկման համակարգերում նույն մարմինն ունենա տարբեր կոորդինատներ: 3.

Ձևակերպե°ք տեղափոխությունների գումարման կանոնը: 4. Ձևակերպե°ք արագություն-

ների գումարման կանոնը: 5. Որքա±ն է երկու մարմիններից յուրաքանչյուրի հարաբե-

րական արագությունը:

Խնդիրների լուծման օրինակներ

120 մ երկարությամբ գնացքը, շարժվելով հավասարաչափ՝ 5 մ/վ արագու-

թյամբ, մոտենում է 480 մ երկարություն ունեցող կամրջին: Որքա±ն ժամանա-

կում գնացքը կանցնի կամուրջը:

Լուծում: Ինչպես երևում է նկա-

րից, կամուրջն անցնելու համար

գնացքը պետք է անցնի s = l + h

ճանապարհ: Այդ ճանապարհին նրա ծախսած ժամանակը՝ t = (l + h) v =120 վ:

Պատասխան՝ 120 վ:

2. Նկարում պատկերված են X առանցքով շարժվող ավտոբուսի և հեծան-

վորդի շարժման գրաֆիկները: Օգտվելով այդ գրաֆիկներից՝ գտեք նրանց

արագությունները, հանդիպման տեղը և ժամանակը:

Լուծում: Վերլուծելով (1) գրաֆիկը՝ տեսնում ենք, որ

սկզբնակետից ավտոբուսի դուրս գալուց 10 վ անց նրա

կոորդինատը դարձել է 150 մ: Ուրեմն՝ ավտոբուսը շարժ-

վել է 15 մ/վ արագությամբ: Հեծանվորդը շարժումն սկսել

է 200 մ կոորդինատով կետից, 10 վ անց եղել է 150 մ կոոր-

դինատով կետում, ուրեմն՝ նա շարժվել է 5 մ/վ արագու-

թյամբ: Գրաֆիկները հատվում են M կետում, որը նշանա-

կում է, որ ավտոբուսը և հեծանվորդը հանդիպել են հաշվարկման սկզբից 10 վ անց՝

ավտոբուսի սկզբնական դիրքից 150 մ հեռավորությամբ կետում:

3. Երկու մարմին շարժվում են հավասարաչափ՝ v₁ և v₂ արագություններով,

ինչպես ցույց է տրված նկարում: Գրաֆիկորեն որոշեք այն ամենափոքր հե-

ռավորությունը, որին հասնում են մարմինները շարժման ընթացքում:

Լուծում: Խնդրի լուծման համար բավական է իմանալ մար-

մինների հարաբերական արագությունը: Շարժումը դիտար-

կենք առաջին մարմնի հետ կապված հաշվարկման համա-

կարգում« որտեղ առաջին մարմինն անշարժ է, իսկ երկրորդը

շարժվում է v2- v₁ հարաբերական արագությամբ՝ այդ արագության ուղղությամբ

ուղղված BC ուղղով: Հետևաբար՝ մարմինների միջև ամենափոքր հեռավորությունը

կլինի A կետից BC ուղղին տարված ուղղահայացի AC երկարությունը:

ԳԼՈՒԽ

III. ՈՒՂՂԱԳԻԾ ՀԱՎԱՍԱՐԱՉԱՓ ՇԱՐԺՈՒՄ

ԳԼՈՒԽ IV

ՈՒՂՂԱԳԻԾ ԱՆՀԱՎԱՍԱՐԱՉԱՓ

ՇԱՐԺՈՒՄ

ԱՆՀԱՎԱՍԱՐԱՉԱՓ ՇԱՐԺՈՒՄ:

ԱՆՀԱՎԱՍԱՐԱՉԱՓ ՇԱՐԺՄԱՆ ՄԻՋԻՆ

14.

ԵՎ ԱԿՆԹԱՐԹԱՅԻՆ ԱՐԱԳՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

Հաճախ հանդիպում են շարժումներ, երբ հավասար ժամանակամիջոցներում

մարմնի տեղափոխությունները տարբեր են: Այն շարժումը, որի ընթացքում գոնե

երկու հավասար ժամանակամիջոցներում մարմինը կատարում է անհավա-

սար տեղափոխություններ, կոչվում է անհավասարաչափ կամ փոփոխական

շարժում:

Սովորաբար անհավասարաչափ են շարժվում գրեթե բոլոր մարմինները. մար-

զիկները՝ խաղահրապարակներում, ավտոմեքենաները՝ փողոցներում, գնացքները՝

կայարանին մոտենալիս և հեռանալիս, ինքնաթիռները՝ թռիչքուղու վրա և այլն:

Փոփոխական շարժման ժամանակ կամայական t ժամանակամիջոցում մարմնի

տեղափոխության հարաբերությունն այդ ժամանակամիջոցին այլևս հաստատուն

մեծություն չէ և չի կարող բնութագրել փոփոխական շարժումն ընդհանրապես:

Ուստի՝ փոփոխական շարժումներն ուսումնասիրելու համար անհրաժեշտ է սահ-

մանել մի շարք նոր հասկացություններ:

Միջին արագություն: Այն դեպքերում, երբ մեզ հետաքրքրում է մարմնի

անհավասարաչափ շարժումը միայն հետագծի որոշակի տեղամասում, որը մար-

մինն անցել է որոշակի t ժամանակամիջոցում, օգտվում են այսպես կոչված ՙմի-

ջին

արագություն՚ հասկացությունից:

Անհավասարաչափ շարժման միջին

արագություն հետագծի որևէ տեղամասում կոչվում է այն ֆիզիկական մեծու-

թյունը« որը հավասար է այդ տեղամասը բնութագրող s տեղափոխության և t

ժամանակամիջոցի հարաբերությանը©

(4.1)

rh2 =

39¬րդ նկարում պատկերված է A կետից B կետ հասած մարդատար ավտո-

մեքենայի տեղափոխությունը յուրաքանչյուր ժամվա ընթացքում: Ինչպես երև-

ում է նկարից, հավասար ժամանակամիջոցներում ավտոմեքենան կատարել է

անհավասար տեղափոխություններ և 200 կմ ճանապարհն անցել է 4 ժամում: Այժմ

պատկերացնենք, թե մարդատար ավտոմեքենայի հետ միաժամանակ նույն երթու-

ՖԻԶԻԿԱ 10

Նկ. 39. Մարդատարի շարժումը

Նկ. 40. Բեռնատարի շարժումը

ղի է դուրս եկել բեռնատար ավտոմեքենան և, շարժվելով հավասարաչափ, մար-

դատարի հետ միաժամանակ հասել է B կետ (նկ. 40): Դա հնարավոր կլինի, եթե

բեռնատարը շարժվի 50 կմ/ժ հաստատուն արագությամբ: Հենց այդ ուղղագիծ հա-

վասարաչափ շարժման արագությունն էլ ցույց կտա անհավասարաչափ շարժման

միջին արագությունը: Անհավասարաչափ շարժման միջին արագությունը

հավասար է այն հավասարաչափ շարժման արագությանը, որի դեպքում

շարժվող մարմինը նույն s տեղափոխությունը կատարում է նույն t ժամա-

նակում, ինչ անհավասարաչափ շարժման դեպքում:

Իմանալով միջին արագությունը՝ (4.1) բանաձևից կարող ենք որոշել տվյալ t

ժամանակամիջոցում մարմնի տեղափոխությունը՝

v t:

(4.2)

rh2

Պետք է հիշել, որ այս բանաձևը ճիշտ արդյունք է տալիս հետագծի միայն այն

տեղամասի համար, որի համար որոշված է միջին արագությունը: Եթե, օգտվելով

միջին արագության 50 կմ/ժ արժեքից, հաշվենք տեղափոխությունը ոչ թե 4, այլ 2

կամ 3 ժամվա համար, ապա սխալ արդյունք կստանանք: Դա բացատրվում է նրա-

նով, որ 4 ժամվա համար հաշված միջին արագությունը հավասար չէ 2 կամ 3 ժամ-

վա համար հաշված միջին արագությանը:

(4.1) բանաձևով որոշվող միջին արագությունը վեկտորական մեծություն է,

ուստի՝ տեղափոխության միջոցով սահմանված միջին արագությունն անվանում

են վեկտորական միջին արագություն: Գործնականում ավելի հաճախ օգտագործ-

վում է

ճանապարհի միջոցով սահմանվող սկալյար միջին ճանապարհային

արագությունը՝ որպես t ժամանակամիջոցում մարմնի անցած s ճանապարհի և

այդ ժամանակամիջոցի հարաբերություն՝

(4.3)

rh2 =

Միջին ճանապարհային արագությունը փաստորեն այն արագությունն է,

որ կունենար մարմինը, եթե« հավասարաչափ շարժվելով, s ճանապարհն անցներ

նույն t ժամանակամիջոցում, ինչ փոփոխական շարժման դեպքում:

Պետք է նկատի ունենալ, որ սկալյար միջին արագությունը նույնպես կախված

է այն տեղամասից, որի համար այն որոշվում է: Օրինակ՝ 41¬րդ նկարում պատ-

կերված AD ճանապարհի AB հատվա-

ծում միջին արագությունը՝ v

s1 1

1rh2

BC հատվածում՝ v

2rh2

s2 t

, CD հատ-

Նկ.41. Միջին արագությունը տարբեր

վածում՝ v

s3 t

, իսկ

ամբողջ AD

3rh2

տեղամասերում

ճանապարհի վրա միջին արագությունը՝

ԳԼՈՒԽ

IV. ՈՒՂՂԱԳԻԾ ԱՆՀԱՎԱՍԱՐԱՉԱՓ ՇԱՐԺՈՒՄ

(4.4)

rh2

և կարող է էապես տարբերվել յուրաքանչյուր տեղամասի միջին արագությունից:

Ակնթարթային արագություն: Անհավասարաչափ շարժում կատարող ավ-

տոմեքենայի արագաչափի ցուցմունքը ժամանակի ընթացքում փոփոխվում է (սլա-

քը տատանվում է): Իսկ ի՞նչ իմաստ ունի տվյալ պահին նրա ցույց տված արագու-

թյան արժեքը: Եթե այդ պահից հաշված փոքր Dt ժամանակամիջոցում մարմինը

կատարի Ds տեղափոխություն, ապա Ds Dt հարաբերության, այսինքն՝ միջին

արագության մոդուլը քիչ կտարբերվի արագաչափի՝ տվյալ պահին ունեցած ցուց-

մունքից, ընդ որում, որքան փոքր լինի Dt -ն, այնքան փոքր կլինի այդ տարբերու-

թյունը: Սահմանային դեպքում, երբ Dt -ն ձգտում է զրոյի, այդ տարբերությունն էլ է

ձգտում զրոյի, այսինքն՝ միջին արագության արժեքը համընկնում է տվյալ պահին

(ակնթարթին) արագաչափի ցուցմունքին:

Մարմնի արագությունը ժամանակի տվյալ պահին կամ հետագծի տվյալ

կետում կոչվում է ակնթարթային արագություն:

Այսպիսով՝ ակնթարթային արագությունը t պահին հավասար է միջին արա-

գությանն այնպիսի բավականաչափ փոքր Dt ժամանակամիջոցում, որն ընդգրկում

է տվյալ t պահը՝

(4.5)

Ակնթարթային արագությանը կարելի է մեկնաբանել նաև այսպես: Բավա-

կանաչափ փոքր Dt ժամանակամիջոցում մարմնի շարժումը կարելի է համարել

ուղղագիծ հավասարաչափ, որի արագությունն էլ ակնթարթային արագությունն է:

Այլ կերպ ասած՝ եթե տվյալ պահից սկսած մարմինը շարժվեր ուղղագիծ հավա-

սարաչափ, ապա նրա շարժման արագությունը կհամընկներ այդ պահին մարմնի

ակնթարթային արագությանը:

Մարմնի ուղղագիծ հավասարաչափ շարժման դեպքում միջին արագությու-

նը ճանապարհի կամայական հատվածում և ակնթարթային արագությունը ժա-

մանակի յուրաքանչյուր պահի հավասար են ուղղագիծ հավասարաչափ շարժման

արագությանը, ուստի՝ այս շարժման ժամանակ հարկ չկա նշելու, թե որ արագու-

թյան մասին է խոսքը, պարզապես կարելի է ասել արագություն՝ հասկանալով

նշված արագություններից որևիցե մեկը:

Փոփոխական շարժման ակնթարթային արագության մասին խոսելիս ամեն

անգամ ՙակնթարթային՚ բառը հատուկ չի նշվում: Միջին արագության մասին խո-

սելիս ՙմիջին՚ բառը նշվում է հատուկ, իսկ երբ պարզապես ասում են ՙարագու-

թյուն՚, հասկանում են ակնթարթային արագությունը:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ո±ր շարժումն է կոչվում անհավասարաչափ: 2. Ի՞նչ բանաձևով են հաշվում անհավա-

սարաչափ շարժման միջին արագությունը, և ի՞նչ է ցույց տալիս այն: 3. Ի՞նչ է ակնթար-

թային արագությունը: 4. Ի՞նչ ուղղություն ունի ակնթարթային արագությունը: 5. Ի՞նչ է

ցույց տալիս ավտոմեքենայի արագաչափը:

ՖԻԶԻԿԱ 10

Խնդիրների լուծման օրինակներ

1. Իրար հաջորդող t₀ հավասար ժամանակամիջոցներում (t1=t

=$$$=

մարմինը շարժվել է« համապատասխանաբար« v , v ,$$$,vn

հաստատուն արա-

գություններով: Որքա±ն է մարմնի միջին արագությունն ամբողջ ճանապարհին:

Քննարկել n=2 մասնավոր դեպքը, երբ v =

40 կմ/ժ, v₂ = 60 կմ/ժ:

Լուծում: Համաձայն սահմանման՝ մարմ-

նի մի-

ջին

արագությունն

ամբողջ ճանապարհին՝

$$$

rh2

t1+

+$$$+

Բայց s1= v1t0 , s2 = v2 t0 « ©©©© « sn = vn t0 , հետևաբար՝

t2 0

+$$$+v

(v1+v

+$$$+vn)t

v1+v

+$$$+v

rh2

+$$$+

այսինքն՝ տվյալ խնդրում միջին արագությունն ամբողջ ճանապարհին հավասար

է տարբեր հատվածներում մարմնի ունեցած արագությունների միջին թվաբանա-

կանին, մասնավորապես, n = 2 դեպքում v

= (v1+ v2) 2=50

rh2

կմ/ժ:

Պատասխան՝ 50 կմ/ժ:

2. Մարմինն իրար հաջորդող n հավասար s₀ ճանապարհներն անցնում է, հա-

մապատասխանաբար, v1, v2, $$$,vn հաստատուն արագություններով: Որքա±ն

է մարմնի միջին ճանապարհային արագությունն ամբողջ ճանապարհին:

Քննարկել n=2 մասնավոր դեպքը, երբ v =40կմ/ժ, v2 =60կմ/ժ:

Լուծում: Միջին ճանապարհային արագության սահմանման համաձայն՝

+$$$+

rh2

+$$$+

+$$$+s

+$$$+1

v ,n

կամ

+ $$$+

rh2

n v

այսինքն միջին արագության հակադարձ մեծությունը հավասար է առանձին տե-

ղամասերում մարմնի ունեցած արագությունների հակադարձ մեծությունների մի-

ջին թվաբանականին կամ այսպես կոչված ներդաշնակ միջինին: Մասնավորա-

պես, n = 2 դեպքում

2v1v

=48կմ/ժ:

m կամ v

rh2

v1+v

Պատասխան՝ 48 կմ/ժ:

3. Հեծանվորդը ճամբարից շարժվում է հորիզոնական ճանապարհով, հե-

տո՝ սար բարձրանում, իսկ այնուհետև նույն ճանապարհով վերադառնում

ելման կետ: Սար բարձրանալիս նրա արագությունը v₁ =7,5 կմ/ժ է, իսկ իջ-

նելիս՝ v₂ =15 կմ/ժ: Ի՞նչ v արագությամբ նա պետք է շարժվի հորիզոնական

ճանապարհով, որպեսզի կարողանա հաշվել երթուղու s երկարությունը՝ չա-

փելով ուղևորության t ժամանակը:

Լուծում: Եթե սարալանջի երկարությունը նշանակենք s1-ով, ապա հորիզոնական

տեղամասի երկարությունը հավասար կլինի s 2 - s1, ուստի՝ ուղևորության ժամա-

նակը՝

ԳԼՈՒԽ

IV. ՈՒՂՂԱԳԻԾ ԱՆՀԱՎԱՍԱՐԱՉԱՓ ՇԱՐԺՈՒՄ

t =

v1 v

որտեղից

vt vs

- m

(ա)

v1 v

(ա) արտահայտությունից երևում է, որ չափելով ուղևորության t ժամանակը, հնա-

րավոր է որոշել երթուղու երկարությունը, եթե փակագծում գրվածը զրո է, այսինքն՝

= c

+ m:

(բ)

Այս դեպքում երթուղու երկարությունը՝ s = vt :

Ստացվեց զարմանալի արդյունք՝ (բ) պայմանի դեպքում շարժման t ժամանակում

հեծանվորդի միջին արագությունը հավասար է հորիզոնական տեղամասում նրա

շարժման արագությանը, այսինքն՝ երթուղու երկարությունը հաշվելու համար կա-

րելի է մոռանալ վերելքի ու վայրէջքի մասին և համարել, որ ամբողջ երթուղին հո-

րիզոնական է եղել« և հեծանվորդը շարժվել է հաստատուն արագությամբ:

4. Խաչմերուկից փոխուղղահայաց ուղղություններով միաժամանակ դուրս է

գալիս երեք ավտոմեքենա, առաջինը՝ v₁ = 40 կմ/ժ արագությամբ դեպի արև-

ելք, երկրորդը՝ v₂ = 60 կմ/ժ արագությամբ դեպի արևմուտք: Որոշ ժամանակ

անց դեպի հյուսիս շարժվող երրորդ ավտոմեքենայի ուղևորը տեսնում է առա-

ջին և երկրորդ ավտոմեքենաները 90 անկյան տակ: Ի՞նչ միջին արագությամբ

է շարժվել այդ ընթացքում երրորդ ավտոմեքենան:

Լուծում: Գծագրից երևում է, որ CO-ն BCA ուղ-

ղանկյուն եռանկյան ուղիղ անկյան գագաթից

ներքնաձիգին տարված բարձրությունն է, հե-

տևաբար՝ նրա քառակուսին հավասար է ներք-

նաձիգի վրա առաջացած հատվածների արտա-

դրյալին.

: Հաշվի առնելով, որ

OC, OA և OB հատվածները մարմինների անցած

ճանապարհներն

են, կստանանք՝

(v₃ t)

(v1t)

(v2t),

որտեղից՝ v

v1v

3 =

2 ,

այսինքն՝ երրորդ ավտոմեքենայի միջին արագությունը հավասար է դեպի արևելք

և արևմուտք շարժվող ավտոմեքենաների արագությունների միջին երկրաչափա-

կանին: Տեղադրելով v1-ի և v2-ի արժեքները, կստանանք՝ v3 .49կմ/ժ:

Միջին արժեք

Խնդիրների լուծման օրինակներում մարմնի շարժման միջին արագությունը մի դեպ-

քում հավասար է տրված արագությունների միջին թվաբանականին, երկրորդ դեպ-

քում՝ միջին երկրաչափականին, երրորդ դեպքում՝ միջին ներդաշնակին, ընդ որում« 40

և 60 թվերի հարմոնիկ, երկրաչափական և թվաբանական միջինների համար« համա-

պատասխանաբար« ստացանք 48, 49 և 50 արժեքները: Ինչպես կտեսնենք ստորև« ոչ

թե պատահականություն, այլ օրինաչափություն է, որ միջին մեծություններից նվա-

զագույն արժեք ունի միջին ներդաշնակը, իսկ առավելագույն՝ միջին թվաբանականը:

Միջին մեծությունները հայտնի են եղել դեռևս Հին աշխարհի մաթեմատիկոսներին:

Հույն մաթեմատիկոս Արքիտասի (մ. թ. ա. 428-365 թթ.) աշխատություններում երկու

(դրական) թվերի m թվաբանական միջինը, g երկրաչափական միջինը և h ներդաշնակ

ՖԻԶԻԿԱ 10

միջինը սահմանվել են, համապատասխանաբար, որպես թվաբանական, երկրաչա-

փական և ներդաշնակ համեմատությունների միջին անդամներ՝

a - m = m - b, a:g = g:b,

(a - h):a = (h - b):b,

որոնցից հետևում է, որ

a+b

2ab

ab,

a+b

Հույն մաթեմատիկոս Պապպոս Ալեքսանդրացու (III-IV դդ.) ՙՄաթեմատիկական

ժողովածու՚ աշխատության մեջ նկարագրված է ինչպես կառուցել վերոնշյալ մի-

ջինները նույն երկրաչափական պատկերի ներսում,

որը հնարավորություն է տալիս նաև ապացուցելու

այդ միջինների կապն արտահայտող անհավա-

սարությունները: Այդպիսի կառուցման մի օրինակ

ցույց է տրված նկարում:

AB հատվածի՝ որպես տրամագծի վրա կառուցված

է կիսաշրջանագիծ, որի կենտրոնն O կետն է: Տրա-

մագիծը կամայական կետով տրոհված է երկու հատվածի՝ AC = a և CB = b: C կետով

տարված են ուղղահայացներ AB տրամագծին և ON շառավղին: a և b թվերի միջին

թվաբանականը շրջանագծի շառավիղն է, երկրաչափական և ներդաշնակ միջիննե-

րը՝ CN և CM հատվածները: Եթե AC=CB , ապա O և C կետերը համընկնում են, հետև-

աբար՝ համընկնում են նաև բոլոր դիտարկվող հատվածները՝ NM = NC = ON: Հետև-

աբար՝ կարող ենք պնդել, որ

2ab

a+b

ընդ որում, հավասարության նշանը վերաբերվում է a =b դեպքին:

Ֆիզիկայում առավել հաճախ առնչվում ենք տվյալ

միջակայքում

անընդհատ փոփոխվող ֆիզիկական

մեծության միջին արժեքի հետ: Դիցուք՝ f ֆիզիկական

մեծության կախումը x-ից ունի նկարում պատկերված

տեսքը: Ենթադրենք՝ f (x) գրաֆիկով, OX առանցքով

և այդ առանցքին a և b կետերում կանգնեցված ուղ-

ղահայացներով սահմանափակված կորագիծ սեղա-

նի DS մակերեսը հավասար է [a, b] հատվածի վրա

կառուցված ուղղանկյան մակերեսին: f ֆիզիկական մեծության միջին արժեք [a, b]

հատվածում կոչվում է ուղղանկյան բարձրությունը.

rh2 =

b a

Նկատենք, որ եթե f ֆիզիկական մեծության կախումը x-ից գծային է, ապա նրա գրա-

ֆիկով սահմանափակված պատկերն ուղղանկյուն սեղան է, որի մակերեսը՝

f(a)

f(b)

f(a)

f(b)

(b a), որտեղից

rh2 =

Այսպիսով՝ գծային օրենքով փոփոխվող ֆիզիկական մեծության միջին արժեքը որո-

շակի միջակայքում հավասար է այդ միջակայքի սկզբնակետում և վերջնակետում

ֆիզիկական մեծության արժեքների միջին թվաբանականին: Այս փաստը հաճախ

օգտագործվում է զանազան խնդիրներ լուծելիս:

ԳԼՈՒԽ

IV. ՈՒՂՂԱԳԻԾ ԱՆՀԱՎԱՍԱՐԱՉԱՓ ՇԱՐԺՈՒՄ

ՀԱՎԱՍԱՐԱՉԱՓ ՓՈՓՈԽԱԿԱՆ ՇԱՐԺՈՒՄ:

15.

ԱՐԱԳԱՑՈՒՄ

Մարմնի անհավասարաչափ շարժման ընթացքում ակնթարթային արագու-

թյունը ժամանակից կախված անընդհատ փոփոխվում է: Իսկ ինչպե՞ս հաշվել

մարմնի ակնթարթային արագությունը:

Անհավասարաչափ շարժման տարածված տեսակ է այն շարժումը, որի ժա-

մանակ արագությունը կամայական հավասար ժամանակամիջոցներում կրում է

միատեսակ փոփոխություն: Այդպիսի շարժում է կատարում, օրինակ« թեք հարթու-

թյամբ գլորվող գնդիկը, որոշ բարձրությունից ընկնող քարը, կայարանից շարժվող

գնացքը և այլն: Այն շարժումը, որի ժամանակ մարմնի արագությունը կամայա-

կան հավասար ժամանակամիջոցներում փոփոխվում է նույն չափով, կոչվում

է հավասարաչափ փոփոխական շարժում:

Սահմանումից բխում է, որ Dt ժամանակամիջոցում արագության Dv փոփո-

խության և այդ ժամանակամիջոցի հարաբերությունը հաստատուն մեծություն է՝

const:

(4.6)

Վերջինս արագության փոփոխման արագությունն է, որն անվանում են հա-

վասարաչափ փոփոխական շարժման արագացում՝

(4.7)

Եթե

արագությունը շարժման սկզբում եղել է v₀ , իսկ t պահին՝ v , ապա

D =v v0

, Dt = t , հետևաբար՝ արագացումը՝

v v

(4.8)

Արագացման միավորը: (4.8) հավասարումից հետևում է, որ արագացումը

հավասար է միավորի, եթե միավորի են հավասար արագության փոփոխությունը և

ժամանակամիջոցը: Ուստի՝ արագացման միավորը ՄՀ-ում այն հավասարաչափ

փոփոխական շարժման արագացումն է, որի դեպքում 1 վայրկյանում արագությու-

նը փոփոխվում է 1 մ/վ-ով: Հետևաբար՝ ՄՀ-ում արագացումն արտահայտվում է

մետր-վայրկյան-վայրկյանով կամ մետր-քառակուսի վայրկյանով (մ/վ²).

[v]

r/a

[a]

r/a

(4.9)

[t]

Եթե հավասարաչափ փոփոխական շարժում կատարող մարմնի v₀ սկզբնա-

կան արագությունը և a արագացումը հայտնի են, ապա ժամանակի t պահին

մարմնի v արագությունը կարտահայտվի

v = v0+ at

(4.10)

հավասարությամբ« որը հավասարաչափ փոփոխական շարժման առաջին հիմ-

նական հավասարումն է:

Եթե հավասարաչափ փոփոխական շարժումն սկսվում է դադարի վիճակից

0 =

, ապա արագության կախումը ժամանակից կունենա հետևյալ տեսքը՝

v=at:

(4.11)

ՖԻԶԻԿԱ 10

(4.11) հավասարումից հետևում է, որ ժամանակի յուրաքանչյուր պահի մարմ-

նի շարժման արագության ուղղությունը համընկնում է արագացման ուղղությանը.

մարմինը շարժվում է ուղիղ գծով՝ արագացման վեկտորի ուղղությամբ: Ուրեմն՝ դա-

դարի վիճակից հավասարաչափ փոփոխական շարժումն ուղղագիծ շարժում է:

(4.11) հավասարումից մարմնի ճանապարհային արագությունը՝

v = at

(4.12)

այսինքն՝ մարմնի ճանապարհային արագությունն ուղիղ համեմատական է շարժ-

ման t ժամանակին և ժամանակի ընթացքում անընդհատ աճում է: Շարժումը, որի

ընթացքում արագության մոդուլն աճում է, կոչվում է արագացող շարժում: Իսկ

նվազող արագության մոդուլով շարժումը կոչվում է դանդաղող:

Դադարի վիճակից հավասարաչափ արագացող շարժ-

ման արագության մոդուլի գրաֆիկն ուղիղ գիծ է (նկ. 42):

Ինչպես նշել ենք ¢12-ում, այդ գրաֆիկով սահմանափակ-

ված պատկերի մակերեսը թվապես հավասար է մարմնի

անցած ճանապարհին: Տվյալ դեպքում այդ պատկերն ուղ-

ղանկյուն եռանկյուն է, որի մի էջը շարժման t ժամանակն է,

Նկ.42. Ճանապարհը

իսկ մյուսը՝ t պահին մարմնի v արագությանը, այսինքն՝ at:

ներկված եռանկյան

մակերեսն է

Հետևաբար՝ t ժամանակում մարմնի անցած ճանապարհը՝

(4.13)

Հաշվի առնելով, որ դադարի վիճակից հավասարաչափ արագացող շարժ-

ման դեպքում մարմինը շարժվում է ուղիղ գծով, միշտ նույն՝ արագացման վեկտորի

ուղղությամբ, կարող ենք որոշել մարմնի տեղափոխությունը: Այս դեպքում տեղա-

փոխության մոդուլը հավասար է մարմնի անցած ճանապարհին, իսկ ուղղությունը

համընկնում է արագացման վեկտորի ուղղությանը, հետևաբար՝

(4.14)

t ժամանակում մարմնի տեղափոխությունը հաշվելու այս բանաձևը կոչվում

է հավասարաչափ փոփոխական շարժման երկրորդ հիմնական հավասարում:

Այժմ ստանանք հավասարաչափ փոփոխական շարժման տեղափոխության

բանաձևը, երբ շարժման սկզբում անշարժ հաշվարկման համակարգի նկատմամբ

մարմինն ունի v₀ սկզբնական արագություն:

Մարմնի շարժումը դիտարկենք մի համակարգում, որն առաջինի նկատմամբ

շարժվում է v₀ հաստատուն

արագությամբ: Համաձայն արագությունների գու-

մարման բանաձևի՝ մարմնի v արագությունն անշարժ համակարգի նկատմամբ

հավասար է շարժվող համակարգի նկատմամբ նրա v_' արագության և շարժվող

համակարգի արագության գումարին՝

v = v'+ v₀:

(4.15)

(4.10) և (4.15) հավասարումներից հետևում է, որ շարժվող համակարգի նկատ-

մամբ մարմնի արագության կախումը ժամանակից արտահայտվում է հետևյալ

կերպ՝

v'=at:

(4.16)

ԳԼՈՒԽ

IV. ՈՒՂՂԱԳԻԾ ԱՆՀԱՎԱՍԱՐԱՉԱՓ ՇԱՐԺՈՒՄ

Սա նշանակում է, որ շարժվող համակարգի նկատմամբ մարմինը կատարում

հավասարաչափ արագացող շարժում դադարի վիճակից, ընդ որում, արագացու-

մը երկու հաշվարկման համակարգերում նույնն է: Միմյանց նկատմամբ ուղ-

ղագիծ հավասարաչափ շարժվող բոլոր հաշվարկման համակարգերում

արագացումը նույնն է:

Շարժվող համակարգում մարմնի շարժումն սկսվում է դադարի վիճակից,

ուստի՝ այդտեղ t ժամանակում մարմնի տեղափոխությունը կարտահայտվի (4.14)

բանաձևով: Նույն t ժամանակում շարժվող համակարգը կկատարի v0t տեղափո-

խություն, հետևաբար՝ տեղափոխությունների գումարման բանաձևից անշարժ հա-

մակարգի նկատմամբ մարմնի տեղափոխությունը՝

v0t

(4.17)

Եթե մարմնի սկզբնական դիրքի շառավիղ-վեկտորը եղել է r₀ , ապա t պահին

նրա r շառավիղ-վեկտորը՝

v0t

(4.18)

(4.18)-ը մեխանիկայի հիմնական խնդրի լուծումն

է հաստատուն արագացմամբ շարժման դեպքում: Այս

արտահայտությունն

առանձնահատուկ նշանակու-

թյուն ունի այն պատճառով, որ խնդրի լուծման ժամա-

նակ ոչ մի սահմանափակում չդրվեց մարմնի հետագծի

տեսքի վրա: Ավելին՝ (4.18) բանաձևը հնարավորու-

թյուն է տալիս պարզելու, թե հաստատուն արագաց-

մամբ շարժվող մարմնի հետագիծը որ դեպքում կլինի

Նկ.43.Շարժումն ուղղագիծ է:

ուղիղ գիծ և որ դեպքում՝ կոր: Իրոք, (4.18)-ից երևում է,

որ եթե մարմնի շարժման արագացումը և սկզբնական

արագությունն ուղղված են մի ուղղով, ապա ժամանա-

կի կամայական պահի այդ ուղղով են ուղղված նաև

արագությունը և տեղափոխությունը: Իսկ դա նշանա-

կում է, որ մարմինը շարժվում է նույն ուղղով, այսինքն՝

մարմնի շարժման հետագիծն ուղիղ գիծ է (նկ. 43):

Նկ.44. Շարժումը կորագիծ է:

Եթե մարմնի շարժման արագացումը և սկզբնական

արագությունն ուղղված չեն մի ուղղով, ապա արագության ուղղությունն անընդ-

հատ փոխվում է. մարմինը կատարում է կորագիծ շարժում (նկ. 44):

Նկատենք, որ ուղղագիծ հավասարաչափ շարժման հավասարումներն ստաց-

վում են հավասարաչափ արագացող շարժման հավասարումներից, եթե դրանց

մեջ տեղադրենք a

0, v0=v

: Իրոք, այդ դեպքում (4.18) հավասարումից՝

r=r

+vt:

(4.19)

Վերջապես, եթե ստացված հավասարումների մեջ արագությունն էլ լինի զրո,

ապա կստանանք դադարը նկարագրող հավասարումը՝

r=r₀«

(4.20)

ըստ որի՝ մարմինը տեղից չի շարժվել և շարունակում է մնալ սկզբնական դիրքում:

ՖԻԶԻԿԱ 10

(4.18) բանաձևով որոշված շառավիղ-վեկտորի առաջին գումարելին հա-

մապատասխանում է r₀ կետում դադարի վիճակին: Երկրորդ գումարելին ցույց

է տալիս, թե մարմինն ինչքան կտեղաշարժվեր այդ կետից, եթե շարժվեր հավա-

սարաչափ՝ v₀ հաստատուն արագությամբ: Երրորդ գումարելին արագացմամբ

պայմանավորված ուղղումն է: Այսպիսով՝ կարելի է համարել, որ մարմինը միաժա-

մանակ կատարում է մի քանի անկախ շարժումներ՝ ա) հավասարաչափ շարժում

v₀ արագությամբ, բ) հավասարաչափ արագացող շարժում դադարի վիճակից a

արագացմամբ: Ընդ որում« արդյունարար շարժման տեղափոխությունը հավասար

է առանձին շարժումների ընթացքում մարմնի տեղափոխությունների վեկտորա-

կան գումարին: Տեղափոխությունների գումարման կանոնից բխող այս պնդումը

կոչվում է շարժումների անկախության սկզբունք:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ո±ր շարժումն է կոչվում հավասարաչափ փոփոխական: 2. Ո±ր մեծությունն է կոչվում

հավասարաչափ արագացող փոփոխական շարժման արագացում: 3. Ո±րն է արագացման

միավորը ՄՀ-ում« և ի՞նչ ֆիզիկական իմաստ ունի այն: 4. Գրե°ք մարմնի հավասարաչափ

փոփոխական շարժման արագության՝ ժամանակից կախումն արտահայտող բանաձևը:

5. Ի՞նչ բանաձևով է որոշվում դադարի վիճակից հավասարաչափ արագացող շարժում

կատարող մարմնի տեղափոխությունը: 6. Որքա±ն է մարմնի հավասարաչափ արագացող

շարժման միջին արագությունն այն ժամանակամիջոցում, որի ընթացքում արագությու-

նը 0-ից դարձել է v: 7. Հաստատուն արագացմամբ շարժման հետագիծը ե±րբ է ուղիղ

գիծ: 8. Գրե°ք սկզբնական արագությամբ հավասարաչափ փոփոխական շարժում կատա-

րող մարմնի արագության, տեղափոխության և շառավիղ-վեկտորի՝ ժամանակից կախումն

արտահայտող բանաձևերը: 9. Ի՞նչն են անվանում շարժումների անկախության սկզբունք:

ՈՒՂՂԱԳԻԾ ՀԱՎԱՍԱՐԱՉԱՓ ՓՈՓՈԽԱԿԱՆ

ՇԱՐԺՄԱՆ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԸ:

16.

ՇԱՐԺՄԱՆ ԳՐԱՖԻԿԱԿԱՆ ՊԱՏԿԵՐՈՒՄԸ

Ինչպես նշեցինք նախորդ պարագրաֆում, եթե մարմնի շարժման արագացու-

մը և սկզբնական արագությունն ուղղված են մի ուղղով, ապա մարմնի շարժման

հետագիծն ուղիղ գիծ է: Այս դեպքում հարմար է կոորդինատային (օրինակ՝ X)

առանցքն ուղղել այդ ուղղի երկայնքով և օգտվել այն հավասարումներից, որոնց

մեջ մտնում են ոչ թե վեկտորներ, այլ կոորդինատային առանցքի վրա դրանց պրո-

յեկցիաները (կամ դրանց մոդուլները):

Ինչպես գիտեք, մի քանի վեկտորների գումարի պրոյեկցիան որևէ առանցքի

վրա հավասար է նույն առանցքի վրա դրանց պրոյեկցիաների գումարին: Եթե a ,

v₀, v և s վեկտորների պրոյեկցիաներն X առանցքի վրա նշանակենք« համապա-

տասխանաբար« a_x ,

0 , vx և sx , ապա հավասարաչափ փոփոխական շարժման

(4.10), (4.17) և (4.18) հավասարումներից կստանանք՝

vx= v

axt,

(4.21)

axt

v0xt

(4.22)

axt

x = x0+v0xt

(4.23)

ԳԼՈՒԽ

IV. ՈՒՂՂԱԳԻԾ ԱՆՀԱՎԱՍԱՐԱՉԱՓ ՇԱՐԺՈՒՄ

(4.21) - (4.23) հավասարումներն ուղղագիծ հավասարաչափ փոփոխական

շարժման հիմնական հավասարումներն են: Դրանք ամբողջությամբ բնութա-

գրում են հաստատուն արագացմամբ ուղղագիծ շարժումը և սպառիչ պատասխան

տալիս այդ շարժման վերաբերյալ յուրաքանչյուր հարցի:

Եթե (4.21) հավասարումից գտնենք t ժամանակը և տեղադրենք (4.22) հավա-

սարման մեջ« կստանանք վերջնական ու սկզբնական արագությունների, արագաց-

ման և տեղափոխության պրոյեկցիաների միջև կապ հաստատող բանաձև.

v2 v

2axs

(4.24)

Եթե դադարի վիճակից ( v

) հավասարաչափ արագացող շարժում կատա-

րող մարմինն անցնի s_x = s ճանապարհ, ապա ձեռք կբերի

2as

(4.25)

արագություն: Նույն բանաձևից հետևում է նաև, որ v₀ սկզբնական արագությամբ

մարմնի անցած ճանապարհը մինչև կանգ առնելը (v

0, a

a<0

)՝

(4.26)

Կախված

0 -ի և ax -ի նշաններից մարմնի շարժումը կարող է լինել արագացող

(հավասարաչափ արագացող շարժում), դանդաղող (հավասարաչափ դանդաղող

շարժում) կամ դրանց համակցությունը (հավասարաչափ փոփոխական շարժում):

Հաճախ հարմար է լինում կոորդինատային առանցքն ուղղել սկզբնական արագու-

թյան ուղղությամբ: Այդ դեպքում v

և շարժման բնույթը որոշում է a_x -ի նշանը:

Հավասարաչափ արագացող շարժում (a Nv₀, ax= a): Եթե արագացումն

ուղղված է սկզբնական արագության ուղղությամբ (նկ. 45), ապա վերը նշված բոլոր

վեկտորների պրոյեկցիաները հավասար կլինեն իրենց մոդուլներին, ուստի՝ շարժ-

ման հավասարումները կարտահայտվեն հետևյալ կերպ.

v = v0+ at«

(4.27)

s = v0t

(4.28)

x = x0+v0t

(4.29)

Նկ.45. Հավասարաչափ արագացող

v2 v

2as:

(4.30)

շարժում

Քանի որ արագացումը հաստատուն է« ապա նրա գրաֆիկը ժամանակի

առանցքին զուգահեռ ուղիղ է (նկ© 46« ա): Արագությունը կախումը ժամանակից

գծային է, ուստի՝ նրա գրաֆիկն ուղիղ գիծ է (նկ. 46, բ)« ժամանակի առանցքի

հետ որի կազմած անկյան տանգենսը, տրված մասշտաբի դեպքում, հավասար է

արագացմանը. tga = a:

Մարմնի անցած ճանապարհը« ժամանակից կախված« փոխվում է քառա-

կուսային օրենքով, նրա գրաֆիկը պարաբոլի աջ ճյուղն է (նկ. 46« գ): Պարաբոլի

գագաթը կոորդինատների սկզբնակետն է, ճյուղն ուղղված է դեպի վերև:

ՖԻԶԻԿԱ 10

Նկ. 46. Հավասարաչափ արագացող շարժման գրաֆիկները

Հավասարաչափ դանդաղող շարժում (a

, a

x=-

Եթե արագացումն

ուղղված է սկզբնական արագության հակադիր ուղղությամբ (նկ. 47), ապա շարժ-

ման հավասարումները կարտահայտվեն հետևյալ կերպ.

v = v0- at«

(4.31)

s = v0t

(4.32)

x = x0+v0t

(4.33)

Նկ. 47. Հավասարաչափ դանդաղող

շարժում

v2 v

2as:

(4.34)

Դանդաղող շարժման արագության և ճանապարհի գրաֆիկները պատկեր-

ված են 48-րդ նկարում: Արագությունը« անընդհատ նվազելով, t0 = v0 a պահին

դառնում է զրո, և մարմինը կանգ է առնում: Մինչև կանգ առնելը (0

t₀

) ժամանա-

կահատվածում մարմնի անցած s₀ ճանապարհը կարելի է որոշել (4.32) կամ (4.34)

հավասարումներից՝

(4.35)

Դանդաղող շարժում են կատարում, օրինակ« փոխադրամիջոցները՝ արգելակ-

ման ժամանակ: Մասնավորապես գնացքը« կայարանին մոտենալիս, արգելակում

է ու կանգ առնում: Դրանից հետո արագացումը դառնում է զրո, և գնացքը մնում է

դադարի վիճակում:

Աղյուսակ 1.

Արագացում

Սկզբնական պայմաններ

Շարժման հավասարումներ

Հավասարաչափ շարժում

v = v0= const

s= vt, v = v₀

Հավասարաչափ արագացող շարժում դադարի վիճակից

ax= a

0 =

v=at

Սկզբնական արագությամբ հավասարաչափ արագացող շարժում

at²

ax= a

s=v0t +

, v=v

+at

Հավասարաչափ դանդաղող շարժում՝ մինչև t₀ =v₀/a պահը

at²

ax =-a

s=v0t -

, v=v

-at

ԳԼՈՒԽ

IV. ՈՒՂՂԱԳԻԾ ԱՆՀԱՎԱՍԱՐԱՉԱՓ ՇԱՐԺՈՒՄ

Մենք դիտարկեցինք հավա-

սարաչափ փոփոխական շարժ-

ման երկու մասնավոր դեպք և

համոզվեցինք, թե

գործնական

խնդիրների լուծելիս որքան կա-

րևոր է ճիշտ որոշել (4.21) - (4.23)

Նկ.48. Դանդաղող շարժման արագության գրաֆիկն ընդհանուր հավասարումների մեջ

ուղիղ գիծ է, իսկ ճանապարհի գրաֆիկը շրջված

մտնող ֆիզիկական մեծություն-

պարաբոլի ձախ ճյուղն է:

ների պրոյեկցիաների նշանները:

Դրանց նշաններից կախված՝ ստացվում են միանգամային տարբեր բնույթի շար-

ժումների բանաձևերը: Ուստի՝ խնդիրների լուծման ժամանակ նպատակահար-

մար է օգտվել հավասարումների ընդհանուր տեսքից, այնուհետև, հաշվի առնելով

սկզբնական պայմանները, ստանալ մասնավոր հաշվարկային բանաձևերը: 1-ին

աղյուսակում ցույց է տրված, թե ինչպես են փոխվում այդ բանաձևերը՝ կախված

տրված պայմաններից:

Հավասարաչափ փոփոխական շարժում: Գործնականում հանդիպում

են շարժումներ, որոնց ժամանակ կանգ առնելուց հետո էլ արագացման վեկ-

տորը մնում է անփոփոխ, ուստի՝ մի ակնթարթ կանգնելուց հետո, մարմինը

փոխում

է շարժման ուղղությունը

(նկ© 49),

արագության պրոյեկցիան

դառնում է բացասական, իսկ նրա մո-

Նկ© 49. Հավասարաչափ փոփոխական

դուլն աճում է: Այդպես է շարժվում,

շարժում

օրինակ, ուղղաձիգ դեպի վեր նետված

մարմինը, թեք հարթությամբ դեպի վեր գլորվող գնդիկը և այլն: t₀ պահին

մարմնի կոորդինատն ընդունում է իր առավելագույն արժեքը« այնուհետև

նվազում է: Այդ պահից հետո շարժումը դառնում է հավասարաչափ արա-

գացող« մարմնի արագությունը՝ ուղիղ համեմատական՝ հետ շարժվելու t - t₀

ժամանակին, իսկ այդ ընթացքում անցած s_' ճանապարհը՝ հետ շարժվելու

ժամանակի քառակուսուն:

a(t

)

a(t

)

v0,

Այսպիսով՝ մարմնի արագության մեծությունն ու նրա անցած ճանապար-

հը համընկնում են արագության ու տեղափոխության պրոյեկցիաներին և

որոշվում են (4.31) ու (4.32) հավասարումներով՝ միայն մինչև կանգ առնելը

Այդ ընթացքում արագության պրոյեկցիայի և մոդուլի գրաֆիկները

համընկնում են (նկ© 50): Համընկնում են նաև տեղափոխության և ճանապարհի

գրաֆիկները (նկ© 51): Այնուհետև արագության մեծության և մարմնի անցած

ճանապարհի բանաձևերն արտահայտվում են տարբեր կերպ©

a(t

)

at -v0,

s = s

Այլ տեսք ունեն նաև դրանց գրաֆիկները: Արագության պրոյեկցիայի

և տեղափոխության գրաֆիկները նվազում են« իսկ արագության մեծության

ՖԻԶԻԿԱ 10

և ճանապարհի գրաֆիկները՝ աճում (նկ© 50« նկ© 51): Հաշվի առնելով այս

հանգամանքը՝ խնդիրների լուծման ժամանակ առավել հաճախ օգտվում են

արագության ու տեղափոխության պրոյեկցիաների բանաձևերից:

Նկ© 50. Արագության v_x պրոյեկցիայի

Նկ© 51. Տեղափոխության s_x պրոյեկցիայի

և v մոդուլի գրաֆիկները

և s ճանապարհի գրաֆիկները

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ո±ր բանաձևով է որոշվում ուղղագիծ հավասարաչափ արագացող շարժում կատա-

րող մարմնի դիրքը ժամանակի յուրաքանչյուր պահին: 2. Ե±րբ է արագության մոդուլը

ժամանակի ընթացքում՝ ա) աճում, բ) նվազում: 3. Ի՞նչ ճանապարհ է անցնում նվա-

զող արագությամբ շարժվող մարմինը մինչև կանգ առնելը: 4. Մարմնի սկզբնական v0

արագությունն ուղղված է X առանցքի դրական ուղղությամբ: Մարմինն x0 կոորդինա-

տով կետից շարժվում է սկզբնական արագությանը հակառակ ուղղված և հաստատուն

a արագացմամբ: Գտնել նրա կոորդինատի առավելագույն արժեքը: 5. Օգտվելով (4.27)

և (4.28) բանաձևերից և միջին ճանապարհային արագության (4.3) սահմանումից« ապա-

ցուցե°ք« որ այն արտահայտվում է v

= (v0+ v) 2

rh2

բանաձևով:

ՄԱՐՄԻՆՆԵՐԻ ԱԶԱՏ ԱՆԿՈՒՄԸ:

17.

ԱԶԱՏ ԱՆԿՄԱՆ ԱՐԱԳԱՑՈՒՄ

Հաստատուն արագացմամբ շարժման ուշագրավ

օրինակ է մարմինների ազատ անկումը Երկրի մակե-

րևույթի վրա, երբ նրանք շարժվում են միայն Երկրի

ձգողության ազդեցությամբ:

Ինչպես գիտեք 8-րդ դասարանի ֆիզիկայի դաս-

ընթացից« մարմինների ազատ անկումն ուսումնասի-

րել է Գալիլեո Գալիլեյը: Նա պարզել է, որ ազատ

անկումը հաստատուն արագացմամբ շարժում է« իսկ

արագացումն ուղղված է ուղղաձիգ դեպի վար և տվյալ

վայրում նույնն է բոլոր մարմինների համար:

Գալիլեո Գալիլեյ

Ազատ անկումը մյուս բոլոր արագացող շարժում-

1564 -1642

ներից տարբերելու համար, ընդունված է ազատ անկ-

Իտալացի նշանավոր ֆիզիկոս

և աստղագետ: Առաջինն է

ման արագացումն a-ի փոխարեն նշանակել g տառով:

կիրառել բնության հետազոտ-

Ազատ անկումը հաստատուն

արագացմամբ

ման փորձնական մեթոդը:

Հայտնաբերել է մարմնի

շարժում է, ուստի՝ այդ շարժման կինեմատիկական

անկման և իներցիայի օրենք-

հավասարումներն արտահայտվում են հետևյալ կերպ՝

ները: Ստեղծել է դիտա-

խողովակ« դրանով կատարել

v=v0+gt, r=r +v0t

(4.36)

աստղագիտական դիտումներ:

ԳԼՈՒԽ

IV. ՈՒՂՂԱԳԻԾ ԱՆՀԱՎԱՍԱՐԱՉԱՓ ՇԱՐԺՈՒՄ

Հայտնի է, որ հավասարաչափ արագացող շարժման հե-

տագիծն ուղիղ գիծ է, եթե մարմնի սկզբնական արագությունը՝

կամ մարմնի սկզբնական արագությունն ու արագացումն

ուղղված են միևնույն ուղղով: Առաջին դեպքում մարմինն առանց

սկզբնական արագության ընկնում է ինչ-որ բարձրությունից, իսկ

երկրորդ դեպքում մարմինը նետված է ուղղաձիգ ուղղությամբ:

Երկու դեպքերն էլ կարևոր են գործնականում« ուստի՝ մանրա-

մասնորեն ուսումնասիրենք առաջին դեպքը և երկրորդ դեպքի

մասնավոր մի խնդիր, երբ մարմինը նետված է ուղղաձիգ դեպի

Նկ© 52. Մարմնի

ազատ անկումը

վեր:

Ազատ անկում՝ առանց սկզբնական արագության: Դիցուք՝ մարմինն

առանց սկզբնական արագության (v

) ընկնում

է H բարձրությունից: Այս

դեպքում կոորդինատային առանցքը հարմար է ուղղել ուղղաձիգ դեպի ներքև, հաշ-

վարկման սկզբնակետը համարել այն կետը, որտեղից մարմինն սկսում է անկումը

0 =

(նկ. 52): v և g վեկտորների պրոյեկցիաները հավասար են իրենց մոդուլ-

ներին, ուստի շարժման կինեմատիկական հավասարումները կարտահայտվեն հե-

տևյալ պարզ տեսքով՝

vy= gt, y

(4.37)

Որոշենք, թե ինչքան ժամանակից հետո մարմինը կհասնի գետնին և ինչ

արագություն կունենա գետնին հարվածելու պահին:

Գետին ընկնելու պահին մարմնի y կոորդինատը հավասարվում է H-ի, ուստի,

ըստ (4.36) հավասարման«

H = gt

« և t

(4.38)

t-ի այս արտահայտությունը տեղադրելով (4.37) հավասարման մեջ՝ կստա-

նանք մարմնի արագությունը գետին ընկնելու պահին՝

2gH :

(4.39)

Եթե տրված է t ժամանակը, ապա (4.38) բանաձևից կարե-

լի է որոշել, թե ինչ բարձրությունից է ընկել մարմինը: Օրինակ՝

կամրջի վրայից փոքրիկ քարի կտոր ձեռքից բաց թողնելով և

վայրկենաչափով չափելով ջրին հասնելու ժամանակը, կարելի է

որոշել կամրջի բարձրությունը:

Ուղղաձիգ դեպի վեր նետված մարմնի շարժումը: Այս

դեպքում էլ մարմինը շարժվում է միայն OY առանցքով, սակայն

այժմ հարմար է այդ առանցքն ուղղել դեպի վեր՝ սկզբնակետն

Նկ© 53. Ուղղաձիգ

ընտրելով գետնի վրա (նկ. 53):

դեպի վեր նետ-

ված մարմին

Հաշվի

առնելով, որ v0y = v0, gy =-g, y0 = 0, մարմնի

շարժման հավասարումները կգրենք հետևյալ կերպ՝

vy=v gt, y=v t-

(4.40)

ՖԻԶԻԿԱ 10

Հետագծի ամենաբարձր կետում մարմինը մի պահ կանգ է առնում, հետևա-

բար՝ վերելքի t₁ ժամանակը կգտնենք, եթե (4.40) հավասարման մեջ տեղադրենք

կամ vy= v gt

0, որտեղից

y =

⁰ :

(4.41)

t₁ պահին մարմնի y կոորդինատը համընկնում է նրա առավելագույն H բարձ-

րությանը, հետևաբար, եթե (4.40) հավասարման մեջ տեղադրենք t1= v g

արտա-

հայտությունը, H բարձրության համար կստանանք՝

(4.42)

Թռիչքի t₀ ժամանակը (թռիչքի տևողություն) կգտնենք այն պայմանից, որ

գետին ընկնելու պահին y = 0, հետևաբար՝ (4.40) հավասարումից կստանանք՝

v t

=0,

որտեղից

0 =

⁰ :

(4.43)

Մարմնի արագությունը գետին ընկնելու պահին կգտնենք՝ (4.40) հավասար-

ման մեջ տեղադրելով թռիչքի տևողության (4.43) արտահայտությունը՝

vy= v gt

0«

այսինքն՝ մարմինը գետին է ընկնում մոդուլով նույն արագությամբ, ինչ արագու-

թյամբ որ նետվել է, իսկ ՙ-՚ նշանը ցույց է տալիս, որ այն փոխել է շարժման ուղ-

ղությունը:

Վայրէջքի t₂ ժամանակը կգտնենք՝ թռիչքի ամբողջ ժամանակից հանելով վե-

րելքի t₁ ժամանակը՝

g0 = t

այսինքն՝ վերելքի և վայրէջքի ժամանակներն իրար հավասար են:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ո±ր շարժումն են անվանում ազատ անկում: 2. Գրե°ք առանց սկզբնական արագության

ազատ անկում կատարող մարմնի շարժման կինեմատիկական հավասարումները:

3. Որքա±ն ժամանակ անց կհասնի գետնին և ի՞նչ արագություն կունենա գետնին

հարվածելու պահին H բարձրությունից առանց սկզբնական արագության ազատ անկում

կատարող մարմինը: 4. Գրե°ք ուղղաձիգ վեր նետված մարմնի շարժման կինեմատիկական

հավասարումները: 5. Ուղղաձիգ դեպի վեր նետված մարմինը նետման պահից 3 վ անց

հասնում է հետագծի ամենաբարձր կետին: Նետման պահից որքա՞ն ժամանակ անց

մարմինը կընկնի գետին: 6. Ի՞նչ արագություն կունենա 10 մ/վ արագությամբ ուղղաձիգ

դեպի վեր նետված մարմինը գետին ընկնելու պահին:

ԳԼՈՒԽ

IV. ՈՒՂՂԱԳԻԾ ԱՆՀԱՎԱՍԱՐԱՉԱՓ ՇԱՐԺՈՒՄ

18.

ԼԱԲՈՐԱՏՈՐ ԱՇԽԱՏԱՆՔ 1

Հավասարաչափ արագացող շարժման ուսումնասիրումը

Աշխատանքի նպատակը. ցույց

տալ, որ

փայտե չորսուն թեք

դրված

տախտակի վրայով սահելիս կատարում

է հավասարաչափ արագացող շարժում:

Որոշել չորսուի արագացումը:

Չափամիջոցներ. վայրկենաչափ

կամ էլեկտրոնային ժամացույց (0 30 ր սանդղակով և 0,2 վ բաժանման արժեքով):

Նյութեր և սարքեր. փայտե նեղ տախտակ (1 մ երկարությամբ)՝ սանտիմետ-

րական բաժանումներով, փայտե չորսուներ, ամրակալան՝ կցորդիչով և թաթով:

Փորձի կատարման ընթացքը

1. Չորսուն տեղադրեք տախտակի վրա և տախտակը թեքեք մինչև այն պահը,

երբ չորսուն կսկսի շարժվել: Ամրակալանի միջոցով ամրակայեք տախտա-

կի այդ դիրքը:

2. Չորսուն տեղադրեք տախտակի վերին կետում և չափեք 1 վայրկյանում

չորսուի անցած s₁ ճանապարհը:

3. Այնուհետև փորձը կրկնեք՝ չափելով չորսուի անցած s2, s3, s₄ ճանապարհ-

ները 2 վ-ում, 3 վ-ում և 4 վ-ում:

4. Համոզվեք, որ s1: s2: s3: s

1:4:9:16

4 =

5. Գտեք արագացման a1, a2, a3, a₄ արժեքները, a

2s t²

բանաձևով և

հաշվեք միջին արագացումը՝ a_rh2:

6. Չափման և հաշվարկի արդյունքները գրանցեք աղյուսակում:

Փորձի համարը

s« մ

t« վ

a« մ/վ2

a_rh2« մ/վ²

Խնդիրների լուծման օրինակներ

1. Հրթիռը դադարի վիճակից մեկնարկում է a = 60 մ/վ² արագացմամբ: Ի՞նչ

արագություն է այն ձեռք բերում s =750 մ ճանապարհի վերջում:

Լուծում: Քանի որ մարմինը շարժվում է դադարի վիճակից, և տրված են նրա

արագացումն ու անցած ճանապարհը, ապա հարմար է օգտվել (4.25) բանաձևից՝

2as = 300 մ/վ:

Պատասխան՝ 300 վ:

2. Դադարի վիճակից հավասարաչափ արագացող շարժում կատարող մար-

մինը շարժման 5-րդ վայրկյանում անցնում է 36մ ճանապարհ: Որոշել նրա

շարժման արագացումը:

Լուծում: Դիցուք՝ մարմինը շարժումն սկսել է A կետից և t₄ =4վ անց եղել է B կե-

տում, իսկ դրանից 1 վ անց, այսինքն՝ շարժումն

սկսելուց t₅ = 5վ անց՝ C կետում: 5-րդ վայրկյա-

ՖԻԶԻԿԱ 10

նին նրա անցած ճանապարհը BC հատվածի երկարությունն է: Ինչպես երևում է

նկարից, s = AC - AB: Դադարի վիճակից հավասարաչափ արագացող շարժում

կատարող մարմնի՝ t ժամանակում անցած ճանապարհը որոշվում է (4.13) բանա-

ձևով: Մարմինն AB հատվածը անցել է t₄ ժամանակում, իսկ AC հատվածը՝ t₅ ժա-

մանակում, հետևաբար՝

, որտեղից՝ a

=8մ/վ2:

Պատասխան՝ 8 մ/վ2:

3. Մարմինը կատարում է 2 մ/վ սկզբնական արագությամբ և 0,4 մ/վ2 արագաց-

մամբ ուղղագիծ շարժում: Որոշել մարմնի շարժման միջին արագությունը

շարժման առաջին 8 վայրկյանի ընթացքում:

Լուծում: Մարմնի շարժման արագությունը t=8 վ պահին կարելի է որոշել

v = v0+ at բանաձևով: Հավասարաչափ արագացող շարժման միջին արագու-

թյունը հավասար է սկզբնական և վերջնական արագությունների կիսագումարին,

ուստի՝

v +v v +v

+at

=3«6 մ/վ:

rh2

Պատասխան՝ 3«6մ/վ:

4. Տրված է մարմնի շարժման օրենքը՝ x

40t

0,1t²

: Ժամանակի հաշվարկի

սկզբից որքա՞ն ժամանակ անց մարմինը կանգ կառնի:

Լուծում: Մարմնի շարժման օրենքը համեմատելով հավասարաչափ արագացող

շարժման x=x0+v xt +axt

օրենքի հետ՝ եզրակացնում ենք, որ սկզբնական

պահին մարմինը եղել է կոորդինատների սկզբնակետում (x₀ = 0), ունեցել է առանց-

քի դրական ուղղությամբ ուղղված v₀ = 40 մ/վ սկզբնական արագություն և կատա-

րել է հավասարաչափ արագացող շարժում՝ a_x =-0,2 մ/վ² արագացման պրոյեկ-

ցիայով: Ուրեմն՝ t պահին արագության պրոյեկցիան՝ vx=v0x+axt

0, 2t:

t₀

պահին մարմինը կանգ է առնում՝ v

0, 2t

0 =

0« որտեղից՝ t0 =200 վ:

Պատասխան՝ 200 վ:

Ապացուցել« որ

դադարի վիճակից հավասարաչափ արագացող շար-

ժում կատարող մարմնի անցած ճանապարհները կամայական հավասար

ժամանակամիջոցներում հարաբերում են ինչպես կենտ թվերը:

Լուծում: Դիցուք՝ առաջին Dt ժամանակամի-

ջոցում մարմնի անցած ճանապարհը s_I է« երկ-

րորդ Dt ժամանակամիջոցում՝ s_II« հաջորդ Dt ¬ում՝ s_III և այլն: (4.13) բանաձևից

a(Dt)

« որտեղ a¬ն արագացման մեծությունն է: OB = s_I+ s_IIճանապարհը

մարմինն անցել է 2Dt ժամանակամիջոցում (դադարի վիճակից)« հետևաբար՝

a (2Dt)

որտեղից _s

II =

Համանման ձևով կստանանք՝

a (3Dt)

« հետևաբար՝ s

III

III =

I-

I =

I: Կրկնելով գործո-

ղությունները՝ կստանանք« որ s

IV = I, s

V =

9sI և այլն« ուստի՝

sI:s

III

IV V $:s

$$ =

1:3:5:7:9

$ $$

Պատասխան՝ 1:3:5:7:9...:

ԳԼՈՒԽ

IV. ՈՒՂՂԱԳԻԾ ԱՆՀԱՎԱՍԱՐԱՉԱՓ ՇԱՐԺՈՒՄ

ԳԼՈՒԽ V

ԿՈՐԱԳԻԾ ՇԱՐԺՈՒՄ

ԱՐԱԳՈՒԹՅՈՒՆԸ ԵՎ ԱՐԱԳԱՑՈՒՄԸ

ԿՈՐԱԳԻԾ ՇԱՐԺՄԱՆ ԴԵՊՔՈՒՄ:

19.

ԿՈՐԱԳԻԾ ՀԱՎԱՍԱՐԱՉԱՓ ՇԱՐԺՈՒՄ

Բնության մեջ և տեխնիկայում առավել հաճախ հանդիպում են շարժումներ,

որոնց հետագծերը կորեր են: Այդպիսի շարժումները կոչվում են կորագիծ: Տիեզե-

րական տարածության մեջ կոր հետագծերով են շարժվում մոլորակներն ու արհես-

տական արբանյակները, իսկ Երկրի վրա՝ բոլոր փոխադրամիջոցների, սարքերի և

մեխանիզմների մասերը, գետերի ջրերը, մթնոլորտի օդը և այլն:

Արագությունը կորագիծ շարժման դեպքում: Ակնթարթային արագության

¢14-ում տրված սահմանումը վերաբերում է ինչպես ուղղագիծ, այնպես էլ կորագիծ

շարժումներին, այսինքն՝ կորագիծ շարժման ակնթարթային արագություն կոչ-

վում է ժամանակի տվյալ պահին կամ հետագծի տվյալ կետում մարմնի արա-

գությունը: Ակնթարթային արագությունը մարմնի շարժման միջին արագությունն է

այն անվերջ փոքր Dt ժամանակամիջոցում, որն ընդգրկում է տվյալ t պահը©

(5.1)

իսկ Ds -ն անվերջ փոքր Dt ժամանակամիջո-

ցում մարմնի տեղափոխությունն է:

Ուղղագիծ շարժման

դեպքում

արագու-

թյան վեկտորի ուղղությունը համընկնում է տե-

Նկ.54. Փոքր

ղափոխության ուղղությանը: Պարզենք, թե ինչ

ժամանակահատվածներում

ուղղություն ունի կորագիծ շարժման ակնթար-

հետագիծը քիչ է տարբերվում լարից:

թային արագությունը:

Ենթադրենք՝ 54-րդ նկարում կետագծով պատկերված հետագծով մարմինը A

կետից տեղափոխվել է B կետ: Դիտարկենք այս կորագիծ շարժումը փոքր ժամա-

նակահատվածներում: Ինչքան փոքր են դիտարկվող ժամանակահատվածները,

այնքան հետագծի յուրաքանչյուր տեղամաս քիչ կտարբերվի համապատասխան

լարից, իսկ մարմնի շարժումը՝ ուղղագիծ հավասարաչափ շարժումից: Բացի դրա-

նից՝ լարը գործնականում չի տարբերվի տվյալ տեղամասի կամայական կետում

հետագծին տարված շոշափողից: Ուստի՝ կորագիծ շարժման դեպքում ակնթար-

թային արագությունը հետագծի յուրաքանչյուր կետում ուղղված է այդ կետում

հետագծին տարված շոշափողի երկայնքով:

ՖԻԶԻԿԱ 10

Դրանում կարելի է համոզվել, օրինակ, հետևե-

լով սրոցաքարի աշխատանքին (նկ. 55« ա): Եթե պող-

պատե ձողի ծայրը սեղմենք պտտվող սրոցաքարին,

ապա սրոցաքարից պոկվող շիկացած մասնիկները

կերևան կայծերի տեսքով: Այդ մասնիկները թռչում

են այնպիսի արագությամբ, որպիսին ունեն սրոցա-

քարից պոկվելու պահին: Լավ երևում է, որ կայծերի

թռիչքի ուղղությունը միշտ համընկնում է շրջանագծի

այն կետով տարված շոշափողին, որտեղից պոկվել

են մասնիկները:

Շրջանագծին տարված շոշափողով են շարժ-

վում նաև ավտոմեքենայի տեղապտույտ տվող անի-

Նկ.55. Սրոցաքարից

վից պոկված ցեխաջրի ցայտերը (նկ. 55« բ):

պոկված կայծերը, անիվից

պոկված ցեխաջրի ցայտերը

Յուրաքանչյուր ժամանակահատվածում մարմ-

թռչում են շրջանագծի

նի տեղափոխությունը կարելի է հաշվել Ds = vDt

շոշափողով:

բանաձևով. D s1 = v1Dt₁, D s2 = v2D t₂ , D s3 = v3D t₃ և

այլն: Գումարելով այդ բոլոր տեղափոխությունները՝ կստանանք մարմնի տեղա-

փոխությունն ամբողջ շարժման ընթացքում՝

=Ds

+Ds

+ $$$+ Ds

= Dt1+v2Dt

+ $$$+ Dt

(5.2)

Համանման ձևով կարելի է հաշվել մարմնի անցած ճանապարհը՝

=Ds

+Ds

+ $$$+ Ds

= Dt1+v2Dt

+ $$$+ Dt

(5.3)

Մոդուլով հաստատուն v արագությամբ կորագիծ շարժման դեպքում t ժամա-

նակում մարմնի անցած ճանապարհը՝

s = v(Dt

+Dt

+ $$$+ D

(5.4)

Փակագծերում տրված գումարը մարմնի շարժման ամբողջ t ժամանակն

է, ուստի՝ մոդուլով հաստատուն

արագությամբ շարժվելիս մարմնի անցած s

ճանապարհն ուղիղ համեմատական է այդ ժամանակին՝

s = vt:

(5.5)

Կոր գծով, մոդուլով հաստատուն արագությամբ շարժումը կոչվում է կո-

րագիծ հավասարաչափ շարժում կամ« պարզապես« հավասարաչափ շարժում:

Կորագիծ հավասարաչափ շարժման դեպքում, ըստ (5.5) առնչության, t ժա-

մանակամիջոցում մարմնի անցած ճանապարհն ուղիղ համեմատական է այդ

ժամանակամիջոցին, այսինքն՝ կամայական հավասար ժամանակամիջոցներում

մարմինն անցնում է հավասար ճանապարհներ:

Նախապես հայտնի հետագծով հավասարաչափ շարժվող մարմնի (նկ. 56)

դիրքաթվի կախումը ժամանակից արտահայտվում է հետևյալ կերպ՝

vt:

(5.6)

Արագացումը կորագիծ շարժման դեպքում: Կորագիծ շարժման արագու-

թյունն անընդհատ փոխվում է: Նույնիսկ այն դեպքում, երբ արագության մոդուլը

հաստատուն է, արագության վեկտորը փոփոխվում է նրա ուղղության փոփոխման

ԳԼՈՒԽ

V. ԿՈՐԱԳԻԾ ՇԱՐԺՈՒՄ

Նկ. 56. Հավասարաչափ

Նկ. 57. Արագացումն ուղղված է հետագծի

շարժում կոր գծով

գոգավորության կողմը

պատճառով: Եթե կորագիծ շարժման արագությունն ինչ-որ պահի եղել է v₁, իսկ

փոքր Dt ժամանակ անց՝ v₂ (նկ. 57), ապա արագության փոփոխությունը հավա-

սար կլինի v₂ և v₁ վեկտորների տարբերությանը՝ Dv = v v

, իսկ Dv Dt հարա-

բերությունը ցույց կտա արագության վեկտորի փոփոխման արագությունը:

Անվերջ

փոքր ժամանակամիջոցում

արագության կրած

փոփոխու-

թյան և այդ ժամանակամիջոցի հարաբերությունը կոչվում է ակնթարթային

արագացում կամ« պարզապես« արագացում©

(5.7)

Արագացման վեկտորի ուղղությունը համընկնում է արագության Dv փոփո-

խության վեկտորի ուղղությանը: 57-րդ նկարից երևում է, որ արագացումն ուղղված

է դեպի այն կողմ, որ կողմ թեքվում է հետագիծը, այսինքն՝ հետագծի գոգավորու-

թյան կողմը:

Արագացումն ի հայտ է գալիս բոլոր այն շարժումներում, որոնց արագության

վեկտորը փոփոխվում է: Եթե փոփոխվում է արագության վեկտորի մոդուլը, իսկ

արագության վեկտորն ուղղված է նույն ուղղի երկայնքով, ապա մարմինը կատա-

րում է ուղղագիծ անհավասարաչափ շարժում:

Եթե փոփոխվում է արագության վեկտորի ուղղությունը, իսկ մոդուլը մնում է

հաստատուն, ապա մարմինը կատարում է կորագիծ հավասարաչափ շարժում:

Եթե փոփոխվում են շարժման արագության վեկտորի և° մոդուլը, և° ուղղությու-

նը, ապա մարմինը կատարում է կորագիծ անհավասարաչափ շարժում:

Կորագիծ շարժման արագացման վեկտորի ուղղությունը: Տանգեն-

ցիալ արագացում: Լրիվ արագացում: Կորագիծ շարժման արագացման

վեկտորի ուղղությունը պարզելու համար բավական է համեմատել արագու-

թյունների ուղղությունները հետագծի երկու մոտիկ կետերում (փոքր Dt ժամա-

նակամիջոցի սկզբում և վերջում): Դիցուք՝ Dt ժամանակամիջոցում արագու-

թյան ուղղությունը փոխվել է D{ անկյունով (նկ.58): Արագացման վեկտորի

(a N Dv) կազմ ած անկյունն եր ը v₁-ի և v₂-ի հետ նշան ակ ենք

-ով և

-ով:

Ինչպես երևում է նկարից«

+ D{:

(5.8)

Եթե Dt ժամանակամիջոցը շատ փոքր է, ապա այդ ընթացքում շարժման

ուղղությունը նկատելիորեն չի փոխվում, հետևաբար՝ D{ անկյունը շատ փոքր

է: Սահմանային դեպքում, երբ Dt-ն անվերջ փոքր է, D{ " 0 և

=a, որն

ՖԻԶԻԿԱ 10

Նկ.58. Եթե արագության մոդուլը նվազում

Նկ. 59. Եթե արագության մոդուլն աճում

է, արագության հետ արագացման կազմած

է« արագության հետ արագացման կազմած

անկյունը բութ է:

անկյունը սուր է:

էլ ակնթարթային արագացման կազմած անկյունն է արագության ուղղության

հետ՝ հետագծի տվյալ կետում: Հաշվի առնելով այդ հանգամանքը՝ պարզենք,

թե ինչպես է ուղղված արագացման վեկտորը հետևյալ մասնավոր դեպքերում:

1. Արագության մոդուլը նվազում է. v < v₁

: Այս դեպքում D v, - v₁ և v₂

վեկտորներով կազմված եռանկյան մեջ b անկյունն ընկած է փոքր կողմի դի-

մաց, հետևաբար՝ այն սուր անկյուն է: Բայց երբ D{ " 0«

=a« ուստի՝

b + a = 180c«

(5.9)

հետևաբար՝ a անկյունը բութ է: Այսինքն, եթե կորագիծ շարժում կատարող

մարմնի արագության մոդուլը նվազում է, ապա արագության հետ արագաց-

ման կազմած անկյունը բութ է:

Ճիշտ է նաև հակառակ պնդումը՝ եթե արագացումն արագության հետ

կազմում է բութ անկյուն, ապա արագության մոդուլը նվազում է: Իրոք, նույն

վեկտորներով կազմված եռանկյան մեջ բութ անկյան դիմաց ընկած է v₁-ը,

հետևաբար՝ այն եռանկյան ամենամեծ կողմն է, ուստի՝ v < v₁

2. Արագության մոդուլն աճում է© v > v₁

(նկ. 59): Այս դեպքում արագու-

թյան հետ արագացման կազմած a անկյունը սուր է, քանի որ D v, - v₁ և v₂

վեկտորներով կազմված եռանկյան մեջ ընկած է փոքր կողմի դիմաց: Այս

դեպքում էլ ճիշտ է հակառակ պնդումը© եթե արագացումն արագության հետ

կազմում է սուր անկյուն, ապա արագության մոդուլն աճում է (եթե a անկյու-

նը սուր է, ապա b-ն բութ է, իսկ դրա դիմաց ընկած է v₂ -ը):

3. Արագության մոդուլը մնում է

անփոփոխ© v = v₁

այսինքն՝ մարմի-

նը կատարում է կորագիծ հավասա-

րաչափ շարժում (նկ. 60):

Եթե արագության հետ արագաց-

ման կազմած a անկյունը սուր լիներ,

ապա արագության մոդուլը պետք է

աճեր, իսկ եթե բութ լիներ« պետք է նվա-

Նկ. 60. Կորագիծ հավասարաչափ

զեր: Արագության մոդուլը չի փոխվել,

շարժման արագացումն ուղղահայաց է

ուստի՝ անկյունը ո°չ սուր է, ո°չ էլ բութ,

արագությանը:

ԳԼՈՒԽ

V. ԿՈՐԱԳԻԾ ՇԱՐԺՈՒՄ

ուրեմն՝ մնում է ենթադրել, որ այն ուղիղ անկյուն է, այսինքն՝ արագացումն

ուղղահայաց է արագությանը:

Այսպիսով՝ կորագիծ հավասարաչափ շարժման դեպքում արագացու-

մը հետագծի կամայական կետում ուղղահայաց է արագությանը:

Քանի որ արագությունն ուղղված է հետագծի շոշափողով, ապա կորագիծ

հավասարաչափ շարժման դեպքում (5.7) բանաձևով որոշվող լրիվ արագաց-

ման վեկտորն ուղղված է շառավղով դեպի կենտրոն (շրջանագծի նորմալով),

ուստի՝ կոչվում է կենտրոնաձիգ (նորմալ) արագացում (a_n ): Այն պայմա-

նավորված է արագության վեկտորի ուղղության փոփոխությամբ: Ընդհանուր

դեպքում, երբ փոփոխվում է նաև արագության մոդուլը, լրիվ արագացման

ուղղությունը տարբերվում է շրջանագծի նորմալի ուղղությունից: Նրա պրո-

յեկցիան շարժման ուղղությամբ պայմանավորված է արագության մոդուլի

փոփոխությամբ և կոչվում է տանգենցիալ (շոշափող) արագացում՝

(5.10)

Նկատենք, որ ուղղագիծ շարժման դեպքում նորմալ արագացումը զրո է,

իսկ տանգենցիալ արագացումը հավասար է լրիվ արագացմանը.

ax = a

(5.11)

ուստի՝ ուղղագիծ շարժման դեպքում x նշանը բաց են

թողում ու պարզապես խոսում արագացման մասին:

Հետագծի կամայական կետում լրիվ արագա-

ցումը հավասար է նորմալ և տանգենցիալ արագա-

Նկ. 61© Լրիվ արագացումը

ցումների վեկտորական գումարին(նկ. 61).

a = ax+ a_n«

(5.12)

իսկ նրա մոդուլը՝

ax2+a₂:

Շառավիղ-վեկտորի հետ լրիվ արագացման վեկտորի կազմած անկյու-

նը որոշվում է հետևյալ արտահայտությամբ.

tga =^x :

(5.13)

Հարցեր և առաջադրանքներ

1.Ո±ր շարժումներն են անվանում կորագիծ: 2. Ի՞նչն են անվանում ակնթարթային արագու-

թյուն:

3. Ինչպե՞ս

է ուղղված ակնթարթային արագությունը հետագծի տվյալ կետում:

4. Ի՞նչն են անվանում ակնթարթային արագացում: 5. Ո±ր շարժումն են անվանում կո-

րագիծ հավասարաչափ շարժում: 6. Ի՞նչ բանաձևով է որոշվում կորագիծ հավասարաչափ

շարժում կատարող մարմնի՝ t ժամանակամիջոցում անցած ճանապարհը: 7. Ի՞նչ անկյուն

է կազմում արագացումն արագության հետ, եթե վերջինիս մոդուլը՝ ա) աճում է, բ) նվա-

զում է, գ) հաստատուն է: 8. Ինչպե՞ս է կոչվում լրիվ արագացման պրոյեկցիան մարմնի

դիրքով անցնող շառավղի վրա, ինչո±վ է այն պայմանավորված: 9. Ինչպե՞ս է կոչվում լրիվ

արագացման պրոյեկցիան շարժման ուղղության վրա, ինչո±վ է այն պայմանավորված:

ՖԻԶԻԿԱ 10

20.

ՀԱՎԱՍԱՐԱՉԱՓ ՇՐՋԱՆԱԳԾԱՅԻՆ ՇԱՐԺՈՒՄ

Նախապես հայտնի հետագծով շարժման օրինակ է

շրջանագծային շարժումը, որն առանձնապես ուշագրավ

է, քանի որ կամայական կոր հետագծով շարժում կարելի է

ներկայացնել որպես տարբեր շրջանագծերի աղեղներով

շարժումների վերադրում: Իրոք, 62-րդ նկարում պատ-

կերված կոր հետագծի առանձին մասեր մոտավորապես

շրջանագծերի աղեղներ են (շրջանագծերը տրված են կե-

տագծերով): Օրինակ՝ KL տեղամասը փոքր շառավղով,

իսկ BF և NM տեղամասերը՝ մեծ շառավղով շրջանագծե-

Նկ. 62. Կամայական

րի աղեղներ են: Ստորև կքննարկենք կորագիծ շարժման

շարժում կարելի է

մասնավոր դեպքը՝ շրջանագծային շարժումը:

ներկայացնել որպես

շարժում շրջանագծերի

Դիցուք՝ մարմնի շարժման հետագիծն R շառավ-

աղեղներով:

ղով շրջանագիծ է: XOY կոորդինատային համակարգն

ընտրենք այնպես, որ նրա սկզբնակետը համընկնի շրջա-

նագծի կենտրոնի հետ (նկ. 63): Այդ դեպքում հետագծի

յուրաքանչյուր կետում մարմնի

դիրքի շառավիղ-վեկ-

տորի մոդուլը հայտնի է. այն շրջանագծի շառավիղն է:

Շարժման ընթացքում շառավիղ-վեկտորը պտտվում է

շրջանագծի կենտրոնի շուրջը, հետևաբար՝ մարմնի դիր-

քը ցույց տալու համար բավական է նշել առանցքներից

որևէ մեկի, օրինակ« X առանցքի հետ շառավիղ-վեկտորի

Նկ.63. Շարժումը

կազմած { անկյունը: Իսկ դա նշանակում է, որ մեխանի-

շրջանագծով

կայի հիմնական խնդրի լուծումը շրջանագծային շարժ-

ման դեպքում հանգում է նրա շառավիղ-վեկտորի՝ ընտրված ուղղության հետ կազ-

մած { անկյունը որոշելուն: Այդ խնդիրը հեշտությամբ լուծվում է հավասարաչափ

շրջանագծային շարժման դեպքում« երբ մարմնի հետագիծը շրջանագիծ է:

Ենթադրենք՝ t = 0 պահին շրջանագծի A կետում մարմինը շարժվում է ժամ-

սլաքի պտտմանը հակառակ ուղղությամբ (ավանդույթի համաձայն՝ այդ ուղղու-

թյունը կընդունենք որպես դրական ուղղություն), մոդուլով հաստատուն v արագու-

թյամբ (նկ. 63): Որպես ճանապարհի երկարության հաշվարկման սկզբնակետ

ընտրենք OX ուղղության հետ շրջանագծի հատման B կետը: Այդ դեպքում մարմ-

նի դիրքաթիվը կհամընկնի տվյալ դիրքում շառավիղ-վեկտորի՝ OX առանցքի հետ

կազմած { անկյան հենման աղեղի երկարությանը:

Եթե { կենտրոնական անկյունն արտահայտվում է ռադիաններով, ապա նրա

կապն իր հենման աղեղի l երկարության հետ որոշվում է

(5.14)

բանաձևով: Տեղադրելով դիրքաթվի արժեքը (5.6) հավասարումից՝ կստանանք՝

R R

ԳԼՈՒԽ

V. ԿՈՐԱԳԻԾ ՇԱՐԺՈՒՄ

l0 R հար աբ եր ութ յունն OX առանցք ի հետ t = 0 պահ ին շառ ավ իղ-վ եկտոր ի

կազմած {₀ անկյունն է: v R հարաբերությունը նշանակելով ~ տառով՝ կստա-

նանք՝

{ = { + ~t:

(5.15)

Պարզենք ~ մեծության ֆիզիկական իմաստը: (5.15) հավասարումից

{

⁰ ,

(5.16)

որտեղ ({-{

)-ն t ժամանակամիջոցում շառավիղ-վեկտորի գծած անկյունն է, հե-

տևաբար՝ (

) t

{-{

հարաբերությունը ցույց է տալիս միավոր ժամանակում շա-

ռավիղ-վեկտորի գծած անկյունը: Փաստորեն« ~-ն { անկյան փոփոխման արագու-

թյունն է, ուստի՝ այն անվանում են անկյունային արագություն: (5.16) բանաձևից

հետևում է, որ անկյունային արագության միավորը ՄՀ-ում կլինի՝

[{]

6fz

[~]

[t]

Անկյունային արագությունը հավասար է 1 միավորի, եթե հավասարաչափ

շրջանագծային շարժում կատարող մարմնի շառավիղ-վեկտորը 1 վայրկյանում

գծում է 1 ռադիանի հավասար կենտրոնական անկյուն:

Անկյունային արագությունը շրջանագծային շարժման հիմնական բնութա-

գիրն է: Եթե հայտնի է անկյունային արագությունը, ապա (5.15) հավասարումը

մեխանիկայի հիմնական խնդրի լուծումն է, ուստի՝ այն անվանում են հավասա-

րաչափ շրջանագծային շարժման հավասարում:

Քանի որ ~-ով նշանակել ենք v R հարաբերությունը, ապա մարմնի շարժ-

ման արագության (հաճախ անվանում են գծային արագություն) կապն ~-ի և R-ի

հետ արտահայտվում է

v = ~R

(5.17)

բանաձևով: Արագությունը, ինչպես կամայական կորագիծ շարժման ժամանակ,

շրջանագծային հավասարաչափ շարժման դեպքում ևս հետագծի յուրաքանչյուր

կետում ուղղված է տվյալ կետում շրջանագծին տարված շոշափողի երկայնքով,

այսինքն՝ ուղղահայաց է մարմնի շառավիղ-վեկտորին:

Պտտման պարբերություն: Մարմնի շրջանագծային շարժումը հաճախ բնու-

թագրում են նաև այն ժամանակամիջոցով, որի ընթացքում մարմինը կատարում

է մեկ լրիվ պտույտ: Այդ մեծությունն անվանում են պտտման պարբերություն և

նշանակում T տառով: Օրինակ՝ Երկրի արհեստական արբանյակի արձակման մա-

սին հաղորդագրություններում սովորաբար նշվում է նրա պտտման պարբերությու-

նը, սակայն երբեք չի նշվում ուղեծրով արբանյակի շարժման արագությունը: Եթե

մարմինը t ժամանակում կատարում է N պտույտ, ապա յուրաքանչյուր պտույտ

կկատարի t N ժամանակում, ուստի՝ պտտման պարբերությունը՝

(5.18)

T պարբերությանը հավասար ժամանակամիջոցում v արագությամբ մարմինն

անցնում է շրջանագծի 2rR երկարությանը հավասար ճանապարհ, հետևաբար՝

ՖԻԶԻԿԱ 10

2rR

(5.19)

որտեղ R-ն այն շրջանագծի շառավիղն է, որով շարժվում է մարմինը:

(5.19) հավասարման մեջ տեղադրելով արագության (5.17) արտահայտու-

թյունը՝ կստանանք պտտման պարբերության և անկյունային արագության կապը՝

~ = r

(5.20)

(5.21)

Պտտման հաճախություն: Մարմնի շարժումը շրջանագծով կարելի է բնու-

թագրել նաև պտտման հաճախություն կոչվող մեծությամբ:

Եթե t ժամանակում մարմինը կատարում է N պտույտ, ապա միավոր ժամա-

նակում մարմնի կատարած պտույտների թիվը կամ պտտման հաճախությունը՝

(5.22)

(5.22) և (5.18) բանաձևերից հետևում է« որ

(5.23)

Պտտման հաճախությունը չափվում է 1/վ միավորով:

Շրջանագծային շարժման v արագությունը կարելի է արտահայտել պտտման

n հաճախությամբ: (5.17) և (5.23) բանաձևերից՝

v = 2rRn:

(5.24)

Արագացումը հավասարաչափ շրջանագծային շարժման դեպքում: Դի-

ցուք՝ անվերջ փոքր Dt ժամանակամիջոցում r շառավիղ-վեկտորը պտտվել է D{

անկյունով (նկ. 64): Այդ դեպքում A և B կետե-

րում մարմնի արագությունների կազմած անկ-

յունը նույնպես կլինի D{: Քանի որ շարժումը

հավասարաչափ է, ապա v_A , v_B և

Dv = v - v

վեկտորներով կազմված եռանկյունը հավասա-

րասրուն է: Այդ եռանկյան գագաթի անկյունը

D{ է, հետևաբար՝ հիմքին առընթեր անկյուննե-

րից՝ a = (r - D{) 2 = r 2 - D{ 2: Քանի որ

Dt-ն անվերջ փոքր է, ապա D{-ն նույնպես

Նկ.64. Կենտրոնաձիգ արագացման

անվերջ փոքր է, ուստի՝ a = r 2,

այսինքն՝

բանաձևի ստացումը

-ն ուղղահայաց է արագությանը: Արագու-

թյունն ուղղված է շոշափողով, իսկ արագացումը՝ Dv վեկտորի ուղղությամբ, հե-

տևաբար՝ կամայական կետում մարմնի արագացումն ուղղված է շառավղով դեպի

կենտրոն (շրջանագծի նորմալով), ուստի՝ կոչվում է կենտրոնաձիգ կամ նորմալ

արագացում (a_n ): 64-րդ նկարում պատկերված հավասարասրուն եռանկյունների

նմանությունից կունենանք՝

ԳԼՈՒԽ

V. ԿՈՐԱԳԻԾ ՇԱՐԺՈՒՄ

որտեղից

D = v

r Dr

Համաձայն (5.7) բանաձևի՝ կենտրոնաձիգ արագացման մոդուլը՝

Dv v

r Dt

Բայց« համաձայն (5.1) բանաձևի«

Dt / Dr Dt = v, հետևաբար՝

n =

² :

(5.25)

(5.25) բանաձևի մեջ արագության փոխարեն տեղադրելով (5.19) և (5.24)

արտահայտությունները՝ կստանանք նոր արտահայտություններ կենտրոնաձիգ

արագացման համար՝

և a

n2r:

(5.26)

Հավասարաչափ արագացող շրջանագծային շարժում: Հավասա-

րաչափ շրջանագծային շարժման գծային և անկյունային արագություննե-

րը հաստատուն մեծությունններ են, իսկ տանգենցիալ արագացումը զրո է:

Սակայն հաճախ հանդիպում են շարժումներ, երբ ժամանակի ընթացքում այդ

արագությունները փոփոխվում են: Օրինակ՝ երբ ավտոմեքենան դադարի վի-

ճակից արագացող շարժում է կատարում, նրա անիվի պտտման արագությու-

նը ժամանակի ընթացքում աճում է: Արգելակման ժամանակ« ընդհակառակը«

անիվների պտույտը դանդաղում է:

Դիցուք՝ 63-րդ նկարում պատկերված A կետից մարմինն սկսում է շարժ-

վել հաստատուն a_x տանգենցիալ արագացմամբ: Տանգենցիալ արագացման

(5.10) սահմանումից հետևում է, որ A կետի գծային արագությունը ժամանա-

կի t պահին կլինի՝

v=v +axt,

(5.27)

որտեղ v₀ -ն մարմնի սկզբնական արագությունն է: (5.27) և (4.27) արտահայ-

տությունների համեմատությունից կարող ենք եզրակացնել, որ t ժամանա-

կում մարմնի անցած ճանապարհը՝

s = v t

+ xt

(5.28)

Այս դեպքում կամայական Dt ժամանակամիջոցում անկյունային արա-

գության կրած

փոփոխության և այդ ժամանակամիջոցի հարաբերությունը

հաստատուն մեծություն է: Իրոք, հաշվի առնելով գծային և անկյունային

արագությունների կապն արտահայտող (5.17) բանաձևը՝ կստանանք՝

const:

(5.29)

R Dt R

Այս հարաբերությունը ցույց է տալիս անկյունային արագության փո-

փոխման արագությունը և կոչվում է անկյունային արագացում (f): Այսինքն՝

եթե տանգենցիալ արագացումը հաստատուն է, ապա հաստատուն է նաև

ՖԻԶԻԿԱ 10

անկյունային արագացումը: (5.29) բանաձևն արտահայտում է անկյունային

արագացման և տանգենցիալ արագացման կապը՝

ax= fR:

(5.30)

Հաստատուն անկյունային արագացմամբ շրջանագծային շարժումն

անվանում են հավասարաչափ փոփոխական շրջանագծային շարժում:

(5.29) և (5.30) հավասարումներից կստանանք հավասարաչափ փոփոխական

շրջանագծային շարժման առաջին հիմնական հավասարումը՝

~=~

+ft:

(5.31)

(5.14) և (5.28) հավասարումներից հետևում է« որ

+ x t

R R

R 2

Բայց v R

« ax R = f, հետևաբար՝

{

(5.32)

Այս երկրորդ հիմնական հավասարումը մեխանիկայի հիմնական խնդրի

լուծումն է հավասարաչափ փոփոխական շրջանագծային շարժման դեպքում:

Ինչպես ուղղագիծ հավասարաչափ փոփոխական շարժումը, այս շարժումն էլ

կարող է լինել արագացող կամ դանդաղող: Անկյունային արագությանը վե-

րագրվում է ՙ+՚ նշան, եթե պտույտը տեղի է ունենում ժամսլաքի հակառակ

ուղղությամբ, և ՙ-՚ նշան՝ հակառակ դեպքում: Անկյունային արագացումը

դրական է, եթե մարմնի գծային արագությունն աճում է, բացական՝ եթե այն

նվազում է:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ո±րն է հավասարաչափ շրջանագծային շարժման հիմնական բնութագիրը: Ի՞նչ ֆի-

զիկական իմաստ ունի այն: 2. Սահմանե°ք հավասարաչափ շրջանագծային շարժման

պարբերությունը և հաճախությունը: 3. Ինչպե՞ս են ուղղված հետագծի տվյալ կետում

արագությունը և

արագացումը հավասարաչափ շրջանագծային շարժման դեպքում:

4. Ի՞նչ բանաձևերով են որոշվում գծային արագության և կենտրոնաձիգ արագացման

մոդուլները հավասարաչափ շրջանագծային շարժման դեպքում: 5. Ո±ր շարժումն են

անվանում հավասարաչափ փոփոխական շրջանագծային շարժում: 6. Ի՞նչն են անվա-

նում անկյունային արագացում: 7. Ինչպե՞ս են կապված անկյունային և տանգենցիալ

արագացումները: 8. Ո±րն է մեխանիկայի հիմնական խնդրի լուծումը հավասարաչափ

փոփոխական շրջանագծային շարժման դեպքում:

ԿՈՐԱԳԻԾ ՀԱՎԱՍԱՐԱՉԱՓ ԱՐԱԳԱՑՈՂ

ՇԱՐԺՈՒՄ: ՀՈՐԻԶՈՆԱԿԱՆ ՈՒՂՂՈՒԹՅԱՄԲ

21.

ՆԵՏՎԱԾ ՄԱՐՄՆԻ ՇԱՐԺՈՒՄԸ

Ինչպես գիտեք« ազատ անկում կատարող մարմնի շարժումն ուղղագիծ հա-

վասարաչափ արագացող շարժում է, եթե նրա սկզբնական արագությունն ուղղ-

ված է ուղղաձիգով: Սակայն ավելի հաճախ հանդիպում են այնպիսի շարժումներ,

որոնց սկզբնական արագությունը որոշակի անկյուն է կազմում հորիզոնական

ԳԼՈՒԽ

V. ԿՈՐԱԳԻԾ ՇԱՐԺՈՒՄ

հարթության հետ: Այդպիսի սկզբնական արագությամբ մարմնի մասին ասում են,

որ այն նետված է անկյան տակ: Երբ, օրինակ, մարզիկը հրում է գունդը, նետում

է սկավառակը կամ նիզակը, նա այդ առարկաներին հենց այդպիսի սկզբնական

արագությամբ շարժում է հաղորդում: Հրետաձգության ժամանակ հրանոթի փողից

դուրս թռչող արկը նույնպես կատարում է հորիզոնի հետ անկյուն կազմող սկզբնա-

կան արագությամբ շարժում:

Դիտումներն ու փորձերը ցույց են տալիս, որ հորիզոնի նկատմամբ անկյան

տակ նետած մարմնի ազատ անկումը նույնպես g հաստատուն արագացմամբ

շարժում է, սակայն այս դեպքում հետագիծը կոր գիծ է:

Կոր գծով հաստատուն արագացմամբ շարժումը կոչվում է կորագիծ հավա-

սարաչափ արագացող շարժում:

Այսպիսով՝ մարմնի ազատ անկումը, անկախ սկզբնական արագության ուղ-

ղությունից և հետագծի ձևից, հավասարաչափ արագացող շարժում է© բոլոր

դեպքերում մարմինը շարժվում է g արագացմամբ:

Դիտարկենք H բարձրությունից v₀ արագությամբ հորիզոնական ուղղությամբ

նետված մարմնի ազատ անկումը (նկ. 65): Այսպես է ուղղված, օրինակ, հորիզոնա-

կան ուղղությամբ թռչող ինքնաթիռից պոկված մարմնի սկզբնական արագությունը:

Մարմնի արագացումը հաստատուն է և հավասար g ազատ անկման արագացմա-

նը, որն ուղղված է ուղղաձիգ դեպի ներքև: Ուրեմն՝ մարմնի շարժման հիմնական

կինեմատիկական հավասարումները կարտահայտվեն հետևյալ կերպ.

v=v +gt, s=v t

(5.33)

(5.33) հավասարումներից հետևում է« որ

մարմինը միաժամանակ կատարում է երկու

անկախ շարժումներ. հորիզոնական ուղղու-

թյամբ այն տեղափոխվում է v₀ հաստատուն

արագությամբ, իսկ ուղղաձիգ ուղղությամբ՝

առանց սկզբնական

արագության

ազատ

Նկ. 65. Հորիզոնական ուղղությամբ

անկում է կատարում: Հետևաբար՝ ժամանակի

նետված մարմնի շարժումը

յուրաքանչյուր պահի մարմնի դիրքն ստաց-

վում է սկզբնական դիրքից այն v t-ով հորիզոնական ուղղությամբ և gt

2-ով՝ ուղ-

ղաձիգ ուղղությամբ տեղափոխելով:

Անկման ժամանակը: Շարժումն սկսելուց t ժամանակ հետո մարմնի օրդի-

նատը՝ y = H gt

2: Գետին հասնելու պահին y = 0, այսինքն՝ ուղղաձիգ ուղղու-

թյամբ մարմինը տեղափոխվել է H-ով: Հետևաբար՝ թռիչքի t₀ ժամանակի համար

կստանանք՝

H = gt

(5.34)

որտեղից

0 =

(5.35)

Այսպիսով՝ հորիզոնական ուղղությամբ նետված մարմնի թռիչքի ժամանակը

հավասար է նույն բարձրությունից, առանց սկզբնական արագության ազատ անկ-

ՖԻԶԻԿԱ 10

ման ժամանակին: Որ այս արդյունքը ճշմարիտ է« կարելի

է համոզվել հետևյալ փորձով: 66-րդ նկարում պատկեր-

ված սարքի միջոցով կարելի է միաժամանակ բաց թողնել

A գնդիկը և հորիզոնական ուղղությամբ նետել B գնդիկը:

Գնդիկները հատակին կընկնեն միաժամանակ (հատա-

կին հարվածի մի ձայն կլսվի): Եթե գնդիկների անկումը

նկարահանենք մութ սենյակում՝ հավասար ժամանակա-

միջոցներից հետո լուսավորելով գնդիկները, ապա նկար-

ների ուսումնասիրությունը ցույց կտա, որ գնդիկները ժա-

մանակի յուրաքանչյուր պահի ունեն նույն բարձրությունը

և հատակին ընկնում են միաժամանակ:

Թռիչքի հեռահարությունը: Թռիչքի հեռահարու-

Նկ.66. A և B գնդիկները

միշտ հատակից ունեն

թյուն անվանում են նետման տեղից հորիզոնական ուղղու-

միևնույն բարձրությունը:

թյամբ մարմնի անցած l հեռավորությունը մինչև գետին

ընկնելու կետը: Այդ հեռավորությունը v t₀

է:

Արագությունը: t պահին արագության վեկտորը հո-

րիզոնական ուղղված v₀ վեկտորի և ուղղաձիգ դեպի ներքև

ուղղված gt վեկտորի գումարն է՝ v = v + gt

(նկ. 67), ուս-

տի՝ արագության մոդուլը՝

Նկ. 67. Արագության

v2+g2t2^:

(5.36)

վեկտորը

Հորիզոնի հետ արագության վեկտորի կազմած անկյունը (շարժման ուղղու-

թյունը) հեշտությամբ կարելի է որոշել 67-րդ նկարում պատկերված վեկտորական

եռանկյունից՝

tga=

, որտեղից՝

arctgc m:

(5.37)

Հետագծի տեսքը: Մարմնի շարժման հետագծի տեսքն ստանալու համար

հարմար է օգտվել շարժման նկարագրման կոորդինատային եղանակից: Կոորդի-

նատային առանցքների՝ 65 -րդ նկարում պատկերված ընտրության դեպքում մարմ-

նի x և y կոորդինատների կախումները ժամանակից կարտահայտվեն

x = v t, y = H

(5.38)

բանաձևերով: t-ն արտահայտելով x-ի միջոցով՝ t = x v₀ « և տեղադրելով y-ի

արտահայտության մեջ՝ կստանանք՝

y = H

(5.39)

Ուրեմն՝ մարմնի շարժման հետագիծը պարաբոլ է (ավելի ճիշտ՝ պարաբոլի

աջ ճյուղն է), որի գագաթը (0, H) կետում է:

Հորիզոնական ուղղությամբ նետված մարմնի շարժումն ուսումնասիրելիս

ենթադրեցինք, որ մարմինը շարժվում է անօդ տարածության մեջ: Օդի առկա-

ԳԼՈՒԽ

V. ԿՈՐԱԳԻԾ ՇԱՐԺՈՒՄ

յությամբ մարմնի շարժման հետագիծը տարբերվում է պարաբոլից և վերածվում

ավելի բարդ կորի:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ո±ր շարժումն են անվանում կորագիծ հավասարաչափ արագացող: 2. Գրե°ք հորիզո-

նական ուղղությամբ նետված մարմնի շարժման կինեմատիկական հավասարումները:

3. Ինչպե՞ս են որոշում հորիզոնական ուղղությամբ նետված մարմնի դիրքը և արագու-

թյունը ժամանակի յուրաքանչյուր պահի: 4. Ի՞նչ է վկայում 66-րդ նկարում պատկերված

A և B գնդիկների լուսանկարը:

ՀՈՐԻԶՈՆԻ ՆԿԱՏՄԱՄԲ ԱՆԿՅԱՆ

22.

ՏԱԿ ՆԵՏՎԱԾ ՄԱՐՄՆԻ ՇԱՐԺՈՒՄԸ

Այժմ ուսումնասիրենք մարմնի ազատ անկումը, երբ նրա սկզբնական արագու-

թյան ուղղությունը չի համընկնում ո°չ ուղղաձիգ և ո°չ էլ հորիզոնական ուղղություն-

ներիչ: Ենթադրենք՝ A կետից մարմինը v₀ սկզբնական արագությամբ նետված է

հորիզոնի նկատմամբ a անկյան տակ (նկ. 68):

Քանի որ մարմինը շարժվում է հաստատուն g արագացմամբ, ապա նրա

շարժման կինեմատիկական հավասարումները վեկտորական ներկայացմամբ ու-

նեն նույն տեսքը, ինչ ուղղաձիգ դեպի վեր

կամ հորիզոնական ուղղությամբ նետված

մարմնի շարժման (5.33) հավասարումնե-

րը:

Այդ դեպքում մարմինը v₀ հաստա-

տուն արագությամբ տեղափոխվում է հո-

րիզոնի նկատմամբ a անկյուն կազմող

ուղղի երկայնքով, իսկ ուղղաձիգ ուղղու-

թյամբ, նախորդ դեպքերի նման, առանց

Նկ. 68. Անկյան տակ նետած մարմնի

սկզբնական արագության ազատ անկում

շարժումը

է կատարում: Ժամանակի յուրաքանչյուր

պահի մարմնի դիրքն ստացվում է սկզբնական դիրքից այն v t-ով հորիզոնի նկատ-

մամբ a անկյամբ թեքված ուղղի երկայնքով և gt

2-ով՝ ուղղաձիգ ուղղությամբ դե-

պի ներքև տեղափոխելով: Մարմնի արագությունը ժամանակի յուրաքանչյուր պա-

հի հորիզոնի նկատմամբ

անկյան տակ ուղղված v₀ վեկտորի և ուղղաձիգ դեպի

ներքև ուղղված gt վեկտորի գումարն է (նկ. 68):

Հետագծի տեսքը: Հետագծի տեսքն ստանալու համար հարմար է օգտվել

շարժման նկարագրման կոորդինատային եղանակից: Կոորդինատային համա-

կարգի սկզբնակետ համարենք այն կետը, որտեղից նետվել է մարմինը: X առանցքն

ուղղենք հորիզոնական, իսկ Y առանցքը՝ ուղղաձիգ ուղղություններով: Ժամանակի

հաշվարկման սկիզբ համարենք ժամանակի այն պահը, երբ նետվել է մարմինը:

68-րդ նկարից երևում է, որ մարմնի x և y կոորդինատները շարժումն սկսելուց t ժա-

մանակ անց հավասար են՝

x=v tcosa, y=v tsina-

(5.40)

ՖԻԶԻԿԱ 10

(5.40) հավասարումներից արտաքսելով t ժամանակը՝ կստանանք a անկյան

տակ նետված մարմնի շարժման հետագծի հավասարումը՝

tga

(5.41)

cos

Մաթեմատիկայի դասընթացից հայտնի է, որ այս y(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը

պարաբոլ է, որի ճյուղերն ուղղված են Y առանցքի ուղղությանը հակառակ, տվյալ

դեպքում՝ դեպի ներքև: Այդ գրաֆիկն էլ մարմնի շարժման հետագիծն է:

Անկման ժամանակը և հեռահարությունը: Դիցուք՝ շարժումն սկսելուց t₀

ժամանակ անց մարմինն ընկնում է գետին նետման կետից l հեռավորությամբ: Այդ

պահին տեղափոխության վեկտորն ուղղված է հորիզոնական ուղղությամբ, ուստի՝

v t₀

և gt

վեկտորներով կառուցված ABC եռանկյունն ուղղանկյուն եռանկյուն

է, որի մի սուր անկյունն a-ն է (նկ. 69): Այդ եռանկյունից՝

sina=

(5.42)

cosa=

(5.43)

0 0

(5©40) հավասարումներից

երկրոր-

դից թռիչքի ժամանակը (տևողությունը)

կստանանք« տեղադրելով y = 0.

sina

(5.44)

Տեղադրելով t₀ -ն (5.40) հավասա-

Նկ. 69. Մարմնի արագությունը գետին

ընկնելու պահին

րումներից առաջինի մեջ՝ կստանանք՝

2v2sina$cosa

v2sin2a

(5.45)

(5.45) արտահայտությունից երևում է, որ մոդուլով նույն v₀ արագությամբ,

բայց տարբեր անկյունների տակ նետված մարմինների հեռահարություննե-

րը կախված են հորիզոնի հետ սկզբնական արագության կազմած a անկյունից:

Թռիչքն առավելագույնս հեռահար է այն դեպքում, երբ sin 2a = 1, այսինքն՝

a = 45c: Դրան ում հեշտութ յամբ կար ելի է համ ոզվ ել՝ ռետին ե խող ով ակ ից հոս ող

ջրի շիթն ուղղելով տարբեր անկյունների տակ:

Արագությունը գետին ընկնելու պահին: Գետին ընկնելու պահին մարմնի

արագությունը v₀ վեկտորի և gt₀ վեկտորի գումարն է (նկ. 69): BOD եռանկյան մեջ

DO = v sina, իսկ DE = gt

2v sina: Այսինքն՝ որ BDE եռանկյան B գագաթից

տարված բարձրությունը նաև միջնագիծ է: Ուրեմն՝ այդ եռանկյունը հավասա-

րասրուն է, և BO - ն միաժամանակ նաև +DBE-ի կիսորդն է: Սա նշանակում է, որ

+OBE = a, այսինքն՝ գետին ընկնելու պահին մարմնի արագության մոդուլը հա-

վասար է նետման պահին մարմնին հաղորդած սկզբնական արագության մոդուլին

և ուղղված է հորիզոնի նկատմամբ -a անկյան տակ:

Վերելքի և վայրէջքի ժամանակները: Վերելքի ընթացքում« բարձրության

աճին զուգընթաց« հորիզոնական ուղղության հետ մարմնի արագության կազմած

ԳԼՈՒԽ

V. ԿՈՐԱԳԻԾ ՇԱՐԺՈՒՄ

անկյունը նվազում է՝ ինչ-որ t₁ պահի դառնա-

լով զրո: Այդ պահին մարմնի արագությունն

ունի հորիզոնական ուղղություն, և մարմինը

հետագծի ամենաբարձր կետում է (նկ.70):

Ուրեմն՝ t₁-ը վերելքի ժամանակն է: 70-րդ նկա-

րից երևում է« որ sin

gt1 v ,

0 որտեղից

Նկ.70. Մարմնի արագությունը

v sina

հետագծի ամենաբարձր կետում

=⁰

(5.46)

Համեմատելով ստացված ժամանակը թռիչքի ամբողջ t₀ ժամանակի (5.45)

արտահայտության հետ՝ կնկատենք, որ այն t

է,

այսինքն՝ վերելքի համար

ծախսվում է ամբողջ ժամանակի կեսը: Մյուս կեսը ծախսվում է վայրէջքի համար:

Այսպիսով՝ վերելքի և վայրէջքի ժամանակներն իրար հավասար են:

Թռիչքի առավելագույն բարձրությունը: Քանի որ հետագծի ամենաբարձր

կետում մարմինը կլինի t₁ պահին, ապա թռիչքի առավելագույն բարձրությունը՝

sin

sina

(5.47)

max

(5.47) բանաձևի համաձայն՝ H_max -ն առավելագույնն է այն դեպքում« երբ մար-

մինը v₀ արագությամբ նետված է ուղղաձիգ դեպի վեր (a = 90c):

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ինչպե՞ս

են փոխվում անկյան տակ նետված մարմնի արագության v_x և v_y պրո-

յեկցիաները թռիչքի ընթացքում: 2. Ինչպե՞ս կփոխվի անկյան տակ նետված մարմնի

թռիչքի առավելագույն բարձրությունը նրա սկզբնական արագությունը երկու անգամ

մեծացնելիս: 3. Ինչու± է մեծանում թռիչքի հեռահարությունը, երբ մարզիկը ցատկում է

թափավազքից: 4. Հետագծի ո՞ր կետում է արկի արագությունն առավել փոքր: 5. Ինչ-

պե±ս է ուղղված անկյան տակ նետված մարմնի շարժման արագացումը վակուումում:

23.

ԼԱԲՈՐԱՏՈՐ ԱՇԽԱՏԱՆՔ 2

Մարմնի պարաբոլային շարժման ուսումնասիրումը

Աշխատանքի նպատակը. որոշել

հորիզոնական ուղղությամբ նետված

մարմնի սկզբնական արագությունը:

Չափամիջոցներ. միլիմետրա-

կան բաժանումներով քանոն

(50 սմ

երկարությամբ):

Նյութեր և սարքեր. գնդիկ, գնդի-

կը բաց թողնելու ոստնակ, նրբատախ-

տակ, գրելու թուղթ, պատճենաթուղթ,

սևեռակներ, ամրակալան՝ կցորդիչով և

թաթով:

ՖԻԶԻԿԱ 10

Փորձի կատարման ընթացքը

Ամրակալանի օգնությամբ նրբատախտակն ամրացրեք ուղղաձիգ դիրքով:

Ամրակալանի նույն թաթով սեղմեք ոստնակի ելուստը: Ճոռի ծայրը պետք

է լինի հորիզոնական:

2. Սևեռակներով նրբատախտակին ամրացնեք 20 սմ-ից ոչ պակաս երկա-

րությամբ սպիտակ թուղթ և դրա վրա դրեք պատճենաթուղթը:

3. Փորձը կրկնեք 5 անգամ՝ գնդիկը բաց թողնելով ճոռի միևնույն տեղից,

վերցրեք պատճենաթուղթը:

4. Չափեք h բարձրությունը և թռիչքի l հեռահարությունը: Չափման արդ-

յունքները գրանցեք աղյուսակում:

Փորձի համարը

h, սմ

l, սմ

l_միջ, սմ

v0rh2, սմ/վ

5. v

= l g 2h

բանաձևով հաշվեք սկզբնական արագության միջին արժե-

քը՝ v0rh2:

6. Օգտվելով x = v0 rh2t

և y = gt

բանաձևերից՝ գտեք մարմնի x կոորդի-

նատը (y կոորդինատն արդեն հաշված է) յուրաքանչյուր 0,05 վայրկյա-

նը մեկ և նրբատախտակին փակցրած թղթի վրա կառուցեք շարժման հե-

տագիծը:

t, վ

0,05

0,1

0,15

0,2

x, մ

y, մ

0,012

0,049

0,11

0,19

Գնդիկը բաց թողեք ճոռով և համոզվեք, որ նրա շարժման հետագիծը մոտ

է կառուցված պարաբոլին:

Խնդիրների լուծման օրինակներ

1. Ինքնաթիռը թռչում է օվկիանոսի մակարդակից h =1125 մ բարձրությամբ՝

v₀=720կմ/ժ արագությամբ: Օդաչուն պետք է ծանրոց գցի ինքնաթիռին ընդա-

ռաջ լողացող նավի վրա, որը շարժվում է u=36կմ/ժ արագությամբ: Օդաչուն

հորիզոնական ուղղությամբ նավից ի՞նչ հեռավորությամբ կետում պետք է բաց

թողնի ծանրոցը, որպեսզի այն ընկնի նավի վրա:

Լուծում: Բաց թողնված ծանրոցն ինքնաթիռից բաժանվելու պահին ունի հորիզո-

նական ուղղությամբ ուղղված, մոդուլով ինքնաթիռի արագությանը հավասար v₀

սկզբնական արագություն: Այդ

պահն ընդունենք որպես ժա-

մանակի հաշվարկման սկիզբ:

Ջրի մակերևույթի O կետը,

որը ժամանակի սկզբնական

պահին ինքնաթիռով անցնող

ուղղաձիգի վրա է, ընդունենք

որպես

դիրքի հաշվարկման

սկիզբ: Այդ պահին նավի դիր-

ԳԼՈՒԽ

V. ԿՈՐԱԳԻԾ ՇԱՐԺՈՒՄ

քաթիվը (որոնելի հեռավորությունը) նշանակենք l₀ : Նավի դիրքաթվի կախումը

ժամանակից՝ l = l0- ut , որտեղ u-ն նավի արագությունն է: Ինքնաթիռից պոկված

ծանրոցի դիրքը ժամանակի յուրաքանչյուր պահի ստացվում է նետման տեղից հո-

րիզոնական ուղղությամբ v t

-ով, իսկ ուղղաձիգ ուղղությամբ՝ gt

2-ով տեղափո-

խելով: Ջրի մակերևույթին հասնելու t0 պահին ուղղաձիգ ուղղությամբ ծանրոցը

տեղափոխվում է h-ով, ուրեմն՝ h = gt2 2: t0 պահին հորիզոնական ուղղությամբ

ծանրոցը տեղափոխված կլինի v0t0 -ով: Ծանրոցը կընկնի նավի վրա, եթե այդ պա-

հին նավը լինի սկզբնակետից նույն հեռավորությամբ, այն է՝ նրա դիրքաթիվը լինի

v t₀, այսինքն՝ v t

0 0 =

Համատեղ լուծելով վերը նշված հավասարումների համակարգը՝ կստանանք՝

0 =

ՄՀ-ում ինքնաթիռի և նավի արագությունները« համապատասխանաբար« հավա-

սար են՝ v =

720 կմ/ժ = 200 մ/վ և u = 36 կմ/ժ = 10 մ/վ, հետևաբար՝ l0 =3150 մ:

Պատասխան՝ 3150 մ:

2. Մարմինը նետված է հորիզոնի նկատմամբ a=60 անկյան տակ: Հետագծի

ամենաբարձր կետում մարմնի

արագությունը՝ v=10մ/վ:

Գտեք մարմնի

սկզբնական արագությունը:

Լուծում: Թռիչքի ընթացքում մարմնի արագու-

թյունը՝ v = v + gt

: Հետագծի

ամենաբարձր

կետում v -ն ուղղված է հորիզոնական ուղղու-

թյամբ, ուստի՝ v « v₀ և gt վեկտորները կազմում

են ուղղանկյուն եռանկյուն, որի մի անկյունն a է:

Ինչպես երևում է նկարից, v = v cos a

, որտեղից

v = v cosa =

20 մ/վ:

Պատասխան՝ 20 մ/վ:

ՖԻԶԻԿԱ 10

ԳԼՈՒԽ VI

ԴԻՆԱՄԻԿԱՅԻ ՀԻՄՈՒՆՔՆԵՐԸ

ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ

ՙԿինեմատիկայի հիմունքները՚ բաժնում ծանոթացանք այնպիսի մեծու-

թյունների, որոնք կիրառվում են մեր շրջակա աշխարհում դիտվող տարբեր շար-

ժումներ նկարագրելու համար: Իմացանք նաև, որ մեխանիկայի հիմնական խնդրի

լուծման համար պետք է գիտենալ արագացումը: Չէ± որ մի շարժումը տարբերվում

է մյուսից հենց արագացումով: Այսպես՝ ուղղագիծ հավասարաչափ շարժումը մյուս

շարժումներից տարբերվում է նրանով, որ այդպիսի շարժման դեպքում արագա-

ցումը զրո է, կորագիծ հավասարաչափ շարժման դեպքում արագացումը հետագ-

ծի ամեն մի կետում ուղղահայաց է այդ կետով հետագծին տարված շոշափողին,

հավասարաչափ արագացող շարժման դեպքում արագացումը մոդուլով և ուղղու-

թյամբ հաստատուն է, շրջանագծային հավասարաչափ շարժման դեպքում արա-

գացման մոդուլը հաստատուն է և շրջանագծի յուրաքանչյուր կետում ուղղված է

դեպի կենտրոն և այլն: Ուստի՝ հասկանալի է, թե որքան կարևոր է արագացումնե-

րը գտնել կարողանալը: Բայց արագացումները գտնելու համար առաջին հերթին

պետք է իմանալ, թե ինչու են առաջանում դրանք« և որն է արագացման առաջաց-

ման պատճառը:

Կինեմատիկայում ուսումնասիրում են մարմինների տարբեր շարժումներ՝

առանց քննարկելու դրանք առաջ բերող պատճառները, պարզում, թե ինչպես է

տեղի ունենում շարժումը (օրինակ՝ արագացմա±մբ, թե՞ առանց արագացման):

Իսկ այն հարցին՝ ո՞րն է արագացման պատճառը, ինչու± են մարմինները շարժ-

վում այսպես և ոչ թե այլ կերպ, պատասխանում է մեխանիկայի գլխավոր բաժինը՝

դինամիկան (հունարեն ՙդինամիս՚՝ ուժ բառից):

ՆՅՈՒՏՈՆԻ ԱՌԱՋԻՆ ՕՐԵՆՔԸ:

24.

ՀԱՇՎԱՐԿՄԱՆ ԻՆԵՐՑԻԱԼ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐ

Նախքան արագացումների առաջացման պատճառը որոնելը պարզենք, թե

ինչ պայմաններում է մարմինը շարժվում առանց արագացման, այսինքն՝ երբ է

նրա արագությունը ժամանակի ընթացքում մնում անփոփոխ: Այդ պայմանները

խախտվելու դեպքում մարմնի արագությունը կսկսի փոփոխվել, ի հայտ կգա արա-

գացում, ու պարզ կդառնա, թե որն է արագացման պատճառը:

Դիտարկենք որևէ մարմին դադարի վիճակում: 71-րդ նկարում ցույց է տրված

ռետինե լարից կախված գնդիկ: Երկրի նկատմամբ գնդիկը դադարի վիճակում

ԳԼՈՒԽ

VI. ԴԻՆԱՄԻԿԱՅԻ ՀԻՄՈՒՆՔՆԵՐԸ

է: Նրա շուրջը կան բազմաթիվ այլ մարմիններ՝ լարը, որից այն

կախված է, սենյակի պատերը, տարբեր առարկաներ այդ և հա-

րևան սենյակներում և, իհարկե, նաև Երկիրը: Թվարկված բոլոր

մարմիններն էլ որևէ կերպ ազդում են գնդիկի վրա, ընդ որում,

որոշ մարմիններ էապես են ազդում, մյուսները՝ աննշան չափով

միայն: Եթե, օրինակ, տեղաշարժենք սենյակի կահույքը, ապա

դա որևէ զգալի ազդեցություն չի թողնի գնդիկի վրա: Բայց եթե

կտրենք լարը, այսինքն՝ վերացնենք թելի ազդեցությունը, ապա

գնդիկն ազատ անկում կկատարի՝ շարժվելով g արագացմամբ:

Հայտնի է, որ հենց Երկրի ազդեցությամբ են բոլոր մարմին-

ները վայր ընկնում: Բայց քանի դեռ լարը կտրված չէր, գնդիկը

Նկ.71. Լարից

դադարի վիճակում էր: Այս պարզ փորձը ցույց է տալիս, որ գնդի-

կախված

անշարժ գնդիկը կի շրջապատի բոլոր մարմիններից միայն երկուսն են նկատե-

լիորեն ազդում նրա վրա՝ ռետինե լարն ու Երկիրը: Բավական

էր հեռացնել այդ մարմիններից մեկը՝ լարը, և դադարի վիճակը խախտվեց: Եթե

հրաշքով հնարավոր լիներ, պահպանելով ձգված լարի ազդեցությունը, հեռացնել

Երկիրը, ապա գնդիկն արագացմամբ դեպի վերև կշարժվեր: Սա մեզ բերում է այն

եզրակացության, որ երկու մարմինների՝ լարի և Երկրի ազդեցությունները գնդիկի

վրա համակշռվում են (երբեմն ասում են՝ հավասարակշռվում են):

Երբ ասում են, թե երկու կամ մի քանի մարմինների ազդեցություններն իրար

համակշռում են, հասկանում են հետևյալը՝ մարմինների համատեղ ազդեցության

արդյունքն այնպիսին է, ինչպիսին կլիներ, եթե այդ մարմինները բացակայեին:

Դիտարկենք սառույցի վրա դրված անշարժ տափօղակը: Այս դեպքում

Երկրի ազդեցությունը տափօղակի վրա համակշռվում է հենարանի՝ սառույցի

ազդեցությամբ: Երբ հոկեյիստը մականով հարվածում է տափօղակին, վերջինիս

վրա ազդեցությունների հավասարակշռությունը խախտվում է, որի հետևանքով

տափօղակը շարժվում է՝ ունենալով որոշակի սկզբնական արագություն: Հար-

վածից հետո, երբ մականի ազդեցությունը տափօղակի վրա արդեն վերացել է,

առաջվա նման Երկրի ազդեցությունը համակշռվում է սառույցի ազդեցությամբ,

և տափօղակը հարվածից հետո շարժվում է ուղիղ գծով՝ համարյա հաստատուն

արագությամբ: Ճիշտ է, տափօղակը, ի վերջո, կանգ է առնում, բայց փորձից հայտ-

նի է, որ ինչքան ողորկ լինեն սառույցն ու տափօղակը, այնքան տափօղակի շար-

ժումը տևական կլինի: Ուստի՝ հասկանալի է, որ եթե բոլորովին վերացվեր շարժ-

վող տափօղակի վրա սառույցի ունեցած այն ազդեցությունը, որը կոչվում է շփում,

ապա տափօղակի վրա բոլոր ազդեցությունների հավասարակշռությունը կվերա-

կանգնվեր, և այն կշարունակեր շարժվել հաստատուն արագությամբ:

Քննարկված և բազմաթիվ այլ օրինակներ հնարավորություն են տալիս

անելու հետևյալ եզրակացությունը. եթե մարմնի վրա այլ մարմիններ չեն ազդում,

կամ դրանց ազդեցությունները համակշռվում են, ապա մարմինը մնում է դադարի

վիճակում կամ կատարում է ուղղագիծ հավասարաչափ շարժում, այսինքն՝ մար-

մինն իր արագությունը պահում է հաստատուն:

Այն մարմինը, որի վրա արտաքին ազդեցություններ չկան« անվանում են

ազատ կամ առանձնացված մարմին: Ազատ մարմնի՝ իր արագությունը հաս-

ՖԻԶԻԿԱ 10

տատուն պահելու երևույթն անվանում են իներցիա, մարմնի այդ հատկությունը՝

իներտություն, իսկ նրա շարժումը՝ շարժում իներցիայով:

Առաջին անգամ ազատ մարմնի շարժման խոր և բազմակողմանի վերլուծու-

թյուն կատարել է Գալիլեո Գալիլեյը: Մինչ Գալիլեյն ընդունված էր հույն գիտնա-

կան Արիստոտելի ուսմունքը© մարմինը շարժվում է միայն այն դեպքում, երբ նրա

վրա ազդում են այլ մարմիններ: Բազմաթիվ փորձերի և դիտարկումների արդյուն-

քում Գալիլեյը ձևակերպել է իներցիայի օրենքը. ազատ մարմինը մնում է դադա-

րի վիճակում կամ շարժվում է իներցիայով՝ ուղղագիծ և հավասարաչափ:

Մեր քննարկած օրինակները ցույց են տալիս,

որ Երկրի հետ կապված հաշվարկման համակար-

գում իներցիայի օրենքը ճիշտ է: Բայց չէ± որ ՙշար-

ժում՚ և

ՙդադար՚ հասկացությունները հարա-

բերական են: Եթե մի հաշվարկման համակարգի

նկատմամբ մարմինը դադարի վիճակում է, ապա

այլ հաշվարկման համակարգի նկատմամբ կարող

Նկ. 72. Իներցիայի օրենքը

է շարժվել: Դիցուք՝ Երկրի հետ կապված XOY հաշ-

տարբեր հաշվարկման

համակարգերում

վարկման համակարգում A մարմինը դադարի վի-

ճակում է, իսկ B մարմինը շարժվում է ուղղագիծ և հավասարաչափ (նկ. 72): Այս

համակարգում իներցիայի օրենքը ճիշտ է: Դիտարկենք արագացմամբ շարժվող

X°O°Y° համակարգը և պարզենք՝ ճի±շտ է արդյոք իներցիայի օրենքն այդ համա-

կարգում: X°O°Y° համակարգի նկատմամբ A և B մարմինները կատարում են արա-

գացող շարժում, չնայած նրանց վրա այլ մարմիններ չեն ազդում: Ուստի՝ արա-

գացմամբ շարժվող հաշվարկման համակարգերում իներցիայի օրենքը ճիշտ չէ:

Այսպիսով՝ եկանք այն եզրակացության, որ իներցիայի օրենքը ճիշտ է մի հա-

մակարգում և սխալ է մեկ այլ համակարգում: Նշանակում է՝ առանց հաշվարկման

համակարգը նշելու այն անիմաստ է: Այն հաշվարկման համակարգերը, որտեղ

ճիշտ է իներցիայի օրենքը, կոչվում են իներցիալ հաշվարկման համակարգեր:

Իրականում համակարգը կարող է լինել իներցիալ որոշակի ճշտությամբ:

Առօրյա փորձը հաստատում է, որ իներցիայի օրենքը ճիշտ է երկրային պայման-

ներում: Բայց չէ± որ Երկիրը պտտվում է սեփական առանցքի և Արեգակի շուրջը:

Հետևաբար՝ Երկրի հետ կապված հաշվարկման համակարգը հեռավոր աստղերի

նկատմամբ շարժվում է արագացմամբ: Չկա± արդյոք այստեղ հակասություն: Մի

կողմից՝ փորձը վկայում է, որ իներցիայի օրենքը Երկրի հետ կապված հաշվարկ-

ման համակարգում ճիշտ է, մյուս կողմից՝ այդ համակարգը շարժվում է արագաց-

մամբ: Այո°, հակասություն կա: Բայց գործնականում Երկրի վրա ընթացող շատ

երևույթներում Երկրի հետ կապված հաշվարկման համակարգը կարելի է համա-

րել իներցիալ: Բանն այն է, որ մարմինների՝ Երկրի օրական պտույտով պայմա-

նավորված արագացումը շատ փոքր է: Իրոք, կենտրոնաձիգ արագացման (5.26)

բանաձևի մեջ տեղադրելով Երկրի շառավղի (R = 6400 կմ) և օրական պտույտի

պարբերության (T = 24 ժ) արժեքները՝ կստանանք, որ մարմինների արագացումը

հասարակածում« որտեղ այն առավելագույնն է՝ 0,03 մ/վ²« որը մոտավորապես 330

անգամ փոքր է ազատ անկման արագացումից, հետևաբար՝ շատ դժվար է երկրա-

յին համակարգի ոչ իներցիալությունը հայտնաբերելը:

ԳԼՈՒԽ

VI. ԴԻՆԱՄԻԿԱՅԻ ՀԻՄՈՒՆՔՆԵՐԸ

ՙԲնափիլիսոփայության մաթեմատիկական հիմունքները՚ հայտնի աշխա-

տության մեջ (1687 թ.) Նյուտոնը ձևակերպել է դինամիկայի օրենքները, որոնց

հիման վրա կառուցել է դասական մեխանիկան: Նա համոզված էր« որ Գալիլեյը

ճիշտ է« և իներցիայի մասին օրենքը դասել է դինամիկայի օրենքների շարքը՝ որ-

պես առաջին օրենք՝ հետևյալ ձևակերպմամբ. ՙՅուրաքանչյուր մարմին պահպա-

նում է ուղղագիծ և հավասարաչափ շարժման վիճակը, քանի դեռ ստիպված չէ փո-

խել այդ վիճակը արտաքին ուժերի ազդեցությամբ՚:

Քանի որ իներցիայի օրենքը ճիշտ է միայն իներցիալ հաշվարկման համակար-

գերում, ապա նախընտրելի է Նյուտոնի առաջին օրենքի հետևյալ ձևակերպումը.

գոյություն ունեն հաշվարկման համակարգեր, որտեղ մարմինը պահպանում է

դադարի կամ ուղղագիծ հավասարաչափ շարժման վիճակը, եթե նրա վրա այլ

մարմիններ չեն ազդում, կամ դրանց ազդեցությունները համակշվռում են:

Նյուտոնի առաջին օրենքը հնարավորություն է տալիս առանձնացնելու իներ-

ցիալ հաշվարկման համակարգերը:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ի՞նչ է նշանակում ՙմի քանի մարմինների ազդեցությունները համակշռվում են՚ արտա-

հայտությունը: 2. Ո±ր մարմինն է կոչվում ազատ: 3. Ո±ր երևույթն են անվանում իներցիա:

4. Ձևակերպե°ք իներցիայի օրենքը՝ ըստ Գալիլեյի: 5. Ո±ր համակարգերն են կոչվում իներ-

ցիալ: 6. Ձևակերպե°ք Նյուտոնի առաջին օրենքը:

ԶԱՆԳՎԱԾ: ԶԱՆԳՎԱԾԸ ՈՐՊԵՍ

25.

ԻՆԵՐՏՈՒԹՅԱՆ ՉԱՓ:

Նյուտոնի առաջին օրենքի համաձայն՝ առանձնացված մարմինը շարժվում

է իներցիայով՝ առանց արագացման: Ուրեմն, որպեսզի մարմնին արագացում

հաղորդենք, պետք է ՙհաղթահարենք՚ նրա իներտությունը, ստիպենք շարժվել

արագացմամբ՝ հակառակ արագության վեկտորը հաստատուն պահելու մարմնի

ՙձգտման՚: Դրա համար պետք է լինի մեկ ուրիշ մարմին կամ մի քանի մարմին, որոնց

ազդեցությունները մարմնի վրա համակշռված չեն: Այդ դեպքում մարմինն առանձ-

նացված չէ և կշարժվի արագացմամբ: Օրինակ՝ ազատ անկում կատարող մար-

մինները շարժվում են արագացմամբ: Նրանց արագացումն առաջացնող մարմինը

Երկիրն է: Սառույցին դրված տափօղակն իր արագությունը փոխում է մականի հար-

վածի հետևանքով: Տափօղակին արագացում հաղորդող մարմինը մականն է: Մագ-

նիսը մոտեցնենք երկաթե գնդիկին: Գնդիկը, որը մինչ այդ դադարի վիճակում էր,

մագնիսի ազդեցությամբ սկսում է շարժվել արագացմամբ (նկ. 73, ա):

Եթե մագնիսը մոտեցնենք շարժվող գնդիկին այնպես, ինչպես ցույց է տրված

73, բ նկարում, ապա կփոխվի այդ շարժման արագության ուղղությունը. գնդիկի

շարժման հետագիծը կկորանա: Նշանակում է՝ գնդիկը ձեռք է բերել կենտրոնաձիգ

արագացում: Այս փորձում կրկին տեսնում ենք, որ արտաքին մարմնի՝ մագնիսի

ազդեցությունը գնդիկի շարժման փոփոխության և ոչ թե շարժման պատճառն է:

Չէ± որ գնդիկը շարժվում էր նաև մինչև մագնիսը մոտեցնելը:

Այսպիսով՝ մարմնի շարժման արագացման պատճառն այլ մարմինների

չհամակշռված ազդեցությունն է մարմնի վրա:

ՖԻԶԻԿԱ 10

Ինչի±ց է կախված արտաքին ազդեցության

հետևանքով մարմնի շարժման արագության փո-

փոխության բնութագրի՝ արագացման մոդուլը:

Այս հարցի պատասխանը գտնելու համար նորից

դիմենք փորձի օգնությանը: Նախ՝ M₁ մարմնի

վրա հորիզոնական ուղղությամբ արտաքին հաս-

տատուն ազդեցություն գործենք (նկ. 74, ա): Փոր-

ձը ցույց է տալիս, որ արտաքին հաստատուն

ազդեցության դեպքում մարմինը շարժվում է

հաստատուն արագացմամբ: Ուրեմն, չափելով

դադարի վիճակից որևէ s₁ ճանապարհ անցնե-

Նկ.73. ա© Մագնիսի ազդեցությամբ

լու t₁ ժամանակը, s = at²/2 բանաձևից կարող ենք

գնդիկն սկսում է շարժվել«

հաշվել մարմնի a₁ արագացումը:

բ© մագնիսի ազդեցությամբ գնդիկը

Այնուհետև՝ արտաքին նույնպիսի ազդեցու-

փոխում է շարժման ուղղությունը:

թյուն գործենք M₂ մարմնի վրա (նկ. 74, բ): Մար-

մինների վրա միատեսակ

ազդեցություն կա-

պահովենք թելից կախված բեռի ընտրությամբ

այնպես, որ երկու դեպքում էլ զսպանակը միև-

նույն չափով ձգված լինի (պարզության համար

ենթադրենք, որ սեղանի և մարմնի շփումը բացա-

կայում է): Չափելով երկրորդ մարմնի a₂ արա-

գացումը՝ կհամոզվենք, որ միևնույն արտաքին

ազդեցության հետևանքով տարբեր մարմին-

ներ շարժվում են տարբեր արագացումներով:

Այժմ որոշենք մարմինների al1 և al2 արա-

գացումները զսպանակի ուրիշ« բայց դարձյալ

միևնույն երկարացումների (արտաքին ազդեցու-

թյունների) դեպքում:

Նկ.74. ա. A₁ բեռի դեպքում

Փորձը ցույց է տալիս, որ տարբեր պայ-

զսպանակի երկարությունն l է,

մաններում արտաքին միևնույն ազդեցությանը

բ. A₂ բեռն ընտրվում է այնպես, որ

զսպանակի երկարությունը մնա

ենթարկվող մարմինների արագացումների մո-

անփոփոխ:

դուլների հարաբերությունը հաստատուն է.

a1=const

Փորձի արդյունքը, որ արտաքին միևնույն ազդեցության հետևանքով տարբեր

մարմիններ շարժվում են տարբեր արագացումներով« ցույց է տալիս, որ մարմնի

արագացումը կախված է ոչ միայն արտաքին ազդեցությունից, այլև մարմնի ինչ-

որ սեփական հատկությունից: Այն փաստից, որ մարմինների արագացումները

տարբեր են, կարելի է եզրակացնել, որ հավասար ժամանակամիջոցներում նրանց

արագությունները տարբեր չափով են փոխվում: Հիշենք, որ մարմնի արագացումը

արագության Dv փոփոխության և այն Dt ժամանակի հարաբերությունն է, որի

ընթացքում տեղի է ունեցել այդ փոփոխությունը՝ a = Dv Dt , ուստի՝ որքան փոքր

ԳԼՈՒԽ

VI. ԴԻՆԱՄԻԿԱՅԻ ՀԻՄՈՒՆՔՆԵՐԸ

է մարմնի արագացումը, այնքան քիչ է փոխվում նրա արագությունը տվյալ Dt ժա-

մանակամիջոցում:

Միևնույն ազդեցության հետևանքով նույն ժամանակում իր շարժման արա-

գությունը քիչ փոխած մարմնի մասին ասում են, որ այն ավելի իներտ է, քան մյու-

սը: Չէ± որ եթե այն բոլորովին չփոխեր իր արագությունը, ապա կշարժվեր իներ-

ցիայով, այսինքն՝ ուղղագիծ և հավասարաչափ: Իներտությունը, որով օժտված է

յուրաքանչյուր մարմին, մարմնի կարևորագույն հատկություններից է, որովհետև

իներտությունից է կախված այն արագացումը, որով մարմինն սկսում է շարժվել

արտաքին ազդեցության հետևանքով: Մարմնի իներտության չափը բնութագրող

ֆիզիկական մեծությունն անվանում են զանգված:

Քանի որ միևնույն ազդեցությանը ենթարկվող երկու մարմինների արագա-

ցումների մոդուլների հարաբերությունը հաստատուն է՝ a₁/a₂=const, և այն մարմի-

նը, որի արագացումը փոքր է, ավելի իներտ է, ապա երկրորդ մարմինը, որի արա-

գացումը մեծ է, a₁/a₂ անգամ փոքր զանգված ունի, քան առաջին մարմինը: Եթե

մարմինների զանգվածները նշանակենք m₁-ով և m₂-ով, ապա

(6.1)

Առանձին մարմնի զանգվածն արտահայտող թիվը գտնելու համար անհրա-

ժեշտ է որևէ մարմնի զանգվածը համարել զանգվածի չափանմուշ, այնուհետև բո-

լոր մարմինների զանգվածները համեմատել այդ մարմնի զանգվածի հետ:

Ինչպես գիտեք« ՄՀ-ում զանգվածի միավորը կիլոգրամն է (կգ)« որը երկա-

րության միավորի (մ) և ժամանակի միավորի (վ) նման ՄՀ-ի հիմնական միավոր-

ներից է:

Իհարկե, անհրաժեշտություն չկա մարմնի զանգվածը որոշելու համար այն

անպայմանորեն համեմատել զանգվածի չափանմուշի հետ: Այդպիսի եղանակը

գործնականում հարմար չէ: Գոյություն ունի զանգվածը չափելու ուրիշ եղանակ՝

կշռումը, որին ծանոթացել եք VII դասարանի ֆիզիկայի դասընթացում: Բայց որոշ

դեպքերում զանգվածն արագացումների միջոցով որոշելը միակ հնարավոր եղա-

նակն է: Հնարավոր չէ, օրինակ, կշռելով չափել մոլորակների, աստղերի և երկնա-

յին այլ մարմինների զանգվածը: Կշեռքով հնարավոր չէ չափել նաև ատոմների և

տարրական մասնիկների զանգվածները և այլն:

Զանգվածի կարևոր հատկություններից է նրա ադիտիվությունը, այսինքն՝

մարմնի զանգվածը հավասար է նրա մասերի զանգվածների գումարին:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ո±րն է մարմինների արագացման պատճառը: 2. Ինչո±վ բացատրել այն փաստը, որ

արտաքին միևնույն ազդեցության հետևանքով մարմինները ձեռք են բերում տարբեր

արագացումներ: 3. Ո±րն է մարմնի իներտություն կոչվող հատկությունը: 4. Ի՞նչ ենք հաս-

կանում՝ ասելով, որ մի մարմինը մյուսից 3 անգամ ավելի իներտ է: 5. Ո±ր ֆիզիկական

մեծությունն են անվանում զանգված: 6. Ո±ր մարմնի զանգվածն է ընդունված որպես

զանգվածի չափանմուշ: 7. Ինչպե՞ս է կոչվում զանգվածի միավորը ՄՀ-ում: Այն հիմնա-

կա±ն, թե՞ ածանցյալ միավոր է:

ՖԻԶԻԿԱ 10

26.

ՈՒԺ: ՀԱՄԱԶՈՐ ՈՒԺ: ՈՒԺԻ ԵՎ ԱՐԱԳԱՑՄԱՆ ԿԱՊԸ

Ինչպես գիտեք, մարմնի շարժման արագացման պատճառն այլ մարմիննե-

րի չհամակշռված ազդեցությունն է նրա վրա: Հայտնի է նաև, որ այլ մարմինների

ազդեցության հետևանքով մարմինը կարող է դեֆորմացվել: Մարմնի վրա մեխա-

նիկական ազդեցություն թողնող, այսինքն՝ նրան արագացում հաղորդող կամ նրա

դեֆորմացիա առաջացնող արտաքին ազդեցությունը բնութագրող ֆիզիկական մե-

ծությունն անվանում են ուժ: Ուժը մարմնի վրա այլ մարմինների ազդեցության

քանակական չափն է:

Երբ արդեն սահմանեցինք ՙուժ՚ հասկացությունը« այսուհետ ՙմարմինը ձեռք

է բերել արագացում այլ մարմինների չհամակշռված ազդեցության հետևանքով՚

ասելու փոխարեն կարող ենք կարճ ասել, որ մարմնին արագացմում հաղորդել է

նրա վրա ազդող ուժը:

Մարմնի շարժման արագացման պատճառը նրա վրա ազդող ուժն է:

Մի ուժի հաղորդած արագացման մոդուլը կարող է ավելի մեծ լինել, քան մեկ

այլ ուժինը: Մի ուժ կարող է մարմնին արագացում հաղորդել մի ուղղությամբ, մեկ

այլ ուժ՝ այլ ուղղությամբ: Հետևաբար՝ կարելի է ենթադրել, որ ուժը պետք է վեկտո-

րական ֆիզիկական մեծություն լինի, որը բնութագրվում է մոդուլով և ուղղությամբ:

Բայց ի՞նչ մեծություն է դա: Ինչպե՞ս չափել այն: Եվ« որ ամենակարևորն է,

ինչպե՞ս է ուժը կապված արագացման հետ:

Մարմնի վրա մեխանիկական ազդեցության տեսակետից ուժի բնույթն էա-

կան նշանակություն չունի, ուստի՝ ուժերի բնույթին (գրավիտացիոն, էլեկտրամագ-

նիսական, միջուկային և այլն) կծանոթանանք ստորև (VII գլուխ): Իսկ անկախ ու-

ժերի բնույթից՝ դրանց բոլորի չափման համար ընտրենք նուjն միավորը՝ միևնույն

չափանմուշների միջոցով:

Կան ուժի մոդուլը չափելու տարբեր եղանակներ: Դրանցից ամենատարած-

վածը հիմնված է ուժի՝ պինդ մարմնի առաձգական դեֆորմացիա առաջացնելու

հատկության վրա: Առաձգական մարմնի պարզագույն օրինակ է զսպանակը: Ուժը

չափելու համար սկզբում կարող ենք վարվել հետևյալ կերպ.

ա) որպես չափանմուշ ընտրենք որևէ զսպանակ (նկ. 75)«

բ) չափանմուշի՝ իր ծայրին ամրացրած մարմնի վրա ազդող F₀ ուժը« զսպա-

նակի որոշակի Dl₀ երկարացման դեպքում, ընդունենք որպես ուժի պայմանական

միավոր,

գ) համարենք, որ ուժն ուղղված է զսպանակի

երկայնքով:

Միավոր ուժն այլ ուժի հետ համեմատելու և

երկու ուժերի հավասարությունը սահմանելու հա-

Նկ.75. Ուժի չափանմուշը

մար օգտվենք հաշվարկման իներցիալ համակար-

գերի հիմնական հատկությունից, որի համաձայն՝

արտաքին ազդեցության բացակայությամբ մարմի-

նը մնում է դադարի վիճակում կամ կատարում է ուղ-

Նկ.76. Ուժերի մոդուլների

ղագիծ հավասարաչափ շարժում:

հավասարությունը

ԳԼՈՒԽ

VI. ԴԻՆԱՄԻԿԱՅԻ ՀԻՄՈՒՆՔՆԵՐԸ

Այժմ ենթադրենք« թե մարմնի վրա միաժամանակ ազդում է երկու ուժ. չափան-

մուշային զսպանակի F₀ և ինչ-որ անհայտ զսպանակի F ուժը (նկ. 76): Ենթադրենք

նաև, որ մարմինը դադարի վիճակում է, այսինքն՝ իրեն պահում է այնպես, ինչպես

կպահեր ուժերի բացակայությամբ: Այդ դեպքում իրավացիորեն կարելի է պնդել,

որ զսպանակների ազդող ուժերը համակշռված են, իսկ այդ ուժերը մոդուլով հա-

վասար են, իսկ ուղղությամբ՝ հակադիր:

Երկու ուժեր համարվում են մոդուլով հավասար և ուղղությամբ հակադիր,

եթե մարմինը, որի վրա այդ ուժերն ազդում են միաժամանակ, պահպանում է

դադարի կամ ուղղագիծ հավասարաչափ շարժման վիճակը:

Օգտվելով այս կանոնից՝ կարելի է ընտրել տարբեր զսպանակներ, որոնք

անհրաժեշտ չափով ձգելու դեպքում առաջացնում են ուժի միավորին հավասար

ուժեր: Ունենալով միավոր ուժ ստեղծող զսպանակների հավաքածու՝ կարելի է

չափել կամայական ուժի մոդուլը: Օրինակ՝ եթե մարմնի վրա մի կողմից անհայտ

ուժով մի զսպանակ է ազդում, մյուս կողմից՝

միավոր ուժով՝

երկու

զսպանակ (նկ. 77),

իսկ մարմինը պահպանում է դադարի վի-

ճակը, ապա կարելի է պնդել, որ առաջին

Նկ.77. Անհայտ ուժի որոշման դեպք

զսպանակի

ազդեցությունը հավասար

երկրորդ և երրորդ զսպանակների համա-

տեղ ազդեցությանը, կամ« այլ կերպ ասած«

F_x=F₀+F₀=2F₀:

Նկ.78. Ուժաչափ

Օգտվելով ուժերի համեմատման այս

եղանակից և այն բանից, որ զսպանակնե-

րը տարբեր չափով ձգելու դեպքում առա-

ջացնում են տարբեր ուժեր, կարելի է որևէ

զսպանակ

աստիճանավորել

(նկ. 78) և

նրա հետ համեմատել կամայական ուժ,

Նկ.79. Ուժի վեկտոր լինելն

այսինքն՝ ստանալ ուժը չափող սարք՝ ու-

ապացուցող փորձ

ժաչափ (դինամոմետր):

Ցույց տանք, որ ուժը վեկտորական մեծություն է: Դիցուք՝ դադարի վիճա-

կում մարմնի վրա սկսում են ազդել F₁ և F₂ ուժերը (նկ. 79): Փորձնական եղանա-

կով գտնենք այն F₃ ուժը, որը կհամակշռի այդ ուժերի համատեղ ազդեցությունը« և

մարմինը կմնա դադարի վիճակում:

Փորձը ցույց է տալիս, որ F₃ ուժն ուղղված է F₁ և F₂ կողմերով զուգահեռագծի

անկյունագծով, իսկ նրա մոդուլը հավասար է անկյունագծի երկարությանը: Սա

նշանակում է, որ F₁ և F₂ ուժերի համատեղ ազդեցությունը համարժեք է անկյու-

նագծով ուղղված և մոդուլով անկյունագծին հավասար ուժին, այսինքն՝ ուժերը

գումարվում են զուգահեռագծի կանոնով: Հետևաբար՝ ուժը վեկտորական մեծու-

թյուն է:

Այս հատկության հիման վրա մարմնի վրա ազդող ուժերը կարելի է փոխա-

րինել մի ուժով, որը հավասար է դրանց վեկտորական գումարին և կոչվում է այդ

ուժերի համազոր: Եվ« հակառակը, ուժը կարելի է վերածել բաղադրիչների, որոնց

վեկտորական գումարը հավասար է տրված ուժին:

ՖԻԶԻԿԱ 10

Նկ. 80. Ուժի և արագացման կապի ստացումը

Ուժի և արագացման կապը: Քանի որ կարող ենք չափել և° ուժը« և° արագա-

ցումը, ապա կարող ենք կապ հաստատել դրանց միջև: Դրա համար կրկին դիմենք

փորձի օգնությանը: Նախ՝ չափենք M մարմնի a₁ արագացումը և նրա վրա ազդող

F₁ ուժը՝ A₁ բեռի դեպքում (նկ.80,ա): Այնուհետև փոխենք բեռը և չափենք մարմնի

a₂ արագացումը և նրա վրա ազդող F₂ ուժը (նկ.80,բ): Ապա կրկնենք փորձը մի եր-

րորդ բեռի դեպքում և այլն: Այսպիսի փորձերի բազմաթիվ կրկնությունները ցույց

են տալիս, որ տրված զանգվածով մարմնի վրա ազդող ուժի և նրա ձեռք բերած

արագացման հարաբերությունը հաստատուն մեծություն է.

=$$$=

const:

(6.2)

Մարմնի արագացման ուղղությունը համընկնում է նրա վրա ազդող ուժի ուղ-

ղությանը, ուստի՝ (6.2) արտահայտությունը կարող ենք գրել հետևյալ կերպ.

a+F,

(6.3)

այսինքն՝ մարմնի արագացումն ուղիղ համեմատական է նրա վրա ազդող ուժին:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ո±ր մեծությունն են անվանում ուժ: 2. Ո±րն է մարմնի արագացման պատճառը: 3. Ուժի

ո՞ր հատկության վրա է հիմնված զսպանակի միջոցով ուժի չափման եղանակը: 4. Ինչպե՞ս

են ընտրում ուժի պայմանական միավորը: 5. Ո±ր ուժերն են ընդունվում մոդուլով իրար

հավասար: 6. Ինչպե՞ս են ստանում ուժաչափ: 7. Ի՞նչն են անվանում ուժերի համազոր:

8. Ինչպե՞ս է մարմնի արագացումը կախված նրա վրա ազդող ուժից:

ՆՅՈՒՏՈՆԻ ԵՐԿՐՈՐԴ ՕՐԵՆՔԸ: ՄԱՐՄՆԻ

27.

ՇԱՐԺՈՒՄԸ ՄԻ ՔԱՆԻ ՈՒԺԵՐԻ ԱԶԴԵՑՈՒԹՅԱՄԲ

Համաձայն (6.1) արտահայտության՝ նույն ուժի ազդեցությամբ տարբեր մար-

մինների ձեռք բերած արագացումների մոդուլները հակադարձ համեմատական են

դրանց զանգվածներին՝

երբ F=const:

(6.4)

¢26-ում ստացանք, որ հաստատուն զանգվածով մարմնի արագացումն ուղիղ

համեմատական է նրա վրա ազդող ուժին՝

a+F,

երբ m=const:

(6.5)

Մաթեմատիկորեն միավորելով (6.4) և (6.5) համեմատականությունները՝ կա-

րող ենք գրել՝

ԳԼՈՒԽ

VI. ԴԻՆԱՄԻԿԱՅԻ ՀԻՄՈՒՆՔՆԵՐԸ

(6.6)

Համեմատականության նշանը կարելի է փոխարինել հավասարության նշա-

նով՝ մտցնելով համապատասխան համեմատականության k գործակիցը.

a = k

(6.7)

k գործակցի արժեքը կախված է բանաձևի մեջ մտնող մեծությունների միա-

վորների ընտրությունից: Քանի որ արագացումը և զանգվածն արդեն ունեն համա-

պատասխան չափման միավորներ, իսկ ուժի միավոր դեռ չենք ընտրել, ապա դա

կարող ենք անել այնպես, որ համեմատականության k գործակիցը հավասար լինի

1-ի: Այդ դեպքում (6.7) արտահայտությունը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

(6.8)

(6.8) բանաձևը դինամիկայի երկրորդ (հիմնական) օրենքի՝ Նյուտոնի երկ-

րորդ օրենքի մաթեմատիկական արտահայտությունն է, որը կարելի է ձևակերպել

այսպես. ուժի ազդեցությամբ մարմնի ձեռք բերած արագացումն ուղիղ համե-

մատական է այդ ուժին և հակադարձ համեմատական՝ մարմնի զանգվածին:

Իներցիայի օրենքի նման՝ Նյուտոնի երկրորդ օրենքը նույնպես ճիշտ է հաշվարկ-

ման իներցիալ համակարգերում:

Հաճախ դինամիկայի հիմնական օրենքն արտահայտում են հետևյալ կերպ©

F = ma,

(6.9)

որը հնարավորություն է տալիս որոշելու մարմնի վրա ազդող ուժը՝ չափելով մարմ-

նի արագացումը:

Նյուտոնի երկրորդ օրենքի համաձայն՝ մարմնի վրա կիրառված ուժը որոշում

է մարմնի շարժման արագացումը, այսինքն՝ արագության փոփոխությունը և ոչ

թե՝ արագությունը: Իսկ դա նշանակում է, որ ուժը ոչ թե շարժման, այլ շարժման

(արագության) փոփոխության պատճառ է: Արագացման ուղղությունը միշտ հա-

մընկնում է ուժի ուղղությանը: Իսկ արագության և տեղափոխության ուղղություն-

ները կարող են և չհամընկնել ուժի ուղղությանը:

Ինչպես գիտեք, մարմինը շարժվում է ուղղագիծ, եթե նրա շարժման սկզբնա-

կան արագության և արագացման վեկտորներն ուղղված են նույն ուղղով: Ուրեմն՝

եթե մարմնի վրա ազդող ուժն ուղղված է նույն ուղղով, ինչ սկզբնական արագությու-

նը, ապա մարմինը կատարում է ուղղագիծ շարժում, հակառակ դեպքում՝ կորագիծ:

Եթե ուժը միշտ ուղղված լինի արագությանն ուղղահայաց, ապա մարմինը կկատա-

րի կորագիծ հավասարաչափ շարժում:

Փորձերը ցույց են տալիս, որ եթե մարմնի (նյութական կետի) վրա միաժամա-

նակ ազդում է մի քանի ուժ՝ F1, F2,$

, ապա մարմինն ստանում է այնպիսի արա-

գացում, որը նրան կհաղորդեր այդ ուժերի F համազորը: Նյուտոնի երկրորդ օրեն-

քը մի քանի ուժի ազդեցությամբ շարժվող մարմնի համար կգրվի հետևյալ կերպ՝

$$$+

(6.10)

Մարմնի շարժման նկարագրության կոորդինատային եղանակի դեպքում

ՖԻԶԻԿԱ 10

Նյուտոնի երկրորդ օրենքը ներկայացվում է (6.10)

վեկտորական հավասարմանը համարժեք երեք սկա-

լյար հավասարումների համակարգի միջոցով՝

F1x+F2x+...+F_nx=ma_x,

F1y+F2y+...+F_ny=ma_y,

(6.11)

F1z+F2z+...+F_nz=ma_z:

(6.11) հավասարումների համակարգի յուրա-

քանչյուր հավասարում պետք է հասկանալ այսպես.

կամայական ուղղության վրա արագացման պրո-

Իսահակ Նյուտոն

1643 -1727

յեկցիայի և զանգվածի արտադրյալը հավասար է

Անգլիացի խոշորագույն ֆիզիկոս

մարմնի վրա ազդող ուժերի՝ այդ ուղղության վրա

և մաթեմատիկոս: Ձևակերպել է

պրոյեկցիաների գումարին:

մեխանիկական շարժման ընդհա-

Շրջանագծային շարժման դեպքում նյութական

նուր օրենքները« հայտնագործել

տիեզերական ձգողության

կետի դիրքով անցնող շառավղի վրա արագացման

օրենքը« ստեղծել դիֆերենցիալ և

պրոյեկցիան, ինչպես հայտնի է, v²/R է: Ուրեմն՝ եթե

ինտեգրալ հաշվի հիմունքները:

նյութական կետի վրա ազդող բոլոր ուժերի պրոյեկ-

Նա նշանակալի հետազոտու-

թյուններ է կատարել օպտիկայի

ցիաների գումարը շառավղի վրա նշանակենք F_R -ով,

բնագավառում: Նրա հետա-

ապա Նյուտոնի երկրորդ օրենքից

զոտությունները հրապարակվել

են ՙԲնափիլիսոփայության

(6.12)

մաթեմատիկական հիմունք-

ները՚(1687) ստվարածավալ

աշխատությունում և ՙՕպտիկա՚

(6.12) հավասարման մեջ ուժերի պրոյեկցիանե-

(1704) գրքում

րի նշանները որոշելիս պետք է հաշվի առնել, որ« որ-

պես դրական ուղղություն« ընտրված է մարմնի դիրքից դեպի շրջանագծի կենտրոն

ուղղությունը:

Նյուտոնի երկրորդ օրենքից հետևում է, որ եթե մարմնի վրա ազդող ուժերի

վեկտորական գումարը զրո է, ապա մարմնի շարժման արագացումը նույնպես զրո

է, և մարմինն իրեն պահում է այնպես, ասես նրա վրա ընդհանրապես ոչ մի ուժ

չի ազդում: Մենք նկատի ունեինք հենց այդ դեպքը, երբ Նյուտոնի առաջին օրեն-

քը ձևակերպելիս խոսում էինք այլ մարմինների ազդեցությունների համակշռման

մասին: Օգտվելով ՙուժ՚ հասկացությունից՝ այժմ կարող ենք այլ կերպ ձևակեր-

պել Նյուտոնի առաջին օրենքը. գոյություն ունեն հաշվարկման համակարգեր,

որոնց նկատմամբ մարմնի ¥նյութական կետի¤ արագությունը մնում է հաստա-

տուն, եթե նրա վրա կիրառված ուժերի համազորը զրո է:

Նյուտոնի երկրորդ օրենքն սկզբունքորեն հնարավորություն է տալիս լուծելու

մեխանիկայի կամայական խնդիր: Եթե հայտնի են մարմնի վրա ազդող ուժերը,

ապա կարելի է գտնել մարմնի շարժման արագացումը ժամանակի կամայական

պահին: Այսպիսով՝ հայտնի ուժերով և մարմնի զանգվածով գտնում են այդ մարմ-

նի շարժման արագացումը, հետո հաշվում արագությունը՝ ժամանակի կամայա-

կան պահին« և տեղափոխությունը՝ կամայական ժամանակամիջոցում և, վերջա-

պես, որոշում են մարմնի կոորդինատները ժամանակի կամայական պահին: Դրա

համար պետք է հայտնի լինեն սկզբնական պայմանները՝ մարմնի սկզբնական

դիրքը և սկզբնական արագությունը ժամանակի սկզբնական (t = 0) պահին:

ԳԼՈՒԽ

VI. ԴԻՆԱՄԻԿԱՅԻ ՀԻՄՈՒՆՔՆԵՐԸ

Ուժի միավորը: Նյուտոնի երկրորդ օրենքի (6.9) բանաձևից կարելի է արտա-

ծել ուժի միավորը: Ուժը հավասար է միավորի, եթե այն 1 կգ զանգվածով մարմ-

նին հաղորդում է 1 մ/վ² արագացում: Այդ միավորը կոչվում է նյուտոն (1 Ն).

1us$r

a²

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ո±ր մեծությունն են անվանում ուժ: Այն սկալյա±ր, թե՞ վեկտորական մեծություն է: 2. Ձևա-

կերպե°ք Նյուտոնի երկրորդ օրենքը: 3. Ի՞նչ ուղղություն ունի մարմնի վրա որոշակի ու-

ժի կիրառման հետևանքով նրա շարժման արագացումը: 4. Ի՞նչ կարելի է ասել մարմ-

նի շարժման արագության ուղղության մասին, եթե մարմինը շարժվում է որոշակի ուժի

ազդեցությամբ: 5. Գրե°ք Նյուտոնի երկրորդ օրենքը շրջանագծային շարժման դեպքում:

6. Ո±ր դեպքում է մարմինը շարժվում նրա վրա ազդող ուժի ուղղությամբ:

28.

ՆՅՈՒՏՈՆԻ ԵՐՐՈՐԴ ՕՐԵՆՔԸ

Ինչպես գիտեք, առանձնացված մարմինը շարժվում է առանց արագացման:

Եթե տվյալ մարմինը շարժվում է արագացմամբ, ապա միշտ կարելի է նշել գոնե մեկ

այլ մարմին, որն ազդում է տվյալ մարմնի վրա« այսինքն՝ կա երկու մարմին՝ այն,

որն ազդում է, և այն, որը ենթարկվում է այդ ազդեցությանը: Բայց իրականում եր-

կու մարմինները փոխազդում են, այն է՝ նրանցից յուրաքանչյուրը, ազդելով մյուս

մարմնի վրա, ինքն էլ է ենթարկվում նրա ազդեցությանը: Երբ, օրինակ, աշակերտը

սրընթաց վազքի ժամանակ բախվում է մի այլ աշակերտի, երկուսն էլ փոխում են

իրենց արագությունները, այսինքն՝ ձեռք են բերում արագացում:

Պարզել, թե ինչ ուժերով են մարմիններն ազդում իրար վրա, կարելի է միայն

փորձերի օգնությամբ: Զանազան մարմիններով կատարված բազմաթիվ փորձեր

ցույց են տվել, որ երկու մարմինների փոխազդեցության ժամանակ նրանց արա-

գացումներն ուղղված են մեկը մյուսին հակադիր: Բացի այդ՝ երկու փոխազդող

մարմինների արագացումների մոդուլների հարաբերությունը միշտ նույնն է: Այդ

հարաբերությունը բոլորովին կախում չունի այն բանից, թե ինչպես են մարմինները

փոխազդում: Դա կարող է լինել երկու մարմինների բախում կամ նույն մարմիննե-

րի փոխազդեցությունն այն դեպքում, երբ դրանք կապված են զսպանակով, թելով,

մետաղալարով և այլն: Մարմինները, վերջապես, կարող են փոխազդել առանց

հպվելու, ինչպես փոխազդում են, օրինակ, մոլորակները և Արեգակը, Լուսինը և

Երկիրը կամ մագնիսը և երկաթի կտորը: Ընդ որում, մարմիններից յուրաքանչյուրի

շարժման արագացման մոդուլը տարբեր փոխազդեցությունների ժամանակ կա-

րող է տարբեր լինել: Նույնն է միայն արագացումների հարաբերությունը, որը հա-

վասար է մարմինների զանգվածների հակադարձ հարաբերությանը՝

կամ m₁a₁ = m₂ a₂:

(6.13)

Այստեղից՝ հաշվի առնելով, որ արագացումներն ուղղված են հակառակ կող-

մեր, կարելի է գրել՝

ՖԻԶԻԿԱ 10

m1a1 = - m2 a2 :

(6.14)

Բայց m1a1 = F21, իսկ m2 a2 = F12 , որտեղ F21-ը երկրորդ մարմնից առաջինի

վրա ազդող ուժն է, իսկ F12 -ը՝ առաջին մարմնից երկրորդի վրա ազդող ուժը: Հե-

տևաբար՝

=-F

21:

(6.15)

Այս հավասարությունն արտահայտում է Նյուտոնի երրորդ օրենքը: Մարմին-

ները փոխազդում են մոդուլով հավասար, ուղղությամբ հակադիր և նույն բնույ-

թի ուժերով:

Նյուտոնի այս օրենքը ցույց է տալիս, որ մարմինների փոխազդեցության հե-

տևանքով ուժերը միշտ հանդես են գալիս զույգերով: Եթե որևէ մարմնի վրա ուժ է

ազդում, ապա գոյություն ունի մեկ այլ մարմին, որի վրա առաջինն ազդում է նույն-

պիսի, բայց դեպի հակառակ կողմ ուղղված ուժով:

Նյուտոնի երրորդ օրենքը ճիշտ է հաշվարկման իներցիալ համակարգերում:

Միշտ պետք է հիշել, որ մարմինների փոխազդեցության ժամանակ երևան

եկող ուժերը կիրառված են տարբեր մարմինների նկատմամբ, ուստի՝ չեն կարող

հավասարակշռել միմյանց:

Նյուտոնի երրորդ օրենքը քննարկելիս հաճախ այսպիսի հարց է ծագում: Ինչ

ուժով մարդը քաշում է սահնակը, նույն ուժով սահնակը նրան հետ է քաշում: Բայց

սահնակն առաջ է շարժվում, իսկ մարդը հետ չի շարժվում: Ինչու±:

Եթե մարդը քաշում է սահնակը, դա չի նշանակում, որ մարդու՝ սահնակի վրա

ազդող ուժն ավելի մեծ է, քան այն ուժը, որով սահնակը մարդուն հետ է քաշում: Այդ

ուժերը մոդուլով հավասար են: Պարզապես մարդը Երկիրը ՙհրում՚ է մի ուղղու-

թյամբ, իսկ Երկիրը նրան ՙհրում՚ է հակառակ ուղղությամբ: Եթե այդ ուժը մոդու-

լով մեծ է սահնակից ազդող ուժի մոդուլից, ապա մարդը կարող է առաջ շարժվել:

Գալիլեյի հարաբերականության սկզբունքը: Ինչպես տեսանք« Նյու-

տոնի օրենքները ճիշտ են« եթե մարմնի շարժումը դիտարկվում է հաշվարկ-

ման իներցիալ համակարգերում: Արագությունների գումարման կանոնից

հետևում է« որ եթե հաշվարկման որևէ համակարգ իներցիալ է« ապա դրա

նկատմամբ հաստատուն արագությամբ շարժվող կամայական այլ համա-

կարգ նույնպես իներցիալ է: ¢15¬ում ցույց ենք տվել« որ միմյանց նկատմամբ

ուղղագիծ հավասարաչափ շարժվող համակարգերում մարմնի արագացումը

նույնն է: Հետևաբար՝ մի իներցիալ համակարգից մյուսին անցնելիս մարմնի

արագացումը մնում է անփոփոխ (մինչդեռ շարժման մյուս կինեմատիկական

բնութագրերը՝ արագությունը« տեղափոխությունը« ճանապարհը« հետագի-

ծը և այլն կարող են փոխվել): Բոլոր իներցիալ համակարգերում նույնն են

նաև մարմնի վրա ազդող ուժերը և զանգվածը: Բայց քանի որ բացի ուժից«

զանգվածից և արագացումից« ուրիշ մեծություն Նյուտոնի օրենքներում չկա«

ուրեմն կարելի է պնդել« որ մեխանիկական շարժման օրենքները միանման

են բոլոր իներցիալ հաշվարկման համակարգերի համար: Այս պնդումը

կոչվում է Գալիլեյի հարաբերականության սկզբունք: Դա նշանակում է« որ

ինչ իներցիալ հաշվարկման համակարգում էլ դիտարկենք մարմնի շարժումը«

կամայական մեխանիկական պրոցես տեղի է ունենում նույն ձևով:

ԳԼՈՒԽ

VI. ԴԻՆԱՄԻԿԱՅԻ ՀԻՄՈՒՆՔՆԵՐԸ

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ձևակերպե°ք Նյուտոնի երրորդ օրենքը: 2. Համակշռվու±մ են արդյոք երկու մարմիննե-

րի փոխազդեցության ժամանակ առաջացած ուժերը: 3. Ինչպե՞ս կշարժվեն սահնակը և

մարդը, եթե վերջինս սահնակը քաշի իդեալական հարթ սառցադաշտի վրայով: 4. Ո±րն

Գալիլեյի հարաբերականության սկզբունքը:

Խնդիրների լուծման օրինակներ

1. Մի մարմնի զանգվածը Dm = 2 կգ-ով մեծ է մյուսի զանգվածից: Որոշել մար-

մինների զանգվածները, եթե միևնույն ուժի ազդեցությամբ փոքր զանգվածով

մարմինն ստանում է a₁=0,4 մ/վ² արագացում, իսկ մեծ զանգվածով մարմինը՝

a₂=0,2 մ/վ² արագացում:

Լուծում:

Առաջին մարմնի զանգվածը նշանակենք m-ով, երկրորդինը կլինի՝

m+Dm: Ինչպես հայտնի է, միևնույն ուժի ազդեցությամբ մարմինների ձեռք բերած

արագացումների մոդուլները հակադարձ համեմատական են նրանց զանգվածնե-

րին, ուրեմն՝ a₁/a₂=(m + Dm )/m, որտեղից՝ m = a₂ Dm/(a₁-a₂) = 2 կգ, m + Dm =4 կգ:

Պատասխան՝ 4 կգ:

2. Մարմնի ուղղագիծ շարժման արագությունը ժամանակից կախված փոփոխ-

վում է v=10+5t օրենքով: Որքա±ն է մարմնի m զանգվածը, եթե նրա վրա ազ-

դող ուժերի գումարը՝ F=50Ն:

Լուծում: Քանի որ մարմնի արագությունը ժամանակից կախված փոփոխվում

է գծային օրենքով, ապա նրա շարժումն ուղղագիծ հավասարաչափ արագա-

ցող է: Համեմատելով արագության փոփոխման տրված օրենքն ուղղագիծ հա-

վասարաչափ արագացող շարժման v =v₀ + at հավասարման հետ՝ կստանանք՝

a=5մ/վ²: Նյուտոնի երկրորդ օրենքից՝ m=F/a=10կգ:

Պատասխան՝ 10 կգ:

3. 2 կգ զանգվածով մարմնի վրա ազդում են 10 Ն մոդուլով երկու ուժեր: Որ-

քա±ն է այդ ուժերի կազմած անկյունը, եթե մարմնի արագացումը 5 մ/վ² է:

Լուծում: Ըստ Նյուտոնի երկրորդ օրենքի՝ F1+ F2= ma, որտեղից՝

F1+F

=ma:

Մարմնի վրա ազդող ուժերի գումարի մոդուլը որոշենք կոսինուսների թեորեմից.

F1+F

F12+F

+2F1F2cosa=F

(1+cosa)«

ուրեմն՝ F

(1+ cos a) = ma, որտեղից՝

m2a

cosa=

a=120c:

Պատասխան՝ 120:

ՖԻԶԻԿԱ 10

ԳԼՈՒԽ VII

ԲՆՈՒԹՅԱՆ ՈՒԺԵՐԸ

ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ

Նյուտոնի երկրորդ օրենքը հնարավորություն է տալիս գտնելու մարմնի արա-

գացումը՝ անկախ նրա վրա ազդող ուժերի բնույթից: Իսկ ուժերը ծագում են մար-

մինների փոխազդեցության ժամանակ: Բայց ինչպիսի՞ փոխազդեցություններ

կան, և շա±տ են արդյոք դրանք:

Առաջին հայացքից կարող է թվալ, թե գոյություն ունեն մարմինների փոխազ-

դեցության, հետևաբար՝ նաև ուժերի՝ միմյանցից տարբեր շատ տեսակներ: Մարմ-

նին արագացում կարելի է հաղորդել՝ այն հրելով կամ քաշելով« արագացմամբ է

շարժվում Երկրի վրա ընկնող ամեն մի մարմին« ձգելով և բաց թողնելով աղեղի լա-

րը՝ արագացում ենք հաղորդում նետին« արագացմամբ է շարժվում երկաթի կտորը,

երբ նրան մագնիս ենք մոտեցնում և այլն: Այս բոլոր դեպքերում ինչ-որ ուժեր են

գործում, և թվում է, թե նրանք բոլորն էլ միանգամայն տարբեր են: Բայց բնության

մեջ հանդիպող փոխազդեցությունների ամբողջ բազմազանությունը հանգում է

չորս տիպի փոխազդեցությունների: Դրանք են՝ գրավիտացիոն, էլեկտրամագ-

նիսական, միջուկային (կամ ուժեղ) և այսպես կոչված թույլ փոխազդեցություն-

ները: Միջուկային և թույլ փոխազդեցություններն ի հայտ են գալիս շատ փոքր

հեռավորություններում, երբ Նյուտոնի մեխանիկայի օրենքները կիրառելի չեն:

Այս փոխազդեցությունների գործողության տիրույթն ընդգրկում է ատոմի միջու-

կին և տարրական մասնիկներին առնչվող պրոցեսները: Ի տարբերություն միջու-

կային և թույլ փոխազդեցությունների՝ էլեկտրամագնիսական և գրավիտացիոն

փոխազդեցությունները գործում են նաև մեծ հեռավորություններում, ուստի՝ հենց

այդ փոխազդեցություններն են որոշում գրեթե բոլոր երևույթները՝ սկսած ատոմա-

յին և մոլեկուլային մակարդակի պրոցեսներից մինչև հեռավոր գալակտիկաներում

տեղի ունեցող պրոցեսները: Մեզ շրջապատող մակրոսկոպական աշխարհի բոլոր

մեխանիկական երևույթները որոշվում են բացառապես գրավիտացիոն և էլեկտ-

րամագնիսական ուժերով: Գրավիտացիոն ուժերը նկարագրվում են առավել

պարզ քանակական օրինաչափություններով, բայց դրանց դրսևորումները կարող

են բավական բարդ և բազմաբնույթ լինել: Մոլորակների և արբանյակների շարժ-

ման, հրետանային արկի թռիչքի, հեղուկներում մարմինների լողալու և շատ այլ

երևույթներում ի հայտ է գալիս գրավիտացիոն ուժերի ազդեցությունը:

Էլեկտրամագնիսական ուժերի քանակական օրինաչափությունները շատ

ավելի բարդ են, իսկ դրանց դրսևորումները՝ ավելի բազմաբնույթ: Անշարժ լիցքերի

փոխազդեցությունը, մագնիսական դաշտի ազդեցությունը շարժվող լիցքերի և հո-

ԳԼՈՒԽ

VII. ԲՆՈՒԹՅԱՆ ՈՒԺԵՐԸ

սանքակիր հաղորդիչների վրա, մարմինների դեֆորմացիաների ժամանակ առա-

ջացող առաձգականության ուժերը, հպվող մակերևույթների միջև գործող շփման

ուժերը և այլն, էլեկտրամագնիսական բնույթի փոխազդեցության դրսևորումներ են:

ՄԱՐՄՆԻ ԴԵՖՈՐՄԱՑԻԱ: ԱՌԱՁԳԱԿԱՆՈՒԹՅԱՆ

29.

ՈՒԺ: ՀՈՒԿԻ ՕՐԵՆՔԸ: ԿՈՇՏՈՒԹՅՈՒՆ

Ուժի

ազդեցությամբ

արագացում կարող

ձեռք բերել ոչ միայն մարմինն ամբողջությամբ, այ-

լև նրա առանձին մասերը: Դրա հետևանքով փոխ-

Նկ©81. Բեռի ազդեցությամբ

վում

են մարմնի առանձին մասերի փոխադարձ

քանոնը փոխում է իր ձևը:

դասավորությունը և, հետևաբար, մարմնի ձևն ու չա-

փերը: Օրինակ՝ մետաղե քանոնի մեջտեղում բեռ դնենք (նկ. 81): Քանոնի միջին

մասն ավելի մեծ արագացմամբ է շարժվում, քան եզրային մասերը, ուստի՝ միջին

մասն ավելի շատ է տեղափոխվում: Քանոնը փոխում է իր ձևը:

Արտաքին ազդեցության հետևանքով մարմնի ձևի կամ չափերի փոփոխու-

թյունը կոչվում է դեֆորմացիա: Դեֆորմացիան կարող է լինել մարմնի ջերմային

ընդարձակման, մագնիսական կամ էլեկտրական դաշտի ազդեցության, ինչպես

նաև արտաքին մեխանիկական ուժի հետևանք: Ինչպես գիտեք« դեֆորմացիան

կոչվում է առաձգական, եթե արտաքին ազդեցությունը վերացնելուց հետո այն

անհետանում է, այսինքն՝ մարմնի սկզբնական ձևն ու չափերը վերականգնվում

են: Եթե արտաքին ազդեցությունը վերացնելուց հետո մարմնի դեֆորմացիան չի

անհետանում, ապա դեֆորմացիան կոչվում է ոչ առաձգական կամ պլաստիկ:

Առաձգական դեֆորմացիայի դեպքում արտաքին ազդեցությունը վերացնելուց հե-

տո մարմինը վերականգնում է իր ձևը, ուստի՝ ակնհայտ է, որ դեֆորմացիայի հե-

տևանքով մարմնում առաջանում են ուժեր, որոնք էլ մարմնի մասնիկներին վերա-

դարձնում են իրենց սկզբնական դիրքերը: Այն ուժը, որն առաջանում է մարմնի

դեֆորմացիայի հետևանքով և ուղղված է դեֆորմացիայի ժամանակ մարմնի

մասնիկների տեղափոխմանը հակառակ ուղղությամբ, կոչվում է առաձգակա-

նության ուժ:

Առաձգականության ուժը ծագում է հետևյալ կերպ: Մասնիկների միջև գոր-

ծում են փոխազդեցության ուժեր, որոնց բնույթը (ձգողություն կամ վանողություն)

կախված է մասնիկների միջև հեռավորությունից: Պինդ մարմնում մոլեկուլներն

արտաքին ուժերի բացակայությամբ որոշակի հեռավորություններում են, և նրանց

ձգողության և վանողության ուժերն իրար համակշռում են: Մարմնի դեֆորմացիայի

հետևանքով մասնիկների հեռավորության փոփոխման պատճառով ձգողության

և վանողության ուժերի հավասարակշռությունը խախտվում է: Հեռավորությունը

փոքրանալիս վանողության ուժերն ավելի արագ են աճում, քան ձգողության ուժե-

րը, և մասնիկներն սկսում են վանել միմյանց: Երբ մասնիկների հեռավորությունը

մեծանում է, նրանց միջև գերակշռում են ձգողության ուժերը:

Քանի որ առաձգականության ուժերի առաջացումը հետևանք է մոլեկուլնե-

րի (ատոմների) կազմության մեջ մտնող էլեկտրական լիցքերի փոխազդեցության,

ապա առաձգականության ուժերն ունեն էլեկտրամագնիսական բնույթ:

ՖԻԶԻԿԱ 10

Ուսումնասիրենք այն առաձգականության ու-

ժերը, որոնք ծագում են ձգման և սեղմման դեֆոր-

մացիաների դեպքում:

Դիցուք՝ զսպանակի մի ծայրն ամրացված է,

իսկ մյուս ծայրին ազդում է զսպանակի հորիզո-

նական առանցքով ուղղված և այն ձգող F ուժը

(նկ. 82, ա):

Այդ ուժի

ազդեցությամբ

զսպանակի

ծայրը շարժվում է արագացմամբ© տեղափոխվելով

դեպի աջ՝ զսպանակը ձգվում է: Ձգվելը դադարում է,

երբ ձգման դեֆորմացիայի հետևանքով զսպանա-

կում առաջացած Ff6 առաձգականության ուժը հա-

մակշռում է F արտաքին ձգող ուժը, այսինքն՝ այն

Նկ. 82. Դեֆորմացիան դադա-

րում է« երբ առաձգականության

ուղղված է դեֆորմացիա առաջացնող ուժին հա-

ուժը համակշռում է դեֆոր-

կառակ (նկ. 82, բ): Եթե արտաքին F ուժը սեղմում

մացիա առաջացնող ուժին:

զսպանակը, ապա դեֆորմացիայի հետևանքով

առաջացած Ff6 ուժը, երբ զսպանակի ծայրը հավասարակշռության վիճակում է,

մոդուլով հավասար է

-ին և ուղղված է նրան հակառակ ուղղությամբ՝ զսպանա-

կի առանցքով դեպի աջ (նկ. 82, գ):

Դեֆորմացիան կոչվում է փոքր, եթե դեֆորմացիայի հետևանքով զսպանա-

կի երկարացումը, այսինքն՝ նրա երկարության x = l - l₀ փոփոխությունը, որտեղ

l -ը և l₀-ն« համապատասխանաբար« դեֆորմացված և չդեֆորմացված զսպանա-

կի երկարություններն են, շատ փոքր է զսպանակի l₀ սկզբնական երկարությունից՝

l-l

<< l0 կամ

Փորձերը ցույց են տալիս, որ փոքր դեֆորմացիաների դեպքում առաձգակա-

նության ուժի մոդուլը՝ F_առ-ը, ուղիղ համեմատական է զսպանակի երկարացման | x |

մոդուլին՝

Ff6=k

(7.1)

Քանի որ զսպանակի x երկարացումը և Ff6 առաձգականության ուժի վեկտո-

րի պրոյեկցիան X առանցքի վրա հակառակ նշաններ ունեն, ապա նրանց կապը

կարելի է ներկայացնել հետևյալ առնչությամբ՝

Ff6,

x =-

(7.2)

որտեղ k համեմատականության գործակիցը կոչվում է զսպանակի կոշտություն:

k գործակցի արժեքը կախված է զսպանակի չափերից և այն նյութի տեսակից,

որից պատրաստված է զսպանակը: (7.2) բանաձևից հետևող k =

Ff6,

հա-

վասարության համաձայն՝ կոշտությունը թվապես հավասար է 1 մ-ով դեֆորմաց-

ված զսպանակում առաջացած առաձգականության ուժի մոդուլին: Միավորների

ՄՀ-ում կոշտությունն արտահայտվում է նյուտոն-մետր (Ն/մ) միավորով: (7.2) բա-

նաձևը Ռոբերտ Հուկի օրենքի (1660 թ.) մաթեմատիկական ձևակերպումն է. փոքր

դեֆորմացիաների դեպքում մարմնում (զսպանակում, ձողում) առաջացած

առաձգականության ուժը համեմատական է մարմնի երկարացմանը և ուղղված

է հավասարակշռության դիրքից մասնիկների շեղման ուղղությանը հակառակ:

ԳԼՈՒԽ

VII. ԲՆՈՒԹՅԱՆ ՈՒԺԵՐԸ

Առաձգականության ուժի և երկարացման մոդուլ-

ների միջև (7.1) կախման գրաֆիկը պատկերված է 83« ա

նկարում: (1) և (2) ուղիղները նկարագրում են տարբեր կոշ-

տություններով զսպանակներում ծագած առաձգականու-

թյան ուժերի կախումը երկարացումից (k₁ > k₂):

(7.2) բանաձևի համաձայն՝ առաձգականության ու-

ժը կախված է կոորդինատից: 83-րդ նկարից ակնհայտ է,

որ x երկարացումը միաժամանակ նաև զսպանակի ծայրի

կոորդինատն է, որի x = 0 արժեքը համապատասխանում է

դեֆորմացիայի բացակայությանը:

83, բ նկարում պատկերված է Ff6 առաձգականու-

թյան ուժի վեկտորի Fառ,x պրոյեկցիայի՝ զսպանակի ծայրի

x կոորդինատից կախման գրաֆիկը երկու տարբեր կոշ-

Նկ© 83. Առաձգականու-

տությամբ զսպանակների համար:

թյան ուժի մոդուլի և

Քննարկված փորձերում զսպանակում ծագած առա-

պրոյեկցիայի կախում-

ձգականության ուժն ուղղված է զսպանակի առանցքով:

ները երկարացումից

Դեֆորմացված ձողերի, թելերի, քուղերի դեպքում ևս առա-

ձգականության ուժերն ուղղված են դրանց առանցքներով: Ընդհանրապես, առա-

ձգականության ուժը միշտ ուղղահայաց է մարմինների հպման մակերևույթներին:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Թվարկե°ք բնության մեջ

գոյություն ունեցող

փոխազդեցությունների տեսակները:

2. Ի՞նչն են անվանում դեֆորմացիա: 3. Ինչո±վ է պայմանավորված դեֆորմացիայի ժամա-

նակ առաձգականության ուժերի առաջացումը: 4. Ձևակերպե°ք Հուկի օրենքը: 5. Օգտվե-

լով Հուկի օրենքից՝ կոշտության միավորն արտահայտե°ք ՄՀ-ի հիմնական միավորներով:

6. Մարմնի ո՞ր հատկություններից է կախված նրա կոշտությունը:

30.

ԼԱԲՈՐԱՏՈՐ ԱՇԽԱՏԱՆՔ 3

Զսպանակի կոշտության որոշումը

Աշխատանքի նպատակը. Հուկի օրենքի հիման վրա որոշել զսպանակի կոշ-

տության արժեքը:

Չափամիջոցներ. միլիմետրական բաժանումներով քանոն

(50 սմ երկարությամբ):

Նյութեր և սարքեր. տարբեր կոշտությամբ պարույրաձև

զսպանակների հավաքածու, 100 կամ 50 գրամանոց բեռների

հավաքածու, ամրակալան՝ կցորդիչով և թաթով:

Փորձի կատարման ընթացքը

1. Պարույրաձև զսպանակի ծայրն ամրացրեք ամրակալանին:

2. Զսպանակի երկայնքով՝ նրան զուգահեռ տեղադրեք միլիմետ-

րական բաժանումներ ունեցող քանոնը:

3. Զսպանակի մյուս ծայրից կախեք հայտնի m զանգվածով բեռ

և չափեք զսպանակի երկարացումը (x):

ՖԻԶԻԿԱ 10

Առաջին բեռին ավելացրեք երկրորդը, այնուհետև՝ երրորդը՝ ամեն անգամ

գրանցելով երկարացումը:

5. Չափման արդյունքներով կառուցեք առաձգականության ուժի (F = nmg,

որտեղ n -ը բեռների թիվն է)՝ երկարացումից կախման գրաֆիկը: Համոզվե-

լով, որ առաձգականության ուժի կախումը

երկարացումից գծային է, տանելով կե-

տերը միացնող ուղիղը՝ գտեք նրա և OX

առանցքի կազմած անկյան տանգենսը:

Զսպանակի k = F / | x | կոշտությունը թվա-

պես հավասար կլինի այդ անկյան տան-

գենսին՝ արտահայտված Ն/մ միավորով:

ԳՐԱՎԻՏԱՑԻՈՆ ՓՈԽԱԶԴԵՑՈՒԹՅՈՒՆ:

ՏԻԵԶԵՐԱԿԱՆ ՁԳՈՂՈՒԹՅԱՆ ՕՐԵՆՔԸ:

31.

ԳՐԱՎԻՏԱՑԻՈՆ ՀԱՍՏԱՏՈՒՆ

Ազատ անկում կատարող մարմինն ունի ուղղաձիգ դեպի ներքև ուղղված արա-

գացում, ուստի, ըստ Նյուտոնի երկրորդ օրենքի, այդ մարմնի վրա ազդում է նույն

ուղղությամբ, այսինքն՝ դեպի Երկրի կենտրոն ուղղված մի ուժ: Երկիրը դեպի իրեն

է ձգում մարմինները: Նյուտոնը ենթադրել է, որ տարբեր մարմիններ ձգելու հատ-

կությունը բնորոշ է ոչ միայն Երկրին, այլև տիեզերքում առկա բոլոր մարմիններին:

Այս ենթադրությունը հիմնավորելու համար Նյուտոնն օգտվել է դեռևս XVI դարում

Յոհան Կեպլերի հայտնաբերած օրենքներից, որոնք նկարագրում են Արեգակնա-

յին համակարգի մոլորակների շարժումները և ստացվել էին երկարատև դիտում-

ների արդյունքների ընդհանրացման հիման վրա:

Մոլորակները պտտվում են Արեգակի շուրջը՝ շարժվելով կոր հետագծերով,

այսինքն՝ արագացմամբ: Նրանց արագացող շարժում հաղորդում է Արեգակի ձգո-

ղության ուժը: Արեգակը և մոլորակները« ինչպես նաև բոլոր մարմիններ« փոխա-

դարձաբար ձգում են իրար: Մարմինների այդ փոխադարձ ձգողությունն անվա-

նում են տիեզերական ձգողություն« մարմինների փոխադարձ ձգողության ուժը՝

տիեզերական ձգողության (գրավիտացիոն) ուժ, իսկ մարմինների փոխազդեցու-

թյունը՝ գրավիտացիոն փոխազդեցություն:

Պարզենք, թե ինչպես է տիեզերական ձգողության ուժը կախված փոխազդող

մարմինների զանգվածներից և նրանց միջև հեռավորությունից:

Բոլոր մարմինները Երկրի վրա ընկնում են միևնույն՝ g արագացմամբ, ուստի՝

համաձայն Նյուտոնի II օրենքի, m զանգվածով մարմնի վրա ազդող Երկրի տիե-

զերական ձգողության ուժը՝

F =mg:

(7.3)

Այսինքն՝ m զանգվածով մարմնի վրա այլ մարմնի (տվյալ դեպքում Երկրի)

ազդող ուժն ուղիղ համեմատական է մարմնի m զանգվածին: Եթե Երկրագնդի

զանգվածը նշանակենք M-ով, ապա նույն տրամաբանությամբ կարող ենք պնդել,

ԳԼՈՒԽ

VII. ԲՆՈՒԹՅԱՆ ՈՒԺԵՐԸ

որ Երկրի վրա մարմնի ազդող ուժն էլ ուղիղ համեմատական է Երկրի M զանգվա-

ծին: Բայց« համաձայն Նյուտոնի III օրենքի« այդ ուժերը մոդուլով իրար հավա-

սար են: Հետևաբար՝ տիեզերական ձգողության ուժը համեմատական է փոխազ-

դող մարմիններից յուրաքանչյուրի զանգվածին, այսինքն՝ նրանց զանգվածների

արտադրյալին.

F ~Mm:

(7.4)

Տիեզերական ձգողության ուժի կախումը մարմինների միջև հեռավորությու-

նից պարզելու համար համեմատենք Երկրից ձգվող և նրանից հայտնի հեռավո-

րություններով երկու մարմինների արագացումները: Որպես I մարմին կարող ենք

վերցնել Երկրի մակերևույթին մոտ ազատ անկում կատարող կամայական մար-

մին: Այդ դեպքում կունենանք, որ I մարմինը, որի r₁ հեռավորությունը Երկրի կենտ-

րոնից հավասար է Երկրի R շառավղին (r₁= R = 6400 կմ)« Երկրի ձգողության ուժի

ազդեցությամբ ձեռք է բերում a₁= g = 9,8 մ/վ² արագացում:

Որպես II մարմին վերցնենք Երկրի բնական արբանյակը՝ Լուսինը: Հայտնի է,

որ նրա հեռավորությունը Երկրից՝ r₂ = 384000 կմ է« հետևաբար՝

384000

60:

(7.5)

6400

Հայտնի է նաև Լուսնի պտտման պարբերությունը՝ T = 27,32 օր = 2,36 .10⁶ վ:

Տիեզերական ձգողության ուժի ազդեցությամբ Լուսնի ձեռք բերած կենտրոնաձիգ

արագացումը՝

0,0027

մ/վ²:

(7.6)

Ազատ անկում կատարող մարմնի և Լուսնի արագացումների հարաբերու-

թյունը՝

9,8

3600

60²:

(7.7)

0027

(7.5) և (7.7) արտահայտությունների համեմատությունից կստանանք, որ

(7.8)

կամ

a1r

a2r

const:

(7.9)

Այսպիսով, Երկրի ձգողության ուժի ազդեցությամբ մարմնի ձեռք բերած արա-

գացման և Երկրից նրա հեռավորության քառակուսու արտադրյալը հաստատուն

մեծություն է, որը նշանակում է, որ արագացումը հակադարձ համեմատական է

փոխազդող մարմինների միջև հեռավորության քառակուսուն.

(7.10)

Հաշվի առնելով, որ մարմնի արագացումն ուղիղ համեմատական է նրա վրա

ազդող ուժին (a ~ F)՝ կստանանք, որ ուժն էլ հակադարձ համեմատական է փոխազ-

դող մարմինների միջև հեռավորության քառակուսուն.

(7.11)

ՖԻԶԻԿԱ 10

Միավորելով (7.4) և (7.11) արտահայտությունները՝ հանգում ենք տիեզերա-

կան ձգողության օրենքին, որը հայտնագործել է Նյուտոնը. երկու մարմիններ

(նյութական կետեր) միմյանց ձգում են այնպիսի ուժերով« որոնց մոդուլն ու-

ղիղ համեմատական է այդ մարմինների զանգվածների արտադրյալին« հա-

կադարձ համեմատական՝ նրանց հեռավորության քառակուսուն և ուղղված են

մարմինները միացնող ուղղի երկայնքով: Այդ ուժերից յուրաքանչյուրի F մոդուլն

արտահայտվում է

m1m2

F =G

(7.12)

բանաձևով, որտեղ m₁ -ը և m₂ -ը փոխազդող մարմինների զանգվածներն են, r -ը՝

նրանց հեռավորությունը, G -ն համեմատականության գործակից է, որը նույնն է

բնության բոլոր մարմինների համար և կոչվում է տիեզերական ձգողության հաս-

տատուն կամ գրավիտացիոն հաստատուն:

Տիեզերական ձգողության օրենքը ձևակերպված է նյութական կետերի հա-

մար, բայց նրա միջոցով կարելի է որոշել նաև վերջավոր չափերով մարմինների

ձգողության ուժը, եթե նախապես դրանք բաժա-

նենք փոքր մասերի այնպես, որ յուրաքանչյուր

մաս հնարավոր լինի դիտել որպես նյութական

կետ, իսկ հետո փոխազդեցության բոլոր ուժե-

րը

գումարենք: Սա մաթեմատիկական

դժվար

խնդիր է, բայց այդպիսի հաշվարկներով կարելի է

ապացուցել, որ (7.12) բանաձևը կիրառելի է նաև

համասեռ գնդի և նյութական կետի, ինչպես նաև

Նկ.84. Մարմինների գրավի-

համասեռ գնդերի և գնդոլորտների համար, որոնց

տացիոն փոխազդեցությունը

կենտրոնների հեռավորությունը r է (նկ. 84):

Փոխազդող մարմինների վրա կիրառված գրավիտացիոն ուժերը մոդուլով

իրար հավասար են, ուղղությամբ՝ հակադիր: Այդ ուժերն ուղղված են նյութական

կետերը (գնդերի կենտրոնները) միացնող ուղղի երկայնքով, մի մարմնից դեպի

մյուսը: Այդպիսի ուժերը կոչվում են կենտրոնական ուժեր:

Նշենք, որ տիեզերական ձգողության օրենքը մենք չարտածեցինք, ինչպես չի

արտածել և Նյուտոնը. նա նկատել է օրինաչափությունն այն ուժերում, որոնք գոր-

ծում են տիեզերքում, ստուգել, գրի առել այն և տարածել բոլոր մարմինների վրա:

Գրավիտացիոն հաստատունի որոշումը: Տիեզերական ձգողության օրենքի

բանաձևի մեջ մտնող G գործակիցը« ինչպես հետևում է (7.12) բանաձևից, թվապես

հավասար է այն ուժին, որով միմյանց ձգում են 1-ական կգ զանգված ունեցող հա-

մասեռ գնդերը, երբ նրանց կենտրոնների հեռավորությունը 1 մ է: (7.12) բանաձևից՝

ՄՀ-ում գրավիտացիոն հաստատունի միավորն է՝

6F@$6r

G$r

6G@

us $a

Տիեզերական ձգողության հաստատունի թվային արժեքը որոշվում է փորձով.

ԳԼՈՒԽ

VII. ԲՆՈՒԹՅԱՆ ՈՒԺԵՐԸ

չափվում է այն F ուժը, որն ազդում է միմյանցից հայտնի r հեռավորությամբ m₁ և

m₂ հայտնի զանգվածներով մարմիններից մեկի վրա:

Այդպիսի փորձերից մեկը հետևյալն է: Զգայուն կշեռքի նժարից, երկար թելի

միջոցով, կախում են սնդիկով լցված մի ապակե գունդ (նկ. 85): Մյուս նժարին դնում

են հավասարակշռող կշռաքարեր: Երբ կշեռքը հավասա-

րակշռվում է, սնդիկով լցված գնդի տակ, նրան հնարա-

վորին չափով մոտ, տեղադրում են մեծ զանգվածով (մոտ

6000 կգ) կապարե գունդ: Կշեռքի հավասարակշռությու-

նը խախտվում է սնդիկով լցված գնդի և կապարե գնդի

ձգողության հետևանքով: Հավասարակշռությունը վերա-

կանգնելու համար մյուս նժարին կշռաքարեր են ավելաց-

նում: Գնդերի փոխազդեցության ուժը հավասար է ավե-

լացված կշռաքարերի կշռին:

Այս և շատ ուրիշ փորձերից ստացվել է G հաստա-

տունի թվային արժեքը՝

Նկ.85. Գրավիտացիոն

հաստատունի

G$r

6,67 $1011

փորձնական որոշումը

Սա շատ փոքր մեծություն է: Հենց այդ հանգամանքի շնորհիվ է« որ չենք նկա-

տում շրջապատի մարմինների ձգողությունը: Երկու մարմինների ձգողության ուժը

հասնում է նկատելի արժեքի միայն այն դեպքում, երբ մարմինները (կամ թեկուզ

դրանցից մեկը) օժտված են բավականաչափ մեծ զանգվածներով:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ո±ր մարմիններն են փոխազդում տիեզերական ձգողության ուժերով: 2. Ձևակերպե°ք

տիեզերական ձգողության օրենքը: 3. Ո±րն է տիեզերական ձգողության հաստատունի

ֆիզիկական իմաստը: 4. Ինչու± չենք նկատում շրջապատի մարմինների ձգողությունը:

32.

ԿԵՊԼԵՐԻ ՕՐԵՆՔՆԵՐԸ

Միկրոաշխարհում ատոմների և տարրական մասնիկների գրավիտա-

ցիոն փոխազդեցության ուժերն անհամեմատ փոքր են այլ փոխազդեցություն-

ներով պայմանավորված ուժերից, ուստի՝ դրանք անտեսվում են: Չափազանց

դժվար է նկատել այդ ուժերը նաև մեզ շրջապատող առարկաների միջև, նույ-

նիսկ եթե դրանց զանգվածները հասնում են հազարավոր տոննաների: Սակայն

հենց գրավիտացիոն ուժի շնորհիվ ենք մենք մնում Երկրի վրա: Գրավիտացիոն

ուժերն են որոշում մոլորակների ու աստղերի շարժման օրինաչափություննե-

րը: Եթե չլիներ գրավիտացիոն փոխազդեցությունը, մոլորակները կհեռանա-

յին իրարից ու կանհետանային տիեզերական տարածության մեջ:

Տիեզերքի կառուցվածքն ու մոլորակների շարժումը հետաքրքրել են

մարդուն դեռ վաղ ժամանակներում: Դրանց ուսումնասիրությունն էլ հանգեց-

րել է տիեզերական ձգողության օրենքի հայտնագործմանն ու գրավիտացիա-

յի տեսության ստեղծմանը:

100

ՖԻԶԻԿԱ 10

Դեռևս II դարում հույն գիտնական Պտղոմեոսն ստեղծել է տիեզերքի

կառուցվածքի մոդել (երկրակենտրոն համակարգ), որի կենտրոնում Երկիրն

էր, իսկ մոլորակներն ու աստղերը բարդ հետագծերով պտտվում են Երկրի

շուրջը: Նա ստեղծել էր մոլորակների շարժման մաթեմատիկական տեսու-

թյուն, որը հնարավորություն էր տալիս որոշելու նրանց դիրքը երկնակա-

մարում: Աստղագիտության մեջ ավելի քան 15 դար իշխում էր Պտղոմեոսի

համակարգը: Միայն XVI դարում այն փոխարինվեց լեհ մեծ գիտնական Նի-

կոլայ Կոպեռնիկոսի արեգակնակենտրոն համակարգով« որտեղ աստղերի ու

մոլորակների հետագծերն ավելի պարզ տեսք ունեն: Տիեզերքի կենտրոնում

Արեգակն է, աստղերն անշարժ են, իսկ մոլորակները պտտվում են Արեգա-

կի շուրջը: Այս համակարգը, ինչպես նաև դանիացի մեծ աստղագետ Տիխո

Բրահեի (1546 -1601 թթ.)՝ Հրատ մոլորակի երկարատև դիտումների արդյունք-

ները ավստրիացի նշանավոր գիտնական Յոհան Կեպլերին (1576 -1630 թթ.)

հնարավորություն տվեցին ձևակերպելու մոլորակների շարժման օրենքնե-

րը« որոնք աստղագիտության դասընթացից ձեզ հայտնի են որպես Կեպլերի

օրենքներ:

Կեպլերի առաջին օրենք: Յուրաքանչյուր մոլորակի ուղեծիրն էլիպս

է, որի կիզակետերից մեկում Արեգակն է:

Բրահեի ուսումնասիրության ար-

դյունքները մանրակրկիտ վերլուծելով

Կեպլերը եզրակացրել է, որ Հրատի բո-

լոր դիրքերը և Արեգակը մի հարթու-

թյան մեջ են, իսկ ուղեծիրն էլիպս է: Այն

բավական ճշգրիտ նկարագրում է դի-

տումների արդյունքները, եթե նրա կի-

զակետերից մեկում Արեգակն է: Այնու-

Նկ.86. Մոլորակի էլիպսաձև ուղեծրի

հետև, Կեպլերն այս արդյունքը տարա-

բնութագրերը

ծել է բոլոր մոլորակների վրա և ձևա-

կերպել առաջին օրենքը: Լուսնի ուղեծիրը նույնպես ներկայացվել է էլիպսի

տեսքով, որի կիզակետերից մեկում Երկիրն է:

Էլիպսը հարթ կոր է, որի յուրաքանչյուր կետի՝ F₁ և F₂ կիզակետերից հե-

ռավորությունների գումարը հաստատուն մեծություն է (նկ. 86): Այն հավասար

է էլիպսի մեծ՝ PA առանցքին: OA-ն կոչվում է էլիպսի մեծ կիսաառանցք (a),

իսկ OE-ն՝ փոքր (b): Արեգակը F₁ կիզակետում է. նրան ուղեծրի ամենամոտ P

կետը կոչվում է արեգակնամերձ կետ (պերիհելիում), իսկ ամենահեռու կետը՝

արեգակնահեռ կետ (աֆելիում):

Էլիպսի ձևը և շրջանագծի հետ նրա նմանությունը բնութագրվում է

e=c/a հարաբերությամբ, որտեղ c-ն կիզակետերի հեռավորությունն է էլիպ-

սի կենտրոնից: Այդ հարաբերությունը կոչվում է էլիպսի էքսցենտրիսիտետ:

Որքան փոքր է e - ն, այնքան էլիպսը մոտ է շրջանագծին: Երբ e = 0, էլիպսը

վերածվում է շրջանագծի:

Բոլոր մոլորակների ուղեծրերը, իրոք« էլիպսներ են, ընդ որում« շրջանա-

գծին առավել մոտ է Արուսյակի ուղեծիրը, որի էքսցենտրիսիտետը՝ e . 0,007:

ԳԼՈՒԽ

VII. ԲՆՈՒԹՅԱՆ ՈՒԺԵՐԸ

101

Կեպլերի երկրորդ օրենք: Մոլորակի շառավիղ-վեկտորը հավասար

ժամանակամիջոցներում գծում է հավասարամեծ մակերեսներ (Մակե-

րեսների օրենք):

Մակերեսների օրենքն ստանալու համար Կեպլերն աշխատել է 8 տարի

և հսկայածավալ հաշվարկներ կատարել: Դիտումները ցույց էին տալիս, որ

մոլորակը որքան մոտ է Արեգակին, այնքան ավելի արագ է շարժվում: Կեպ-

լերի հաշվարկները ցույց են տվել, որ եթե A₁ կետից A₂ կետ, և A₃ կետից A₄

կետ մոլորակն անցնում է հավասար ժամանակամիջոցներում (նկ. 87), ապա

գունավորվածված մակերեսներն իրար հավասար են:

Կեպլերի առաջին և երկրորդ օրենքներն արդեն հնարավորություն են

տալիս պատկերացում կազմելու մոլորակի արագացման ուղղության և հեռա-

վորությունից նրա կախման վերաբերյալ:

Դիտարկենք մոլորակի ուղեծրի P₁P₂ և A₁A₂ փոքր տեղամասեր, որոնք

համաչափ են էլիպսի մեծ առանցքի նկատմամբ« և որոնք մոլորակն անցնում

է հավասար Dt ժամանակամիջոցներում (նկ. 88): Եթե ժամանակը վերցնենք

բավականաչափ փոքր, ապա P₁P₂ և A₁A₂ լարերը կհամընկնեն համապա-

տասխան աղեղներին, մոլորակի շարժումներն այդ տեղամասերում կարելի

կլինի համարել հավասարաչափ՝ էլիպսի մեծ կիսաառանցքին ուղղահայաց

արագություններով: Քանի որ էլիպսը համաչափ է առանցքների նկատմամբ,

ապա պերիհելիումում և աֆելիումում նրա կորության շառավիղները նույնն

են: Հետևաբար՝ այդ կետերում նրա նորմալ արագացումների հարաբերու-

թյունը հավասար է համապատասխան արագությունների քառակուսիների

հարաբերությանը.

(7.13)

Համաձայն Կեպլերի երկրորդ օրենքի՝ SP₁P₂ և SA₁A₂ սեկտորների մակե-

րեսները պետք է իրար հավասար լինեն: Բայց P₁P₂ = v_P Dt և A₁A₂ = v_ADt, իսկ

սեկտորների մակերեսները« համապատասխանաբար« հավասար են v_P Dt r_P /2

և v_ADt r_A/2, որտեղ r_P -ն ու r_A-ն պերիհելիումի և աֆելիումի հեռավորություն-

ներն են Արեգակից: Հետևաբար՝

v_P

v r =vAr

(7.14)

P P

A կամ

v_A

(7.13) և (7.14) բանաձևերից կստանանք՝

(7.15)

r^P

Նկ. 87. F₁A₁A₂ և F₁A₃A₄ սեկտոր-

Նկ.88. Իրար հավասար են SP₁P₂ և

ների մակերեսները հավասար են:

SA₁A₂ սեկտորների մակերեսները:

102

ՖԻԶԻԿԱ 10

Քանի որ մոլորակի տանգենցիալ արագացումները պերիհելիումում և

աֆելիումում զրո են, ապա a_P-ն և a_A-ն նրա արագացումներն են այդ կետերում

և ուղղված են էլիպսի մեծ առանցքով, այսինքն՝ դեպի Արեգակը:

Հաշվարկները ցույց են տալիս, որ ուղեծրի բոլոր կետերում էլ արագա-

ցումներն ուղղված են դեպի Արեգակը և հակադարձ համեմատական են

Արեգակից մոլորակի հեռավորության քառակուսուն:

Հետաքրքիր է նկատել, որ արագացման կախումն Արեգակի հեռավորու-

թյունից հնարավոր եղավ ստանալ շնորհիվ այն բանի, որ մոլորակի ուղեծիրն

էլիպս էր, այլ ոչ թե շրջանագիծ: Շրջանագծային ուղեծրի դեպքում մոլորա-

կի արագացումը և նրա հեռավորությունն Արեգակից հաստատուն կլինեին ու

հնարավոր չէր լինի ստանալ այդ կախումը:

Նշենք նաև, որ Կեպլերի երկրորդ օրենքը համարժեք է իմպուլսի մոմեն-

տի պահպանման օրենքին, որին կծանոթանանք հետագայում:

Կեպլերի երրորդ օրենք: Կամայական երկու մոլորակի՝ Արեգակի

շուրջ պտտման պարբերության քառակուսիները հարաբերում են ինչպես

նրանց ուղեծրերի մեծ կիսաառանցքների խորանարդները (Հարմոնիկ

օրենք):

Հարմոնիկ օրենքը կապ է հաստատում մոլորակի ուղեծրի a մեծ կիսաա-

ռանցքի և Արեգակի շուրջ պտտման T պարբերության միջև.

(7.16)

որտեղ ստորին 1 և 2 ցուցիչները վերաբերում են երկու կամայական մոլո-

րակների: 89 -րդ նկարում պատկերված է երկու ուղեծիր, որոնցից մեկը R շա-

ռավղով շրջանագիծ է, իսկ մյուսը՝ a կիսաառանցքով էլիպս: Կեպլերի երրորդ

օրենքը պնդում է, որ եթե a = R, ապա այդ ուղեծրերով շարժումների պարբե-

րություններն իրար հավասար են:

Կեպլերի օրենքները մեծապես նպաս-

տել են հասկանալու մոլորակների շարժման

օրինաչափությունները, բայց

դրանք մնում

էին աստղագիտական դիտումներից ստաց-

ված փորձառական կանոններ: Այդ օրենքնե-

րը տեսական հիմնավորման կարիք ունեին:

Դա կատարել է Նյուտոնը՝ հայտնագործելով

Նկ.89. Շրջանագծով և էլիպսով

տիեզերական ձգողության օրենքը: Նյու-

շարժումների պարբերություններն

տոնն առաջինն է արտահայտել այն միտքը,

իրար հավասար են:

որ գրավիտացիոն ուժերը ոչ միայն որոշում

են Արեգակնային համակարգի մոլորակների շարժումները, այլև գործում են

տիեզերքի բոլոր մարմինների միջև: Նյուտոնը հայտնագործել է, որ որոշակի

զանգվածով մոլորակի տիեզերական ձգողության ուժը կախված է միայն մո-

լորակի զանգվածից և կախված չէ նրա այլ հատկություներից, օրինակ« բա-

ղադրությունից կամ ջերմաստիճանից: Նա ճշգրտում է կատարել նաև Կեպ-

լերի երրորդ օրենքում և այն ներկայացրել հետևյալ կերպ.

ԳԼՈՒԽ

VII. ԲՆՈՒԹՅԱՆ ՈՒԺԵՐԸ

103

(M+m

)

(7.17)

(M+m

)

որտեղ M-ն Արեգակի զանգվածն է, իսկ m₁-ը և m₂-ը՝ մոլորակներինը: (7.17)

արտահայտության մեջ հաշվի չի առնված միմյանց հետ մոլորակների փոխ-

ազդեցությունը: Այս արտահայտությունը հնարավորություն է ընձեռում հաշ-

վելու մոլորակի կամ արբանյակի զանգվածը, եթե հայտնի են նրա ուղեծիրը

և պտտման պարբերությունը: Եթե m₁<< M և m₂<< M, ապա (7.17) արտահայ-

տության մեջ մոլորակների զանգվածներն անտեսելուց հետո ստացվում է

Կեպլերի երրորդ օրենքի (7.16) արտահայտությունը:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ո±րն է տիեզերքի կառուցվածքի երկրակենտրոն համակարգը: 2. Ի՞նչ առավելություն

ունի արեգակնակենտրոն համակարգը երկրակենտրոնի նկատմամբ: 3. Ձևակերպե°ք Կեպ-

լերի առաջին օրենքը: 4. Ո±րն է էլիպսի էքսցենտրիսիտետը, էլիպսի ո՞ր հատկություն-

ներն է այն բնութագրում: 5. Ձևակերպե°ք Մակերեսների օրենքը: 6. Ինչպե՞ս է ուղղված մո-

լորակի արագացումը« և ինչպե՞ս է այն կախված Արեգակից ունեցած հեռավորությունից:

7. Ի՞նչ ուղղում է կատարել Նյուտոնը Կեպլերի երրորդ օրենքի արտահայտության մեջ:

33.

ԾԱՆՐՈՒԹՅԱՆ ՈՒԺ: ԱԶԱՏ ԱՆԿՄԱՆ ԱՐԱԳԱՑՈՒՄ

Տիեզերական ձգողության ուժի

դրսևորումներից

ծանրության ուժը: Ծանրության ուժ է կոչվում մարմինների

վրա Երկրի ազդող ուժը: Այդ ուժն ուղղված է ուղղաձիգ

դեպի ներքև« այսինքն՝ դեպի Երկրի կենտրոն: Ծանրության

ուժի մոդուլը որոշվում է տիեզերական ձգողության օրենքից:

Եթե m զանգվածով մարմինը Երկրի մակերևույթից ունի

h բարձրություն (նկ© 90)« ապա« համաձայն տիեզերական

Նկ©90.

ձգողության օրենքի« Երկրի ձգողության ուժը՝

F =G

(7.18)

(

)

R+h

որտեղ M-ը Երկրի զանգվածն է« R-ը՝ նրա շառավիղը:

Եթե նշանակենք՝

g = G

(7.19)

(

)

R+h

ապա ծանրության ուժը կարելի է ներկայացնել որպես երկու մեծությունների ար-

տադրյալ՝

Fg= mg,

(7.20)

որոնցից մեկը՝ m զանգվածը« բնութագրում է տվյալ մարմինը« իսկ մյուսը՝ g-ն«

կախված է ոչ թե

դիտարկվող մարմնից« այլ նրա դիրքից: Եթե g մեծությանը

վերագրենք ուղղություն« որը համընկնում է ծանրության ուժի ուղղությանը« ապա

(7.20) հավասարությունը կարելի է ներկայացնել վեկտորական տեսքով՝

Fg= mg:

(7.21)

104

ՖԻԶԻԿԱ 10

Այստեղից g-ն ներկայացնելով որպես

(7.22)

հարաբերություն« կարելի է նկատել« որ այդ մեծությունը ցույց է տալիս« թե ինչ

արագացումով կշարժվի մարմինը« եթե նրա վրա ազդի միայն Երկրի ձգողության«

այսինքն՝ ծանրության ուժը: Միայն ծանրության ուժի ազդեցությամբ մարմնի

շարժումն անվանում են ազատ անկում« ուստի՝ g մեծությունն անվանում են

ազատ անկման արագացում: Երկրի մակերևույթի մոտ h << R« ուստի՝ ազատ անկ-

ման արագացման (7.19) բանաձևը կարելի է արտահայտել հետևյալ կերպ՝

g .GM

(7.23)

R²

Ազատ անկման արագացումը, ինչպես երևում է (7.19) բանաձևից, փոքրանում

է Երկրի մակերևույթից հեռանալուն զուգընթաց: Այսպես՝ 300 կմ բարձրության

հասնելիս այն փոքրանում է 1 մ/վ²-ով: Սա նշանակում է, որ Երկրի մակերևույթից

մինչև մի քանի տասնյակ կիլոմետր բարձրություններում ազատ անկման արա-

գացումը և ծանրության ուժը կարելի է մեծ ճշտությամբ համարել հաստատուն և

մարմնի դիրքից անկախ: Դա է պատճառը, որ ազատ անկումը Երկրի մակերևույթի

մոտակայքում համարում են հավասարաչափ արագացող շարժում:

Ազատ անկման արագացման (7.23) բանաձևից երևում է, որ այն կախ-

ված է Երկրի շառավղից: Բայց երկրագունդը բևեռներում փոքր-ինչ ՙսեղմված՚

է պտտման առանցքի ուղղությամբ, ուստի՝ տարբեր աշխարհագրական լայնու-

թյուններում R-ը տարբեր է. հասարակածից դեպի բևեռ տեղափոխվելիս այն փոք-

րանում է, որի հետևանքով բևեռներում ազատ անկման արագացումն ավելի մեծ

է, քան հասարակածում: Երկրի տարբեր կետերում ազատ անկման արագացման

տարբեր լինելու մյուս՝ ավելի էական պատճառը Երկրագնդի օրական պտույտն

է սեփական առանցքի շուրջը: Փորձերը ցույց են տալիս, որ Երկրի մակերևույթին

(h = 0) ազատ անկման արագացումը բևեռներում մոտավորապես 9,83 մ/վ² է, հա-

սարակածում՝ 9,78 մ/վ², իսկ 45 լայնության վրա՝ 9,81 մ/վ²: Այս արժեքները քիչ են

տարբերվում իրարից« ուստի՝ մեծ ճշտություն չպահանջող հաշվարկներում անտե-

սում են Երկրի օրական պտույտը և Երկրի ոչ լրիվ գնդաձև լինելը՝ ազատ անկման

արագացումն ամենուր ընդունելով մոտավորապես 9,81 մ/վ², երբեմն էլ՝ 10 մ/վ²:

Երկրագնդի որոշ վայրերում ազատ անկման արագացումը տվյալ աշխար-

հագրական լայնության վրա ազատ անկման արագացման միջին արժեքից (g_միջ)

տարբերվում է Երկրի ընդերքի անհամասեռության պատճառով: Dg = g-g_միջ տար-

բերությունը կոչվում է գրավիտացիոն շեղում: Դրական շեղումները հաճախ վկա-

յում են ընդերքում համեմատաբար մեծ խտությամբ, օրինակ մետաղի հանածո-

ների պաշարների, իսկ բացասական շեղումները՝ թեթև օգտակար հանածոների,

օրինակ« նավթի և գազի պաշարների առկայության մասին:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ի՞նչն է կոչվում ծանրության ուժ: 2. Ինչպե՞ս է ուղղված մարմնի վրա ազդող ծանրու-

թյան ուժը: 3. Որքա±ն է ազատ անկման արագացումը Երկրի մակերևույթից h բարձ-

րությունում: 4. Երկրագնդի տարբեր կետերում ազատ անկման արագացումները որոշ

չափով տարբերվում են: Որո±նք են դրա պատճառները: 5. Ի՞նչ է գրավիտացիոն շեղումը:

ԳԼՈՒԽ

VII. ԲՆՈՒԹՅԱՆ ՈՒԺԵՐԸ

105

ՄԱՐՄՆԻ ԿՇԻՌ: ԱՐԱԳԱՑՄԱՄԲ ՇԱՐԺՎՈՂ

34.

ՄԱՐՄՆԻ ԿՇԻՌԸ: ԱՆԿՇՌՈՒԹՅՈՒՆ

Մարմնի կշիռ: Մարմնի կշիռ կոչվում է այն ուժը, որով մարմինը Երկրի

ձգողության հետևանքով ազդում է հորիզոնական հենարանի կամ ուղղաձիգ

կախոցի վրա:

Դիտարկենք հորիզոնական հենարանին դրված մարմինը: Մարմնի վրա ազ-

դում է ուղղաձիգ դեպի ներքև ուղղված ծանրության ուժը: Եթե հենարանը չլիներ,

ապա մարմինը կընկներ ներքև: Մարմնի

ազդեցությամբ հենարանը դեֆորմացվում

է, որի հետևանքով նրա մեջ առաջանում է

առաձգականության ուժ, որով հենարանն

ազդում է մարմնի վրա (նկ. 91, ա):

Այդ ուժն անվանում են հակազդեցու-

թյան ուժ և նշանակում N-ով: Նյուտոնի

երրորդ օրենքից հետևում է, որ հենարանի

Նկ.91. Մարմնի կշիռը հորիզոնական

վրա մարմնի ազդող ուժը հավասար է հա-

հենարանի կամ ուղղաձիգ կախոցի վրա

կազդեցության ուժին՝ հակառակ նշանով

մարմնի ազդող ուժն է

և ունի նույն բնույթը, ինչ առաձգականու-

թյան ուժը, այսինքն՝ էլեկտրամագնիսական ուժ է: Այդ ուժի առաջացումը պայ-

մանավորված է մարմնի դեֆորմացիայով: Հենարանի դեֆորմացիայի հետևան-

քով առաջացած առաձգականության ուժը կիրառված է մարմնի ստորին նիստի

վրա և ուղղված է դեպի վեր: Այդ պատճառով մարմնի վայէջքի ընթացքում նրա

ստորին նիստն ավելի քիչ է իջնում, քան մարմնի մյուս մասերը, որոնց նկատմամբ

հենարանի հակազդեցության ուժը կիրառված չէ: Դրա հետևանքով մարմինն էլ է

դեֆորմացվում: Դեֆորմացված մարմնի առաձգականության ուժն ազդում է հենա-

րանի վրա և ուղղված է դեպի վար: Հենց այդ ուժն էլ անվանում են մարմնի կշիռ և

նշանակում P -ով՝

P=-N:

(7.24)

Եթե մարմինը դադարի (կամ ուղղագիծ հավասարաչափ շարժման) վիճակում

է, ապա նրա վրա ազդող ուժերի գումարը զրո է©

N + mg = 0,

որտեղից

P =- N = mg,

(7.25)

այսինքն՝ դադարի վիճակում մարմնի կշիռը հավասար է նրա վրա ազդող ծան-

րության ուժին: Բայց սա չի նշանակում, որ մարմնի կշիռը և նրա վրա ազդող ծան-

րության ուժը նույն ուժերն են: Ծանրության ուժը գրավիտացիոն ուժ է, որը կիրառ-

ված է մարմնի վրա, իսկ մարմնի կշիռն առաձգականության ուժ է. այն առաջանում

է մարմնի դեֆորմացիայի հետևանքով և ազդում է հենարանի վրա:

Եթե մարմինը կախված է ուղղաձիգ կախոցից (նկ. 91, բ), ապա կախոցի վրա

նույնպես ազդում է համանման ձևով առաջացած և նույնպես մարմնի կշիռ կոչվող

P ուժը՝ P=-T, որտեղ T-ն թելի լարվածության ուժն է:

106

ՖԻԶԻԿԱ 10

Եթե մարմինը կախված է ուժաչափից, ապա այն ուժաչափի վրա ազդում է իր

կշռին հավասար ուժով© ուժաչափը ցույց է տալիս մարմնի կշիռը: Այս պատճառով

ուժաչափները հաճախ անվանվում են զսպանակավոր կշեռքներ:

Չնայած կշիռն առաջանում է Երկրի ձգողության հետևանքով, բայց այն կա-

րող է տարբերվել ձգողության ուժից: Դա կարող է տեղի ունենալ այն դեպքերում,

երբ« բացի Երկրից և հենարանից (կախոցից)« մարմնի վրա ազդում են այլ մար-

միններ: Oրինակ՝ եթե կշեռքից կախված բեռն ընկղմենք հեղուկի մեջ, ապա հեղու-

կի ազդեցության հետևանքով կշեռքի ցուցմունքը զգալիորեն կնվազի, այսինքն՝

մարմնի կշիռը կպակասի: Մարմնի կշիռը Երկրի ձգո-

ղության ուժից տարբերվում է նաև այն դեպքերում, երբ

մարմինը հենարանի հետ շարժվում է արագացումով:

Դրանում հեշտությամբ կարելի է համոզվել հետևյալ

փորձով:

Բեռը կախենք վերելակի առաստաղին ամրաց-

ված կշեռքից և հետևենք նրա ցուցմունքին: Անշարժ

վերելակում մարմնի կշիռը P է: Վերելակն սկսում է վեր

բարձրանալ: Սկզբում, երբ վերելակի արագացումն

ուղղված է դեպի վեր, մարմնի կշիռը (կշեռքի ցուցմուն-

քը) աճում է՝ P₁ > P : Այնուհետև վերելակը շարժվում է

Նկ. 92. Երբ արագացումն

ոււղված է դեպի վեր, մարմնի

հավասարաչափ« և կշեռքը ցույց է տալիս, որ մարմնի

կշիռը մեծանում է, հակառակ

կշիռը նույն է, ինչ դադարի վիճակում: Կանգ առնե-

դեպքում՝ փոքրանում է:

լիս, երբ վերելակի արագացումն ուղղված է դեպի վար,

կշեռքի ցուցմունքը նվազում է՝ P₂ < P : Այսինքն՝ վերելակի շարժման ընթացքում

բեռի կշիռը փոփոխվում է: Դրա պատճառը վերելակի անահավասարաչափ շար-

ժումն է, որի ժամանակ փոփոխվում է արագացումը:

Պարզենք, թե որքան է մարմնի կշիռը, երբ այն կախոցի հետ շարժվում է a

արագացմամբ: Եթե մարմի վրա ազդում են միայն ծանրության և թելի լարվածու-

թյան ուժերը, ապա« համաձայն Նյուտոնի II օրենքի«

mg + T = ma:

(7.26)

Նկատի ունենալով նաև մարմնի կշռի (7.24) սահմանումը՝ կստանանք՝

P = m(g - a),

(7.27)

որի համաձայն՝ արագացմամբ շարժվող մարմնի կշիռը« իրոք« տարբերվում է ծան-

րության ուժից: Ուսումնասիրենք մի քանի կարևոր դեպքեր:

1. Մարմնի արագացումն ուղղված է ուղղաձիգ դեպի վեր: (7.27) հավասա-

րությունը պրոյեկտելով ուղղաձիգ ուղղության վրա, որպես դրական ընդունելով

ազատ անկման արագացման ուղղությունը՝ կստանանք՝

P = m(g + a),

(7.28)

այսինքն՝ մարմնի կշիռը մեծ է նրա վրա ազդող ծանրության ուժից:

Եթե մարմինը հենարանի կամ կախոցի հետ շարժվում է մի արագաց-

մամբ, որը հակառակ է ուղղված ազատ անկման արագացմանը, նրա կշիռը

գերազանցում է դադարի վիճակում ունեցած կշիռը:

ԳԼՈՒԽ

VII. ԲՆՈՒԹՅԱՆ ՈՒԺԵՐԸ

107

Մարմնի կշռի մեծացման երևույթը, որի պատճառը նրա արագացող շար-

ժումն է, կոչվում է գերբեռնվածություն:

2. Մարմնի արագացումն ուղղված է ուղղաձիգ դեպի վար: Այս դեպքում

(7.27) արտահայտությունից հետևում է, որ

P = m(g - a):

(7.29)

Այստեղից երևում է, որ եթե a < g, ապա մարմնի կշիռը փոքր է ծանրության

ուժից, այսինքն՝ դադարի վիճակում մարմնի կշռից:

Եթե մարմինը հենարանի կամ կախոցի հետ շարժվում է այնպիսի արա-

գացմամբ, որը համուղղված է ազատ անկման արագացմանը, ապա նրա կշիռը

փոքր է դադարի վիճակում ունեցած կշռից:

Եթե a = g, այսինքն՝ մարմինը հենարանի (կախոցի) հետ ազատ անկում է

կատարում, ապա (7.29) բանաձևից հետևում է, որ մարմնի կշիռը՝ P = 0 : Մարմնի

կշռի անհետացումը, երբ հենարանը շարժվում է ազատ անկման արագացմամբ,

կոչվում է անկշռություն: Անկշռությունը բացատրվում է տիեզերական ձգողու-

թյան ուժի և, մասնավորապես, ծանրության ուժի հետևյալ հատկությամբ. բոլոր

մարմիններին հաղորդում է նույն արագացումը: Ուստի՝ միայն ծանրության ուժի

ազդեցությամբ շարժվող մարմինն անկշռության վիճակում է: Այդպիսի վիճակում

է ցատկորդը՝ գետնից պոկվելու պահից մինչև գետին իջնելու պահը, ջրացատկոր-

դը՝ աշտարակից պոկվելու պահից մինչև ջրին հասնելու պահը, վազորդը՝ գետնին

ոտքի մի հպումից մինչև մյուս հպումն ընկած փոքր ժամանակամիջոցում, տիեզե-

րագնացը՝ Երկրի շուրջն անջատված շարժիչով պտտվող տիեզերանավում և այլն:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ի՞նչն են անվանում մարմնի կշիռ: 2. Ո±ր ուժն են անվանում հակազդեցության ուժ:

Ինչպե՞ս է այն ուղղված: 3. Ո±ր դեպքում է մարմնի կշիռը տարբերվում ծանրության ու-

ժից: 4. Որքա±ն է մարմնի կշիռը, երբ այն հենարանի հետ շարժվում է ուղղաձիգ դեպի

վեր՝ a արագացմամբ: 5. Որքա±ն է մարմնի կշիռը, երբ այն հենարանի հետ շարժվում

է ուղղաձիգ դեպի վար՝ a արագացմամբ: 6. Ո±ր երևույթն են անվանում անկշռություն:

7. Թվարկե°ք իրավիճակներ, որտեղ մարդն անկշռության վիճակում է: 8. Որքա±ն է մարմ-

նի կշիռը, երբ այն a > g արագացմամբ դեպի վար շարժվող վերելակում է:

ԵՐԿՐԻ ԱՐՀԵՍՏԱԿԱՆ ԱՐԲԱՆՅԱԿՆԵՐ:

35.

ԱՌԱՋԻՆ ՏԻԵԶԵՐԱԿԱՆ ԱՐԱԳՈՒԹՅՈՒՆ

Ուսումնասիրելով մարմինների ազատ անկումը՝ ¢21-ում պարզեցինք, որ h

բարձրությունից հորիզոնական ուղղությամբ նետած մարմինը« շարժվելով պարա-

բոլով« ընկնում է Երկրի մակերևույթին (նկ. 93): Այնտեղ ընդունեցինք, որ Երկրի մա-

կերևույթը հարթ է, իսկ մարմնի շարժումը՝ հավասարաչափ արագացող, այսինքն՝

շարժման ընթացքում ազատ անկման արագացումն անփոփոխ է: Այդ մոտեցումը

ճիշտ է միայն փոքր արագությունների դեպքում, երբ անկման ընթացքում հորիզո-

նական ուղղությամբ մարմնի տեղափոխությունը շատ փոքր է Երկրի շառավղից:

Իրականում մարմնի անկման ընթացքում գնդաձևության հետևանքով Երկրի մա-

կերևույթը հեռանում է մարմնից (նկ. 94):

108

ՖԻԶԻԿԱ 10

Աստիճանաբար մեծացնելով մարմնի սկզբնական արագությունը՝ կարելի է

հասնել այնպիսի արժեքի, որ կորության հետևանքով Երկրի մակերևույթը մարմ-

նից հեռանա ճիշտ այնքան, որքան մարմինն է մոտենում Երկրին (նկ. 95): Արագու-

թյան այդ արժեքի դեպքում մարմնի հեռավորությունը Երկրի մակերևույթից կմնա

անփոփոխ: Նշանակում է՝ մարմինը կպպտվի Երկրի շուրջը R + h շառավղով շրջա-

նագծով՝ դառնալով Երկրի արհեստական արբանյակ:

Գտնենք արագության այդ արժեքը: Արբանյակը շարժ-

վում է շրջանագծով Երկրի տիեզերական ձգողության

ուժի ազդեցությամբ, հետևաբար« համաձայն Նյուտո-

նի II օրենքի«

Նկ.93. Մարմինը

G Mm

(7.30)

(R+h)

R+h

մոտենում է Երկրին:

որտեղ M-ը Երկրի զանգվածն է, G -ն՝ տիեզերական

ձգողության հաստատունը, R -ը՝

Երկրի շառավիղը,

m -ը, v - ն և h -ը« համապատասխանաբար« արբանյակի

զանգվածը, արագությունը և բարձրությունը Երկրի մա-

կերևույթից:

(7.30) բանաձևից արբանյակի արագության հա-

մար կստանանք՝

Նկ.94. Երկրի մակերևույթը

(7.31)

R+h

հեռանում է մարմնից:

Երկրամերձ ուղեծրով (h << R) շարժվող արբան-

յակի դեպքում (7.31) բանաձևում h -ն անտեսելով R-ի

նկատմամբ՝ կստանանք՝

(7.32)

կամ, նկատի ունենալով (7.23) բանաձևը,

v = Rg₀,

(7.33)

Նկ.95. Երկրի մակերևույթը

հեռանում է ճիշտ այնքան,

որտեղ g₀ -ն ազատ անկման արագացումն է Երկրի մա-

որքան մարմինը մոտենում է:

կերևույթի մոտ:

Այս բանաձևի մեջ տեղադրելով g₀ = 9,81 մ/վ² և

R.6,4©10⁶մ արժեքները՝

կստանանք՝ v_I. 8 կմ/վ: Եթե հորիզոնական ուղղությամբ այսպիսի արագություն

հաղորդվի Երկրի մակերևույթին մոտ մարմնին, ապա այն կպտտվի Երկրի շուրջը

շրջանային ուղեծրով, այսինքն՝ կդառնա Երկրի արհեստական արբանյակ:

Այն նվազագույն արագությունը, որը պետք է հաղորդել մարմնին Երկրի

արհեստական արբանյակ դառնալու համար, կոչվում է առաջին տիեզերական

արագություն:

Իրականում արբանյակին առաջին տիեզերական արագություն չի հաղորդ-

վում անմիջապես Երկրի մակերևույթին մոտ, որովհետև օդի դիմադրության պատ-

ճառով այն կայրվի մթնոլորտում: Ուստի՝ տիեզարանավն ուղեծիր հանում են

տանող հրթիռով, որը տիեզերանավին բարձրացնում է մթնոլորտի նոսր շերտեր,

ԳԼՈՒԽ

VII. ԲՆՈՒԹՅԱՆ ՈՒԺԵՐԸ

109

այնուհետև արագացնում տիեզերանավը մինչև առաջին տիեզերական արագու-

թյուն: Դրանից հետո միայն տիեզերանավն առանձնանում է տանող հրթիռից ու

շարունակում շարժումը միայն Երկրի ձգողության ուժի ազդեցությամբ: Այդ ուժի

հաղորդած կենտրոնաձիգ արագացումը g₀ է, որն ուղղված է դեպի Երկրի կենտրոն,

այսինքն՝ հավասար է Երկրի մակերևույթին մարմնի ազատ անկման արագացմա-

նը: Նշանակում է՝ արբանյակի շարժումն ազատ անկում է, ինչպես հորիզոնական

ուղղությամբ փոքր արագությամբ նետված մարմնի ազատ անկումը: Պարզապես

նրա արագությունն այնքան մեծ է, որ հետագծի կորության շառավիղը հավասար

է Երկրի շառավղին« և արբանյակի ազատ անկումը հանգում է Երկրի շուրջը նրա

պտույտի: Քանի որ արբանյակի շարժումն ազատ անկում է, ապա տիեզերանա-

վում բոլոր մարմիններն անկշռության վիճակում են:

Ինչպես երևում է (7.31) բանաձևից, ուղեծրի բարձրության մեծացմանը զու-

գընթաց առաջին տիեզերական արագությունը նվազում է: Օրինակ՝ 200 կմ բարձ-

րությունում այն փոքրանում է մոտ 125 մ/վ-ով:

Եթե մարմնի արագությունը հավասար է առաջին տիեզերական արագությա-

նը, ապա նրա ուղեծիրը շրջանագիծ է: Իսկ եթե նրա արագությունը գերազանցում

է առաջին տիեզերական արագությունը, ապա հետագծի կորությունը մեծանում է«

և արբանյակն ավելի է հեռանում Երկրի մակերևույթից, բայց տիեզերական ձգո-

ղության ուժը նրան պահում է Երկրի մոտ: Մարմինը, մնալով Երկրի արբանյակ,

պտտվում է նրա շուրջն էլիպսաձև ուղեծրով: Էլիպսի

կիզակետերից մեկում Երկրին է, իսկ նրա մեծ կիսա-

առանցքն ուղղահայաց է սկզբնական արագության

ուղղությանը:

Նշենք նաև, որ փոքր արագությունների դեպ-

քում՝ պարաբոլաձև, իսկ

առաջին տիեզերական

արագության դեպքում՝ շրջանագծային հետագծերն

էլիպսի մասնավոր դեպքեր են: Առաջին դեպքում

էլիպսի կիզակետերը Երկրի վրա են, իսկ նրա կենտ-

րոնը՝ Երկրի կենտրոնում: Երկրորդ դեպքում Երկրի

Նկ.96. Մարմնի հետագծի

կենտրոնում են էլիպսի և° կենտրոնը, և° կիզակետերը:

ձևն սկզբնական արագության

տարբեր արժեքների դեպքում©

Առանց սկզբնական արագության անկում կատարե-

1. ուղիղ գիծ (v=0), 2. պարաբոլ

լու դեպքում հետագիծն ուղիղ գիծ է: Դա էլ կարելի է

(v <<v_I)« 3. շրջանագիծ (v=v_I)«

4. էլիպս (v_I<v< v_II)« 5. պարա-

դիտարկել որպես էլիպսի մասնավոր դեպք, երբ նրա

բոլ (v=v_II)« 6. հիպերբոլ (v> v_II)

փոքր կիսաառանցքը զրո է:

Երկրորդ տիեզերական արագություն: Մարմնի արագության հետա-

գա աճին զուգընթաց էլիպսն ավելի ու ավելի է ձգվում: Արագության որոշա-

կի արժեքի դեպքում Երկրի ձգողությունն այլևս ի վիճակի չի լինում պահելու

մարմինը« և այն պարաբոլաձև հետագծով ՙլքում՚ է Երկիրը: Հաշվարկները

ցույց են տալիս, որ այդ արագությունը

2 անգամ գերազանցում է առաջին

տիեզերական արագությունը՝ v

2v .11,2 կմ/վ է:

Այն նվազագույն արագությունը, որը Երկրի մակերևույթի մոտ պետք

է հաղորդել մարմնին, որպեսզի այն հաղթահարի Երկրի ձգողությունը«

կոչվում է երկրորդ տիեզերական արագություն:

110

ՖԻԶԻԿԱ 10

Եթե մարմնին հաղորդվում է երկրորդ տիեզերական արագությունից մեծ

արագություն, ապա այն հեռանում է Երկրից հիպերբոլաձև ուղեծրով: 96-րդ

նկարում պատկերված են մարմնի հետագծի հնարավոր ձևերը՝ կախված նրա

սկզբնական արագությունից:

ՇՓՄԱՆ ՈՒԺԵՐ: ԴԱԴԱՐԻ ՇՓՄԱՆ ՈՒԺ:

ՍԱՀՔԻ ՇՓՈՒՄ: ՇՓՄԱՆ ԳՈՐԾԱԿԻՑ:

36.

ԴԻՄԱԴՐՈՒԹՅԱՆ ՈՒԺ

Հպվող պինդ մարմինների մակերևույթների միջև առաջանում են ուժեր, որոնք

ուղղված են հպման մակերևույթին զուգահեռ: Այդ ուժերը կոչվում են շփման ու-

ժեր: Տարբերում են շփման ուժի երեք տեսակ՝ դադարի, սահքի և գլորման:

Դադարի շփման ուժ: Դադարի շփման ու-

ժը փորձնականորեն ուսումնասիրելու համար

պատվանդանին դրված չորսուին ամրացնենք

ուժաչափ և, այն հորիզոնական ուղղությամբ

ձգելով,

փորձենք չորսուն շարժել տեղից

(նկ. 97, ա): Կնկատենք, որ սկզբում զսպանակը

Նկ©97© Դադարի շփման ուժի

ձգվում է, բայց մարմինը դեռ չի ՙշտապում՚ տե-

և ճնշման ուժի կապը

ղից շարժվել: Ուժաչափը ցույց է տալիս, որ չոր-

ցուցադրող փորձ

սուի վրա հորիզոնական ուղղությամբ ուժ է ազ-

դում, սակայն չորսուն անշարժ է: Նշանակում է՝ չորսուի վրա պատվանդանի

մակերևույթին զուգահեռ ուժ ազդելիս չորսուի և պատվանդանի հպման մակե-

րևույթների միջև առաջանում է ազդող ուժին հակառակ ուղղված և մոդուլով նրան

հավասար ուժ:

Այն շփման ուժը, որն առաջանում է հպվող մարմինների մակերևույթների

սահմանին, նրանց հարաբերական (միմյանց նկատմամբ) շարժման բացակա-

յության դեպքում, կոչվում է դադարի շփման ուժ:

Ավելի ուժեղ ձգենք զսպանակը: Ուժաչափը ցույց կտա, որ F ուժի մոդուլը մե-

ծացել է: Բայց մարմինն առաջվա նման մնում է դադարի վիճակում: Նշանակում

է՝ F ուժի մոդուլի հետ մեծացել է նաև դադարի շփման ուժի մոդուլը, այնպես որ

այդ երկու ուժերը դարձյալ մոդուլով հավասար են և ուղղված են իրար հակառակ:

Դադարի շփման ուժը միշտ մոդուլով հավասար և ուղղությամբ հակադիր է

այն ուժին, որը կիրառվում է մարմնի նկատմամբ՝ մեկ այլ մարմնի հետ նրա հպման

մակերևույթին զուգահեռ:

Եթե շարունակենք մեծացնել չորսուի վրա ազդող F ուժի մոդուլը« ապա վեր-

ջինիս որոշակի արժեքի դեպքում մարմինը ՙկպոկվի՚ տեղից և կսկսի սահել: Ու-

րեմն՝ գոյություն ունի դադարի շփման առավելագույն ուժ՝ Fzmax : Եվ միայն այն

դեպքում, երբ մակերևույթին զուգահեռ F ուժը մոդուլով դառնում է թեկուզ մի փոքր

ավելի, քան այդ շփման ուժը, մարմինն սկսում է շարժվել արագացմամբ:

Դադարի շփման ուժը հենց այն ուժն է, որը խանգարում է մեզ տեղից շար-

ժելու ծանր առարկաները՝ պահարանը, սեղանը, արկղը և այլն:

ԳԼՈՒԽ

VII. ԲՆՈՒԹՅԱՆ ՈՒԺԵՐԸ

111

Բայց ինչու± է կարևոր առարկայի ծանր լինելը: Չէ± որ այն դեպի վեր՝ ծանրու-

թյան ուժին հակառակ չենք շարժում: Այս հարցին պատասխանում է փորձը:

97« ա նկարում պատկերված չորսուի վրա դնենք նույնպիսի մի չորսու

(նկ. 97« բ )՝ դրանով մեծացնելով մարմնի և պատվանդանի հպման մակերևույթին

ուղղահայաց ազդող ուժը (հենարանի մակերևույթին ուղղահայաց ազդող մարմնի

ուժը կոչվում է ճնշման ուժ): Եթե այժմ կրկին չափենք դադարի շփման առավե-

լագույն ուժը, այսինքն՝ այն ուժը, որն անհրաժեշտ է, որպեսզի մարմինն սկսի սա-

հել, ապա կտեսնենք, որ այն մեծացել է 2 անգամ: Ճիշտ երկու անգամ մեծացել է

ճնշման ուժը, երբ չորսուի վրա երկրորդ նույնպիսի չորսու է դրվել: Կրկնելով փոր-

ձը՝ կարող ենք եզրակացնել, որ Fzmax -ը համեմատական է ճնշման ուժին:

Ըստ Նյուտոնի երրորդ օրենքի՝ հենարանի վրա ազդող մարմնի ճնշման ուժը

մոդուլով հավասար է հենարանի հակազդեցության ուժին: Ուստի՝ դադարի շփման

առավելագույն ուժն ուղիղ համեմատական է հենարանի հակազդեցության ուժին:

Հետևաբար՝ այդ ուժերի մոդուլների համար կարելի է գրել՝

Fzmax = nzN,

(7.34)

որտեղ n_դ մեծությունը կոչվում է դադարի շփման գործակից:

Ինչպես նշեցինք, դադարի շփման ուժը խանգարում է մեզ տեղից շարժելու

ծանր առարկաները: Բայց միշտ չէ, որ շփման ուժը խանգարում է շարժմանը:

Շատ դեպքերում հենց դադարի շփման ուժն է շարժման առաջացման պատճառը:

Օրինակ՝ ավտոմեքենան տեղից շարժվում է անիվների և գետնի միջև առաջացող

դադարի շփման ուժի շնորհիվ: Եթե չլիներ դադարի շփման ուժը, անիվները տե-

ղապտույտ կկատարեին, իսկ ավտոմեքենան տեղից չէր շարժվի: Առանց դադարի

շփման ուժի մարդիկ չէին կարող քայլել գետնի վրայով: Քայլելիս մենք ոտքերով

հրվում ենք գետնից: Եթե կոշիկի ներբանի և գետնի միջև շփումը փոքր է, ինչպես

սառցակալման դեպքում, ոտքերը սահում են, և քայլելը դժվարանում է:

Սահքի շփման ուժ: Չորսուին ամրացված ուժաչափը ձգենք այնպես, որ չոր-

սուն հավասարաչափ շարժվի սեղանի հորիզոնական մակերևույթով: Ուժաչափը

ցույց

է տալիս, որ չորսուի վրա

զսպանակն

ազդում

է հաստատուն F

առաձգականության ուժով: Հավասարաչափ շարժվող մարմնի վրա ազդող ուժերի

գումարը զրո է: Հետևաբար, բացի առաձգականության ուժից, հորիզոնական ուղ-

ղությամբ մարմնի վրա ազդում է ևս մի ուժ, որը մոդուլով հավասար և ուղղությամբ

հակադիր է առաձգականության ուժին: Այդ ուժը կոչվում է սահքի շփման ուժ՝ Fe :

Սահքի շփման ուժը միշտ ուղղված է մարմնի շարժման արագության վեկտո-

րին հակառակ ուղղությամբ: Այն արագացումը, որը մարմնին հաղորդում է սահ-

քի շփման ուժը, նույնպես հակառակ է ուղղված նրա հարաբերական արագության

ուղղությանը, այսինքն՝ սահքի շփման ուժը միշտ փոքրացնում է մարմնի հարաբե-

րական արագությունը: Փորձով կարելի է համոզվել, որ սահքի շփման ուժն ուղիղ

համեմատական է հենարանի հակազդեցության ուժին՝

Fe= nN,

(7.35)

որտեղ n մեծությունը կոչվում է սահքի շփման գործակից:

Սահքի շփման գործակիցը որոշ չափով փոքր է դադարի շփման գործակցից:

Դա է պատճառը, որ սովորաբար մարմինը տեղից ՙպոկելն՚ ավելի դժվար է, քան

112

ՖԻԶԻԿԱ 10

հետո այն հավասարաչափ շարժելը: Սակայն գործնական շատ հաշվարկներում

դադարի և սահքի շփման գործակիցների չնչին տարբերությունն անտեսվում է: Այդ

գործակիցները համարում են իրար հավասար և անվանում n շփման գործակից«

ուստի՝ դադարի և սահքի շփման ուժերի համար կարող ենք գրել՝

F_դ = F, եթե F  Fդmax =nN, F_ս =nN:

(7.36)

98-րդ նկարում պատկերված է շփման ուժի F_շփ մոդուլի կախումը մարմիննե-

րի հպման մակերևույթին զուգահեռ ազդող ուժի F մոդուլից: Քանի դեռ F-ը փոքր է

nN-ից, մարմինը դադարի վիճակում է, իսկ շփման ուժը մոդուլով հավասար է

ազդող ուժին: F - ի աճին զուգընթաց աճում է նաև

շփման ուժը: Երբ F - ը գերազանցում է nN - ը, շփման

ուժը դադարում է կախված լինել F - ից և, ուժի հետա-

գա մեծացումից անկախ, մնում է հաստատուն՝ nN :

Շփման գործակիցը կախված է այն բանից, թե

ինչ նյութերից են պատրաստված շփվող մարմիննե-

րը, ինչպես են մշակված ու մաքրված նրանց մակե-

Նկ©98. Շփման ուժի մոդուլի

րևույթները և գործնականորեն կախված չէ հպվող

կախումը հպման մակերևույթին

մակերևույթների մակերեսների մեծությունից:

զուգահեռ ազդող ուժի մոդուլից

Շփման ուժի դրսևորումներից է գլորման շփման ուժը, որով մակերևույթն

ազդում է գլորվող մարմնի վրա: Փորձերը ցույց են տալիս, որ գլորման շփման ու-

ժը շատ անգամ փոքր է սահքի շփման ուժից: Օրինակ՝ պողպատե ռելսերի վրայով

գլորվելիս պողպատե անիվների վրա ազդող գլորման շփման ուժը մոտ 100 անգամ

փոքր է սահքի շփման ուժից: Ուստի՝ տարբեր մեխանիզմներում և մեքենաներում

սահքի շփումը փոխարինում են գլորման շփմամբ՝ օգտագործելով գնդիկավոր և

հոլովակավոր առանցքակալներ:

Շփման ուժերն առաջանում են հպվող մարմինների մոլեկուլների (ատոմնե-

րի) փոխազդեցության հետևանքով, որը պայմանավորված է նրանց կազմի մեջ

մտնող էլեկտրական լիցքերի փոխազդեցությամբ: Ուստի՝ շփման ուժերն էլեկտ-

րամագնիսական բնույթ ունեն:

Հեղուկ և գազային միջավայրում պինդ մարմնի շարժման ժամանակ առաջա-

նում են ուժեր, որոնք արգելակում են շարժումը: Այդ ուժերն անվանում են դիմա-

դրության ուժեր: Դիմադրության ուժի գլխավոր առանձնահատկությունը դադարի

շփման բացակայությունն է« հետևաբար՝ հեղուկ կամ գազային միջավայրում մար-

մինը կարելի է տեղաշարժել նույնիսկ ամենափոքր ուժով:

Դիմադրության ուժի մյուս առանձնահատկությունը նրա խիստ կախվածու-

թյունն է շարժման արագությունից: Փոքր արագությունների դեպքում դիմադրու-

թյան ուժն ուղիղ համեմատական է արագությանը և ուղղված է նրան հակառակ՝

Fz =- rv

: Համեմատականության r գործակիցը կախված է միջավայրի հատկու-

թյուններից, մարմնի ձևից և չափերից: Մեծ արագությունների դեպքում դիմադրու-

թյան ուժը կտրուկ աճում է և համեմատական է դառնում արագության քառակու-

սուն, իսկ այնուհետև՝ ավելի բարձր աստիճաններին:

ԳԼՈՒԽ

VII. ԲՆՈՒԹՅԱՆ ՈՒԺԵՐԸ

113

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ի՞նչն են անվանում դադարի շփման ուժ: 2. Որքա±ն է դադարի շփման ուժը« և ինչ-

պե±ս է այն ուղղված: 3. Դադարի շփման առավելագույն ուժն ինչպե՞ս է կախված ճնշման

ուժից:

Գրե°ք սահքի շփման ուժի բանաձևը և նշե°ք, թե ինչպես է այն ուղղված:

5. Ի՞նչ գործոններից է կախված սահքի շփման գործակիցը: 6. Ի՞նչ բնույթի են դադարի

և սահքի շփման ուժերը: 7. Որո±նք են դիմադրության ուժի առանձնահատկությունները:

37.

ԼԱԲՈՐԱՏՈՐ ԱՇԽԱՏԱՆՔ 4

Սահքի շփման գործակցի որոշումը

Աշխատանքի նպատակը. որոշել սահքի շփման գործակցի արժեքը:

Չափամիջոցներ. ուժաչափ (04 Ն սանդղակով և 0,1 Ն բաժանման արժե-

քով), միլիմետրական բաժանումներով քանոն (50 սմ երկարությամբ):

Նյութեր և սարքեր. փայտե նեղ տախտակ, փայտե չորսուներ, 100 կամ 50

գրամանոց բեռների հավաքածու, ամրակալան՝ կցորդիչով և թաթով:

Փորձի կատարման ընթացքը

1. Չորսուն տեղադրեք թեքված փայտե նեղ տախտակի վրա:

2. Ուժաչափն ամրացրեք չորսուին և հավասարաչափ կերպով այն ձգեք թեք

հարթությամբ դեպի վեր և նշեք ուժաչափի ցուցմունքը (F):

3. Կշռեք չորսուն (P):

4. Սահքի շփման գործակիցը որոշեք դեպի վեր մարմնի հավասարաչափ

շարժման (հավասարակշռության) F = Psina + nPcosa պայմանից, որտե-

ղից

F Psina

Pcosa

որտեղ sin a = h/l (h -ը թեք տախտակի բարձրությունն է, իսկ l - ը՝ երկարու-

թյունը):

5. Թեքելով տախտակը և չորսուի վրա ավելացնելով բեռներ« ապա կշռելով

բեռներով չորսուն՝ ստացեք շփման գործակցի՝ տարբեր փորձերի արժեք-

ները, որոնց թվաբանական միջինը կլինի շփման գործակցի փորձարարա-

կան արժեքը:

6. Չափման արդյունքներով լրացրեք աղյուսակը.

Փորձի համարը

F,Ն

P«Ն

ՄԵԽԱՆԻԿԱՅԻ ՈՒՂԻՂ ԵՎ ՀԱԿԱԴԱՐՁ ԽՆԴԻՐԸ:

ՇՓՄԱՆ ՈՒԺԻ ԱԶԴԵՑՈՒԹՅԱՄԲ ՄԱՐՄՆԻ

38.

ՇԱՐԺՈՒՄԸ ՀՈՐԻԶՈՆԱԿԱՆ ՈՒՂՂՈՒԹՅԱՄԲ

Դինամիկայի օրենքները հնարավորություն են տալիս լուծելու մեխա-

նիկայի հիմնական խնդիրը, այն է՝ գտնել մարմնի դիրքը տարածության մեջ

ժամանակի կամայական պահին՝ հետևյալ ՙշղթայով՚. հայտնի ուժերով որո-

շում են մարմնի արագացումը, արագացման և սկզբնական արագության մի-

114

ՖԻԶԻԿԱ 10

ջոցով՝ արագությունը, արագության միջոցով՝ տեղափոխությունը և« ի վերջո,

տեղափոխության ու սկզբնական դիրքի միջոցով՝ մարմնի կոորդինատները

ժամանակի կամայական պահին: Օրինակ՝ հրետանավորին հայտնի են ար-

կի սկզբնական արագությունը և թռիչքի ընթացքում նրա վրա ազդող ուժերը:

Դրանց հիման վրա նա կարողանում է ճշգրիտ հաշվարկել արկի հետագիծը«

կառավարել արկի շարժումը, և համապատասխան սկզբնական պայմաններ

ընտրելով՝ ՙստիպել՚ նրան ընկնել նպատակակետի վրա: Կամ՝ ինքնաթիռի

վայրէջքի ժամանակ հայտնի են նրա սկզբնական արագությունը և շարժումն

արգելակող ուժերը: Այս տվյալներով կարելի է որոշել« թե ի՞նչ ճանապարհ

կանցնի ինքնաթիռը մինչև կանգ առնելը« և« դրան համապատասխան« ի՞նչ

երկարության թռիչքուղի է հարկավոր: Հայտնի են Արեգակի և մոլորակնե-

րի փոխազդեցության տիեզերական ձգողության ուժերը: Դա հնարավորու-

թյուն է տալիս ճշգրիտ հաշվարկելու մոլորակի շարժումը և ՙգուշակելու՚ նրա

ապագան, օրինակ« երկնակամարում նրա հայտնվելու տեղը և ժամանակը:

Թվարկած բոլոր դեպքերում մարմնի վրա ազդող հայտնի ուժերով հաշ-

վարկվում է նրա շարժումը: Բայց միշտ չէ, որ դինամիկայի օրենքները կիրառ-

վում են մարմնի դիրքը որոշելու համար: Շատ դեպքերում հայտնի է մարմնի

շարժումը, այսինքն՝ հայտնի է նրա դիրքը ժամանակի տարբեր պահերին և

անհրաժեշտ է գտնել նրա վրա ազդող ուժերը: Այդպիսի իրավիճակների առա-

վել հաճախ հանդիպում են ճարտարագետները և գիտնական-հետազոտող-

ները: Օրինակ՝ մեքենա նախագծողները նախ որոշում են այն շարժումները,

որ պետք է կատարեն մեքենայի տարբեր մասերն ու դետալները: Այնուհետև

հաշվարկում են ուժերը, որոնք կառաջանան մեքենայի աշխատանքի ընթաց-

քում և դրան համապատասխան ընտրում դետալի կառուցվածքը:

Հայտնի է, որ տիեզերանավի թռիչքի ողջ ընթացքում թռիչքների կառա-

վարման կենտրոնում մանրակրկիտ գրանցվում են տիեզերանավի ուղեծրի

տվյալները: Ուղեծրի ձևը և նրա շեղումը հաշվարկայինից պայմանավորված

են Երկրի տիեզերական ձգողության ուժով: Այդ ուժն իր հերթին կախված է

Երկրի ձևից և ծանր ու թեթև լեռնաապարների ու օգտակար հանածոների

տեղաբաշխումից: Ուղեծրի տվյալներից որոշելով Երկրի ձգողության ու-

ժը՝ արժեքավոր տեղեկություններ են ստանում Երկրի կառուցվածքի մասին:

Կամ՝ հեռուստացույց նախագծողը« իմանալով թե պատկեր ստանալու հա-

մար էկրանի որ կետերում պետք է ընկնեն էլեկտրոնները, որոշում է այն ուժե-

րը, որոնք պետք է ազդեն էլեկտրոնաճառագայթային խողովակում շարժվող

էլեկտրոնների վրա և դրան համապատասխան լարումներ հաղորդում կոն-

դենսատորների թիթեղներին:

Այսպիսով՝ մեխանիկայի խնդիրները կարելի է դասակարգել երկու խմբի՝

ուղիղ և հակադարձ:

Մեխանիկայի ուղիղ խնդիրը մարմնի արագացումը որոշելը և նրա

շարժման օրենքը գտնելն է, երբ հայտնի են նրա վրա ազդող ուժերն ու

սկզբնական պայմանները:

Մեխանիկայի հակադարձ խնդիրը մարմնի վրա ազդող ուժերի որո-

շումն է, երբ հայտնի է նրա շարժման օրենքը:

ԳԼՈՒԽ

VII. ԲՆՈՒԹՅԱՆ ՈՒԺԵՐԸ

115

Երկու խնդիրներն էլ հավասարապես կարևոր են: Երկուսն էլ հաճախ

հանդիպում են գիտության, տեխնիկայի և այլ ոլորտներում:

Հետագայում հաճախ կառնչվենք այդ խնդիրներից յուրաքանչյուրին:

Կառնչվենք նաև իրավիճակների, երբ այդ խնդիրները հանդես են գալիս միա-

ժամանակ: Դիտարկենք այդպիսի մի պարզ օրինակ:

Անշարժ, անկշիռ ճախարակի վրայով, անկշիռ և չձգվող թելի ծայրե-

րից կախված են m₁ և m₂ զանգվածներով բեռներ (նկ. 99), ընդ որում« m₁ > m₂:

Որոշել թելի ձգվածության ուժը և բեռների արագացումները: Ճախարակում

շփումն անտեսել:

Այստեղ պետք է գտնել թելի ձգվածության ուժը, ուրեմն՝ գործ ունենք հա-

կադարձ խնդրի հետ: Բայց հայտնի չեն նաև արագացումները, ուրեմն՝ գործ

ունենք նաև ուղիղ խնդրի հետ: Նշանակում է՝ ուղիղ և հակադարձ խնդիրները

հանդես են գալիս միաժամանակ:

Եթե սկզբում անշարժ համակարգը թողնենք ինքն իրեն, ապա m₁ բեռը

կսկսի շարժվել դեպի ներքև, իսկ m₂ բեռը՝ դեպի վերև: Քանի որ թելը ձգվող

չէ, ապա որքան իջնում է առաջին բեռը, նույնքան բարձրանում է երկրորդը:

Ուրեմն՝ նրանց արագացումների մոդուլներն իրար հավասար են. a₁ = a₂ = a:

Քանի որ շփման ուժերը բացակայում են, ապա մար-

մինների վրա ազդող թելի ձգվածության ուժերի մո-

դուլները հավասար են. T₁ = T₂ = T: Բեռների վրա ազ-

դող ուժերը և կոորդինատային առանցքի ուղղությունը

պատկերված են նկարում:

Նյուտոնի II օրենքը սկալյար տեսքով գրելով մար-

միններից յուրաքանչյուրի համար՝ կստանանք՝

mg- T = ma,

)

T- m g = m a:

Ստացանք երկու անհայտով երկու հավասարում-

ների համակարգ: Լուծելով այդ համակարգը՝ կստա-

նանք՝

Նկ. 99. m₁ և m₂

m m

2m m g

մարմինների շարժումը

g, T

m +m

Այս խնդրում թելը կապված է երկու մարմիններին և առաջին մարմնի

շարժումը հաղորդվում է երկրորդին: Այս պատճառով թելի ձգվածության

ուժն անվանում են կապի ուժ: Նկատենք, որ կապի ուժը կախված է ոչ միայն

արտաքին ազդեցություններից (տվյալ դեպքում Երկրի և ճախարակի), այլ

նաև կապված մարմինների հատկություններից (նրանց զանգվածներից):

Հաշվի առնելով, որ մեխանիկայի ուղիղ խնդիրներից մեկը գործնակա-

նում շատ հաճախ է հանդիպում և բավական ուշագրավ է, քննարկենք շփման

ուժերի ազդեցությամբ մարմնի շարժման մի քանի դեպք:

Շարժումը՝ արգելակելիս: Գործնականում շատ հաճախ հարկ է լինում

կանգնեցնել շարժվող փոխադրամիջոցը, օրինակ, երբ ինքնաթիռը վայրէջք

է կատարում, գնացքը մոտենում է կայարանին կամ շարժվող ավտոմեքենա-

116

ՖԻԶԻԿԱ 10

յի առաջ հանկարծակի որևէ արգելք է հայտնվում: Թվարկած բոլոր դեպքե-

րում միացվում են արգելակները, և« սկսած արգելակման պահից« շարժումը

դանդաղում է: Որոշ t ժամանակ անց, անցնելով արգելակման ճանապարհ

կոչվող l հեռավորությունը, մարմինը կանգ է առնում: Բոլոր դեպքերի հա-

մար խնդիրը կարելի է ձևակերպել հետևյալ կերպ. որոշել, թե շփման ուժի

ազդեցությամբ հորիզոնական տեղամասում

ինչքա±ն ժամանակից հետո կանգ կառնի

v₀ արագությամբ շարժվող մարմինը և ինչ-

քա±ն ճանապարհ կանցնի այդ ընթացքում

(նկ. 100),

եթե մարմնի և հենարանի միջև

շփման գործակիցը n է: Մարմնի վրա ազ-

դող ուժերը և կոորդինատային առանցքները

Նկ. 100. Արգելակման

ճանապարհը և ժամանակը

պատկերված են նկարում:

Հաշվի առնելով, որ F_շփ = nN, և որ Y առանցքով շարժում չկա, շարժման

նկարագրության կոորդինատային եղանակի դեպքում Նյուտոնի II օրենքից

կստանանք՝

N =ma

)

N mg

որտեղ m-ը մարմնի զանգվածն է: Լուծելով հավասարումների համակարգը՝

կստանանք, որ արագացման պրոյեկցիան՝ a_x = -ng:

Շարժման վերջում մարմնի արագությունը զրո է, ուստի կինեմատիկա-

կան հավասարումները կարտահայտվեն հետևյալ կերպ.

ngt2

ngt:

Հավասարումների

այս համակարգից

էլ կստանանք

արգելակման

ճանապարհը և ժամանակը.

0 l

2ng

Հորիզոնական ուղղությամբ բեռի շարժումը: Ինչպես գիտեք« հորիզո-

նական սեղանի վրա բեռը տեղաշարժելու համար պետք է հաղթահարել դա-

դարի շփման առավելագույն ուժը՝ Fդmax = nN: Հորիզոնական ուղղությամբ

ուղղված նվազագույն ուժը, որը կարող է տեղից շարժել մարմինը՝ F_min = nmg:

Դա± է արդյոք հնարավոր նվազագույն ուժը, որ կարող է տեղաշարժել

մարմինը:

Ենթադրենք՝ բեռը շարժվում է հորիզո-

նական ուղղության հետ a անկյուն կազմող

F ուժի ազդեցությամբ (նկ.101): Որոշենք

մարմնի արագացումը:

Մարմնի վրա ազդող չորս ուժերը պատ-

կերված են 101-րդ նկարում: Գրելով Նյու-

Նկ.101. Բեռը տեղից շարժող

տոնի II օրենքը վեկտորական տեսքով՝

նվազագույն ուժի որոշումը

ԳԼՈՒԽ

VII. ԲՆՈՒԹՅԱՆ ՈՒԺԵՐԸ

117

mg + N + Fm+ F = ma«

(7.37)

և այն պրոյեկտելով կոորդինատային առանցքների վրա (նկ.101)« կստանանք՝

Fcosa- nN =ma,

)

Fsina+

N mg

որտեղից

F(cosa+nsina)

nmg

Տրված a-ի դեպքում բեռը տեղաշարժող նվազագույն ուժը որոշենք a = 0

պայմանից՝

nmg

(7.38)

cosa+nsina

կամ պարզ ձևափոխությունից հետո՝

nmg

(7.39)

sin (a

{)

որտեղ { = arcctg n:

(7.39) բանաձևից հետևում է, որ նվազագույն ուժը, որով կարելի է մար-

մինը շարժել տեղից, ստացվում է a = r / 2-{ անկյան դեպքում, և հավասար է՝

nmg

min

min,1

(7.40)

1+n

որը

անգամ փոքր է, քան F_min -ը:

Այսպիսով՝ անկյան տակ քաշելով մարմինը՝ հնարավոր դարձավ այն

շարժել ավելի փոքր ուժով, քան հորիզոնական ուղղությամբ ազդելիս, որով-

հետև ազդող ուժի ուղղաձիգ բաղադրիչի չափով փոքրանում է հակազդեցու-

թյան ուժը և« հետևաբար« նաև դադարի շփման առավելագույն ուժը:

Շարժումը հորիզոնական կորագիծ տեղամասերում: Մինչև այժմ

քննարկված օրինակներում շփման ուժերը շարժումն արգելակում կամ շարժ-

մանը խանգարում էին՝ լինելով ուղղված մարմնի շարժման հակառակ ուղղու-

թյամբ: Բայց դա ոչ միշտ է այդպես: Շփման ուժի շնորհիվ է ավտոմեքենան

շարժվում տեղից: Այս դեպքում շփման ուժն ուղղված է մեքենայի շարժման

ուղղությամբ: Եթե չլիներ շփման ուժը, հնարավոր

չէր լինի շրջադարձ կատարել ճանապարհի հորիզո-

նական տեղամասում:

Պարզենք շփման ուժի դերը, երբ հեծանվոր-

դը շրջադարձ է կատարում ճանապարհի հորիզո-

նական տեղամասում: Փորձից հայտնի է, որ ձախ

շրջադարձ կատարելու համար հեծանվորդը պետք է

թեքվի դեպի ձախ, որը մեխանիկորեն հանգեցնում է

նրա ղեկի պտույտին (նկ.102): Դիտարկենք հեծան-

վորդի վրա ազդող ուժերը, երբ նա թեքվում է դեպի

ձախ: Այժմ արդեն ծանրության և հակազդեցության

Նկ.102© Հեծանվորդը

շրջադարձ կատարելիս

ուժերը մի ուղղով չեն ազդում« և նրանց համատեղ

118

ՖԻԶԻԿԱ 10

ազդեցությունն ուղղաձիգ հարթության մեջ պտույտ է առաջացնում: Դրա հե-

տևանքով հեծանվի անիվները պետք է սահեին՝ ինչպես լինում է սառցակա-

լած ճանապարհին: Չոր ճանապարհի և հեծանվադողի միջև առաջանում է

նույնպես դեպի ձախ ուղղված դադարի շփման ուժ: Քանի որ այդ ուժն ուղղա-

հայաց է արագությանը, ապա այն հեծանվորդին հաղորդում է կենտրոնաձիգ

արագացում: Նյուտոնի II օրենքից՝

² =

#nmg, կամ v2 #ng

որտեղ m-ը հեծանվորդի զանգվածն է (հեծանվի հետ), v -ն՝ նրա արագությու-

նը, r - ը՝ շրջադարձի կորության շառավիղը, n-ն՝ անվադողի և ճանապարհի

միջև շփման գործակիցը, g - ն՝ ազատ անկման արագացումը:

Հեծանվորդի թեքման a անկյունը ուղղաձիգից կարելի է որոշել պայմա-

նից, որ հակազդեցության և շփման ուժերի համազորը պետք է անցնի հեծան-

վորդի ծանրության կենտրոնով (այդ մասին կիմանաք VIII գլխում ):

Fz mv

tga=

² #

N rmg rg

Հեծանվորդն իրավունք չունի a₀ = arctg n սահմանային անկյունից մեծ

անկյամբ թեքվելու, այլապես նա վթարի կենթարկվի: Մեծ արագությամբ

կտրուկ շրջադարձի հնարավորություն տալու համար հեծանվահրապարակ-

ների վազքուղիներին a . arctg (v2 R) թեքություն են տալիս:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ի՞նչն են անվանում արգելակման ճանապարհ: 2. (7.38) բանաձևից ստացեք (7.39)

բանաձևը: 3. Ինչպե՞ս պետք է ազդել մարմնի վրա՝ նվազագույն ճիգով այն տեղաշար-

ժելու համար: 4. Ո±ր ուժի շնորհիվ է հնարավոր դառնում հորիզոնական տեղամասում

շրջադարձ կատարելը:

Հավանաբար բոլորիդ հայտնի է, որ գետնին խրված

ձողը կամ տախտակին խփված մեխն ավելի հեշտ է

հանել, եթե դուրս քաշելու ժամանակ դրանք պտտենք:

Այս երևույթը կարելի է պարզաբանել հետևյալ փորձով:

u արագությամբ շարժվող շարժաժապավենի վրա տե-

ղադրված չորսուն օղակի միջոցով ամրացված է հո-

րիզոնական ձողից, ինչպես ցույց է տրված նկարում:

Պարզենք« թե ինչ ուժով պետք է ազդել չորսուի վրա՝ այն

ժապավենին ուղղահայաց v արագությամբ հավասա-

րաչափ շարժելու համար: Չորսուի վրա ազդող սահքի

շփման ուժը, անկախ ժապավենի նկատմամբ նրա հա-

րաբերական արագության մեծությունից« nmg է և հա-

կադիր է ուղղված այդ արագությանը: Արագություննե-

րի գումարման կանոնից չորսուի արագությունը ժապավենի նկատմամբ՝ v

=v-u

: Հետևաբար՝ չորսուի վրա ժապավենին ուղղահայաց ազդող ուժը՝ F = nmgsina: Եթե

v << u, ապա sin a . tga = v u, հետևաբ ար՝

F =nmg

ԳԼՈՒԽ

VII. ԲՆՈՒԹՅԱՆ ՈՒԺԵՐԸ

119

Այսպիսով՝ չորսուն ժապավենի շարժմանն ուղղահայաց տեղաշարժելու համար

անհրաժեշտ ուժն ուղիղ համեմատական է այդ ուղղությամբ շարժման արագությա-

նը: Հետևաբար՝ բեռը կարելի է դանդաղ շարժել այդ ուղղությամբ ինչքան ասես փոքր

ուժով: Այս պատճառով էլ ավտոմեքենան կտրուկ արգելակելիս, երբ անիվները սա-

հում են շարժման ուղղությամբ, շարժման ուղղահայաց ազդող նույնիսկ աննշան ուժը

նրան արագություն է հաղորդում այդ ուղղությամբ, և մեքենան կողքի է ՙփախչում՚,

դառնում անկառավարելի: Ուստի, վթարներից խուսափելու համար, երբեք խորհուրդ

չի տրվում արգելակելիս գամել անիվները:

39.

ՄԱՐՄՆԻ ՇԱՐԺՈՒՄԸ ԹԵՔ ՀԱՐԹՈՒԹՅԱՄԲ

Գործնականում հաճախ շարժումները տեղի են ունենում ոչ թե հորզո-

նական, այլ թեք տեղամասերում, ուստի առանձնապես ուշագրավ է շփման

ուժի ազդեցությամբ մարմնի շարժումը թեք հար-

թությամբ: Այդ դեպքում մարմնի շարժման բնույթը

կախված է նրա v₀ սկզբնական արագությունից,

հորիզոնի հետ թեք հարթության կազմած a անկյու-

նից և շփման գործակցի արժեքից:

1. Մարմինը դրված է թեք հարթության վրա

(v0=0): Թեք հարթության վրա

դրված մարմ-

Նկ.103. Թեք հարթության

նի վրա ազդող ուժերը պատկերված են 103-րդ

վրա մարմնի շարժումը

նկարում: Համաձայն Նյուտոնի II օրենքի՝

ma1= mg + N + Fmq:

(7.41)

Քանի որ մարմինը կարող է շարժվել միայն թեք հարթության երկայնքով,

ապա նրա արագացման պրոյեկցիան OY առանցքի վրա զրո է և (7.41) հավա-

սարումից ստացվում է.

0=mgcosa-N, կամ N=mgcosa:

(7.42)

Այսպիսով՝ թեք հարթության վրա հակազդեցության ուժն mgcosa է, ան-

կախ այն բանից, մարմինը սահում է թեք հարթության վրայով, թե դադարի վի-

ճակում է: Նույնը չի կարելի ասել շփման ուժի մասին: Այն դադարի վիճակում

ունի մի արժեք, սահքի դեպքում՝ այլ արժեք:

Նախ դիտարկենք այն դեպքը, երբ թեք հարթության վրա մարմինը դա-

դարի վիճակում է: Այս դեպքում Fmq -ը դադարի շփման ուժն է: Մարմնի արա-

գացումը, հետևաբար՝ նաև դրա պրոյեկցիան OX առանցքի վրա նույնպես զրո

է, ուստի՝ (7.41) հավասարումը պրոյեկտելով OX առանցքի վրա՝ կստանանք՝

0=mgsina-F_շփ, կամ F_շփ=mgsina:

(7.43)

Այստեղից երևում է, որ a-ի մեծացմանը զուգընթաց դադարի շփման ու-

ժի արժեքը մեծանում է: Բայց այն չի կարող գերազանցել nN-ը, որը, ինչպես

երևում է (7.42) բանաձևից, a-ի մեծացմանը զուգընթաց նվազում է: Ուրեմն՝ կա

անկյան սահմանային a₀ արժեք, որից մեծ անկյունների դեպքում մարմինը չի

կարող մնալ դադարի վիճակում: Այդ արժեքը կորոշվի հետևյալ պայմանից՝

120

ՖԻԶԻԿԱ 10

mgsina₀ = nmgcos a₀

կամ tg a₀ = n:

(7.44)

Նկատենք, որ սահմանային անկյունը կախված չէ մարմնի զանգվածից:

Փորձով չափելով այդ անկյունը՝ կարելի է որոշել շփման գործակիցը:

Երբ a > a₀ , թեք հարթության վրա դրված մարմինը սահում է դեպի վար:

Այս դեպքում Fmq -ը սահքի շփման ուժն է.

F_շփ=nmgcosa:

(7.45)

(7.41) և (7.45) հավասարումներից կստանանք մարմնի արագացումը թեք

հարթությամբ սահելիս.

a₁=a1x=g(sina-ncosa):

(7.46)

2. Մարմինը v₀ արագությամբ նետված է թեք հարթությամբ դեպի

վեր: Այս դեպքում սահքի շփման ուժն ուղղված է թեք հարթությամբ դեպի վար

(նկ. 104), իսկ Նյուտոնի երկրորդ օրենքից՝

sin

a nN

)

mgcosa

որտեղից՝

g (sina+ncosa):

(7.47)

Նշանակում է՝ այս դեպքում մարմինը կկա-

տարի դանդաղող շարժում և« որոշ հեռավորություն

Նկ.104. Թեք հարթությամբ

անցնելուց հետո« կանգ կառնի: Այնուհետև այն

դեպի վեր նետված մարմնի

իրեն կպահի ինչպես թեք հարթության վրա դրված

շարժումը

մարմինը. կմնա դադարի վիճակում կամ վար կսա-

հի թեք հարթությամբ:

3. Մարմինը v₀ արագությամբ նետված է

թեք հարթությամբ դեպի վար (նկ.105): Համան-

ման ձևով այս դեպքում մարմնի արագացման պրո-

յեկցիայի համար կստանանք՝

g (sina-ncosa):

(7.48)

Նկ.105. Թեք հարթությամբ

Այս դեպքում արագացման պրոյեկցիան կա-

վար նետված դրված

րող է լինել դրական, բացասական կամ զրո՝ կախ-

մարմնի շարժումը

ված tga-ի և n-ի միջև առնչությունից:

ա) Եթե tga > n, ապա a3x > 0 և մարմինը կատարում է հավասարաչափ

արագացող շարժում:

բ) Եթե tga = n, ապա a3x = 0, մարմինը շարժվում է ուղղագիծ և հավասա-

րաչափ:

գ) tga < n

դեպքում a3x < 0© մարմինը կատարում է հավասարաչափ

դանդաղող շարժում և որոշ ժամանակ անց կանգ է առնում թեք հարթության

վրա:

Թեք հարթությամբ մարմնի սահելու տարբեր դեպքերում ստացված

արագացման (7.46) (7.47) և (7.48) արտահայտությունները շփման գործակցի

և a անկյան սահմանային արժեքների դեպքում համընկնում են:

ԳԼՈՒԽ

VII. ԲՆՈՒԹՅԱՆ ՈՒԺԵՐԸ

121

Եթե, օրինակ« n = 0, ապա« համաձայն (7.46) և (7.48) բանաձևերի, արա-

գացումը նույնն է՝

a1x = a3x= gsina:

Եթե a = 0, ապա

a1x= a2x= a3x= -ng:

Սա մարմնի արագացման պրոյեկցիան է շարժման ուղղության վրա հո-

րիզոնական տեղամասում (տե°ս ¢38):

Եվ եթե a = 90, ապա

a1x = a3x=g:

Այս դեպքում N = 0, այսինքն՝ մարմինը պոկվում է հենարանից և ազատ

անկում կատարում:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1.Ինչի±ց է կախված թեք հարթությամբ մարմնի շարժման բնույթը: 2. Ո±ր դեպքում թեք հար-

թության վրա մարմինը կմնա դադարի վիճակում: 3. Որքա±ն է թեք հարթությամբ դեպի վեր

նետած մարմնի արագացման մոդուլը: 4. Որքա±ն է թեք հարթությամբ դեպի վար նետած

մարմնի արագացման մոդուլը: 5. Ի՞նչ պայմանի դեպքում թեք հարթությամբ շարժվող

մարմնի արագացումը կախված չի լինի շարժման ուղղությունից:

ՀԱՇՎԱՐԿՄԱՆ ՈՉ ԻՆԵՐՑԻԱԼ

40.

ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐ: ԻՆԵՐՑԻԱՅԻ ՈՒԺ

Մինչ այժմ մարմինների շարժումները դիտարկել ենք միայն իներցիալ

հաշվարկման համակարգերում« որտեղ ճիշտ են դինամիկայի օրենքները,

որոնցից հետևում է« որ

1. ազատ մարմինը պահպանում է իր շարժման վիճակը,

2. մարմնի արագացումը հետևանք է նրա վրա ազդող ուժի,

3. եթե կա ազդեցություն, ապա կա նաև հակազդեցություն:

Ինչպես նշեցինք ¢24-ում, իներցիալ հաշվարկման համակարգի նկատ-

մամբ արագացմամբ շարժվող հաշվարկման համակարգերում դինամիկայի

օրենքները խախտվում են: Այն հաշվարկման համակարգերը, որտեղ ճիշտ

չեն դինամիկայի օրենքները, կոչվում են ոչ իներցիալ հաշվարկման հա-

մակարգեր:

Պարզենք« թե ինչ վարք են դրսևորում մարմինները և ինչ երևույթներ են

դիտվում ոչ իներցիալ հաշվարկման համակարգերում:

Համընթաց շարժվող ոչ իներցիալ համակարգեր: Ոչ իներցիալ հա-

մակարգերի համար սկզբունքային նշանակություն ունեցող բոլոր օրինաչա-

փությունները կարելի է ստանալ՝ դիտարկելով ամենապարզ դեպքը, երբ ոչ

իներցիալ հաշվարկման համակարգն իներցիալ համակարգի նկատմամբ կա-

տարում է ուղղագիծ հավասարաչափ արագացող շարժում:

Դիցուք՝ հորիզոնական ուղղությամբ v₀ արագությամբ շարժվող հար-

թակն սկսում է արգելակել (նկ. 106, ա): Հարթակի վրա կա m զանգվածով չոր-

122

ՖԻԶԻԿԱ 10

Նկ.106. Չորսուի վարքը հարթակի արգելակման ժամանակ:

սու, որն առանց շփման կարող է սահել նրա վրայով: Դիտարկենք չորսուի

շարժումը Երկրի հետ կապված XOY իներցիալ հաշվարկման համակարգում:

Չորսուի վրա ազդող ծանրության և հակազդեցության ուժերը համակշռված

են« և այս համակարգում չորսուն շարժվում է իներցիայով՝ v₀ հաստատուն

արագությամբ:

Հարթակի հետ կապված X'O'Y' համակարգը XOY համակարգի նկատ-

մամբ կատարում է

արագացումով հավասարաչափ արագացող շարժում,

ուստի՝ արգելակման սկզբից t ժամանակ անց նրա արագությունը՝

v=v0+a0t:

(7.49)

Համաձայն արագությունների գումարման կանոնի՝ չորսուի vl արագու-

թյունը X'O'Y համակարգի նկատմամբ t պահին՝

vl = v0 v = v

a0t)

a0t«

(38.2)

Այսինքն՝ շարժվող համակարգի նկատմամբ չորսուն կատարում է հավասա-

րաչափ արագացող շարժում« թեև այստեղ էլ նրա վրա ազդող ուժերը հա-

մակշռված են:

Դիտարկենք մի իրավիճակ ևս: Սկզբում հարթակը չորսուի հետ դադարի

վիճակում է: Հետո այն սկսում է շարժվել

արագացմամբ: Չորսուն ուժաչա-

փով ամրացված է հարթակին, ինչպես պատկերված է 107« ա նկարում: Երբ

հարթակն սկսում է շարժվել, ուժաչափի զսպանակը ձգվում է« և չորսուն

արագացմամբ շարժվում է հարթակի հետ (նկ. 107« ա):

XOY համակարգում Ff6 ուժի ազդեցությամբ չորսուն կատարում է հա-

վասարաչափ արագացող շարժում, հետևաբար, համաձայն Նյուտոնի II

օրենքի, առաձգականության ուժը՝

Ff6= ma₀:

(38.3)

Այլ է պատկերը X'O'Y' համակարգում: Ուժաչափը ցույց է տալիս, որ չոր-

սուի վրա ազդում է նույն Ff6 ուժը, սակայն այն դադարի վիճակում է:

Այսինքն՝ մի դեպքում մարմնի վրա ուժ չի ազդում, բայց այն շարժվում

է արագացումով: Երկրորդ դեպքում ուժ ազդում է, բայց մարմինը շարունա-

Նկ.107. Չորսուի վարքը, երբ հարթակն սկսում է շարժվել արագացումով:

ԳԼՈՒԽ

VII. ԲՆՈՒԹՅԱՆ ՈՒԺԵՐԸ

123

կում է մնալ դադարի վիճակում: Երկու դեպքում էլ դինամիկայի օրենքները

խախտվում են:

Դիտարկված օրինակների հիման վրա կարելի է սահմանել կանոն, որը

հնարավորություն կտա Նյուտոնի II օրենքից օգտվել նաև ոչ իներցիալ հա-

մակարգերում:

Առաջին օրինակում չորսուի վրա ուժեր չեն ազդում, բայց X'O'Y' համա-

կարգի նկատմամբ այն շարժվում է

-a

արագացումով: Այսինքն՝ մարմնի

վարքն այնպիսին է, ինչիսին կլիներ իներցիալ հաշվարկման համակարգում,

եթե նրա վրա ազդեր

-ma

ուժ, որն էլ նրան կհաղորդեր այդ արագացումը:

Երկրորդ օրինակում X'O'Y' համակարգի նկատմամբ մարմինը դադարի

վիճակում է, երբ նրա վրա F

f6 =

0 ուժ է ազդում: Այս դեպքում, կարծես,

մարմնի վրա ազդում է ևս մի՝

-ma

ուժ« որը համակշռում է առաձգականու-

թյան ուժի ազդեցությունը: I = - ma₀ վեկտորը, որտեղ

-ն ոչ իներցիալ

հաշվարկման համակարգի արագացումն է իներցիալի նկատմամբ, ան-

վանում են իներցիայի ուժ:

Օգտվելով իներցիայի ուժի հասկացությունից՝ դինամիկայի հիմնական

օրենքը կարելի է տարածել ոչ իներցիալ հաշվարկման համակարգերի վրա՝

ներկայացնելով այն հետևյալ կերպ՝

F + I = ma,

(7.52)

որտեղ F -ը մարմնի՝ այլ մարմինների հետ փոխազդեցության ուժերի գու-

մարն է, I -ն՝ իներցիայի ուժը, իսկ a -ն՝ մարմնի արագացումը ոչ իներցիալ

հաշվարկման համակարգի նկատմամբ: Այսպիսով՝ մարմնի վրա ազդող

փոխազդեցության և իներցիայի ուժերի գումարը հավասար է մարմնի

զանգվածի և ոչ իներցիալ համակարգում նրա ձեռք բերած արագացման

արտադրյալին:

Եթե Նյուտոնի I և II օրենքները հնարավորություն են տալիս լուծելու մե-

խանիկայի հիմնական խնդիրը միայն իներցիալ հաշվարկման համակարգե-

րում, ապա հաշվի առնելով իներցիայի ուժերը, կարող ենք լուծել հիմնական

խնդիրը նաև ոչ իներցիալ համակարգերում՝ օգտվելով նույն օրենքներից:

Դիտարկենք մի պարզ օրինակ: Գնացքը, որի վագոնի առաստաղից

կախված է մաթեմատիկական ճոճանակ, հորիզոնական տեղամասում շարժ-

վում է

հաստատուն արագացմամբ: Որոշենք ուղղաձիգի հետ ճոճանակի

թելի կազմած a անկյունը և թելի լարման T ուժը:

Երկրի հետ կապված իներցիալ հաշվարկման համակարգում ճոճանա-

կի գնդիկը գնացքի հետ կատարում է հավասարաչափ արագացող շարժում:

Նրան արագացում հաղորդում է ծանրության և թելի լարման ուժերի համազո-

րը (նկ. 108« ա), հետևաբար, համաձայն Նյուտոնի II օրենքի«

mg + T = ma₀:

(7.53)

Վագոնի հետ կապված ոչ իներցիալ հաշվարկման համակարգում« բա-

ցի ծանրության և թելի լարման ուժերից« ազդում է նաև իներցիայի I = - ma₀

ուժը (նկ. 108« բ): Այս համակարգի նկատմամբ գնդիկը դադարի վիճակում է,

հետևաբար, համաձայն Նյուտոնի I օրենքի«

124

ՖԻԶԻԿԱ 10

Նկ©108© ա© Իներցիալ համակարգում գնդիկի վրա ազդում են ծանրության և

թելի լարման ուժերը« բ© ոչ իներցիալ համակարգում գնդիկի վրա ազդում են

ծանրության, թելի լարման և իներցիայի ուժերը:

mg + T + I = 0:

(7.54)

Այժմ, եթե իներցիայի ուժը (7.54) արտահայտության ձախ մասից տեղա-

փոխենք աջ մաս, ապա կստանանք նույն՝(7.53) հավասարումը: Նշանակում

է՝ երկու համակարգում էլ մարմնի շարժումը նկարագրվում է նույն հավասա-

րումով և, բնականաբար (7.53) և (7.54) բանաձևերից a-ի և T-ի համար ստա-

նում ենք նույն արժեքները.

tga=a0 g, T

(mg)

+(ma)2=m g2+a2:

Իներցիայի ուժերն օժտված են մի շարք առանձնահատկություններով,

որոնցով տարբերվում են փոխազդեցության ուժերից: Այսպես՝

ա) իներցիայի ուժը պայմանավորված է ոչ թե մարմինների փոխազդե-

ցությամբ, այլ հաշվարկման համակարգի արագացմամբ, ուստի՝ այս ուժերի

վրա Նյուտոնի III օրենքը չի տարածվում«

բ) իներցիայի ուժը մարմնի վրա ազդում է միայն ոչ իներցիալ հաշվարկ-

ման համակարգում, մինչդեռ փոխազդեցության ուժերն ազդում են բոլոր հա-

մակարգերում«

գ) ոչ իներցիալ հաշվարկման համակարգում մարմինների կամայական

համակարգի համար իներցիայի ուժերն արտաքին ուժեր են, հետևաբար՝

պահպանման օրենքներն այստեղ չեն գործում«

դ) ծանրության ուժի նման իներցիայի ուժն ուղիղ համեմատական է

մարմնի զանգվածին, հետևաբար՝ միայն այդ ուժի ազդեցությամբ բոլոր մար-

մինները ձեռք են բերում միատեսակ արագացում:

Իներցիայի ու ծանրության ուժերի նմանությունը վերը նշվածով չի սահ-

մանափակվում: Ավելին, դիտելով մարմնի շարժումը տվյալ հաշվարկման

համակարգում, և չիմանալով՝ այն իներցիալ է, թե ոչ, հնարավոր չէ պարզել,

մարմնի վրա ազդում է ձգողությա±ն, թե՞ իներցիայի ուժ: Սա նշանակում է,

որ մարմնի շարժման վրա թողած ազդեցության տեսանկյունից՝ հաշվարկման

համակարգի արագացող համընթաց շարժումը համարժեք է ձգողության ուժի

առաջացման, որը հավասար է մարմնի զանգվածի և իներցիալ հաշվարկման

համակարգի նկատմամբ տվյալ համակարգի արագացման արտադրյալին՝

հակառակ նշանով: Այս դրույթն անվանում են ձգողության և իներցիայի ու-

ժերի համարժեքություն:

ԳԼՈՒԽ

VII. ԲՆՈՒԹՅԱՆ ՈՒԺԵՐԸ

125

Այսպիսով՝ ոչ իներցիալ հաշվարկման համակարգերում գործող իներ-

ցիայի ուժերը նույնքան իրական են, որքան փոխազդեցության ուժերը: Երբ

օրինակ« մեքենան կտրուկ արգելակում է, ամրագոտիների վրա իրապես

զգացվում է այդ ուժը: Տիեզերանավի շարժման սկզբում տիեզերագնացն

իրապես զգում է հենաթոռին սեղմող իներցիայի ուժը: Հորիզոնական ուղղու-

թյամբ արագացումով շարժվող վագոնում և ուղղաձիգ ուղղությամբ արագա-

ցումով շարժվող վերելակում կախված ճոճանակի թելի լարման ուժը« իրոք«

հավասար է ձգողության և իներցիայի ուժերի գումարին:

ՊՏՏՎՈՂ ՈՉ ԻՆԵՐՑԻԱԼ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐ:

ԿՈՐԻՈԼԻՍԻ ՈՒԺ: ՈՉ ԻՆԵՐՑԻԱԼ

41.

ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐՈՒՄ ԴԻՏՎՈՂ ԵՐԵՎՈՒՅԹՆԵՐ

Այժմ քննարկենք մարմինների շարժումը հաշվարկման համակարգերում,

որոնք իներցիալ համակարգերի նկատմամբ կատարում են պտտական շար-

ժում: Պարզենք իներցիայի ուժերը, որոնք ազդում են այս համակարգերում:

Հասկանալի է, որ դա ավելի դժվար կլինի անել, քան համընթաց շարժվող

համակարգերի դեպքում, որովհետև այս համակարգի տարբեր կետեր ունեն

տարբեր արագացումներ: Դիտարկենք երկու դեպք, երբ մարմինը պտտվող

համակարգի նկատմամբ դադարի վիճակում է և շարժվում է այդ համակարգի

նկատմամբ:

1. Իներցիայի ուժերը, երբ պտտվող համակարգում մարմինը դադա-

րի վիճակում է: Դիցուք՝ հաշվարկման համակարգը (սկավառակը) պտտվում

է հաստատուն ~ անկյունային արագությամբ,

իսկ մարմինը սկավառակի նկատմամբ դա-

դարի վիճակում է պտտման առանցքից r հե-

ռավորությամբ կետում (նկ. 109): Այս դեպքում

իներցիայի ուժը պետք է համակշռի այլ մար-

Նկ.109© Իներցիայի

մինների

ազդող բոլոր ուժերը: Փոխազդե-

կենտրոնախույս ուժը պտտվող ցության ուժերի համազորը գտնելու համար

համակարգում

կարելի է մարմնի շարժումը նախ դիտարկել

իներցիալ հաշվարկման համակարգում« որտեղ մարմինը կատարում է հավա-

սարաչափ շրջանագծային շարժում: Հետևաբար՝ փոխազդեցության ուժերի

համազորն ուղղված է մարմնի դիրքով անցնող շառավղով դեպի պտտման

առանցքը, իսկ նրա մոդուլը՝

F = mau4= m~2r :

(7.55)

Ի տարբերություն համընթաց շարժվող ոչ իներցիալ համակարգերում

գործող իներցիայի ուժի, կենտրոնախույս ուժի և° ուղղությունը« և° մեծությունը

կախված են մարմնի դիրքից:

Պտտվող համակարգի օրինակ է Երկիրը« որի հետ կապված ոչ իներ-

ցիալ հաշվարկման համակարգում, նրա մակերևույթին մարմնի վրա ազդում

է երկու ուժ (նկ. 110). տիեզարական ձգողության ուժը և իներցիայի ՙձգողու-

126

ՖԻԶԻԿԱ 10

թյան՚՝ կենտրոնախույս ուժը, որի մոդուլը՝

= ~2Rcos

{«

(7.56)

որտեղ m-ը մարմնի զանգվածն է, ~-ն՝ Երկրի

օրական պտույտի անկյունային արագությու-

նը, R-ը՝ Երկրի շառավիղը, {-ն՝ տվյալ վայրի

աշխարհագրական լայնությունը:

Տիեզերական ձգողության ու իներցիա-

յի ուժերի համազորն էլ հենց այն ուժն է, որով

Երկիրը ձգում է մակերևույթին մոտ մարմիննե-

րը: Այդ ուժն անվանում են ծանրության ուժ:

Նկ.110. Ծանրության ուժի

ուղղությունը

Այդ ուժի ուղղությամբ է ուղղվում ուղղալարը,

այդ ուժի ազդեցության տակ է տեղի ունենում մարմինների ազատ անկումը:

Ծանրության ուժը հավասար է տիեզերական ձգողության ուժին միայն բևեռ-

ներում, որտեղ ~ = 0: Երկրի մնացած վայրերում այն ավելի փոքր է, քան տի-

եզերական ձգողության ուժը: Նշենք նաև, որ ամենուր, բացի բևեռներից ու

հասարակածից, ծանրության ուժն ուղղված չէ դեպի Երկրի O կենտրոն, այլ

փոքր-ինչ շեղված է դեպի հասարակածը (O₁կետ): Այդ ուղղությունն ընդուն-

ված է որպես ուղղաձիգ ուղղություն, իսկ նրա ուղղահայաց հարթությունը՝ հո-

րիզոնական հարթություն:

Իր առանցքի շուրջը Երկրի համեմատաբար դանդաղ պտտման հե-

տևանքով ծանրության և ձգողության ուժերի տարբերությունը շատ փոքր է:

Երկրի բևեռներում դրանք համընկնում են, իսկ միջօրեականով դեպի հասա-

րակած շարժվելիս դրանց տարբերությունն աստիճանաբար աճում է: Այդ ու-

ժերի ամենամեծ տարբերությունը դիտվում է հասարակածում, որտեղ դրանց

մոդուլների տարբերությունը չի գերազանցում 0«35 %-ը: Հաշվի առնելով այս

հանգամանքը՝ գործնականում հաճախ ընդունում են, որ ծանրության ուժը

հավասար է Երկրի ձգողության ուժին և նրա մոդուլը որոշում են տիեզերա-

կան ձգողության օրենքից:

2. Իներցիայի ուժերը, երբ պտտվող համակարգում մարմինը շարժ-

վում է: Եթե մարմինը շարժվում է պտտվող համակարգում, ապա միայն

փոխազդեցության ուժը և իներցիայի կենտրոնախույս ուժը բավարար չեն

Նյուտոնի օրենքներով մարմնի շարժումը նկարագրելու համար: Այս դեպքում

ի հայտ է գալիս իներցիայի մի ուժ ևս, որը կախված է մարմնի արագությունից:

Դա ցույց տալու համար դիտարկենք այսպիսի մի օրինակ: Հորիզոնա-

կան տեղադրված պտտվող սկավառակի կենտրոնից գնդիկը գլորենք OA ուղ-

ղությամբ: Երկրի հետ կապված հաշվարկման համակարգում գնդիկի վրա

ազդող ուժերը համակշռված են, ուստի՝ այն կշարժվի իներցիայով OA ուղ-

ղի երկայնքով (նկ. 111): Սկավառակի հետ կապված հաշվարկման համա-

կարգում գնդիկը շարժվում է նկարում պատկերված կոր հետագծով: Ուրեմն՝

պտտվող համակարգի գնդիկը կատարում է կորագիծ շարժում: Քանի որ գնդի-

կի արագության մոդուլը հաստատուն է, ապա այդ հետագծի կամայական

ԳԼՈՒԽ

VII. ԲՆՈՒԹՅԱՆ ՈՒԺԵՐԸ

127

կետում գնդիկը կունենա արագությանն ուղղահայաց

արագացում: Բայց այդ ուղղությամբ գնդիկի վրա ոչ

մի ուժ չի ազդում: Նշանակում է՝ պտտվող համակար-

գում գնդիկի վրա ազդում է ևս մի իներցիայի ուժ, որն

ուղղահայաց է գնդիկի արագությանը: Իներցիայի

այդ լրացուցիչ ուժը, ի պատիվ ֆրանսիացի գիտնա-

կան Գուստավ Կորիոլիսի (1792 -1843 թթ.) անվանում

են Կորիոլիսի ուժ: Կորիոլիսը ցույց է տվել, որ այդ

Նկ.111. Կորիոլիսի ուժի

ուժի մոդուլը հավասար է մարմնի զանգվածի, համա-

առաջացումը

կարգի պտտման անկյունային արագության և այդ

համակարգի նկատմամբ մարմնի արագության կրկնապատիկ արտադրյա-

լին.

Iu =2m~v:

(7.57)

Կորիոլիսի ուժն ուղղահայաց է արագությանը և ուղղված է այնպես, որ

եթե արագացման վեկտորը 90-ով պտտենք համակարգի պտույտի ուղղու-

թյամբ, ապա նրա ուղղությունը կհամընկնի արագության ուղղությանը: Հե-

տևաբար՝ եթե արագության ուղղությունը փոխվի հակադիրի, ապա արագաց-

ման ուղղությունը ևս կփոխվի հակադիրի: Արագացման ուղղությունը կփոխվի

հակադիրի նաև այն դեպքում, երբ հակադիրի փոխվի համակարգի պտտման

ուղղությունը: Կորիոլիսի ուժը տարբերվում է մեզ արդեն հայտնի իներցիայի

ուժերից. այն կախված է պտտվող համակարգի նկատմամբ մարմնի արագու-

թյունից:

Նշենք նաև, որ պտտվող համակարգերում շարժվող մարմնի վրա ազ-

դում է ոչ միայն Կորիոլիսի, այլ նաև իներցիայի կենտրոնախույս ուժը, այն-

պես, ինչպես կազդեր, եթե մարմինը դադարի վիճակում լիներ:

Երկրի հետ կապված հաշվարկման համակարգի իներցիալության

մասին: Փորձով պարզենք՝ իներցիա±լ է արդյոք Երկրի հետ կապված հաշ-

վարկման համակարգը: Ընդհանրապես« համակարգի իներցիալությունը

բացահայտելու համար պետք է պարզել՝ մարմնի արագացումը հավասա±ր

արդյոք նրա վրա ազդող այլ մարմինների ուժերի համազորի և մարմ-

նի զանգվածի հարաբերությանը: Եթե պարզվի, որ կա որևէ արագացում,

որը պայմանավորված չէ այլ մարմինների հետ փոխազդեցության ուժերով,

ապա կնշանակի, որ համակարգը ոչ իներցիալ է« և այդ արագացման պատ-

ճառը իներցիայի ուժերն են: Երկրի հետ կապված

հաշվարկման համակարգի ոչ իներցիալությունը,

այսինքն՝ նրա պտտվելը հաշվարկման իներցիալ հա-

մակարգի նկատմամբ, 1851 թ. փորձով ապացուցել

է ֆրանսիացի ֆիզիկոս Ժան-Բեռնար Լեոն Ֆուկոն

(1819-1868 թթ.): Փորձում դիտելով շատ երկար (մոտ

67 մ) մաթեմատիկական ճոճանակի տատանումները՝

Ֆուկոն նկատել է, որ ճոճանակի տատանման հար-

Նկ.112© Ֆուկոյի ճոճա-

թությունը պտտվում է ժամսլաքի պտտման ուղղու-

նակի բեռի հետագիծը

թյամբ: Ճոճանակի բեռի հետագիծը Երկրի հետ կապ-

128

ՖԻԶԻԿԱ 10

ված հաշվարկման համակարգում պատկերված է 112-րդ նկարում (ակնառու

լինելու համար մի տատանման ընթացքում տատանումների հարթության

պտույտի անկյունը մեծացված է): Ֆուկոյի փորձը կատարվել է նաև այլ վայ-

րերում, այդ թվում՝ նաև հարավային բևեռում: Պարզվել է, որ Երկրի բևեռնե-

րին մոտենալիս տատանումների հարթության պտույտի արագությունը մե-

ծանում է, իսկ հենց բևեռում հավասար է լինում 2r ռադ/օր: Նշանակում է՝

բևեռներում տատանումների հարթությունը Երկրի նկատմամբ պտտվում է

ճիշտ նույն արագությամբ, ինչ արագությամբ Երկիրը պտտվում է ՙԱրև-աստ-

ղեր՚ համակարգի նկատմամբ:

Այսպիսով՝ ՙԱրև-աստղեր՚ համակարգում ճոճանակի բեռին արագա-

ցում հաղորդում են միայն այլ մարմինների հետ փոխազդեցության ուժերը:

Սա ապացույց է այն բանի, որ ՙԱրև-աստղեր՚ համակարգն իներցիալ է: Այս

փորձը միաժամանակ ապացուցում է, որ Երկիրը ոչ իներցիալ համակարգ է,

քանի որ պտտվում է իներցիալ համակարգի նկատմամբ: Բեռի տատանում-

ների ժամանակ նրա վրա ազդում է Կորիոլիսի ուժը, այդ պատճառով էլ շարժ-

ման ուղղությունը փոխելիս բեռի հետագծի կորության ուղղությունը փոխվում

է: Դրանով էլ պայմանավորված է հետագծի ՙաստղաձևությունը՚:

Բացի Ֆուկոյի ճոճանակի փորձից՝ Երկրի վրա նկատվում են նաև այլ երևույթներ,

որոնք կապված են Կորիոլիսի ուժի ազդեցության հետ: Օրինակ՝ հյուսիսային կի-

սագնդում հարավից դեպի հյուսիս շարժվող մարմինների վրա ազդող Կորիոլիսի

ուժն ուղղված է դեպի արևելք: Այդ ուժը մասնավորապես ազդում է դեպի հյուսիս հո-

սող գետերի ջրի վրա, որի հետևանքով դրանց աջ ափերն ավելի զառիթափ են լինում,

քան ձախ ափերը: Հակառակը« դեպի հարավ հոսող գետերի ձախ ափերն են ավելի

զառիթափ: Այս օրինաչափությունը հայտնի է ՙԲեռի օրենք՚ անվանումով՝ ի պատիվ

ռուս գիտնական Կառլ Բեռի (1792-1876 թթ.), ով առաջինն է ուշադրություն դարձ-

րել այդ երևույթի վրա: Նույն պատճառով հյուսիսային կիսագնդում զուգահեռ զույգ

երկաթուղիների աջ ռելսերն ավելի արագ են մաշվում:

Կորիոլիսի ուժով են բացատրվում նաև մթնոլորտային տարբեր երևույթներ, օրինակ՝

ցիկլոնների ու անտիցիկլոնների առաջացումը:

Խնդիրների լուծման օրինակներ

1. k₁ և k₂ կոշտությամբ երկու զսպանակներ միացված են հաջորդաբար, ինչ-

պես ցույց է տրված նկարում: Որոշեք ստացված միացյալ զսպանակի կոշտու-

թյունը:

Լուծում: Ստացված զսպանակի k կոշտությունը որո-

շելու համար նրա մի ծայրն ամրացնենք պատից և

մյուս ծայրից ձգենք F ուժով: Զսպանակներից յուրա-

քանչյուրի երկարությունը չդեֆորմացված վիճակում«

համապատասխանաբար« նշանակենք l₁ և l₂: Միացյալ

զսպանակի երկարությունը կլինի՝ l₁ + l₂: Ենթադրենք՝

ll , II-ինը՝ l2l

: Միացյալ

ll +l2l

, ուստի՝ նրա երկարացումը՝

x = ll1 + ll2 - (l1+ l2) = (l

l1 - 1) + (ll

- 2

ԳԼՈՒԽ

VII. ԲՆՈՒԹՅԱՆ ՈՒԺԵՐԸ

129

Բայց ll l =x

-ը I

զսպանակի

երկարացումն

է, իսկ ll

-l

-ը՝ II-ի

երկարացումը: Ուրեմն՝ հաջորդաբար միացված զսպանակների համակարգի

երկարացումը առանձին զսպանակների երկարացումների գումարն է՝ x = x₁ + x₂ :

II զսպանակի վրա աջ կողմից ազդում է F ուժը: Եթե այն հավասարակշռության

վիճակում է, ապա նույն մոդուլով ուժ հակառակ ուղղությամբ պետք է ազդի նրա

ձախ ծայրին: Այսպիսի ուժով II զսպանակի վրա ազդում է I զսպանակը, ուրեմն,

Նյուտոնի երրորդ օրենքի համաձայն, II զսպանակն էլ ձգում է I-ին նույնպիսի

F ուժով: Այսինքն՝ հաջորդական միացման դեպքում միացյալ զսպանակի և

առանձին զսպանակների վրա ազդող ուժերն իրար հավասար են՝ F = F₁ = F₂ :

Հուկի օրենքը կիրառենք զսպանակներից յուրաքանչյուրի համար. F = kx, F₁ = k₁x₁,

F₂ =k₂x₂, որտեղից, հաշվի առնելով F=F₁= F₂ առնչությունը, զսպանակների

երկարացումների համար կունենանք՝ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ կամ k = k₁k₂ /(k₁ + k₂):

Պատասխան՝ k=k₁k₂/(k₁+ k₂):

2. k₁ և k₂ կոշտությամբ երկու զսպանակներ միացված են զուգահեռաբար,

ինչպես ցույց է տրված նկարում: Որոշեք ստացված զսպանակի կոշտությունը:

Լուծում: Զուգահեռ միացման դեպքում, երբ միացյալ զսպանակը

երկարում է x - ով, զսպանակներից յուրաքանչյուրը նույնպես երկա-

րում է x - ով (տես նկարը)՝ x₁ =x₂=x: AB ձողի վրա ազդում է երեք ուժ՝ F

ուժը՝ դեպի ներքև և զսպանակների ազդող F₁ և F₂ ուժերը՝ դեպի վերև:

Ձողի հավասարակշռության պայմանից՝ F = F₁ + F₂ : Եթե ձողի վրա

զսպանակներն ազդում են F₁ և F₂ ուժերով, ապա, Նյուտոնի երրորդ

օրենքի համաձայն, ձողը զսպանակների վրա ազդում է նույն մոդուլով

և հակառակ ուղղված ուժերով: Հուկի օրենքից՝ F = kx, F₁ = k₁x,

F₂ =k₂x, ուստի՝ kx=k₁x+ k₂x, որտեղից՝ k=k₁+k₂:

Պատասխան՝ k=k₁+k₂ :

3. Երկրի և Լուսնի կենտրոնների հեռավորությունը հավասար է 60 երկրային

շառավղի, իսկ Լուսնի զանգվածը 81 անգամ փոքր է Երկրի զանգվածից:

Նրանց կենտրոնները միացնող ուղղի ո՞ր կետում մարմնի վրա Երկրի և Լուսնի

ազդող ուժերը միմյանց կհամակշռեն:

Լուծում: Մարմնի վրա Երկրի և Լուսնի ազդող

ուժերը պատկերված

են նկարում: Քանի որ

այդ ուժերն ուղղված

են միմյանց հակադիր,

ապա դրանք իրար կհամակշռեն, եթե դրանց մոդուլները հավասար են: Մարմնի

զանգվածը նշանակենք m -ով, իսկ հեռավորությունը Լուսնից՝ R₀ -ով, այդ դեպքում

մարմնի հեռավորությունը Երկրից կլինի՝ 60R - R₀ , որտեղ R-ը Երկրի շառավիղն է:

Օգտվելով տիեզերական ձգողության օրենքից՝ կարող ենք գրել՝

(60R R

)

Նկատի ունենալով M_Ե = 81M_Լ պայմանը՝ կստանանք՝ 60R - R₀ =  9R₀ « կամ

R₀=6R: Հետաքրքիր է նշել, որ մյուս լուծումը՝ R₀=-7,5R , համապատասխանում

է Լուսնից աջ ընկած A կետին, որտեղ մարմնի վրա Երկրի և Լուսնի ազդող ուժերը

մոդուլներով հավասար են, սակայն ունեն նույն ուղղությունը, ուստի՝ այդ կետում

մարմինը չի կարող մնալ հավասարակշռության վիճակում:

Պատասխան՝ R₀=6R:

130

ՖԻԶԻԿԱ 10

4. Որքանո±վ է փոքրանում ավտոմեքենայի կշիռն ուռուցիկ կամրջի վերին

կետում, եթե կամրջի կորության շառավիղը 100 մ է, մեքենայի զանգվածը՝

2000 կգ, իսկ շարժման արագությունը՝ 20 մ/վ:

Լուծում: Շարժվող ավտոմեքենայի վրա ազդող ուժերը

պատկերված են նկարում: Նյուտոնի երկրորդ օրենքն

ավտոմեքենայի համար

արտահայտվում

է հետևյալ

կերպ՝

² =

mg N,

որտեղ v -ն մարմնի արագությունն է կամրջի վերին կետում: Քանի որ մեքենայի

կշիռը դադարի վիճակում հավասար է mg ծանրության ուժին, ապա ավտո-

մեքենայի կշռի նվազումը՝

8000G:

Պատասխան՝ DP=8000 Ն:

5. Շարժիչն անջատելուց հետո ի՞նչ հեռավորություն կանցնի 10 մ/վ արա-

գությամբ շարժվող

ավտոմեքենան մինչև կանգ առնելը: Ավտոմեքենայի

անիվների և ճանապարհի միջև շփման գործակիցը 0,04 է:

Լուծում: Մարմնի վրա ազդող ուժերը և կոորդինա-

տային առանցքները պատկերված են նկարում: Մարմ-

նի շարժման նկարագրության կոորդինատային եղա-

նակի դեպքում Նյուտոնի երկրորդ օրենքը կարտա-

հայտվի հետևյալ կերպ՝ F_x = ma_x , F_y = ma_y , որտեղ

F_x-ը և F_y-ը մարմնի վրա ազդող բոլոր ուժերի պրոյեկցիաների գումարներն են«

համապատասխանաբար« X և Y առանցքների վրա: Ուրեմն՝

N_x + Fշփx + mg_x = ma_x, N_y + Fշփy + mg_y = ma_y:

Հաշվի առնելով, որ N_x = 0, mg_x = 0, Fշփx =- nN, N_y = N, mgy =-mg, Fշփy=0, և այն

հանգամանքը, որ մարմինը շարժվում է X առանցքով, ուստի՝ a_y = 0, կստանանք՝

-nN = ma_x, N-mg = 0« և a_x = -ng:

Ավտոմեքենայի s_x տեղափոխությունը որոշենք

v2 v

բանաձևից: Հաշվի առնելով, որ v0x = v₀ և« որ կանգ առնելու պահին v_x = 0, կստա-

նանք՝

127, 6 r:

2ng

Պատասխան՝ s_x=127,6 մ:

6. Դահուկորդն սկսում է ցած սահել l = 50 մ երկարություն ունեցող թեք հար-

թությամբ, որը հորիզոնի հետ կազմում է a=45 անկյուն: Ինչքա±ն կտևի վայր-

էջքը, եթե շփման գործակիցը 0,2 է:

Լուծում: Դահուկորդի վրա ազդող ուժերը պատկերված են նկարում: Օգտվենք

Նյուտոնի երկրորդ օրենքի սկալյար տեսքից՝ F_x = ma_x, Fy = ma_y: Նկատենք, որ

mg_x = mg sin a, mg_y =-mg cos a, N_x = 0, N_y = N, Fշփx=-nN, Fշփy = 0, a_y = 0 և a_x= a,

ուստի՝ Նյուտոնի երկրորդ օրենքն արտահայտող հավասարումների համակարգը

ԳԼՈՒԽ

VII. ԲՆՈՒԹՅԱՆ ՈՒԺԵՐԸ

131

կարելի է գրել հետևյալ կերպ՝ mgsina-nN = nma, N-mgcosa = 0:

Լուծելով հավասարումների համակարգը՝ կստանանք՝ a = g(sina-

ncosa):

Առանց սկզբնական արագության շարժման դեպքում t

ժամանակում մարմնի անցած ճանապարհը՝ s = at²/2 « որտեղից՝

2s a : Վայրէջքի ընթացքում դահուկորդի անցած ճանապարհը

l է, ուստի՝

t =

4a:

g(sina ncosa)

Պատասխան՝ 4 վ:

7. Թելերով կապված 2 կգ զանգվածով երեք միատեսակ բեռներ շարժվում

են սեղանի վրայով չորրորդ՝ նույնպիսի բեռի ազդեցությամբ, որը կախված է

անկշիռ, առանց շփման պտտվող ճախարակի վրայով գցված թելից: Սեղանի

հետ բեռների շփման գործակիցը 0,2 է: Գտնել բեռների արագացումները և

4-րդ բեռից ամրացված թելի ձգվածության ուժը:

Լուծում: Առաջին երեք բեռներից յուրաքանչ-

յուրի վրա« բացի նկարում պատկերված ուժից

ազդում են նաև mg ծանրության ուժը, մոդուլով

դրան հավասար հենարանի N հակազդեցու-

թյան ուժը և շարժմանը հակառակ ուղղված nN սահքի շփման ուժը, որոնք

չեն պատկերվել՝ գծագիրը չբարդացնելու համար:

Քանի որ ճախարակն անկշիռ է և առանցքում շփումը բացակայում է, ապա

T₄=T₃: Եվ քանի որ թելերը ձգվող չեն, ապա բոլոր բեռների արագացումնե-

րի մոդուլներն իրար հավասար են:

Կազմենք համակարգի բոլոր մարմինների շարժման հավասարումները՝

T1 nm1g=m a,

]

]_TTnm =ma,

^[T3 T

m g=m a,

]

m g T4=ma:

Անդամ առ անդամ գումարելով բոլոր հավասարումները և հաշվի առնելով, որ

m₁=m₂=m₃=m₄=m, կստանանք՝ mg-3nmg=4ma, որտեղից

3n)g

մ/վ²:

Արագացման արժեքը տեղադրելով չորրորդ հավասարման մեջ՝ կստանանք՝

4 =

9mg

Ն:

Նկատենք, որ այս խնդրում հավասարումների թիվը կրճատելու հնարավորություն

կա: Գումարենք անդամ առ անդամ առաջին երեք հավասարումները՝

Ճիշտ այսպիսի հավասարում կստանանք, եթե կազմենք առաջին երեք մարմիննե-

րից կազմված ՙմարմնի՚ շարժման հավասարումը: Այդ դեպքում խնդիրը լուծելու

համար բավական է կազմել երկու հավասարում՝ նկարում կետագծով նշված

ՙմիացյալ՚ մարմնի և չորրորդ մարմնի համար:

Պատասխան՝ a =1մ/վ²« T₄=18 Ն

132

ՖԻԶԻԿԱ 10

ԳԼՈՒԽVIII

ՍՏԱՏԻԿԱ

ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ

Դինամիկան ուսումնասիրելիս պարզեցինք, որ յուրաքանչյուր մարմին ու-

ժերի ազդեցությամբ ընդհանուր դեպքում շարժվում է արագացմամբ: Դիտար-

կած խնդիրներում մեզ հետաքրքրող շատ հարցերի կարող էինք պատասխանել՝

մարմինը համարելով նյութական կետ: Սակայն, որոշ դեպքերում, չնայած ուժերի

ազդեցությանը, նյութական կետը մնում է դադարի մեջ: Երբ նյութական կետի վրա

ազդող համազոր ուժը զրո է, ապա այն դիտարկվող հաշվարկման իներցիալ հա-

մակարգի նկատմամբ շարժվում է առանց արագացման կամ դադարի մեջ է, եթե

ժամանակի սկզբնական պահին նույնպես եղել է այդ վիճակում: Վերջին դեպքում

ասում են, որ նյութական կետը հավասարակշռության վիճակում է:

Հաճախ մարմնի շարժման բնույթը կախված է մարմնի չափերից և ձևից,

ուստի՝ այն նյութական կետ համարել չի կարելի: Ինչպես գիտեք, համընթաց շարժ-

ման ժամանակ կարելի է ուսումնասիրել պինդ մարմնի միայն մի կետի շարժումը՝

այդ կետը համարելով նյութական կետ, որտեղ կենտրոնացված է մարմնի ամբողջ

զանգվածը: Բայց երբ պինդ մարմինը, բացի համընթաց շարժումից, կատարում է

նաև պտտական շարժում, այն այլևս նյութական կետ համարել չի կարելի:

Մարմնի ինչպես շարժումը, այնպես էլ դադարը, պետք է վերաբերեն նրա

բոլոր կետերին: Օրինակ՝ պինդ մարմինը դադարի մեջ է (անշարժ է), եթե տրված

հաշվարկման իներցիալ համակարգի նկատմամբ դադարի մեջ են նրա բոլոր կե-

տերը, այլ կերպ ասած՝ պինդ մարմինը չի կատարում ոչ համընթաց, ոչ էլ պտտա-

կան շարժում: Եթե պինդ մարմինը դադարի մեջ է նրա վրա կիրառված ուժերի

ազդեցությամբ, ապա ասում են, որ այն հավասարակշռության վիճակում է:

Ստատիկայի հիմնական խնդիրն է պարզել, թե ինչ պայմաններում պինդ

մարմինը կմնա հավասարակշռության վիճակում:

Եթե պինդ մարմինը կարելի է տեղաշարժել տարածության մեջ կամայական

ուղղությամբ, ապա այն անվանում են ազատ (օրինակ՝ օդապարիկն օդում): Են-

թադրենք, թե ազատ պինդ մարմնի շարժման կամ դադարի վիճակը չի փոխվում,

երբ նրա վրա ազդող ուժերի համակարգը փոխարինում են ուժերի այլ համակար-

գով: Ուժերի այդպիսի երկու համակարգերն անվանում են համարժեք: Ստատի-

կայի հիմնական խնդիրներից է նաև պինդ մարմնին կիրառված ուժերի մի համա-

կարգը մեկ ուրիշ՝ ավելի պարզ համակարգով (կամ մեկ ուժով) փոխարինելը:

ԳԼՈՒԽ

VIII. ՍՏԱՏԻԿԱ

133

ՈՒԺԵՐԻ ՀԱՄԱԶՈՐ:

ՄԱՐՄՆԻ ՀԱՎԱՍԱՐԱԿՇՌՈՒԹՅՈՒՆ:

42.

ՀԱՎԱՍԱՐԱԿՇՌՈՒԹՅԱՆ ԱՌԱՋԻՆ ՊԱՅՄԱՆԸ

Եթե տրված ուժերի համակարգը համարժեք է մեկ ուժի, ապա վերջինս անվա-

նում են տրված ուժերի համազոր, իսկ այն ուժերը, որոնք փոխարինվում են հա-

մազորով՝ բաղադրիչ ուժեր կամ բաղադրիչներ: Նշենք, որ ստատիկայում, բացի

ազատ պինդ մարմնից, դիտարկվում են նաև մարմիններ, որոնց շարժումները տա-

րածության մեջ սահմանափակված են: Հպվելով այլ մարմինների՝ կապերի հետ՝

դիտարկվող մարմինը տարածության մեջ որոշ ուղղություններով չի կարող շարժ-

վել: Այդ այսպես կոչված կապի հակազդեցության ուժերը (դրանցից մի քանի-

սին դուք ծանոթ եք հիմնական դպրոցի ֆիզիկայի դասընթացից), որոնցով կապերը

հակազդում են դիտարկվող մարմիններին, հակադիր են այդ ուղղություններին:

Եթե իրար հպված կապի և մարմնի միջև շփումը կարելի է անտեսել, ապա

կապը կոչվում է իդեալական: Այդ դեպքում հակազդեցության ուժն ուղղահայաց է

հպման մակերևույթին: Այդպիսի կապի օրինակ է հենարանը՝ հորիզոնական կամ

թեք: Հորիզոնական հենարանին դրված բեռն ուղղաձիգով դեպի ներքև շարժվել չի

կարող: Հետևաբար՝ հենարանի՝ բեռին կիրառված հակազդեցության N ուժն ուղղ-

ված է ուղղաձիգով դեպի վեր (նկ. 113« ա): Թեք հենարանին (նկ© 113« բ) դրված բեռի

վրա ազդող N հակազդեցության ուժն ուղղահայաց է թեք հարթությանը:

Նկ.113. ա© հենարանի հակազդեցության N ուժն ուղղված է ուղղաձիգով դեպի վեր«

բ© թեք հենարանի հակազդեցության N ուժն ուղղահայաց է հարթությանը«

գ. թելի հակազդեցության T ուժը« դ. ձողին հակազդեցության N₁ և N₂ուժերը:

Չձգվող թելն այն կապն է, որն իր մի ծայրից կախված գնդիկին չի թողնում

հեռանալ կախման կետից ուղղաձիգի ուղղությամբ, ուստի՝ թելի հակազդեցության

T ուժն ուղղվ ած է թելի երկ այնք ով՝ դեպի կախմ ան կետը (նկ. 113« գ): Երբ մարմ ին-

ներից մեկը մյուսին հպված է, օրինակ, ծայրով, ապա հակազդեցության ուժն ուղղ-

ված է մյուսի մակերևույթին հպման կետում տարված ուղղահայացի երկայնքով

(նկ. 113« դ):

Ստորև կդիտարկենք միայն այնպիսի ուժեր, որոնց ազդման գծերը մեկ հար-

թության (ուժերի ազդման հարթության) մեջ են: Ուժերի այդպիսի համակարգն

անվանում են հարթ: Բացի դրանից՝ համարենք, որ մարմնի բոլոր կետերը շարժ-

վում են այդ հարթությանը զուգահեռ հարթություններում:

Հարց է ծագում՝ պինդ մարմնին կիրառված ուժերի համակարգն արդյոք

մի±շտ ունի համազոր: Եվ եթե ուժերն ունեն համազոր, ապա ինչպե՞ս որոշել այն:

134

ՖԻԶԻԿԱ 10

Երբ ուժերը կիրառված են պինդ մարմնի միևնույն

կետում, ապա դրանց համազորը որոշում են այնպես,

ինչպես մեկ նյութական կետի վրա ազդող մի քանի ու-

ժերինը՝ հետևյալ հաջորդական քայլերով: Նախ, օգտ-

վելով վեկտորների գումարման զուգահեռագծի կանո-

Նկ.114. O կետում կիրառ-

նից, գումարում են համակարգի կամայական երկու

ված F₁ և F₂ ուժերի R

ուժի վեկտոր, ապա ստացված գումարին ավելացնում

համազորի կառուցումը՝ ըստ

երրորդ ուժի վեկտորը, և այսպես շարունակ՝ մինչև գու-

զուգահեռագծի կանոնի

մարվեն բոլոր ուժերը (նկարներ 114, 115):

Պինդ մարմնի տարբեր կետերում կիրառված ու-

ժերը գումարելու համար օգտվում են այն պնդումից,

համաձայն որի՝ ուժի կիրառման կետը կարելի է տե-

ղափոխել ուժի ազդման գծի երկայնքով: Իսկապես«

ենթադրենք՝ պինդ մարմնի վրա՝ A կետում, ազդում է

F ուժը (նկ.116): F ուժի ազդման գծի վրա, որևէ B

Նկ. 115. O կետում կիրառ-

կետում, F ուժի ազդման գծի երկայնքով, կիրառենք

ված F₁, F₂ , F₃ և F₄ ուժերի R

համազորի կառուցումը՝ ըստ

մոդուլով F ուժին հավասար F₁ և F₂ հակադիր ուժերը

զուգահեռագծի կանոնի

(միևնույն կետում ազդող մոդուլով հավասար հակա-

դիր ուժերի գումարը զրո է): Քանի որ F և F₂ ուժերը

նույնպես մոդուլով հավասար են, բայց ուղղությամբ՝

հակադիր, ապա դրանք, առանձին-առանձին, մարմ-

նին հաղորդում են մոդուլով նույն արագացումները՝

Նկ.116. F ուժի կիրառ-

ման կետը, ազդման գծի

ուղղված հակառակ կողմեր: Ուրեմն՝ F և F₂ ուժերը,

երկայնքով, կարելի է A կետից

միաժամանակ ազդելով« չեն կարող փոխել մարմնի

տեղափոխել B կետ:

ոչ շարժման, ոչ էլ դադարի վիճակը, այլ կերպ ասած՝

չեզոքացնում են իրար, այսինքն՝ F +F

: Հետևա-

բար՝ մնում է միայն F₁ ուժը, որի մոդուլը՝ F1= F , և որն

ունի F ուժի ուղղությունը, բայց կիրառված է B կետում:

Նշանակում է՝ F ուժի վեկտորի կիրառման կետն այդ

Նկ.117. F₁ և F₂ ուժերը,

ուժի ազդման գծի երկայնքով տեղափոխեցինք B կետ,

ՙսահեցվելով՚ իրենց

և դրանից պինդ մարմնի վիճակը չփոխվեց: Այստեղից

ազդման գծերի երկայնքով,

էլ եզրակացնում ենք, որ ուժը կարելի է կիրառել ազդ-

բերվում են A սկզբնակետին:

ման գծի կամայական կետում: Այժմ կարող ենք գու-

մարել նաև ուժեր, որոնք կիրառված են պինդ մարմնի տարբեր կետերում: Օրինակ՝

117-րդ նկարում պատկերված F₁ և F₂ ուժերը, ՙսահեցնելով՚ իրենց ազդման գծերի

երկայնքով, կարելի է բերել միևնույն սկզբնակետի (A) և ապա գումարել:

Քննարկենք այն դեպքը, երբ ուժերի ազդման գծերը մեկ կետում չեն հատվում:

118 -րդ նկարում պատկերված է երեք այդպիսի ուժերի համակարգ: Այս դեպքում

սկզբից կարելի է գումարել F₁ և F₂ ուժերը՝ նախապես դրանք բերելով նույն B

սկզբնակետի, իսկ այնուհետև՝ դրանց R₁ գումարը և F₃ ուժը՝ այդ ուժերի վեկտոր-

ները նույնպես ՙսահեցնելով՚ իրենց ազդման գծերի երկայնքով՝ մինչև A կետում

հատվելը (եթե, իհարկե, R₁ և F₃ ուժերը զուգահեռ չեն): Հենց A կետում էլ կիրառ-

ված է համազոր R ուժը:

ԳԼՈՒԽ

VIII. ՍՏԱՏԻԿԱ

135

Ինչպես պարզեցինք, ուժի կիրառման կետը կարելի է տեղափոխել միայն

ուժի ազդման գծի երկայնքով: Նշանակում է՝ տարբեր կետերում կիրառված երկու

ուժերի երկրաչափական գումարը միշտ չէ, որ այդ ուժերի համազորն է:

Ասվածը պարզաբանենք հետևյալ օրինակով:

Դիցուք՝ պինդ մարմնի A և B կետերին կիրառված են F₁ և F₂ ուժեր, որոնց

ազդման գծերը խաչվող ուղիղներն են (այսինքն՝ մեկ հարթության մեջ չեն, նկ. 119):

Այդ ուժերի երկրաչափական գումարը գտնելու համար հարկավոր է դրանցից մեկը,

օրինակ« F₂ -ը, զուգահեռ տեղափոխելով, տեղադրել A կետից: Բայց այդ դեպքում

ստացված

l ուժի վեկտորն արդեն նույնը չէ, ինչ F₂-ը (քանի որ նույն ազդման

գծով չի ուղղված), հետևաբար՝ F₁-ի և

l -ի երկր աչափակ ան գում ար ը՝ R ուժ ը, F₁

և F₂ ուժերի համազորը լինել չի կարող:

Նկ.118. Միևնույն հարթության մեջ երեք՝

Նկ.119. F₁ և F₂ ուժերի երկրաչափա-

F₁, F₂ և F₃ ուժերի համազորը R ուժն է:

կան գումարը՝ _R -ը, դրանց համազորը չէ:

Հնարավոր է նաև, որ ուժերի երկրաչափական գումար լինի զրո, բայց այդ

ուժերի համակարգն անշարժ ազատ մարմնին հաղորդի պտտական շարժում: Այդ-

պիսի ուժերի համակարգի մասին ասում են, որ այն համազոր չունի: Այդօրինակ

ուժերի համակարգի մասին կխոսենք ¢43-ում:

Ամփոփելով՝ կարող ենք պնդել, որ երբ պինդ մարմնի վրա կիրառված է մի

քանի ուժ, որոնց ազդման գծերը մեկ հարթության մեջ են, և այդ ուժերի համա-

կարգը կարող ենք փոխարինել մեկ ուժով՝ համազորով, ապա վերջինս հավա-

սար է կիրառված ուժերի երկրաչափական գումարին:

Համազոր ուժի ազդեցությամբ պինդ մարմինը կարող է կատարել կա°մ համ-

ընթաց արագացող շարժում (մարմնի բոլոր կետերը ժամանակի կամայական պա-

հի ունեն նույն արագացումը), կա°մ պտտական շարժում:

Նշանակում է, եթե սկզբնապես մարմինը եղել է դադարի մեջ, և, բացի այդ,

կիրառված F1, F2,$$$F_n ուժերի երկրաչափական գումարը զրո է՝

F1+F

+ $$$+F

(8.1)

ապա մարմինը կամ շարունակի մնալ դադարի (հավասարակշռության) մեջ, կամ

պտտվել: Առաջին դեպքում ուժերի համակարգն ունի համազոր, որը զրո է, իսկ

երկրորդ դեպքում ուժերի համակարգը համազոր չունի:

Թեև (8.1) պայմանը բավարար չէ, որ մարմինը մնա հավասարակշռության

մեջ, բայց, այդուհանդերձ, անհրաժեշտ է: Այսինքն՝ եթե մարմինը հավասարա-

կշռության մեջ է, ապա անհրաժեշտաբար նրա վրա կիրառված ուժերի գումարը

զրո է: Այդ հանգամանքը նկատի ունենալով՝ (8.1) հավասարումն անվանում են

պինդ մարմնի հավասարակշռության առաջին պայման:

136

ՖԻԶԻԿԱ 10

Եթե կոորդինատային xOy հարթությունը և ուժերի ազդման հարթությունը

համընկնում են, ապա (8.1) պայմանը, գրված ուժերի պրոյեկցիաների միջոցով,

կարտահայտվի հետևյալ կերպ՝

F1x+F

+ $$$+F

F1y+F

+ $$$+F

(8.2)

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ո±րն

է նյութական կետի հավասարակշռության պայմանը: 2. Ի՞նչ ենք հասկանում՝

ասելով, որ պինդ մարմինը հավասարակշռության մեջ է: 3. Ո±րն է ստատիկայի հիմնա-

կան խնդիրը: 4. Ո±ր մարմինն են անվանում ազատ: 5. Ի՞նչ է կապը: Ո±ր կապն է կոչվում

իդեալական: 6. Ինչպե՞ս են ուղղված իդեալական կապերի հակազդեցության ուժերը:

Բերել օրինակներ: 7. Ո±ր ուժն է կոչվում տրված ուժերի համազոր: 8. Ուժերի ո՞ր համա-

կարգն են անվանում հարթ: 9. Ինչպե՞ս են գումարում նույն կետում կիրառված մի քանի

ուժերը: 10. Ապացուցեք, որ պինդ մարմնի վրա ազդող ուժի կիրառման կետը կարելի է

տեղափոխել ուժի ազդման գծի երկայնքով: 11. Ինչպե՞ս են գումարում տարբեր կետերում

կիրառված, բայց հատվող ազդման գծեր ունեցող ուժերը: 12. Ի՞նչ շարժումներ կարող

է կատարել պինդ մարմինը, երբ նրա վրա ազդող ուժերի համակարգն ունի համազոր,

որը զրո չէ: 13. Գրեք պինդ մարմնի հավասարակշռության առաջին պայմանը: Մի±շտ է

մարմինը մնում հավասարակշռության մեջ« եթե այդ պայմանը ճիշտ է: Պատասխանը

հիմնավորեք: 14. Գրեք պինդ մարմնի հավասարակշռության պայմանը՝ արտահայտված

ուժերի պրոյեկցիաների միջոցով:

ՈՒԺԻ ԲԱԶՈՒԿ: ՈՒԺԻ ՄՈՄԵՆՏ:

43.

ՄՈՄԵՆՏՆԵՐԻ ԿԱՆՈՆԸ

Ինչպես նշեցինք, (8.1) կամ (8.2) հավասարումով որոշվող պայմանն անհրա-

ժեշտ, բայց բավարար չէ, որպեսզի պինդ մարմինը լինի հավասարակշռության

մեջ. պինդ մարմինը կարող է նաև պտտվել: Բնականաբար, հարց է ծագում՝ իսկ

ի՞նչ պայմանների առկայությամբ մարմինը չի պտտվի: Պտույտի հետ կապված մի

ֆիզիկական մեծության՝ ուժի մոմենտին, ծանոթ եք հիմնական դպրոցից: Նկատի

ունենալով այդ հասկացության կարևոր լինելը, հիշենք, թե ինչ է այն:

Ուժի մոմենտը մարմնի շարժման հարթությանն ուղղահայաց որևէ առանց-

քի նկատմամբ հավասար է ուժի մոդուլի և ուժի ազդման գծից առանցքի l հե-

ռավորության (ուժի բազուկի) արտադրյալին: Այն հարթությունը, որի վրա ըն-

կած է ուժի ազդման գիծը, նույնպես ուղղահայաց է առանցքին: Հետևաբար՝ ուժի

բազուկն այդ հարթության և առանցքի հատման O կետի հեռավորությունն է ուժի

կիրառման A կետից (նկ. 120): Ուրեմն՝ F ուժի մոմենտն O կետով անցնող առանց-

քի (կարող ենք ասել նաև՝ O կետի) նկատմամբ՝

M = Fl:

(8.3)

120-րդ նկարում l = r sin a« որտեղ r-ն O կետի

և F ուժի կիրառման A կետի հեռավորությունն է:

Հետևաբար՝ F ուժի մոմենտը կարող ենք արտա-

հայտել նաև

Նկ.120. F ուժի մոմենտն O կետի

նկատմամբ կարելի է հաշվել

M = Frsina

(8.4)

երկու եղանակով՝ M = Fr sin a«

բանաձևով:

կամ M = F2r :

ԳԼՈՒԽ

VIII. ՍՏԱՏԻԿԱ

137

(8.3) առնչությունից երևում է, որ ուժի մոմենտի միավորը ՄՀ-ում նյուտոն-

մետրն է (կրճատ՝ Ն.մ): Նյուտոն-մետրը հավասար է 1 Ն ուժի մոմենտին այն

առանցքի նկատմամբ, որն այդ ուժի ազդման գծից ունի 1 մ հեռավորություն:

Երբեմն նպատակահարմար է ուժի մոմենտն արտահայտել ուժի այն բաղադ-

րիչով, որն ուղղահայաց է ուժի կիրառման կետով և O կետով անցնող ուղղին: Դրա

համար F ուժը ներկայացնենք որպես F₁ և F₂ բաղադրիչների գումար՝ F = F1+ F2,

որտեղ F₁-ն ուղղված է OA ուղղի երկայնքով, իսկ F₂ -ն ուղղահայաց է OA-ին: 120-րդ

նկարից երևում է, որ F2= F sin a, ուստի (8.4) առնչությունից կստանանք՝

(8.5)

Այժմ ենթադրենք, թե O կետով անցնող առանցքը սևեռված է, այլ կերպ ասած՝

բացառենք մարմնի համընթաց շարժումը« և« բացի այդ« մարմինը դադարի մեջ է:

Օրինակ՝ դիտարկենք 121-րդ նկարում պատկերված առարկան, որն O կետում մե-

խով գամված է պատին: Ակներև է, որ այդ առարկան համընթաց շարժվել չի կա-

րող, բայց կարող է պտտվել մեխի շուրջը: Ուժի մոմենտը կարող է լինել և° դրական,

և° բացասական« նայած թե ինչ ուղղությամբ է հնարավոր առարկայի պտույտը

սևեռված առանցքի շուրջը: Ուժի մոմենտի նշանը որոշելու համար գծագրի վրա կա-

մայականորեն ընտրում են առարկայի հնարավոր պտույտի ուղղությունը տրված

առանցքի շուրջը: Եթե միայն F ուժի ազդեցությամբ առարկան պտտվի հնարավոր

պտույտի ուղղությամբ, ապա F ուժի մոմենտը համարվում է դրական, հակառակ

դեպքում՝ բացասական: Ակներև է, որ երբ F ուժի ազդման գիծը և առանցքը հատ-

վում են, ապա առարկան չի կարող պտտվել, ուստի F ուժի մոմենտը զրո է:

Ենթադրենք՝

առարկայի վրա ազդում են

F₁, F₂ և F₃ ուժերը (նկ. 121) և, բացի այդ, O կե-

տում գամված մեխի շուրջն առարկայի հնարա-

վոր պտույտը կատարվում է ժամսլաքի շարժման

հակառակ ուղղությամբ: Նշանակում է՝ O կետով

անցնող առանցքի նկատմամբ F₁ ուժի մոմենտը

դրական է՝ M1> 0, իսկ F₂ ուժի մոմենտը՝ բացա-

Նկ.121. F₁ ուժի մոմենտն O կետի

նկատմամբ դրական է, F₂ ու-

սական՝ M2 < 0: F₃ ուժի ազդման գիծը հատվում

ժինը՝ բացասական, F₃ ուժինը՝

է մեխի (պտտման առանցքի) հետ: Այդ ուժի մո-

զրո: Սլաքավոր կորով նշված է

մենտը մեխի նկատմամբ զրո է: Ուրեմն՝ F₃ ուժի

հնարավոր պտույտի ուղղությունը:

ազդեցությամբ մարմինը պտտվել չի կարող:

Դիտարկված օրինակից հասկանալի է ուժի մոմենտի դերը, երբ պինդ մարմ-

նի վրա ուժ է ազդում. եթե սևեռված առանցք ունեցող մարմինը դադարի մեջ է,

ապա ուժի ազդեցությամբ կարող է պտտվել« եթե ուժի մոմենտն այդ առանցքի

նկատմամբ զրո չէ:

Այժմ ենթադրենք, թե մարմնի վրա կիրառված է մի քանի ուժ: Կպտտվի±

արդյոք մինչ այդ անշարժ մարմինը կիրառված ուժերի ազդեցությամբ, թե՞ ոչ:

Եթե, օրինակ, այդ ուժերի համակարգն ունի համազոր, ապա համազորի մոմենտը

տրված առանցքի նկատմամբ պետք է զրո չլինի: Բայց համազոր ուժի մոմենտը

որևէ առանցքի նկատմամբ հավասար է այդ առանցքի նկատմամբ առանձին ուժե-

րի մոմենտների գումարին: Ուրեմն՝ ուժերի համակարգի ազդեցությամբ մարմինը

138

ՖԻԶԻԿԱ 10

կարող է պտտվել, եթե պտտման առանցքի նկատմամբ ուժերի մոմենտների գու-

մարը զրո չէ: Այսպիսի ձևակերպմամբ նշված պնդումը ճիշտ է՝ անկախ նրանից՝

ուժերի համակարգն ունի± համազոր, թե՞ ոչ: Այստեղից հետևում է, որ ճիշտ է նաև

հակառակ պնդումը, այն է՝ պտտման սևեռված առանցք ունեցող պինդ մարմինը

կմնա հավասարակշռության մեջ, եթե այդ առանցքի նկատմամբ մարմնին կի-

րառված ուժերի մոմենտների հանրահաշվական գումարը զրո է, այսինքն՝

M1+M

+ $$$+

(8.6)

(8.6) հավասարության ձախ մասի գումարելիները« համապատասխանաբար«

F1,F2,

$ $$

,F_n

ուժերի մոմենտներն են: Այս հավասարությամբ արտահայտվող պայ-

մանն անվանում են պինդ մարմնի հավասարակշռության երկրորդ պայման

կամ մոմենտների կանոն:

(8.6) պայմանից հետևում է լծակի կանո-

նը, որին ծանոթ եք 7-րդ դասարանի ֆիզիկա-

յի

դասընթացից: Իրոք, եթե C կետում նեցուկ

ունեցող լծակի վրա կիրառված է երկու ուժ,

ապա այն կմնա հավասարակշռության մեջ,

երբ M1+M

այսինքն՝

, կամ՝

2 2

« որտեղից՝ l1: l

F2:F

Այստեղ l₁-ը

և l₂ -ը լծակի A և B կետերին կիրառված F₁ և F₂

ուժերի բազուկներն են C կետով անցնող առանց-

Նկ.122. N-ը F₁ և F₂ ուժերի համա-

քի նկատմամբ: Սա նշանակում է նաև, որ լծակի

կարգը հավասարակշռող ուժն է:

C կետում ազդում է F₁ և F₂ ուժերի համակարգը

հավասարակշռող N հակազդեցության ուժը, որին հակադիր R = - N ուժը՝ կի-

րառված նույն C կետում, տրված ուժերի համազորն է: Եթե F₁ և F₂ ուժերը զուգա-

հեռ են և ուղղված են նույն կողմ (նկ. 122), ապա նրանց R համազորը զուգահեռ է

այդ ուժերին, իսկ համազորի մոդուլը հավասար է դրանց մոդուլների գումարին:

Իրոք, հավասարակշռության առաջին պայմանից հետևում է՝ F1+F2+N

կամ,

N -ը փոխարինելով - R -ով՝ R = F1+ F₂ : F₁ և F₂ ուժերի զուգահեռ և համուղղված

լինելուց հետևում է, որ R -ը զուգահեռ է F₁ և F₂ ուժերից յուրաքանչյուրին, իսկ

Ընդունված է մարմնին կիրառված ուժերի մոմենտների հանրահաշվական գու-

մարն անվանել այդ ուժերի համակարգի պտտող մոմենտ՝ M =M1+M

+ $$$+

Ուստի՝ մոմենտների կանոնը կարող ենք ձևակերպել նաև հետևյալ կերպ. պտտման

սևեռված առանցք ունեցող և անշարժ մարմինը կշարունակի պահպանել այդ

վիճակն այնքան ժամանակ, քանի դեռ նրա վրա կիրառված ուժերի համակար-

գի պտտող մոմենտը զրո է:

Եթե պտտման առանցքը սևեռված չէ, այլ կերպ ասած՝ մարմինն ազատ է,

ապա պինդ մարմնի հավասարակշռությունը կապահովվի, եթե միաժամանակ

բավարարվում են հավասարակշռության առաջին և երկրորդ պայմանները՝

F1+F

+ $$$+

0, M1+M

+ $$$+

(8.7)

Հիշենք, որ դիտարկում ենք միայն այնպիսի ուժեր, որոնց ազդման գծերը

մեկ հարթության մեջ են, իսկ մարմնի բոլոր կետերը շարժվում են ուժերի ազդման

ԳԼՈՒԽ

VIII. ՍՏԱՏԻԿԱ

139

հարթությանը զուգահեռ հարթություններում: Հետևաբար՝ կարելի է համարել, որ

կոորդինատային xOy հարթությունը և ուժերի ազդման հարթությունը համընկնում

են: Ուստի՝ այն առանցքը, որի նկատմամբ որոշվում են ուժերի մոմենտները, և որն

ընտրվում է կամայականորեն, զուգահեռ է Oz առանցքին: Շնորհիվ դրա՝ հավասա-

րակշռության (8.7) պայմանները կարելի է գրել նաև հետևյալ կերպ՝

F1x+F

+ $$$+

0, F

+ $$$+

0«

(8.8)

M1z+M

+ $$$+

(8.9)

որտեղ M1z, M2z,$ $$,M

մեծությունները F1, F2,

$ $$,Fn

ուժերի մոմենտներն են Oz-ին

զուգահեռ որևէ առանցքի նկատմամբ: Այսպիսով՝ համարելով, որ սկզբնապես

մարմինը դադարի մեջ է եղել, կարող ենք պնդել, որ. պինդ մարմինը կմնա հա-

վասարակշռության վիճակում, եթե նրա վրա ազդող բոլոր ուժերի երկրա-

չափական գումարը և կամայական առանցքի նկատմամբ այդ ուժերի հա-

մակարգի պտտող մոմենտը զրո են:

Միայն (8.1) պայմանի դեպքում, մարմինը կարող է կատարել պտտական

շարժում: Երկրորդ՝ (8.6) պայմանը բացառում է այդպիսի շարժումը:

Ուժի մոմենտին դրական կամ բացասական նշան վերագրելը (կապված

նրա ազդեցությամբ մարմնի պտտման ուղղության հետ) հուշում է« որ իրակա-

նում ուժի մոմենտը վեկտորական մեծություն է:

Իրոք« մեխանիկայում F ուժի մոմենտն ուժի հարթությանն ուղղահայաց

պտտման առանցքի նկատմամբ սահմանվում է որպես այդ առանցքի նկատ-

մամբ r շառավիղ-վեկտորի և F ուժի վեկտորական արտադրյալ՝

M = r # F / [r,F]:

Սահմանումից հետևում է« որ M վեկտորի ուղղությունը որոշվում է վեկ-

տորական արտադրյալի կանոնով (տե°ս ¢7)« իսկ մոդուլը՝

sin a = rF sin a,

որը համընկնում է (8.4) արտահայտությանը:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ի՞նչ

է ուժի բազուկը: 2. Ո±ր ֆիզիկական մեծությունն են անվանում ուժի մոմենտ

տրված առանցքի նկատմամբ: Ի՞նչ միավորով է արտահայտվում ուժի մոմենտը: 3. Գրե°ք

ուժի մոմենտն արտահայտող երեք բանաձև: Համարժե±ք են արդյոք այդ բանաձևերը:

Ե±րբ է ուժի մոմենտը՝ ա) դրական, բ) բացասական, գ) զրո: 5. Ո±ր մեծությունն են

անվանում ուժերի համակարգի պտտող մոմենտ: 6. Գրե°ք մոմենտների կանոնն արտա-

հայտող հավասարությունը: 7. Ձևակերպե°ք պինդ մարմնի հավասարակշռության ամենա-

ընդհանուր պայմանները: Ի՞նչ հավասարումներով են արտահայտվում այդ պայմանները:

Քանի± հավասարում է արտահայտում այդ պայմանները: Ինչու±: 8. Սահմանե°ք ուժի մո-

մենտի վեկտորը: 9 Օգտվելով վեկտորական արտադրյալի սահմանումից« պարզաբանե°ք

ուժի մոմենտի հատկությունները:

140

ՖԻԶԻԿԱ 10

ՄԻԵՎՆՈՒՅՆ ԿՈՂՄՆ ՈՒՂՂՎԱԾ

44.

ԶՈՒԳԱՀԵՌ ՈՒԺԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

Պարզենք, թե զուգահեռ ուժերի

համակարգը ե±րբ կարելի է փոխարի-

նել մեկ ուժով՝ համազորով, և, ինչպե՞ս

կառուցել այդ համազորը (այլ կերպ

ասած՝

գումարել

զուգահեռ ուժերը)՝

չօգտվելով մոմենտների կանոնից:

Դիցուք՝ մարմնի A և B կետերի

վրա կիրառված են F₁ և F₂ զուգահեռ

և նույն կողմ ուղղված ուժեր (նկ. 123):

A և B կետերին, AB ուղղի երկայնքով,

կիրառենք F և - F հակադիր ուժերը:

Նկ.123. F₁ և F₂ ուժերի R համազորը

Ինչպես գիտեք, դրանից մարմնի շարժ-

կիրառված է C կետում և OD և OE

ման (կամ դադարի) վիճակը չի փոխ-

վեկտորների գումարն է:

վի: Գումարելով A կետում ազդող F₁ և

F , ինչպես նաև B կետում ազդող F₂ և - F ուժերը՝ տեսնում ենք, որ դրանց R₁

և R₂ համազորներն այլևս զուգահեռ չեն: Եվ քանի որ R₁ և R₂ ուժերի ազդման

գծերն ընկած են միևնույն հարթության մեջ, ապա դրանք հատվում են: Նշա-

նակում է՝ F₁, F₂ , F և - F ուժերի համակարգը, որը համարժեք է F₁ և F₂ զուգա-

հեռ ուժերի համակարգին, ունի համազոր: Գտնենք այդ համազորը, այսինքն՝

նրա ուղղությունը, մոդուլը և կիրառման կետը:

F₁ և F₂ ուժերի համազորը նշանակելով R-ով՝ կարող ենք գրել՝

R =F1+F

(F1+F)

+ -F)) =R1+R

Տեղափոխենք R₁ և R₂ ուժերի վեկտորներն իրենց ազդման գծերի

երկայնքով մինչև հատման O կետ: 123-րդ նկարում O կետում կիրառված R₁ և

R₂ ուժերը պատկերված են OD և OE վեկտորներով: Այդ ուժերից յուրաքան-

չյուրը վերածենք բաղադրիչների: 123-րդ նկարում R₁ համազորի F բաղադրի-

չը պատկերված է OP վեկտորով, F₁ բաղադրիչը՝ OG վեկտորով, իսկ R₂ հա-

մազորի - F բաղադրիչը պատկերված է OQ վեկտորով, F₂ բաղադրիչը՝ OH

-ով: Եվ քանի որ OP + OQ = 0, ապա R₁ և R₂ ուժերի գումարը կպատկերվի

OG + OH վեկտորով: OG և OH վեկտորները կիրառված են նույն O կետում

և ուղղված են այդ կետով անցնող և տրված F₁, F₂ ուժերին զուգահեռ ուղղի

երկայնքով: Նշանակում է՝

OG + OH

, ուստի՝

R1+R

F1+F

այսինքն՝ F₁ և F₂ ուժերի R համազորի մոդուլն այդ ուժերի մոդուլների գու-

մարն է:

OG վեկտորով պատկերվող R ուժի ազդման գծի և AB ուղղի հատման

կետը նշանակենք C-ով, որը, ակներև է, նաև R համազորի կիրառման կետն

է (նկ. 123): R համազորի ազդման գիծը՝ OC ուղիղը« զուգահեռ է A և B կետե-

րում կիրառված F₁ և F₂ ուժերի ազդման գծերին: Հետևաբար՝ R համազորը

ԳԼՈՒԽ

VIII. ՍՏԱՏԻԿԱ

141

զուգահեռ է F₁ և F₂ ուժերին և ուղղված է նույն կողմը: Բացի այդ, ODG և OAC

եռանկյունների նմանությունից հետևում է՝

(8.10)

OC CA

իսկ OEH և OBC եռանկյունների նմանությունից՝

(8.11)

OC CB

Բայց GD և HE հատվածներն իրար հավասար են, քանի որ GD = OP,

HE = OQ (զուգահեռագծի հանդիպակաց կողմեր են), իսկ OP և OQ վեկտոր-

ները պատկերում են F և - F հակադիր ուժերը: (8.11) և (8.10) հավասարու-

թյուններն բաժանելով իրար, կստանանք՝ OH/OG = CA/CB: Նշանակելով

CA = l₁, CB = l₂ ՝ վերջնականապես կունենանք՝

(8.12)

(8.12) հավասարությունից եզրակացնում ենք, որ R համազորի կիրառ-

ման կետը F₁ և F₂ ուժերի կիրառման կետերի միջև հեռավորությունը բա-

ժանում է այդ ուժերի մոդուլներին հակադարձ համեմատական մասերի:

Հարցեր և առաջադրանքներ

ա) Ի՞նչ ուղղություն ունի զուգահեռ« նույն կողմն ուղղված F₁ և F₂ ուժերի R հա-

մազորը: բ) Որքա±ն է R համազորի մոդուլը: գ) Համազորի կիրառման կետը ի՞նչ

հարաբերությամբ մասերի է բաժանում բաղադրիչ ուժերի կիրառման կետերի միջև հե-

ռավորությունը:

ԶՈՒԳԱՀԵՌ ԵՎ ՀԱԿԱԴԻՐ ԿՈՂՄԵՐ ՈՒՂՂՎԱԾ

45.

ԵՐԿՈՒ ՈՒԺԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳ: ՈՒԺԱԶՈՒՅԳ

Ենթադրենք՝ մարմնի վրա A և B կետե-

րում կիրառված են հակադիր կողմեր ուղղված

F₁ և F₂ ուժերը, որոնց մոդուլներն անհավասար

են՝ F1> F₂

(նկ. 124): R համազորը կարող ենք

գտնել՝ կրկնելով 123-րդ նկարում պատկերված

Նկ.124. Զուգահեռ և հակադիր

կառուցումները: Բայց խնդիրը կարելի է նաև

F₁ և F₂ ուժերի (F

)

լուծել՝ օգտվելով ¢44-ի արդյունքներից՝ հետև-

համազորը R ուժն է:

յալ դատողությունների միջոցով:

Եթե 123-րդ նկարում C կետում R համազորի փոխարեն կիրառենք նրան

հակադիր - R ուժը, ապա F₁, F₂ և - R ուժերի համատեղ ազդեցությամբ պինդ

մարմնի շարժման (կամ դադարի) վիճակը չի փոխվի: Ուժերի այդպիսի հա-

մակարգը կոչվում է հավասարակշռված: - R ուժն անվանում են F₁ և F₂ ուժե-

րի համակարգը հավասարակշռող ուժ: Նշանակում է, եթե գտնենք դիտարկ-

վող ուժերի համակարգը հավասարակշռող ուժը, ապա վերջինիս հակադիրն

էլ հենց կլինի այդ ուժերի համազորը:

AB հատվածի շարունակության վրա՝ C կետում, կառուցենք F₂ ուժին

զուգահեռ և նույն կողմն ուղղված R₁ ուժի վեկտորը (նկ. 124), որի մոդուլը հա-

142

ՖԻԶԻԿԱ 10

վասար է F₁ և F₂ ուժերի մոդուլների տարբերությանը՝ R1= F1- F₂ , իսկ կի-

րառման C կետի հեռավորությունն A կետից այնպիսին է, որ

CB F

CA F₂

CA +AB R1+F

Բայց CB = CA + AB, F1= R1+ F₂ , հետևաբար՝

R₁

որտեղից՝

AB R

AC F2

կամ

CA F₂

AB R₁

Այստեղից կարելի է եզրակացնել, որ A կետը R₁ և F₂ զուգահեռ ուժերի

համազորի կիրառման կետն է: Քանի որ F₁-ը հակադիր է R₁ և F₂ ուժերին,

ապա R₁, F₁ և F₂ ուժերի համակարգը հավասարակշռված է: Հետևաբար՝ R₁-ն

էլ հավասարակշռում է F₁ և F₂ ուժերին, այնպես որ O կետում կիրառված և

R₁-ին հակադիր R

=-R1

ուժը F₁ և F₂ ուժերի համազորն է (նկ. 124):

Այսպիսով՝ երկու զուգահեռ և հակադիր կողմեր ուղղված F₁ և F₂ ու-

ժերի R համազորը զուգահեռ է այդ ուժերին, ունի մոդուլով մեծ ուժի ուղ-

ղությունը և կիրառված է C կետում, որն ուժերի կիրառման A և B կետերը

միացնող հատվածի շարունակության վրա է՝ մոդուլով մեծ ուժին ավելի

մոտ: Ընդ որում« համազորի կիրառման C կետի հեռավորությունները տրված

ուժերի կիրառման կետերից հակադարձ համեմատական են այդ ուժերի մո-

դուլներին՝

CA F

(8.13)

CB F₁

Ուժազույգ: Պարզվում է՝ միշտ չէ, որ

զուգահեռ ուժերն ունեն համազոր: Օրինակ՝

ենթադրենք՝ F₁ և F₂ ուժերը զուգահեռ են, ուղղ-

ված՝ հակադիր կողմեր և, բացի այդ, մոդու-

լով հավասար են՝ F1= F, F

(նկ. 125):

Այդպիսի ուժերի համակարգն անվանում են

Նկ.125. F1= F2, F2 =-

ուժերի համակարգն ուժազույգ է,

ուժազույգ: Համոզվենք, որ ուժազույգը հա-

d-ն ուժազույգի բազուկն է:

մազոր չունի: Իրոք, եթե F1= F₂ , ապա (8.13)

հավասարությունից ստանում ենք՝ CB CA = 1: Քանի որ CB = CA + AB, ապա

1+ AB / CA = 1, որտեղից հետևում է՝ AB / CA = 0, այսինքն՝ CA հատվածը

պետք է լինի որքան ասես երկար: Դա նշանակում է, որ F₁ և F₂ ուժերի հա-

մազորի կիրառման C կետն անվերջ հեռվում է: Հետևաբար՝ ուժազույգը մեկ

ուժով՝ համազորով, փոխարինել հնարավոր չէ, այլ կերպ ասած՝ ուժազույգը

համազոր չունի: F₁ և F₂ ուժերի ազդման գծերի d հեռավորությունն անվա-

նում են ուժազույգի բազուկ:

Ուժազույգի մոմենտ: Ուժազույգի համար միշտ բավարարվում է (8.8)

պայմանը, որը նշանակում է՝ միայն ուժազույգի ազդեցությամբ մարմինը չի

կարող դադարի վիճակից անցնել արագացող համընթաց շարժման վիճակի:

Համոզվենք, որ ուժազույգի պտտող մոմենտը կամայական առանցքի նկատ-

մամբ երբեք զրո չէ: Իրոք, ենթադրենք, պինդ մարմնի վրա կիրառված է

ԳԼՈՒԽ

VIII. ՍՏԱՏԻԿԱ

143

F1=F,

ուժազույգը (նկ. 126)« իսկ ու-

ժազույգի հարթության կամայական O կետով

տարված է այդ հարթությանն ուղղահայաց

առանցք: F₁ ուժի մոմենտն

այդ

առանցքի

նկատմամբ՝ M1= F1d₁, իսկ F₂ ուժի մոմեն-

Նկ.126. F1= F, F

տը՝ M2 = F2d₂ , որտեղ d₁-ը և d₂ -ը F₁ և F₂ ու-

ուժազույգի պտտող մոմենտը

ժերի բազուկներն են: Ուժազույգի պտտող մո-

կամայական առանցքի նկատ-

մամբ միշտ հավասար է Fd:

մենտը՝ M = M1+ M2 = F1d1+ F2d₂ : Քանի որ

, որ-

տեղ d-ն ուժազույգի բազուկն է: Այսպիսով՝ ուժազույգի պտտող մոմենտը

ուժերի

ազդման հարթության կամայական կետով անցնող առանցքի

նկատմամբ հավասար է ուժերից մեկի մոդուլի և ուժազույգի բազուկի

արտադրյալին: Այստեղից հետևում է, որ ուժազույգի ազդեցությամբ ազատ

պինդ մարմինը չի կարող հավասարակշռության մեջ լինել:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. ա) Ի՞նչ ուղղություն ունի զուգահեռ և հակադիր կողմեր ուղղված F₁ և F₂ ուժերի R

համազորը, եթե F1> F₂ : բ) Որքա±ն է R համազորի մոդուլը: 2. ա) Ուժերի ո՞ր համա-

կարգն են անվանում ուժազույգ: բ) Ուժազույգն ունի± արդյոք համազոր, թե՞ ոչ: գ) Ի՞նչ է

ուժազույգի բազուկը: 3. Ապացուցե°ք, որ ուժազույգի M պտտող

մոմենտը միշտ զրոյից տարբեր է: Որքա±ն է M-ը: Ո±ր առանց-

քի շուրջն է պտտվում մարմինն ուժազույգի ազդեցությամբ:

4. Որքա±ն է F₁ և F₂ զուգահեռ ուժերի R համազորի կիրառ-

ման կետի նկատմամբ այդ ուժերի մոմենտների գումարը (տե°ս

նկարը): Պատասխանը հիմնավորեք:

46.

ԼԱԲՈՐԱՏՈՐ ԱՇԽԱՏԱՆՔ 5.

Լծակի հավասարակշռության պայմանի պարզաբանումը

Աշխատանքի նպատակը. ստուգել մոմենտների

կանոնը՝ լծակի օրինակով:

Անհրաժեշտ սարքեր և նյութեր. ուժաչափ, քանոն,

ամրակալան՝ կցորդիչով, լծակ, բեռների հավաքածու:

Փորձի կատարման ընթացքը

1. Լծակը տեղակայեք ամրակալանին և նրա ծայ-

րերին տեղավորված պնդօղակների օգնությամբ

հավասարակշռեք հորիզոնական դիրքում:

Բեռների հավաքածուից ընտրեք մի քանի բեռ և կշռեք՝ որոշելով դրանց

ընդհանուր՝ P կշռի արժեքը:

3. Ընտրված բեռները կախեք լծակի բազուկներից մեկի որևիցե կետից:

4. Լծակի մյուս՝ ազատ բազուկին ամրացրեք ուժաչափը և ձգեք այնքան, մին-

չև լծակը նորից գա հավասարակշռության վիճակի:

5. Քանոնով չափեք լծակի l₁ և l₂ բազուկները:

144

ՖԻԶԻԿԱ 10

Գրանցեք ուժաչափի ցուցմունքը, որն F ուժի արժեքն է:

7. Որոշեք P և F ուժերի M₁ և M₂ մոմենտները:

8. Չափված և հաշվարկված մեծությունները գրառեք աղյուսակում:

l₁, մ

P, Ն

l₂, մ

F, Ն

M₁, Ն.մ

M₁

M₂, Ն.մ

M₂

M1 M₂

6-րդ սյունակում՝ համապատասխան մեծությունների դիմաց, գրանցեք

այդ մեծությունների միջին արժեքները՝ 4-5 չափումների հիման վրա:

10. Հաշվեք փորձում M1 M₂ հարաբերության չափման բացարձակ սխալը՝

M1 M₂h

ԶԱՆԳՎԱԾՆԵՐԻ ԿԵՆՏՐՈՆ

47.

ԵՎ ԾԱՆՐՈՒԹՅԱՆ ԿԵՆՏՐՈՆ

ՙԴինամիկա՚ բաժնում տարբեր ուժերի ազդեցությամբ մարմինների շար-

ժումն ուսումնասիրելիս մենք ուշադրություն չենք դարձրել այն հանգամանքին,

որ մարմիններն ունեն չափեր: Մարմնի արագացումը որոշելիս այն համարել ենք

նյութական կետ և այդ կետում պատկերել մարմնի վրա ազդող ուժերը: Նման

պարզեցումը ճիշտ է, եթե մարմինը շարժվում է համընթաց: Այժմ պարզենք, թե ինչ

ուղղությամբ մարմնի վրա պետք է կիրառել ուժը, որպեսզի այն շարժվի համընթաց:

Կատարենք փորձ: Սեղանի հորիզոնական ողորկ մակերևույթին դնենք տախ-

տակի մի կտոր, որին մեխեր են խփված: A կետում խփված մեխին ամրացնենք

թել և ձգենք մոդուլով F₁ ուժով տարբեր ուղղություններով (նկ. 127): Փոխելով թե-

լի ձգման ուժի ուղղությունը և հետևելով տախտակի շարժմանը՝ կնկատենք, որ

կա մի ուղղություն, որի երկայնքով ձգելիս տախտակը

շարժվում է համընթաց: Այնուհետև թելն ամրացնենք B,

C և մյուս կետերում խփված մեխերին, յուրաքանչյուր

դեպքում նշելով այն ուղիղը, որի երկայնքով ուժ ազդելիս

տախտակը շարժվում է համընթաց: Փորձը ցույց է տա-

Նկ.127. Տախտակին

լիս, որ թիթեղին համընթաց շարժում հաղորդող բոլոր

համընթաց շարժում հաղոր-

ուժերի ազդման գծերը հատվում են մի կետում (127-րդ

դող ուժերի ազդման գծերը

հատվում են մի կետում

նկարում՝ Օ կետը):

Այն ուղիղների հատման կետը, որոնց երկայնքով ազդող ուժերը մարմնին

հաղորդում են միայն համընթաց շարժում, կոչվում է մարմնի զանգվածների

(իներցիայի) կենտրոն:

Եթե մարմինը մեկ կամ մի քանի ուժերի ազդեցությամբ շարժվում է համըն-

թաց, ապա նշանակում է, որ այդ ուժի կամ բոլոր ուժերի համազորի ուղղությունն

ԳԼՈՒԽ

VIII. ՍՏԱՏԻԿԱ

145

անցնում է մարմնի զանգվածների կենտրոնով: Մարմնի զանգվածների կենտրոնն

այդ դեպքում շարժվում է այնպես, որ, կարծես, նրան մեջ է կենտրոնացված մարմ-

նի ողջ զանգվածը, և այդ կետում են կիրառված մարմնի վրա ազդող բոլոր ուժերը:

Մարմնի չափերի հաշվի առնելն առաջացնում է որոշակի դժվարություն՝ պայ-

մանավորված այն հանգամանքով, թե որ կետում է կիրառված նրա վրա ազդող

ծանրության ուժը: Չէ± որ ծանրության ուժն ազդում է մարմնի բոլոր մասերի վրա:

Յուրաքանչյուր պինդ մարմին կարելի է պատ-

կերացնել իբրև Dm1, Dm2,

$ $$ Dmn

զանգվածներով

առանձին տարրերի (նյութական կետերի) համախումբ:

Մարմնի յուրաքանչյուր տարրի վրա Երկիրն ազդում է

ծանրության ուժով: Եթե մարմնի չափերն աննշան են

Երկրի շառավղի համեմատությամբ, ապա նրա բոլոր

տարրերին կիրառված ծանրության ուժերն իրար զու-

Նկ.128. Մարմնի տար-

րական մասերի ծանրու-

գահեռ են և ուղղված են միևնույն կողմը, այն է՝ ուղղաձի-

թյան ուժերի համազորի

գով դեպի ներքև (նկ. 128): Հետևաբար՝ այդ տարրական

կիրառման O կետը մարմնի

ծանրության ուժերն ունեն համազոր, որի F_ծ մոդուլը

ծանրության կենտրոնն է:

տարրական ծանրության ուժերի մոդուլների գումարն է՝

Fp=Dm1g+Dm2g

+$$$+Dmng

, որտեղ g-ն ազատ անկման արագացման մոդուլն

է՝ g =

, իսկ g մարմնի զբաղեցրած ծավալի բոլոր մասերում նույնն է: Այդ հա-

մազորն էլ հենց մարմնի վրա ազդող F_ծ ծանրության ուժն է, որի կիրառման կետն

անվանում են մարմնի ծանրության կենտրոն: Այսպիսով՝ մարմնի բոլոր մասե-

րի վրա ազդող ծանրության ուժերի համազորի կիրառման կետն անվանում են

ծանրության կենտրոն:

Մարմնի ծանրության կենտրոնի դիրքը կախված է մարմնի ձևից և նրա մեջ

զանգվածի բաշխումից: Կամայական ձև ունեցող մարմնի ծանրության կենտրոնի

դիրքը կարելի է որոշել փորձնական եղանակով:

Պարզության համար վերցնենք որևէ հարթ առարկա

(օրինակ՝ թիթեղի կտոր) և կախենք նրա A կետից (նկ. 129):

Դադարի վիճակում թիթեղի դիրքն այնպիսին է, որ կախ-

ման կետով տարված ուղղաձիգ ուղիղն անցնում է ծանրու-

թյան կենտրոնով: Իրոք, այդ դեպքում ծանրության ուժը

հավասարակշռվում է թելի հակազդեցության ուժով: Քանի

որ վերջինս ուղղված է թելի երկայնքով, ապա ծանրության

ուժը նույնպես պետք է ուղղված լինի թելի երկայնքով: Եթե

Նկ.129. A և B

ծանրության ուժն ուղղված չլիներ թելի երկայնքով, ապա

կախման կետերով

մարմնի վրա ազդող ուժերի մոմենտների գումարը զրո չէր

տարված ուղղա-

լինի« և մարմինը չէր լինի հավասարակշռության վիճակում:

ձիգների հատման O

կետը մարմնի ծանրու-

Այսպիսով՝ թիթեղի ծանրության կենտրոնը թիթեղի կախման

թյան կենտրոնն է:

կետից տարված ուղղաձիգի վրա է: Թիթեղի վրա նշենք այդ

ուղղությունը: Ծանրության կենտրոնի դիրքը որոշելու համար այժմ թիթեղը կա-

խենք նրա մեկ ուրիշ՝ B կետից և դարձյալ նույն ձևով նշենք այն ուղիղը, որի վրա

ընկած է թիթեղի ծանրության կենտրոնը: Փորձը ցույց է տալիս, որ թիթեղը կա-

մայական կետից կախելիս վերը նշված եղանակով որոշված ուղիղները հատվում

146

ՖԻԶԻԿԱ 10

են միայն մի կետում: Քանի որ ծանրության կենտրոնը պետք է պատկանի նշված

ուղիղներից յուրաքանչյուրին, ապա այդ ուղիղների հատման O կետը թիթեղի ծան-

րության կենտրոնն է:

Փորձերը ցույց են տալիս, որ ազատ ընկնող մարմինը, եթե մինչև անկման

սկիզբը նրան պտտական շարժում չի հաղորդվել, կատարում է համընթաց շար-

ժում: Ուրեմն՝ ծանրության ուժը մարմնին հաղորդում է միայն համընթաց շար-

ժում, հետևաբար՝ մարմնի ծանրության կենտրոնը համընկնում է նրա զանգված-

ների կենտրոնին: Հարկավոր է ընդգծել, սակայն, որ ՙզանգվածների կենտրոն՚ և

ՙծանրության կենտրոն՚ հասկացություններն իրարից տարբերվում են: Եթե մարմ-

նի չափերն այնպիսին են, որ նրա զբաղեցրած ծավալի տարբեր մասերում ազատ

անկման g արագացումը նույնը չէ, ապա մարմնի ծանրության կենտրոնը և զանգ-

վածների կենտրոնը իրար չեն համընկնում:

Ծանրության կենտրոնի կոորդինատները: Զուգահեռ ուժերի համազո-

րի որոշման կանոնը հնարավորություն է տալիս գտնել կամայական ձև ունե-

ցող մարմնի ծանրության կենտրոնի դիրքը: Պարզության համար ենթադրենք՝

այդ մարմինը բավականաչափ բարակ, համասեռ ձող է (նկ. 130): Ox կոոր-

դինատային առանցքն ուղղենք ձողի երկայնքով: Մտովի ձողը բաժանենք

D Dm2,

$ $$ Dmn

զանգվածներով այնքան

փոքր մասերի, որ դրանցից յուրաքանչյուը

հնարավոր լինի համարել նյութական կետ:

Ձողի i -րդ տարրի կոորդինատը նշանակենք

x_i -ով (i = 1,2,$$$, n), իսկ ձողի ծանրության

C կենտրոնի կոորդինատը՝ xc -ով: Քանի

որ ձողի ծանրության ուժը նրա առանձին

տարրերի վրա ազդող ծանրության ուժե-

րի համազորն է, ապա որևէ O կետով անց-

Նկ. 130. P ծանրության ու-

ժի մոմենտը O կետի նկատ-

նող պտտման առանցքի նկատմամբ նրա

մամբ տարրական մասերի

մոմենտը հավասար է առանձին տարրերի

Pi (i

1, 2,$ $$, n)

ծանրության

ծանրության ուժերի մոմենտների գումարին՝

ուժերի մոմենտների գումարն է:

M =M1+M

+ $$$+

(8.14)

Հաշվի առնելով, որ M = mgx_c « որտեղ m = Dm1+ Dm2+ $$$+ Dmn գու-

մարը ձողի զանգվածն է, կստանանք՝

mgx

=Dm1gx

+Dm2gx

+ $$$+ Dmngx

(8.15)

որտեղից

Dm1x

Dm2x

+$$$+Dmnx

(8.16)

Նմանատիպ բանաձևերով որոշվում են նաև կամայական ձև ունեցող

մարմնի ծանրության կենտրոնի y_C և z_C կոորդինատները:

Հաշվարկները ցույց են տալիս, որ համասեռ ձողի ծանրության կենտ-

րոնը նրա միջնակետն է, հարթ եռանկյունաձև համասեռ թիթեղի ծանրության

կենտրոնը՝ նրա միջնագծերի հատման կետը, համաչափության կենտրոն ու-

ԳԼՈՒԽ

VIII. ՍՏԱՏԻԿԱ

147

նեցող համասեռ մարմիններինը՝ (ուղղանկյունաձև կամ շրջանաձև թիթեղ,

օղակ, գլան, գունդ և այլն)՝ նրանց երկրաչափական կենտրոնը:

Եթե մարմնի առանձին մասերի ծանրության կենտրոնների կոորդինատ-

ները հայտնի են, ապա նրա ծանրության կենտրոնի կոորդինատները գտնելու

համար կարելի է յուրաքանչյուր մասը փոխարինել նույնպիսի զանգվածով

նյութական կետով և տեղադրել այդ մասի ծանրության կենտրոնում: Ստաց-

ված նյութական կետերից կազմված համակարգի ծանրության կենտրոնն էլ

կլինի մարմնի ծանրության կենտրոնը:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ո±ր կետն են անվանում մարմնի զանգվածների կենտրոն: 2. Ինչպե՞ս պետք է ուղղված

լինի այն ուժը, որը պինդ մարմնին հաղորդում է հանընթաց շարժում: 3. Նկարագրե°ք

փորձ, որով կարելի է որոշել մարմնի զանգվածների կենտրոնը: 4. Ո±ր կետն են անվա-

մում մարմնի ծանրության կենտրոն: 5. Ինչպե՞ս կարելի է որոշել թիթեղի ծանրության

կենտրոնը: 6. Ե±րբ են համընկնում մարմնի ծանրության կենտրոնի և զանգվածների

կենտրոնի դիրքերը: Իսկ ե±րբ չեն համընկնում: 7. Ի՞նչ բանաձևերով են որոշվում մարմնի

ծանրության կենտրոնի x_C, y_C և z_C կոորդինատները:

48.

ՀԱՎԱՍԱՐԱԿՇՌՈՒԹՅԱՆ ՏԵՍԱԿՆԵՐԸ

Եթե տվյալ պահին մարմինը դադարի մեջ է, ապա չի նշանակում, որ այն այդ

վիճակում կմնա որքան ասես երկար ժամանակ: Իսկապես, յուրաքանչյուր մար-

մին, այս կամ այն չափով, միշտ էլ ենթարկվում է պատահական ուժերի ներգոր-

ծության, որը վերացնել, նույնիսկ սկզբունքորեն, հնարավոր չէ: Պարզելու համար«

կարո±ղ են արդյոք այդ պատահական ներգործությունները մարմինը դուրս բերել

դադարի վիճակից, թե՞ ոչ, հարկավոր է հետազոտել մարմնի վրա ազդող համա-

զոր ուժի փոփոխությունը, երբ մարմինը փոքր-ինչ շեղում ենք դադարի դիրքից:

Հետևաբար՝ ստատիկայի կարևոր խնդիրներից մեկը պարզելն է, թե ինչ դիրքե-

րում մարմինը բավականաչափ երկար կմնա դադարի վիճակում: Ակներև է, որ

այդ դիրքերում մարմնի վրա պետք է ազդի հավասարակշռված ուժերի համակարգ:

Այդպիսի դիրքերն անվանում են հավասարակշռության դիրքեր:

Մարմինը հավասարակշռության դիրքից թեկուզ աննշան շեղելիս, որպես կա-

նոն, փոխվում են նրա վրա ազդող ուժերը: Եվ հնարավոր է, որ ուժերի համակարգը

դառնա չհավասարակշռված: Մարմնի հավասարակշռությունը նույնպես կխախտ-

վի: Եթե փոփոխված ուժերի ազդեցությամբ մարմինը վերադառնում է հավասա-

րակշռության դիրք, ապա այդպիսի հավասարակշռությունն անվանում են կայուն:

Հնարավոր է նաև, որ փոփոխված ուժերի ազդեցությամբ մարմինը շարունակի հե-

ռանալ հավասարակշռության դիրքից, և խախտված հավասարակշռությունը չվե-

րականգնվի: Այդպիսի հավասարակշռությունն անվանում են անկայուն:

Եթե հավասարակշռության դիրքից մարմինը մեկ ուրիշ դիրք տեղափոխելիս

մարմնին կիրառված ուժերի համակարգը չի փոխվում և դարձյալ մնում է հավա-

սարակշռված, ապա բոլոր նոր դիրքերը նույնպես կլինեն հավասարակշռության

դիրքեր: Այդօրինակ հավասարակշռությունն անվանում են անտարբեր:

148

ՖԻԶԻԿԱ 10

Հավասարակշռության բոլոր թվարկված դիրքերը պատկերված են 131-րդ

նկարում:

Նկ.131. ա. Կայուն հավասարակշռություն. գնդիկը հավասարակշռության ստորին դիրքից

շեղելիս P ծանրության ուժի և հենարանի N հակազդեցության ուժի R համազորը գնդիկը

վերադարձնում է հավասարակշռության դիրք: բ. Անկայուն հավասարակշռություն. գնդիկը

հավասարակշռության վերին դիրքից շեղելիս R համազորն այն հեռացնում է այդ դիրքից:

գ. Անտարբեր հավասարակշռություն. գնդիկը հավասարակշռության (հորիզոնական

հարթության կամայական) դիրքից շեղելիս գնդիկի հավասարակշռությունը չի խախտվում:

Առօրյա կյանքում շատ կարևոր է իմանալ, թե որքան կայուն են այնպիսի մար-

մինների հավասարակշռության դիրքերը, որոնք հենված են հորիզոնական մակե-

րևույթին (օրինակ՝ սեղան, արկղ և այլն): Այս դեպքերում կայունության պայմա-

նը հետևյալն է. հավասարակշռության համար անհրաժեշտ է, որ ծանրության

կենտրոնից իջեցված ուղղաձիգ ուղիղն անցնի մարմնի հենման մակերեսի ներ-

սով: (Սեղանի հենման մակերես ասելով պետք է հասկանալ հորիզոնական հա-

տակի այն մասը, որն ընկած է սեղանի ոտքերի հենման կետերը միացնող եզրագծի

ներսում:) Այդ դեպքում հավասարակշռությունը կայուն է (նկ. 132):

Նկ.132. ա. Սեղանը կայուն հավասարակշռության դիրքում է. P ծանրության ուժի ազդման

գիծն անցնում է սեղանի հենման մակերեսով: բ. Կայուն հավասարակշռության դիրքից

սեղանը թեքելիս ծանրության կենտրոնը բարձրանում է: գ. Սեղանը թեքված է

սահմանային a անկյունով. a-ից մեծ անկյունով թեքելիս սեղանն ընկնում է կողքի վրա:

Այս դիրքում հավասարակշռությունն անկայուն է:

Տրված հենման մակերեսի դեպքում ինչքան բարձր է ծանրության կենտրոնը,

այնքան փոքր է a սահմանային անկյունը: Դա նշանակում է, որ սեղանը կայուն

հավասարակշռության դիրքից անկայուն հավասարակշռության դիրք կարելի է

բերել ավելի փոքր անկյամբ թեքելով: Օրինակ՝ ջրով լի գլանաձև բաժակի ծան-

րության կենտրոնն ավելի բարձր դիրքում է, հետևաբար՝ հավասարակշռությունն

ավելի պակաս կայուն է, քան այն նույնանման բաժակինը, որը կիսով չափ լցված

է սնդիկով, կիսով չափ՝ ջրով: a սահմանային անկյունը կարելի է մեծացնել (և դրա-

նով իսկ առավել կայուն դարձնել հավասարակշռությունը) նաև՝ մեծացնելով հեն-

ման մակերևույթի մակերեսը: Օրինակ՝ կանգնած մարդու հավասարակշռությունն

ավելի կայուն է, երբ նա հենված է երկու ոտքի վրա:

ԳԼՈՒԽ

VIII. ՍՏԱՏԻԿԱ

149

Մարմինների հավասարակշռության կայունությունն ունի գործնական մեծ

նշանակություն: Օրինակ՝ շենքերի և շինությունների կայունության և ամրության

ապահովումը շինարարական գործի հիմնական խնդիրներից է: Հավասարակշռու-

թյան կայունության հարցերին մեծ տեղ է տրվում նաև տեխնիկայում. մեքենաների

և տեխնիկական կառույցների ստատիկ կայունության խնդիրը խիստ կարևոր է

դրանց շահագործման համար:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ո±ր հավասարակշռությունն են անվանում՝ ա) կայուն, բ) անկայուն, գ) անտարբեր: 2.

Բնութագրե°ք այն մարմինների հավասարակշռությունը, որոնք ունեն՝ ա) հենման կետ,

բ) կախման կետ, գ) հենման մակերես: Ինչպիսի՞ն են այդ մարմինների հավասարա-

կշռության պայմանները: 3. Հորիզոնական սեղանին դրված են անհավասար նիստե-

րով ուղղանկյունանիստի ձև ունեցող երկու միատեսակ չորսուներ, մեկը՝ պողպատից,

մյուսը՝

փայտից: ա) Ո±ր չորսուի հավասարակշռությունն է ավելի կայուն: Ինչու±: բ)

Չորսուներից մեկը դրեք ուրիշ նիստի վրա: Ավելի թե՞ պակաս կա-

յուն

դարձավ հավասարակշռությունը: Ինչու±: 4. Մանկությունից

բոլորիդ ծանոթ ՙԿոստան-նստան՚ խաղալիքը կողքի թեքելիս և

բաց թողնելիս միշտ վերադառնում է իր սկզբնական ուղղաձիգ

դիրքը (տե°ս նկարը): Բացատրե°ք, թե ինչու: 5. Բլրի լանջով վեր

բարձրանալիս մարդը, սովորաբար, թեքվում է առաջ, իսկ ցած իջ-

նելիս՝ հետ: Ինչու±: 6. Ո±ր մարդու հավասարակշռությունն է նավա-

կում ավելի կայուն՝ կանգնած, թե՞ նստած: Բացատրե°ք, թե ինչու:

7. Ծանրության կենտրոնով անցնող առանցքին ամրացված մարմինը միշտ կայուն հա-

վասարակշռության մեջ է: Ինչու±: 8. Նստեք աթոռին՝ իրանն ուղղաձիգ պահած, իսկ ոտ-

քերն աթոռի տակ չքաշած: Այժմ փորձեք կանգնել՝ չփոխելով ոտքերի դիրքը և մարմինն

առաջ չգցելով: Ոչ մի կերպ ձեզ չի հաջողվի վեր կենալ աթոռից, մինչև որ ոտքերը հետ

չքաշեք աթոռի տակ կամ իրանով առաջ չթեքվեք: Ինչու±:

49.

ԼԱԲՈՐԱՏՈՐ ԱՇԽԱՏԱՆՔ 6

Հարթ թիթեղի ծանրության կենտրոնի որոշումը

Աշխատանքի նպատակը. որոշել անկանոն ձև ունեցող թի-

թեղի ծանրության կենտրոնը:

Սարքեր և նյութեր. քանոն, անկանոն ձև ունեցող հարթ թի-

թեղ, ինչպես նաև եռանկյունաձև, շրջանաձև, զուգահեռագծի ձև

ունեցող թիթեղներ (բարակ ֆաներից կամ ստվարաթղթից), ուղղա-

լար, գնդասեղ, ամրակալան կցորդիչով և թաթիկով, փոքրիկ մեխեր

կամ կոճգամներ:

Փորձի կատարման ընթացքը

1. Թելի մի ծայրն ամրացրեք ամրակալանին: Այդ նույն կետից կախեք նաև

ուղղալարը:

Անկանոն ձևի թիթեղին երեք տարբեր կետերում ամրացրեք փոքրիկ մեխեր

(կամ կոճգամեր)՝ դրանց դիրքերը նշելով A, B և C տառերով:

3. Թելի մյուս ծայրն ամրացրեք A դիրքում թիթեղին գամված մեխին, և ապա

թիթեղը բաց թողեք:

150

ՖԻԶԻԿԱ 10

4. Հավասարակշռության վիճակում մատիտով նշեք թիթեղի վերին և ստորին

այն դիրքերը, որոնցով անցնում է ուղղալարը:

5. Իջեցնելով թիթեղը՝ նրա վրա գծեք նշված կետերով անցնող ուղիղ:

6. Կրկնեք փորձը՝ թիթեղը կախելով B դիրքում գամված մեխից:

Գծված ուղիղների հատման կետը նշեք O տառով, և դարձյալ կրկնեք փոր-

ձը՝ թիթեղը կախելով C դիրքից:

8. Համոզվեք, որ C կախման կետով անցնող ուղղաձիգ ուղիղն անցնում է O

կետով:

9. Փորձը կրկնեք՝ որոշելով կանոնավոր ձև ունեցող թիթեղների ծանրության

կենտրոնները:

10. Այն առարկաները, որոնց ծանրության կենտրոնները որոշել եք, փորձեք

հավասարակշռել գնդասեղի սայրի վրա: Համոզվեք, որ առարկան հավա-

սարակշռության մեջ է, եթե նրա ծանրության կենտրոնը համատեղվել է

ասեղի սայրին:

Խնդիրների լուծման օրինակներ

1. Միևնույն O կետում՝ նույն հարթության մեջ, կի-

րառված են մոդուլով հավասար հինգ ուժեր, որոնց

վեկտորների ծայրակետերը կանոնավոր հնգան-

կյան գագաթներ են: Որոշեք այդ ուժերի R համա-

զորը:

Լուծում: Ըստ խնդրի պայմանի՝ երկու ամենամոտ ու-

ժերի կազմած անկյունը 72 է, ուստի՝ +AOB = 72c,

որտեղ

Զուգահեռագծի կանոնով կառուցենք OA և OB վեկտորնե-

րի գումարը՝ OM վեկտորը: AOM եռանկյունից՝

cos 36c

= 2F cos 36c:

OM և OD վեկտորների ազդման գծերը համընկնում են: Նույն ազդման գծի

վրա է նաև OC և OE վեկտորների գումար ON վեկտորը: OEN եռանկյունից՝

= 2F cos 72c, հետևաբար՝

^OA + OBh+^OC + OEh

OM + ON

= 2F (cos 36c- cos 72c) =

2Fsin54csin36c

Fsin54csin72c

4Fsin18csin54c

cos18c

cos18ccos36c

Այսպիսով՝ OA, OB, OC և OE չորս ուժի վեկտորների գումարը հակադիր է OD

վեկտորին, որից էլ հետևում է, որ դիտարկվող հինգ ուժերի վեկտորական գումարը

(համազորը) զրո է:

Պատասխան՝ R = 0:

2. m զանգվածով բեռը դրված է ողորկ թեք հարթության վրա: Բեռը հավա-

սարակշռության մեջ է, երբ նրան կիրառված է F հորիզոնական ուժը (տես

նկարը): Որոշեք F ուժի բացարձակ արժեքը: Ի՞նչ Nl ուժով

է բեռը ճնշում թեք հարթությունը:

Լուծում: Բեռի վրա ազդում են՝ P = mg ծանրության ուժը,

N հակազդեցության ուժը և F կիրառված ուժը: Բեռը հա-

վասարակշռության մեջ է, ուստի՝ N հակազդեցության ուժը

հակադիր է P և F ուժերի Q համազորին՝ N =- Q, որտեղ Q

ԳԼՈՒԽ

VIII. ՍՏԱՏԻԿԱ

151

ուժի մոդուլն այն ուղղանկյան անկյունագծի երկարությունն է, որի կողմերը հա-

վասար են P և F բաղադրիչ ուժերի մոդուլներին: Հետևաբար՝ F = mgtga, իսկ

Q = P cosa = mg cosa: Համ աձ այն Նյուտոն ի 3-րդ օրենք ի՝ Nl =- N, ուստի՝

Nl = N = Q = mg cosa:

Պատասխան՝ F = mgtga, Nl = mg cosa:

3. Անշարժ ճախարակի վրայով գցված պարանի մի ծայրից կախ-

ված է m

կգ զանգվածով բեռ: Պարանի մյուս ծայրն ամրաց-

ված է հորիզոնական հատակին դրված m

2 =

կգ զանգվածով

ծանրոցին (տես նկարը): Համակարգը հավասարակշռության մեջ

է: Որոշել պարանի լարման ուժը և ծանրոցի գործադրած ճնշման

ուժը հատակին: Թելի և ճախարակի զանգվածները, ինչպես նաև

համակարգում հնարավոր բոլոր շփման ուժերն անտեսեք:

Լուծում: Բեռի վրա ազդում են m1g ծանրության ուժը և պարանի T

լարման ուժը, իսկ ծանրոցի վրա՝ m2g ծանրության ուժը, թելի T լար-

ման ուժը և հենարանի N հակազդեցության ուժը: Համակարգը հա-

վասարակշռության մեջ է, ուստի՝ T +m1g

0, N +T +m2g

կամ, պրոյեկտե-

լով Ox առանցքի վրա՝ T m1g

0, N +T m2g

: Լուծելով այս համակարգը՝

ստանում ենք՝ T = m1g, N

(m2-m1) g:

Ծանրոցի գործադրած ճնշման ուժը՝

Nl =- N, հետևաբ ար՝ Nl

(m2-m1) g

: Տեղադրելով m1, m₂ , և g մեծություն-

ների թվային արժեքները՝ կստանանք՝ T = 19, 6 G, Nl = 29, 4 G:

Պատասխան՝ T = 19,6 G, Nl = 29,4 G:

4. Ուղղաձիգ ողորկ պատին A կետում ամրացված թելի ծայրից

կախված է m զանգվածով գունդը (տես նկարը): Որքա±ն են թելի

ձգման T ուժի և պատին գնդի ճնշման Nl ուժի մոդուլները, եթե

գնդի շառավիղը R է, թելի երկարությունը՝ l:

Լուծում: Ըստ խնդրի պայմանի՝ գունդը հավասարակշռության մեջ

է, ուստի՝ գնդի P = mg ծանրության ուժը, պատի հակազդեցության

N ուժը և թելի ձգման T ուժն ընկած են նույն հարթության մեջ, իսկ

նրանց ազդման գծերը հատվում են գնդի կենտրոնում: Հավասարա-

կշռության վիճակում՝

Px+Nx+T

sin

)

կամ՝

Py+Ny+T

cos

Գծագրից sin a = R (l + R), իսկ cosa=

R)2 R

R), հետևաբար՝

mg(l

mgR

cosa

R2 ⁺R

Նյուտոնի երրորդ օրենքից Nl = N :

mg(l

mgR

Պատասխան՝

5. m =100 կգ զանգվածով բեռը կախված է բարձակից: ABC անկյունը՝

a = 60c (տես նկարը): Որոշել բարձ ակ ի վրա ազդ ող ուժ եր ը: Բարձ ակ ի զանգ-

վածն անտեսել:

152

ՖԻԶԻԿԱ 10

Լուծում: Ընտրում ենք xOy կոորդինատային համակարգը

(տես նկարը): Բարձակին կիրառված են պարանի ձգման

2 հակազդեցության ուժերը (ուղ-

ղահայաց են պատին) և C եզրով անկյունային մասի N₃

հակազդեցության ուժը

(ուղղված

է ուղղաձիգով վեր):

Համաձայն հավասարակշռության

առաջին պայմանի՝

N2-N

N3-T

Բեռի վրա ազդում են՝ P = mg

ծանրության ուժը և պարանի ձգման T l ուժը, ընդ որում«

Tl =- T, Tl = T« հետևաբ ար՝ T - mg = 0:

Այսպիսով՝

N₁-ը որոշենք օգտվելով մոմենտների կանոնից: Ենթադրենք՝ պտտման առանցքն

անցնում է C կետով՝ ուղղահայաց նկարի հարթությանը: Հնարավոր պտույտի ուղ-

ղություն համարելով ժամսլաքի շարժման ուղղությունը՝ կստանանք, որ T ուժի մո-

մենտը դրական է, N₁ ուժինը՝ բացասական: T ուժի բազուկը՝ AB = l cos a, իսկ

N₁ ուժի բազուկը՝ AC = lsina, որտեղ l = BC: Հետևաբար՝ Tlcos

N1lsin

որտեղից՝ N1= N2 = mgctga:

Եթե N₂ և N₃ ուժերի համազորը նշանակենք R -ով, ապա կարող ենք ասել, որ R

ուժն ուղղված է BC-ի երկայնքով: Իրոք, բարձակը հավասարակշռության մեջ է,

ուստի՝ R , N₁ և T

երեք ուժերի ազդման գծերը պետք է հատվեն մեկ կետում (B

կետում): Նշանակում է՝ R -ը պետք է ուղղված լինի BC-ով: Տեղադրելով թվային

արժեքները՝ ստանում ենք՝ T = N₃ =980 Ն, N1= N2 =577 Ն:

Պատասխան՝ T = N₃ =980Ն, N1= N2 =577Ն:

6. Համասեռ ձողը հենված է ողորկ պատին: Հատակի նկատմամբ ի՞նչ նվա-

զագույն թեքության դեպքում ձողը դեռ չի սահի, եթե ձողի և հատակի շփման

գործակիցը n է:

Լուծում: Ձողի վրա ազդում են P ծանրության ուժը՝ կի-

րառված ձողի C միջնակետում, դադարի շփման F_mq ուժը՝

ուղղված ձողի ներքևի A ծայրի հնարավոր շարժմանը հա-

կադիր, հենարանների հակազդեցության N₁ և N₂ ուժերը՝

ուղղահայաց, համապատասխանաբար, հատակին և պա-

տին: Քանի որ պատը ողորկ է« ապա ձողի վերին B ծայրին

ազդող պատի շփման ուժը կարող ենք անտեսել: Հավասարակշռության առաջին

պայմանից՝ P+Fmq +N1+N

ստանում ենք՝ N₂ - F

= 0, N1-P

Դիցուք՝ պտտման առանցքն անցնում է A կետով և ուղղահայաց է նկարի հարթու-

թյանը: Այդ առանցքի նկատմամբ N

1 և Fmq ուժերի մոմենտները զրո են: Որոշենք

ընտրված առանցքի նկատմամբ P և N₂ ուժերի d₁ և d₂ բազուկները: d₁-ը P ծան-

րության ուժի ազդման գծի հեռավորությունն է A կետից՝ d1= AC cos

(

) cos

որտեղ l-ը ձողի երկարությունն է: d₂ -ը N₂ ուժի ազդման գծի հեռավորությունն

է A կետից (հատակից)՝ d2 = OB = l sin a: Հնարավոր պտույտի ուղղություն հա-

մարենք ժամսլաքի շարժման հակադիր ուղղությունը: Հետևաբար’ P ուժի մո-

մենտն ընտրված առանցքի նկատմամբ՝ M1=Pd =P (l

) cos

, իսկ N₂ ուժինը՝

M2=-N2d2=-N2lsin

Համաձայն մոմենտների կանոնի՝

P cosa-

N2lsina=

ԳԼՈՒԽ

VIII. ՍՏԱՏԻԿԱ

153

Քանի որ F_mq -ը դադարի շփման ուժի առավելագույն արժեքն է, ապա F

Այսպիսով՝ ստանում ենք երեք հավասարում՝

N2=nN1, N1=P, cosa-

sina=

որտեղից՝ tga

Պատասխան՝ a = arctg(1

2n):

7. Որոշել բավականաչափ բարակ համասեռ թիթեղի ծանրու-

թյան կենտրոնի կոորդինատները: Թիթեղի չափերը ներկա-

յացված են նկարում:

Լուծում: Թիթեղը տրոհենք երկու մասի՝ S

մակերեսով 1

ուղղանկյան և S2=a

մակերեսով 2 եռանկյան: Համաձայն

(8.16) բանաձևի՝

= Dm1x

+Dm2x2) m, y

= Dm1y

+Dm2y2) m:

Թիթեղի զանգվածը՝ m =Dm1+Dm

=tS

+tS

, որտեղ t-ն թիթեղի միավոր մա-

կերեսին համապատասխանող զանգվածն է: Նկարից երևում է, որ

y1= a,

2 =

a+ a

2 =

a+ a

հետևաբար՝

a2, m

= ta2, Dm

= t

= ta

+ t

= t

2ta

ta2 4a

2ta

ta2 3a

Պատասխան՝ x

c =

3, y

c =

8. Համասեռ հարթ թիթեղից կտրված է R շառավղով հոծ սկավա-

ռակ, որից հանված է r = R 2 շառավղով շրջան, որի O1 կենտ-

րոնի հեռավորությունը սկավառակի O կենտրոնից r = R 2 է:

Որոշել ստացված առարկայի ծանրության կենտրոնի դիրքը:

Լուծում: Կոորդինատների O սկզբնակետը համատեղենք սկավա-

ռակի O կենտրոնին, իսկ x և y առանցքներն ուղղենք այնպես, ինչ-

պես ցույց է տրված նկարում:

Պատկերացնենք, որ ստացված առարկան կազմված է t խտությամբ սկավա-

ռակից և -t խտությամբ փոքր սկավառակից: Այդ դեպքում, համաձայն (8.16)

բանաձևերի, առարկայի C ծանրության կենտրոնի x_c և y_c կոորդինատները՝

= Dm1x

+Dm2x2) m, y

= Dm1y

+Dm2y2) m«

որտեղ Dm₁-ը սկավառակի

զանգվածն է՝ Dm

, իսկ D m₂ -ը՝ փոքր շրջանի զանգվածը՝ Dm

=-t $rR

(t-ն սկավառակի միավոր մակերեսին համապատասխանող զանգվածն է): Ուս-

տի՝ առարկայի զանգվածը՝ m =Dm

+Dm

3trR

4: Քանի որ x1= 0, y1=

R 2, y

ապա

trR2 R

trR

Պատասխան՝ xc=-R 6, y

c =

154

ՖԻԶԻԿԱ 10

ԳԼՈՒԽIX

ՊԱՀՊԱՆՄԱՆ ՕՐԵՆՔՆԵՐԸ

ՄԵԽԱՆԻԿԱՅՈՒՄ

ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ

Գոյություն ունեն ֆիզիկական մեծություններ, որոնք մարմինների փոխազ-

դեցության ընթացքում և որոշակի պայմաններում չեն փոփոխվում: Այդպիսի

մեծություններ են, օրինակ, էներգիան և իմպուլսը: Այն պնդումը, որ փոխազդող

մարմինների համակարգը որպես ամբողջություն բնութագրող որևէ ֆիզիկական

մեծություն ժամանակի ընթացքում պահպանվում է, կրում է պահպանման օրենք

անվանումը:

Եթե որևէ համակարգում հայտնի են մարմինների սկզբնական կոորդինատ-

ներն ու արագությունները և մարմինների վրա ազդող բոլոր ուժերը, ապա Նյուտո-

նի երկրորդ օրենքը հնարավորություն է տալիս սկզբունքորեն լուծելու մեխանի-

կայի հիմնական խնդիրն այդ համակարգի համար, այսինքն՝ որոշել համակարգի

յուրաքանչյուր մարմնի դիրքը տարածության մեջ՝ ժամանակի յուրաքանչյուր պա-

հի: Այս դեպքում հարց է ծագում. ի՞նչ դեր ունեն պահպանման օրենքները:

Պահպանման օրենքները հնարավորություն են տալիս համակարգի մասին

ստանալու առավել ընդհանրական տեղեկություններ: Դրանց օգնությամբ հնա-

րավոր է միանգամից բացառել որոշ երևույթներ՝ առանց մանրամասն քննարկելու

դրանց առաջացման մեխանիզմները: Օրինակ՝ այլևս ժամանակ չեն ծախսում հա-

վերժական շարժիչ նախագծելու համար, քանի որ դրա գոյությունը հակասում է

էներգիայի պահպանման օրենքին:

Պահպանման օրենքները կարող են օգտագործվել նաև այն դեպքերում, երբ

հայտնի չեն համակարգում գործող ուժերը: Նույնիսկ եթե հայտնի են մարմինների

վրա ազդող ուժերը, պահպանման օրենքների կիրառումը որոշ դեպքերում էապես

հեշտացնում է խնդրի լուծումը:

Պահպանման օրենքները ֆիզիկայի հիմնարար օրենքներ են: Դրանք բացա-

ռիկ կարևոր դեր ունեն, որովհետև կիրառելի են ոչ միայն մեխանիկայում, այլև ֆի-

զիկայի մյուս բաժիններում:

Մեխանիկայում պահպանման օրենքներն ուսումնասիրելու համար նախ

պետք է պարզել մարմնի շարժման վիճակի փոփոխության կապը նրա վրա ազ-

դող ուժի տարածական և ժամանակային ազդեցության բնութագրերի հետ: Ուժի

տարածական ազդեցությունը բնութագրում է ուժի և տեղափոխության F $ s սկալ-

յար արտադրյալը, որն ուսումնասիրելով կհանգենք էներգիայի պահպանման

ԳԼՈՒԽ

IX. ՊԱՀՊԱՆՄԱՆ ՕՐԵՆՔՆԵՐԸ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅՈՒՄ

155

օրենքին: Ուժի ժամանակային ազդեցությունը բնութագրող« ուժի և նրա ազդման

տևողության Ft արտադրյալն ուսումնասիրելով՝ կհանգենք իմպուլսի պահպան-

ման օրենքին:

50.

ՄԵԽԱՆԻԿԱԿԱՆ ԱՇԽԱՏԱՆՔ

Էներգիայի պահպանման օրենքի հետ սերտորեն առնչվում է մեխանիկական

աշխատանք կոչվող ֆիզիկական մեծությունը, որի մասին նախնական պատկերա-

ցումներ տրվել են 7-րդ դասարանի ֆիզիկայի դասընթացում: Այժմ ծանոթանանք

մեխանիկական աշխատանքի առավել ընդհանուր սահմանմանը և նրա մի շարք

կարևոր հատկություններին:

Եթե մարմինն ուժի ազդեցությամբ տեղափոխվում է, ապա փոխվում է մարմ-

նի վիճակը, քանի որ փոխվում են մարմնի արագությունը և դիրքը տարածության

մեջ: Որքան մեծ է մարմնի վրա ազդող ուժը և նրա տեղափոխությունը, այնքան

շատ է փոխվում մարմնի վիճակը: Մարմնի վիճակի փոփոխությունը բնութագրող

մեծությունը, որը կախված է մարմնի վրա ազդող ուժից և տեղափոխությունից, կոչ-

վում է մեխանիկական աշխատանք: Առայժմ սահմանափակվենք հաստատուն

ուժի մեխանիկական աշխատանքի որոշմամբ: Մեխանիկական աշխատանք է

կոչվում է այն սկալյար ֆիզիկական մեծու-

թյունը, որը հավասար է մարմնի վրա ազ-

դող ուժի ու տեղափոխության վեկտորների

մոդուլների և այդ վեկտորներով կազմված

անկյան կոսինուսի արտադրյալին՝

Նկ©133© Աշխատանքը որոշվում է

ուժի և տեղափոխության վեկտորների

սկալյար արտադրյալով

cos a = Fscos

(9. 1)

Երկու վեկտորների սկալյար արտադրյալը հավասար է դրանց մոդուլների և

միմյանց հետ կազմած անկյան կոսինուսի արտադրյալին, ուստի՝ հաստատուն ու-

ժի մեխանիկական աշխատանքը կարելի է սահմանել նաև որպես ուժի և տեղափո-

խության վեկտորների սկալյար արտադրյալ (նկ. 133)՝

A = F $ s = Fscosa:

(9. 2)

Միավորների ՄՀ-ում ուժի միավորը նյուտոնն է, տեղափոխության միավորը՝

մետրը, ուստի աշխատանքի միավորը ՄՀ-ում կլինի 1 Ն.մ , որն անվանում են ջո-

ուլ՝ 1 Ջ = 1 Ն ©1 մ = 1 Նմ: (9.2) բանաձևի օգնությամբ սահմանենք ջոուլի ֆիզիկական

իմաստը: 1 ջոուլն այն աշխատանքն է, որը կատարում է 1 Ն հաստատուն

ուժը մարմինը 1մ տեղափոխելիս, երբ ուժի ազդման ուղղությունը համընկ-

նում է տեղափոխության ուղղությանը:

Աշխատանքի սահմանումից հետևում է, որ այն կարող է լինել և° դրական« և°

բացասական« ինչպես նաև ընդունել զրո արժեք: Աշխատանքի նշանը որոշվում

է ուժի և տեղափոխության վեկտորների կազմած անկյան կոսինուսի նշանով:

Դիտարկենք մի քանի մասնավոր դեպքեր:

1. Երբ a = 0, cosa =1, ուստի՝ կատարված աշխատանքը դրական է՝ A = Fs > 0:

Այս դեպքում ուժի ուղղությունը համընկնում է տեղափոխության ուղղությանը: Այդ-

156

ՖԻԶԻԿԱ 10

պիսի աշխատանք է կատարում հավասարաչափ շարժվող ավտոմեքենայի քար-

շի ուժն ուղղագիծ ճանապարհին, ընկնող մարմնի վրա ազդող ծանրության ուժը և

այլն: Ընդհանուր դեպքում աշխատանքը դրական է, եթե ուժը և տեղափոխությունը

կազմում են սուր անկյուն (0  a < 90), քանի որ այդ դեպքում cosa > 0:

2. Երբ a = 180, cos a = -1, ուստի՝ կատարված աշխատանքը բացասական

է՝ A = Fs < 0: Այս դեպքում ուժն ուղղված է տեղափոխությանը հակառակ: Մարմնի

տեղափոխությանը հակառակ են ուղղված սահքի և գլորման շփման ուժերը, հե-

ղուկում կամ գազում շարժվող մարմնի վրա ազդող դիմադրության ուժը, ուղղաձիգ

դեպի վեր շարժվող մարմնի վրա ազդող ծանրության ուժը, հեղուկում խորասուզ-

վող մարմնի վրա ազդող արքիմեդյան ուժը և այլն: Նշված ուժերը նկարագրված

դեպքերում կատարում են բացասական աշխատանք: Ընդհանուր դեպքում ուժի

աշխատանքը բացասական է, եթե ուժի և տեղափոխության կազմած անկյունը

բութ է կամ փռված (90  a  ), քանի որ այդ դեպքում cos a < 0:

3. Երբ a = 90, cos a = 0, հետևաբար՝ A = 0: Սա նշանակում է, որ տեղափո-

խությանն ուղղահայաց ուժն աշխատանք չի կատարում: Օրինակ՝ աշխատանք

չեն կատարում հորիզոնական ճանապարհով շարժվող ավտոմեքենայի վրա ազ-

դող ծանրության և ճանապարհի հակազդեցության ուժերը, մաթեմատիկական

ճոճանակի տատանումների ժամանակ թելի լարման ուժը և այլն: Աշխատանք չի

կատարում նաև Լորենցի ուժը« որը միշտ ուղղահայաց է մագնիսական դաշտում

շարժվող լիցքավորված մասնիկի արագության ուղղությանը:

Աշխատանքը զրո է նաև այն դեպքում, երբ մարմնի վրա ուժ է ազդում, սակայն

այն չի տեղափոխվում: Այս առումով մեխանիկական աշխատանքի սահմանումը

տարբերվում է առօրյա կյանքում օգտագործվող ՙաշխատանք՚ հասկացությու-

նից, երբ աշխատանք է համարվում կամայական գործողություն, որի ժամանակ

որոշակի ուժ է գործադրվում: Օրինակ՝ երբ մարդը ծանր բեռ է պահում, ասում են,

որ նա հոգնում է, աշխատանք է կատարում, մինչդեռ« համաձայն մեխանիկական

աշխատանքի սահմանման՝ բեռի վրա մարդու ազդող ուժի կատարած աշխա-

տանքը զրո է, քանի որ տեղափոխություն չի կատարվում:

Ուժը մարմինների փոխազդեցության բնութագիրն է, և եթե տվյալ մարմնի վրա

ուժ է ազդում, ապա այն բնութագրում է մեկ այլ մարմնի ազդեցությունը: Ուստի՝

հաճախ խոսում են ոչ թե ուժի կատարած աշխատանքի, այլ այդ ուժն առաջ բերող

մարմնի կատարած աշխատանքի մասին: Օրինակ՝ երբ տղան հրում է սահնակը,

ՙսահնակի վրա տղայի ազդող ուժի կատարած աշխատանք՚ ասելու փոխարեն

ասում են նաև ՙտղայի կատարած աշխատանք՚: Նմանապես, ՙշարժիչի ազդող

ուժերի կատարած աշխատանք՚ ասելու փոխարեն ասում են ՙշարժիչի կատարած

աշխատանք՚ և այլն:

Աշխատանքի վերը նշված սահմանումը վերաբերում է ինչպես ուղղագիծ,

այնպես էլ կորագիծ շարժմանը« երբ ազդող ուժը և° մոդուլով« և° ուղղությամբ մնում

է հաստատուն: Նշենք նաև, որ սահմանման մեջ մտնում է ոչ թե մարմնի անցած

ճանապարհը, այլ կատարած տեղափոխությունը: Այս սահմանումից բխում են

աշխատանքի հետևյալ կարևոր հատկությունները:

1. Հաստատուն ուժի աշխատանքը կախված չէ մարմնի շարժման հե-

տագծի ձևից: Այս հատկությունն աշխատանքի սահմանման պարզ հետևանք է:

ԳԼՈՒԽ

IX. ՊԱՀՊԱՆՄԱՆ ՕՐԵՆՔՆԵՐԸ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅՈՒՄ

157

Չէ± որ աշխատանքը սահմանվում է տեղափոխության միջոցով, որը կախված է

միայն մարմնի սկզբնական և վերջնական դիրքերից: Ինչ տեսք էլ ունենա մարմնի

հետագիծը (նկ. 134), նրա s տեղափոխությունը մարմնի սկզբնական դիրքը վերջ-

նական դիրքին միացնող վեկտորն է, որը բոլոր հետագծերի համար նույնն է, ուս-

տի՝ նույնն է նաև հաստատուն ուժի և տեղափոխու-

թյան սկալյար արտադրյալով որոշվող A = F $ s

աշխատանքը:

2. Հաստատուն ուժի կատարած աշխա-

տանքը փակ հետագծով զրո է: Իրոք, փակ հե-

Նկ.134. Հաստատուն ուժի

աշխատանքը կախված չէ

տագծով մարմնի տեղափոխությունը՝ s = 0, հե-

հետագծի ձևից:

տևաբար՝ A = F $ s = 0:

3. Հետագծի երկայնքով հաստատուն ու-

ժի կատարած աշխատանքը հավասար է հե-

տագծի առանձին տեղամասերում այդ ուժի կա-

տարած աշխատանքների հանրահաշվական

գումարին: Դիցուք՝ մարմինը A կետից տեղափոխ-

Նկ.135. Հաստատուն ուժի

վում է C կետ ABC հետագծով (նկ. 135): Հետագծի

աշխատանքը հետագծի

AB և BC տեղամասերում հաստատուն ուժի կատա-

ABC տեղամասում AB և BC

տեղամասերում կատարված

րած աշխատանքներն են՝ A1 = F $ s1, A2 = F $ s2

աշխատանքների գումարն է:

հետևաբար՝ A1 + A2 = F $ s1 + F $ s2 = F $ (s1 + s2):

Քանի որ (s1 + s2)-ը մարմնի կատարած ամբողջ s տեղափոխությունն է, ապա՝

A = A1+ A₂:

Հաստատուն ուժի աշխատանքի բանաձևն ունի նաև երկրաչափական մեկ-

նաբանություն: Նշվածը պարզաբանենք հետևյալ օրինակով: Դիցուք՝ հաստա-

տուն F0 ուժի ազդեցությամբ մարմինն ուժի ազդման ուղղությամբ կատարում է s0

տեղափոխություն: 136-րդ նկարում պատկերված է այդ ուժի մոդուլի՝ տեղափո-

խության մոդուլից կախումն արտահայտող գրա-

ֆիկը: (9.1) բանաձևից հետևում է, որ այդ դեպքում

s « որը թվապես

հավասար է 136-րդ նկարում գունավորված ուղ-

ղանկյան մակերեսին: Ուրեմն՝ ուժի աշխատանքը

թվապես հավասար է ուժի մոդուլի՝ տեղափոխու-

Նկ. 136. Հաստատուն ուժի

աշխատանքը գունավորված

թյան մոդուլից կախումն արտահայտող գրաֆիկով

ուղղանկյան մակերեսն է:

սահմանափակված պատկերի մակերեսին:

Փոփոխական ուժի աշխատանքը: Ինչպե՞ս հաշվել աշխատանքը, երբ

մարմնի տեղափոխության ժամանակ նրա վրա ազդող ուժը փոփոխվում է:

Ենթադրենք՝ մարմինը շարժվում է կոր հետագծով (նկ. 137), ընդ որում, շարժ-

ման ընթացքում փոխվում է ազդող ուժի և° մոդուլը, և° ուղղությունը« ինչպես

նաև ուժի և տեղափոխության վեկտորների կազմած անկյունը: Տվյալ դեպքում

աշխատանքը չի կարելի հաշվել (9.2) բանաձևով, քանի որ մարմնի վրա ազ-

դող ուժը հաստատուն չէ: Դրա համար շարժման հետագիծը բաժանենք մեծ

թվով այնպիսի փոքր տեղամասերի, որոնցից յուրաքանչյուրում հնարավոր

158

ՖԻԶԻԿԱ 10

լինի ուժը համարել հաստատուն (նկ. 138):

Հետագծի i-րդ տեղամասում ուժի կատա-

րած աշխատանքը՝ DAi= FDsico

, որտեղ

Fi -ն ուժի մոդուլն է, D si -ն՝ տեղափոխության

մոդուլը, իսկa_i -ն՝ տեղափոխության և ուժի

Նկ.137. Շարժման ընթացքում

կազմած անկյունը: Ուժի կատարած աշխա-

մարմնի վրա ազդող ուժը

տանքն ամբողջ հետագծով շարժվելիս հա-

փոփոխվում է:

վասար կլինի հետագծի առանձին տեղամա-

սերում կատարված աշխատանքների հան-

րահաշվական գումարին՝

Նկ.138. Հետագծի բավակա-

A =DA1+DA

+DA

(9.3)

նաչափ փոքր տեղամասում

Փոփոխական ուժի աշխատանքը հար-

մարմնի վրա ազդող ուժը կարելի է

հաստատուն համարել:

մար է հաշվել նաև գրաֆիկորեն: Ապացու-

ցենք« որ այս դեպքում ևս« ինչպես հաստատուն ուժի դեպքում, աշխատան-

քը թվապես հավասար է ուժի մոդուլի՝ տեղափոխության մոդուլից կախումն

արտահայտող

գրաֆիկով սահմանափակված պատկերի մակերեսին:

Սահմանափակվենք պարզ դեպքով, երբ մարմինը շարժվում է ուղղագիծ« և

ուժն ուղղված է տեղափոխության ուղղությամբ: Դիցուք՝ ազդող ուժի մոդու-

լի կախումը տեղափոխության մոդուլից արտահայտվում է 139-րդ նկարում

պատկերված գրաֆիկով: Մարմնի շարժման հետագիծը բաժանենք այնքան

փոքր D s1,D s2, ... ,D s_n տեղամասերի, որ դրանցից յուրաքանչյուրում ուժը

հնարավոր լինի համարել հաստատուն: Այդ

աշխատանքը թվապես հավասար է 139-րդ

նկարում գունավորված ուղղանկյան մակե-

րեսին: Ամբողջ աշխատանքը թվապես հա-

վասար կլինի բոլոր ուղղանկյունների մակե-

րեսների գումարին: Եթե D s_i մեծությունները

Նկ.139. Ամբողջ աշխատանքը

ձգտեն զրոյի, ուղղանկյունների մակերեսնե-

հավասար է հետագծի առանձին

րի գումարը կձգտի ուժի գրաֆիկով սահմա-

տեղամասերում կատարված

նափակված պատկերի մակերեսին:

աշխատանքների գումարին:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Սահմանե°ք մեխանիկական

աշխատանքը:

2. Ի՞նչ միավորով

արտահայտվում

աշխատանքը միավորների ՄՀ-ում: Ո±րն է նրա ֆիզիկական իմաստը: 3. Ո±ր դեպքում

է մարմնի վրա

ազդող ուժի

աշխատանքը՝

ա)

դրական,

բ) բացասական, գ) զրո: 4. Ի՞նչ նշան ունի հարթակի վրա

շարժվող արկղի վրա ազդող ուժերից յուրաքանչյուրի աշխա-

տանքը (տե°ս նկարը): 5. Որո±նք են հաստատուն ուժի աշխա-

տանքի հատկությունները: 6. Ո±րն է աշխատանքի բանաձևի երկրաչափական իմաստը:

7. Կախվա±ծ է արդյոք ուժի կատարած աշխատանքը հաշվարկման համակարգի ընտրու-

թյունից: 8. Հնարավո՞ր է, որ դադարի շփման ուժի աշխատանքը լինի զրոյից տարբեր:

Բերե°ք օրինակ: 9. Բերե°ք օրինակ, երբ սահքի շփման ուժը կատարում է դրական աշխա-

տանք: 10. Ինչպե՞ս կարելի է հաշվել փոփոխական ուժի աշխատանքը:

ԳԼՈՒԽ

IX. ՊԱՀՊԱՆՄԱՆ ՕՐԵՆՔՆԵՐԸ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅՈՒՄ

159

51.

ԾԱՆՐՈՒԹՅԱՆ ՈՒԺԻ ԱՇԽԱՏԱՆՔԸ

Դիցուք՝ m զանգվածով մարմինը Երկրի մակերևույթից h₁ բարձրությամբ

A կետից կամայական հետագծով տեղափոխվում է h₂ բարձրությամբ B կետը

(նկ. 140): Եթե h1- h₂ տարբերությունը շատ փոքր է Երկրի շառավղից, ապա մարմ-

նի վրա ազդող F = mg ծանրության ուժը կարելի է համարել հաստատուն: Օգտ-

վելով հաստատուն ուժի կատարած աշխատանքի

(9.2) բանաձևից, կստանանք՝

A = mgscosa,

(9.4)

որտեղ a-ն ուժի և տեղափոխության վեկտորների

կազմած անկյունն է: 140-րդ նկարից հետևում է, որ

Նկ.140. Ծանրության ուժի

s cosa=

h1 h₂, ուստի՝

կատարած աշխատանքը

կախված չէ հետագծի ձևից:

A = mg(h1- h2) :

(9.5)

Այս բանաձևը վկայում է, որ ծանրության ուժի կատարած աշխատանքը

կախված չէ հետագծի ձևից և որոշվում է միայն սկզբնական և վերջնական դիրքե-

րի՝ Երկրից ունեցած բարձրությունների տարբերությամբ: Երբ h2 < h₁, ապա A > 0,

այսինքն՝ դեպի ներքև շարժվող մարմնի վրա ազդող ծանրության ուժի աշխատան-

քը դրական է: Ընդհակառակը« երբ մարմինը շարժվում է դեպի վեր (h2 > h₁), ապա

այդ ուժի աշխատանքը բացասական է:

Անհամասեռ գրավիտացիոն դաշտի կատարած աշխատանքը: Ծան-

րության ուժի կատարած աշխատանքը հաշվելիս օգտվեցինք հաստատուն

ուժի աշխատանքի բանաձևից, ենթադրելով՝ որ ծանրության ուժը մարմնի

շարժման ընթացքում չի փոխվում: Այս մոտավորությունը ճիշտ է այն դեպքում,

երբ շարժման ընթացքում մարմնի՝ Երկրից ունեցած հեռավորության փոփո-

խությունը շատ փոքր է Երկրի շառավղից: Այժմ հաշվենք մարմնի վրա Երկրի

գրավիտացիոն դաշտի ուժի կատարած աշխատանքը՝ հաշվի առնելով այդ

ուժի փոփոխությունը մարմնի շարժման ընթացքում:

Դիցուք՝ m զանգվածով մարմինը

Երկրի կենտրոնից r₀ հեռավորու-

թյամբ կետից տեղափոխվում է r_n հե-

ռավորությամբ կետ մարմինը Երկրի

Նկ. 141. Գրավիտացիոն ուժի կատարած

կենտրոնին միացնող շառավղի եր-

աշխատանքը հետագծի առանձին

կայնքով (նկ. 141): Մարմնի վրա ազ-

փոքր տեղամասերում կատարած

աշխատանքների գումարն է:

դող

գրավիտացիոն ուժը հետագծի

կամայական կետում ուղղված է դեպի

Երկրի կենտրոն: Այդ ուժի աշխատանքը հաշվելու համար մարմնի հետագիծը

բաժանենք այնքան փոքր տեղամասերի, որ դրանցից յուրաքանչյուրում գրա-

վիտացիոն ուժը հնարավոր լինի համարել հաստատուն: 141-րդ նկարում r₁

-ով, r₂ -ով, ..., r_n -ով նշանակված են այդ հատվածների ծայրակետերի հեռա-

վորությունները Երկրի կենտրոնից:

160

ՖԻԶԻԿԱ 10

Հաշվենք

գրավիտացիոն ուժի կատարած

աշխատանքը հետագծի

Dr = r - r

1 տեղամասում: Քանի որ Dr -ը շատ փոքր է r0 -ից և r1-ից, ապա

այդ միջակայքում մարմնի վրա ազդող ուժը կարելի է համարել հաստատուն

և նրա արժեքը որոշել միջակայքին պատկանող որևէ կետում, որի հեռավորու-

թյունը Երկրից r է. F = GmM r² , որտեղ M-ը Երկրի զանգվածն է:

տեղամասում կատարված աշխատանքը՝

DA =FDr =GMm

r):

(9.6)

Քանի որ r₀ -ն և r₁-ը շատ քիչ են տարբերվում իրարից, ապա (9.6) արտա-

r արտադրյալով: Այդ դեպքում՝

A =GM

r)=

GMmc

(9.7)

Նմանապես երկրորդ միջակայքում կատարված աշխատանքը կլինի՝

DA2=GMm(1 r

-1

, ... n-րդ միջակայքում՝ DA

GMm (1 r

-1

n-1

Հետագծի ամբողջ տեղամասում կատարված աշխատանքը՝

A =DA1+DA

+DA

(9.8)

GMm;c

m+c

mE:

n-1

Հեշտ է նկատել, որ (9.8) արտահայտության մեջ, բացի երկրորդ և

նախավերջին անդամներից, բոլոր անդամները կրճատվում են« այնպես որ

կատարված աշխատանքը կախված է միայն մարմնի սկզբնական և վերջնա-

կան դիրքերի՝ Երկրից ունեցած հեռավորություններից՝

A =GMmc

(9.9)

Կարելի է ցույց տալ, որ (9.9) բանաձևը

ճիշտ է կամայական հետագծի դեպքում, երբ

մարմինը Երկրի կենտրոնից r_A հեռավորու-

թյամբ կամայական A կետից տեղափոխվում է

Նկ.142. Գրավիտացիոն դաշ-

B հեռավորությամբ B կետ (նկ.142)՝

տի կատարած աշխատանքը

կախված չէ մարմնի շարժման

A =GMmc

m :

(9.10)

հետագծի ձևից:

Այս բանաձևից հետևում է, որ մարմինն A կետից B կետ տեղափոխվե-

լիս կատարված աշխատանքը կախված չէ հետագծի ձևից: 142-րդ նկարում

պատկերված A և B կետերը միացնող կամայական AcB, AdB կամ մեկ այլ

հետագծով շարժվելիս կատարվում է նույն աշխատանքը:

Այսպիսով՝ երբ ծանրության ուժը կարելի է համարել հաստատուն,

աշխատանքը որոշվում է (9.5) բանաձևով, իսկ ընդհանուր դեպքում՝ (9.10)

բանաձևով: Ակնհայտ է, որ Երկրից փոքր հեռավորությունների դեպքում

(h << R) նշված երկու բանաձևերը պետք է տան միևնույն արդյունքը: Իրոք«

երբ մարմինը h բարձրությամբ կետից տեղափոխվում է Երկրի մակերևույթ,

համաձայն (9.5) բանաձևի« A = mgh: (9.10) բանաձևի մեջ տեղադրելով

=R+h, r

՝ կստանանք՝

ԳԼՈՒԽ

IX. ՊԱՀՊԱՆՄԱՆ ՕՐԵՆՔՆԵՐԸ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅՈՒՄ

161

A =GMmc

GMm

R R+h

R(R+h)

Երբ h << R, կարող ենք հայտարարում h-ն անտեսել R-ի նկատմամբ, ուստի՝

A = mhGM R²: Քանի որ g = GM R²-ն ազատ անկման արագացումն է

Երկրի մակերևույթի մոտ, կստանանք՝ A = mgh:

Այժմ հաշվենք ծանրության ուժի աշխատանքը, երբ մարմինն անսահ-

ման հեռու կետից (որտեղ գործնականում Երկրի ձգողության ուժը կարելի

է անտեսել) տեղափոխվում է Երկրի մակերևույթի որևէ կետ: Այդ դեպքում

r "3,

իսկ rB=R

, ուստի՝ (9.10) բանաձևից կստանանք՝

GMm

GM R =mgR

(9.11)

Մարմինը Երկրի մակերևույթից անսահման հեռու կետ հավասարաչափ

կարելի է տեղափոխել, եթե ամեն մի կետում նրա վրա կիրառենք գրավիտա-

ցիոն ուժին հավասար և նրան հակառակ ուղղված փոփոխական ուժ: Այդ ու-

ժի կատարած աշխատանքը նույնպես կորոշվի (9.11) բանաձևով: Հաշվենք

այդ աշխատանքը 1 կգ զանգվածով մարմնի համար: Հաշվի առնելով, որ

g .10 մ/վ², R .6,4 .10⁶ մ՝ կստանանք՝ A = 6,4 .10⁷ Ջ: Նշենք, որ մոտավորա-

պես այդքան էներգիա է անջատվում 1,4 կգ բենզին այրելիս:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ի՞նչ բանաձևով

է որոշվում ծանրության ուժի

աշխատանքը Երկրի մակերևույթին

մոտ կետերում: 2. Հորիզոնի հետ a անկյուն կազմող թեք հարթությամբ m զանգվածով

մարմինն անցնում է L ճանապարհ: Որքա±ն է ծանրության ուժի աշխատանքը: 3. Ուղ-

ղաձիգ դեպի վեր նետած մարմինը հասնում է առավելագույն բարձրության և վերա-

դառնում իր սկզբնական դիրք: Որքա±ն է այդ ընթացքում ծանրության ուժի կատարած

աշխատանքը: Պատասխանը հիմնավորեք: 4. l երկարությամբ թելին ամրացված m

զանգվածով գնդիկը պտտում են ուղղաձիգ հարթության մեջ: Որքա±ն է ծանրության

ուժի աշխատանքը՝ ա) մեկ պարբերության ընթացքում, բ) կես

պարբերության ընթացքում, երբ գնդիկը վեր է բարձրանում:

5. Նկարում պատկերված են Երկրի գրավիտացիոն դաշտում

շարժվող մարմնի երկու՝ AdB և Ae C հետագծերը: Ո±ր հե-

տագծի դեպքում է գրավիտացիոն դաշտի կատարած աշխա-

տանքն ավելի մեծ:

52.

ԱՌԱՁԳԱԿԱՆՈՒԹՅԱՆ ՈՒԺԻ ԱՇԽԱՏԱՆՔԸ

Բնության մեջ հաճախակի հանդիպող ուժերից է առաձգականության ուժը:

Ստանանք նաև այդ ուժի աշխատանքի հաշվարկման բանաձևը:

Որպես առաձգական մարմնի մոդել դիտարկենք 143-րդ նկարում պատկեր-

ված զսպանակը: Դիցուք՝ սկզբում այն դեֆորմացված չէ (նկ. 143, ա): Նրա ձախ

ծայրն անշարժ ամրացված է, իսկ աջ ծայրը կարող է նրան ամրացված բեռի հետ

միասին շարժվել հորիզոնական ուղղությամբ՝ ձգելով կամ սեղմելով զսպանակը:

Մարմինը տեղափոխենք դեպի աջ՝ ձգելով զսպանակը x₁ չափով (նկ. 143, բ):

Եթե մարմինը բաց թողնենք, ապա զսպանակը կարճանալով՝ կսկսի շարժվել հա-

կառակ ուղղությամբ:

162

ՖԻԶԻԿԱ 10

Հաշվենք զսպանակի առաձգականության

ուժի

աշխատանքը,

երբ նրա

երկարացումը

x₁-ից դառնում է x₂ (նկ.143, գ): Տվյալ դեպքում

առաձգականության ուժի և տեղափոխության

ուղղությունները համընկնում

են, հետևաբար՝

աշխատանքը հաշվելիս պետք է ուժի և տեղափո-

խության մոդուլները բազմապատկել: Սակայն

A = Fs բան աձ ևն անմ իջ ակ ան որ են կիր առ ել

չենք կարող, քանի որ առաձգականության ուժը

մարմնի տեղափոխության ընթացքում փոփոխ-

Նկ.143. Գնդիկի վրա ազդող

վում է: Տվյալ դեպքում աշխատանքը կարող ենք

զսպանակի առաձգականության

հաշվել

ուժը շարժման ընթացքում

փոփոխվում է:

A =Fr

(9.12)

բանաձևով, որտեղ F_rh2-ն առաձգականության ուժի մոդուլի միջին արժեքն է s

տեղափոխության համար: Հուկի օրենքի համաձայն՝ առաձգականության ուժի

մոդուլի կախումն x-ից գծային է, ուստի՝ նրա միջին արժեքը հավասար է ուժի սկզբ-

նական F1= kx₁ և վերջնական F2= kx₂ արժեքների միջին թվաբանականին՝

kx1+kx

k(x1+x

)

rh2

(9.13)

Մարմնի տեղափոխության մոդուլը՝

s = x1- x₂:

(9.14)

(9.13) և (9.14) բանաձևերը տեղադրելով (9.12) բանաձևի մեջ՝ կստանանք

k(x1+x

)

(x1 x

)

(9.15)

Այս բանաձևն ստացանք այն դեպքում, երբ նախօրոք ձգված զսպանակը

սեղմվում է« ուստի՝ տվյալ դեպքում x

², և առաձգականության ուժի աշխա-

տանքը դրական է: Ստացված բանաձևը ճիշտ է նաև այն դեպքում, երբ սեղմված

զսպանակն ընդարձակվում է: Մասնավոր դեպքում, երբ զսպանակը հավասա-

րակշռության դիրքից ( x

) սեղմում կամ ձգում ենք x₂ չափով, առաձգականու-

թյան ուժը կատարում է A

բացասական աշխատանք:

Նշենք (9.15) բանաձևից բխող մի կարևոր հետևանք ևս: Եթե x1= x₂ , ապա

A = 0, այս ինքն՝ եթե զսպան ակ ը ձգենք, հետո սեղմ ենք այնպես, որ նրա ծայր ը վե-

րադառնա սկզբնական դիրք, ապա առաձգականության ուժի կատարած աշխա-

տանքը կլինի զրո: Դա նշանակում է, որ փակ հետագծով առաձգականության ուժի

կատարած աշխատանքը նույնպես զրո է:

Առաձգականության ուժի աշխատանքի հաշվարկը: Առաձգականու-

թյան ուժի աշխատանքի բանաձևը կարելի է ստանալ՝ հաշվի առնելով այն

հանգամանքը, որ փոփոխական ուժի աշխատանքը հավասար է հետագծի

բավականաչափ փոքր տեղամասերում կատարված աշխատանքների հան-

րահաշվական գումարին:

ԳԼՈՒԽ

IX. ՊԱՀՊԱՆՄԱՆ ՕՐԵՆՔՆԵՐԸ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅՈՒՄ

163

Վերը դիտարկված օրինակում մարմնի տեղափոխության [x1- x2] միջա-

կայքը բաժանենք n հավասար տեղամասերի, որոնցից յուրաքանչյուրի երկա-

րությունը՝

x1 x₂

(9.16)

Եթե n-ը բավականաչափ մեծ է, ապա այդ տեղամասերից յուրաքանչ-

յուրում

առաձգականության ուժը կարելի է համարել հաստատուն, ընդ

որում, համաձայն Հուկի օրենքի, առաջին տեղամասում առաձգականության

ուժի մոդուլը՝ F1= k (x

Dx),

երկրորդում՝ F2= k (x

2Dx),

երրորդում՝

F3= k(x

3Dx)

և այլն, վերջին՝ n-րդ տեղամասում՝ Fn= k (x1- nD x): Հաշ-

վի առնելով, որ ամբողջ աշխատանքը հավասար է առանձին տեղամասերում

աշխատանքների գումարին, կստանանք՝

A =A1+A2+A

+$$$+

An=F1Dx+F2Dx+F3Dx

+$$$+

FnDx

kDx(x

Dx+x

2Dx+x

3Dx

+$$$+

x1 nDx)

kDx[nx

Dx(1

n)]:

Օգտվելով (9.16) առնչությունից և հաշվի առնելով, որ 1-ից մինչև n բնա-

կան թվերի գումարը n (n + 1) 2 է, վերջին բանաձևը ներկայացնենք հետևյալ

կերպ©

x1 x

A = k(x1 x2)8x

jB:

Շատ մեծ n-երի դեպքում 1/n անդամը 1-ի նկատմամբ կարող ենք անտեսել:

Որոշ պարզ ձևափոխություններից հետո առաձգականության ուժի աշխա-

տանքի համար կստանանք՝

A = k 1 2xkx

(9.17)

Նույն արդյունքը կարող ենք ստանալ՝ օգտվելով աշխատանքի երկրա-

չափական մեկնաբանությունից: Առաձգականության ուժի մոդուլի՝ դեֆորմա-

ցիայի մեծությունից կախումը պատկերված է

144-րդ նկարում: Զսպանակի երկարացումը

x₁-ից մինչև x₂ փոխվելիս առաձգականության

ուժի կատարած աշխատանքը թվապես հա-

վասար կլինի ստվարագծված սեղանի մակե-

րեսին: Հաշվի առնելով, որ F1= kx1, F2= kx2,

կստանանք՝

Նկ.144. Առաձգականության ուժի

կատարած աշխատանքը թվապես

F1+F

հավասար է գունավորված

(x1 x

)

սեղանի մակերեսին:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Որքա±ն

առաձգականության ուժի կատարած աշխատանքը, եթե k կոշտությամբ

զսպանակի երկարացումը x₁-ից դառնում է x₂ : 2. k կոշտությամբ զսպանակի երկա-

րացումը x-ից նվազեց մինչև 0: Որքա±ն է առաձգականության ուժի կատարած աշխա-

տանքը: 3. Որքա±ն է առաձգականության ուժի կատարած աշխատանքը, եթե մարմինը,

164

ՖԻԶԻԿԱ 10

որի վրա այն ազդում է, որոշ ճանապարհ անցնելուց հետո վերադառնում է իր ելակե-

տը: 4. Ի՞նչ նշան ունի առաձգականության ուժի կատարած աշխատանքը չդեֆորմաց-

ված զսպանակի՝ ա) ձգման ժամանակ, բ) սեղմման ժամանակ: Պատասխանը հիմ-

նավորեք: 5. Զսպանակի երկարացումը 0-ից դարձավ x₀ , այնուհետև x₀ -ից՝ 2x₀ : Ո±ր

դեպքում է առաձգականության ուժի կատարած աշխատանքն ավելի մեծ ըստ մոդուլի:

ՊՈՏԵՆՑԻԱԼԱՅԻՆ ՈՒԺԵՐ:

53.

ՇՓՄԱՆ ՈՒԺԻ ԱՇԽԱՏԱՆՔԸ

Ինչպես տեսանք, առաձգականության ուժի աշխատանքը կախված չէ մարմ-

նի շարժման հետագծի ձևից և փակ հետագծի դեպքում զրո է: Առաձգականության

ուժը միակը չէ, որի աշխատանքը փակ հետագծով զրո է: Այդպիսի հատկություն ու-

նեն հաստատուն ուժերը: Իրոք, հաստատուն ուժի աշխատանքը քննարկելիս ցույց

տրվեց, որ նրա կատարած աշխատանքը կախված չէ մարմնի շարժման հետագծի

ձևից: Այդպիսին է նաև ոչ միայն Երկրի մակերևույթի մոտ շարժվող մարմնի ծան-

րության ուժը, այլև մեծ հեռավորություններում գործող տիեզերական ձգողության

ուժը, որը« կախված հեռավորությունից« փոխվում է 1 r² օրենքով: Նշենք, որ այդ-

պիսի հատկությամբ օժտված են նաև ֆիզիկայում հայտնի այլ ուժեր: Այն ուժերը,

որոնց աշխատանքը կախված է միայն նրանց կիրառման կետի սկզբնա-

կան ու վերջնական դիրքերից և կախված չէ հետագծի ձևից, կոչվում են

պոտենցիալային:

Պոտենցիալային ուժերի վերը նշված հատկությունը հնարավորություն է տա-

լիս պարզեցնելու որևէ հետագծով շարժվելիս այդպիսի ուժերի կատարած աշխա-

տանքի հաշվարկը: Եթե ուժը պոտենցիալային է, ապա պարտադիր չէ նրա աշխա-

տանքը հաշվել իրական հետագծով շարժվելիս: Այդ աշխատանքը կախված է

միայն հետագծի սկզբնական ու վերջնական դիրքերից և կախված չէ այդ կետերը

միացնող հետագծի ձևից, ուստի՝ կարելի է ընտրել դրանք միացնող կամայական

հետագիծ: Ընտրելով դրանցից առավել պարզը՝ կարող ենք էապես պարզեցնել

հաշվարկները:

Բնության ոչ բոլոր ուժերն են պոտենցիալային: Մարմնի վրա ազդող ոչ պո-

տենցիալային ուժի աշխատանքը կախված է ոչ միայն մարմնի սկզբնական և

վերջնական դիրքերից, այլ նաև այն հետագծի ձևից, որով մարմինը շարժվում է

այդ դիրքերի միջև: Ոչ պոտենցիալային ուժի օրինակ է սահքի շփման ուժը:

Դիցուք՝ m զանգվածով մարմինը հորիզոնական սեղանի վրա ուղիղ գծով A

կետից AdB հետագծով տեղափոխվում է B կետ (նկ. 145): Սեղանի և մարմնի միջև

շփման գործակիցը n է: Մարմնի վրա ազդող սահքի

շփման ուժի մոդուլը՝ F

mg:

mq = n

Քանի որ շփման

ուժը հակառակ է ուղղված շարժման ուղղությանը,

ապա շփման ուժի և տեղափոխության կազմած

անկյունը՝ a = 180: Օգտվելով հաստատուն ուժի

աշխատանքի A = Fs cos a բանաձևից՝ հետագծի

Նկ.145. Շփման ուժի

s երկարությամբ տեղամասի վրա շփման ուժի կա-

աշխատանքը կախված է

տարած աշխատանքի համար կստանանք՝

հետագծի ձևից:

ԳԼՈՒԽ

IX. ՊԱՀՊԱՆՄԱՆ ՕՐԵՆՔՆԵՐԸ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅՈՒՄ

165

A =-nmgs:

(9.18)

Այժմ հաշվենք շփման ուժի աշխատանքը, երբ նույն մարմինը A կետից B կետ

է տեղափոխվում AcB հետագծով: Հետագծի յուրաքանչյուր կետում շփման ուժն

ուղղված է այդ կետում հետագծին տարված շոշափողով և հակառակ է ուղղված

շարժմանը: Հետևաբար՝ հետագծի բավականաչափ փոքր Dl երկարությամբ յու-

րաքանչյուր տեղամասում շփման ուժի կատարած աշխատանքը՝ DA = - nmgDl :

Ամբողջ հետագծի վրա կատարված աշխատանքը՝

A =-nmgl:

(9.19)

Քանի որ l < s, ապա մարմինն A կետից B կետ տեղափոխելիս մոդուլով ամե-

նափոքր աշխատանքը կատարվում է ուղիղ հետագծի դեպքում, իսկ երբ հետագի-

ծը կոր գիծ է, ապա կատարվում է մոդուլով ավելի մեծ աշխատանք:

Ոչ պոտենցիալային են նաև հեղուկում կամ գազում շարժվող մարմնի վրա

ազդող դիմադրության ուժերը: Ոչ պոտենցիալային և պոտենցիալային ուժերի

տարբերությունն առավել ակնառու է դառնում, երբ դրանց աշխատանքը դիտար-

կում ենք փակ հետագծի դեպքում: Օրինակ՝ ծանրության ուժի աշխատանքը դրա-

կան է, երբ մարմինը h բարձրությունից անկում է կատարում (mgh) և բացասա-

կան է՝ անկման կետից այդ նույն բարձրությանը հասցնելիս (-mgh): Երբ մարմինը

վերադառնում է իր սկզբնական դիրքին, ծանրության ուժի կատարած ընդհանուր

աշխատանքը դառնում է զրո: Այլ է դիմադրության ուժի կատարած աշխատանքն

այդ դեպքում: Դիմադրության ուժը հակառակ է ուղղված շարժման ուղղությանը,

ուստի ամբողջ փակ հետագծի վրա (և° բարձրանալիս, և° իջնելիս) նրա աշխատան-

քը բացասական է և զրոյից տարբեր:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ո±ր ուժերն

են կոչվում պոտենցիալային:

2. Բերե°ք պոտենցիալային ուժերի օրի-

նակներ: 3. Բերե°ք ոչ պոտենցիալային ուժերի օրինակներ: 4. Մարմինը հորիզոնական

հարթության A կետից տեղափոխվել է B կետ: Ի՞նչ հետագծի դեպքում շփման ուժի

կատարած աշխատանքի մոդուլի կլինի նվազագույնը: 5. Ապացուցե°ք, որ եթե ուժի կա-

տարած աշխատանքը կախված չէ հետագծի ձևից, ապա կամայական փակ հետագծով

այդ ուժի կատարած աշխատանքը զրո է:

Չի կարելի պնդել« թե շփման ուժը միշտ բացասական աշխատանք է կատարում:

Որոշակի պայմաններում այն կարող է լինել դրական և փակ հետագծով շարժվելիս

շփման ուժի կատարած ընդհանուր աշխատանքը կարող է ընդունել դրական

արժեքներ կամ հավասար լինել զրոյի: Դա պայմանավորված է այն հանգամանքով«

որ շփման ուժը միշտ հակառակ է ուղղված հպվող մարմինների հարաբերական

արագությանը և կարող է ուղղված լինել մարմնի շարժման ուղղությամբ« եթե շփվող

մյուս մարմինը« որից ազդում է շփման ուժը« շարժվում է նույն ուղղությամբ՝ ավելի մեծ

արագությամբ: Այդ դեպքում շփման ուժի աշխատանքը կլինի դրական:

166

ՖԻԶԻԿԱ 10

ՀԶՈՐՈՒԹՅՈՒՆ:

54.

ՕԳՏԱԿԱՐ ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅԱՆ ԳՈՐԾԱԿԻՑ

Շատ դեպքերում էական է ոչ միայն կատարված աշխատանքի մեծությունը,

այլ նաև այն ժամանակը, որի ընթացքում կատարվել է այդ աշխատանքը: Միև-

նույն աշխատանքը կարելի է կատարել ինչպես կարճ, այնպես էլ երկար ժամանա-

կամիջոցներում: Մեծ աշխատանք կարելի է կատարել նաև« օրինակ« փոքր էլեկտ-

րաշարժիչով, սակայն դրա համար կպահանջվի երկար ժամանակ:

Ֆիզիկայում, բացի աշխատանքից, ներմուծվում է ևս մի մեծություն, որը բնու-

թագրում է աշխատանք կատարելու արագությունը: Այն մեծությունը, որը հա-

վասար է աշխատանքի և այն ժամանակամիջոցի հարաբերությանը, որի

ընթացքում կատարվել է այդ աշխատանքը, կոչվում է հզորություն:

Եթե t ժամանակամիջոցում մարմինը կատարել է A աշխատանք« ապա հզո-

րությունը՝

(9.20)

Հզորության ֆիզիկական իմաստը բխում է (9.20) սահմանումից: Հզորությունը

ցույց է տալիս, թե ինչ աշխատանք է կատարվում միավոր ժամանակամիջոցում:

Աշխատանքը և ժամանակը սկալյար մեծություններ են, ուստի՝ հզորությունը նույն-

պես սկալյար է: ՄՀ-ում աշխատանքի միավորը 1 ջոուլն է, իսկ ժամանակի միավո-

րը՝ 1 վայրկյանը, ուստի՝ հզորության միավորը կլինի՝

[A]

Aj(afjj):

[t]

1 Վտ-ն այն հզորությունն է, որի դեպքում 1 վայրկյանում կատարվում է 1 Ջ

աշխատանք:

Եթե t ժամանակամիջոցում կատարվել է A աշխատանք, ապա (9.20) բանա-

ձևով սահմանված A t հզորությունն ունի միջին հզորության իմաստ: Այն ցույց է

տալիս, թե միջինում որքան աշխատանք է կատարվում միավոր ժամանակամի-

ջոցում: Սակայն t ժամանակամիջոցի տարբեր մասերում հզորությունը կարող է

տարբեր լինել: Ժամանակի տվյալ պահին, այսինքն՝ ակնթարթային հզորությունը

որոշելու համար անհրաժեշտ է (9.20) բանաձևն արտահայտել բավականաչափ

փոքր Dt ժամանակամիջոցում կատարված DA աշխատանքի միջոցով՝

(9.21)

Օգտվելով աշխատանքի DA = F $ Ds սահմանումից և նկատի ունենալով

ակնթարթային արագության սահմանումը՝ v = Ds Dt , (9.21) բանաձևից կստա-

նանք՝

N =F

(9.22)

այսինքն՝ ակնթարթային հզորությունը հավասար է ուժի և ակնթարթային արագու-

թյան սկալյար արտադրյալին: Մասնավոր դեպքում, երբ« օրինակ« ավտոմեքենայի

շարժիչի քարշի ուժն ուղղված է շարժման ուղղությամբ, կստանանք՝

(9.23)

ԳԼՈՒԽ

IX. ՊԱՀՊԱՆՄԱՆ ՕՐԵՆՔՆԵՐԸ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅՈՒՄ

167

(9.23) բանաձևը ճիշտ է նաև փոփոխվող քարշի ուժի և փոփոխվող արագու-

թյան դեպքում: Այս բանաձից հետևում է, որ ավտոմեքենայի հաստատուն հզո-

րության դեպքում նրա զարգացրած քարշի ուժը հակադարձ համեմատական է

արագությանը: Փոքրացնելով կամ մեծացնելով արագությունը՝ կարելի է մեծաց-

նել կամ փոքրացնել քարշի ուժը: Դա իրականացվում է մեխանիզմների և մեքենա-

ների արագությունների փոխանցման տուփի միջոցով: Օրինակ՝ սար բարձրանա-

լիս, երբ մեծ քարշի ուժ է պահանջվում, վարորդն արագությունների փոխանցման

տուփի միջոցով նվազեցնում է ավտոմեքենայի արագությունը, իսկ հորիզոնական

ճանապարհին, ընդհակառակը, մեծացնում:

Մեխանիկական աշխատանք կատարելու նպատակով ստեղծված են տար-

բեր մեխանիզմներ և մեքենաներ: Հիմնական դպրոցի ֆիզիկայի դասընթացից ծա-

նոթ եք պարզ մեխանիզմներից մի քանիսին« ինչպես նաև ջերմային մեքենաների

աշխատանքի սկզբունքին: Այն աշխատանքը, որի կատարման համար ստեղծված

է տվյալ մեքենան կամ մեխանիզմը, կոչվում է օգտակար աշխատանք ( A_[s ): Օրի-

նակ՝ m զանգվածով բեռը h բարձրությամբ բարձրացնելու համար պահանջվող օգ-

տակար աշխատանքը mgh է: Սակայն օգտակար աշխատանք կատարելիս բոլոր

մեխանիզմները կատարում են նաև լրացուցիչ աշխատանք© օրինակ՝ հաղթահա-

րում են շփման և դիմադրության ուժերը« ուստի՝ կատարված լրիվ աշխատանքը

(A_v7) միշտ մեծ է օգտակար աշխատանքից՝ A

[s:

Մեխանիզմների և մեքենաների կարևոր բնութագիր է օգտակար գործողու-

թյան գործակիցը (ՕԳԳ), որն արտահայտվում է օգտակար աշխատանքի և լրիվ

աշխատանքի միջոցով: Օգտակար գործողության գործակից է կոչվում օգ-

տակար աշխատանքի հարաբերությունը լրիվ աշխատանքին: Համաձայն

սահմանման՝ ՕԳԳ-ն՝

(9.24)

A_v7

ՕԳԳ-ն ցույց է տալիս, թե օգտակար աշխատանքը լրիվ աշխատանքի ո՞ր

մասն է: Այն հաճախ արտահայտում են նաև տոկոսներով՝

h(%)

100%

(9.25)

Քանի որ A

v7, ապա միշտ h < 1, կամ h(%) < 100%:

ՕԳԳ-ի մեծացումը տեխնիկական կարևոր խնդիր է: Այդ նպատակով

ձգտում են հնարավորինս փոքրացնել շփման և դիմադրության ուժերը՝ կիրառելով

զանազան քսայուղեր, շարժվող մարմիններին տալով շրջհոսելի ձևեր և այլն:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ո±ր մեծությունն

են

անվանում հզորություն:

2. Ի՞նչ միավորով

արտահայտվում

հզորությունը միավորների ՄՀ-ում:

3. Ո±ր մեծությունն

է կոչվում

ակնթարթային հզո-

րություն: 4. Ինչպե՞ս է ավտոմեքենայի արագությունը կախված շարժիչի քարշի ուժից

հաստատուն հզորության դեպքում: 5. Ինչու± վերելքի ժամանակ շարժիչի անփոփոխ

հզորության դեպքում վարորդը փոքրացնում է ավտոմեքենայի արագությունը: 6. Ինչ-

պե±ս է կախված հավասարաչափ շարժվող հրթիռի հզորությունը նրա արագությունից,

եթե օդի դիմադրության ուժի մոդուլն ուղիղ համեմատական է հրթիռի արագության

քառակուսուն: 7. Ո±ր մեծությունն է կոչվում օգտակար գործողության գործակից:

168

ՖԻԶԻԿԱ 10

ԷՆԵՐԳԻԱ ԵՎ ԱՇԽԱՏԱՆՔ: ԿԻՆԵՏԻԿ ԷՆԵՐԳԻԱ:

55.

ԿԻՆԵՏԻԿ ԷՆԵՐԳԻԱՅԻ ԹԵՈՐԵՄԸ

Բնության մեջ մարմինները շարժվում են և անընդհատ փոխազդում միմյանց

հետ: Շարժումը մի տեսակից կարող է փոխակերպվել մեկ այլ տեսակի: Օրինակ՝

եթե հրենք հորիզոնական սեղանին դրված մետաղե չորսուն, ապա այն կշարժ-

վի: Սակայն որոշ ճանապարհ անցնելուց հետո, չորսուն կանգ կառնի, այսինքն՝

կդադարի նրա մեխանիկական շարժումը: Չորսուի մեջ տեղադրած զգայուն ջեր-

մաչափը ցույց կտա, որ այն տաքացել է: Դա նշանակում է, որ շփման ուժերի

ազդեցությամբ մեխանիկական շարժումը փոխակերպվում է չորսուի և սեղանի մո-

լեկուլների ջերմային շարժման: Նմանապես, էլեկտրակայաններում ջրի մեխանի-

կական շարժումը փոխակերպվում է հաղորդիչներում էլեկտրոնների ուղղորդված

շարժման, այսինքն՝ էլեկտրամագնիսական շարժման: Իր հերթին, էլեկտրամագ-

նիսական շարժումը ջեռուցիչ սարքերում փոխակերպվում է նյութի մոլեկուլների

և ատոմների ջերմային շարժման, իսկ էլեկտրաշարժիչում՝ մեխանիկական շարժ-

ման:

Այսպիսով՝ մարմինների փոխազդեցության հետևանքով շարժումը մի տեսա-

կից փոխակերպվում է մեկ այլ տեսակի: Մարմինների շարժումը և դրանց փոխազ-

դեցությունը քանակապես բնութագրելու համար ֆիզիկայում սահմանվում է էներ-

գիա (հունարեն ՙէներգիա՚՝ գործողություն բառից) կոչվող մեծությունը, որին ար-

դեն ծանոթ եք ֆիզիկայի հիմնական դպրոցի դասընթացից:

Էներգիան շարժման և փոխազդեցության համընդհանուր քանակական

չափն է: Շարժման տարբեր տեսակներին համապատասխան՝ տարբերում են մե-

խանիկական, ջերմային, էլեկտրամագնիսական, քիմիական, միջուկային և այլ

տեսակի էներգիաներ:

ՙԷներգիա՚ մեծությանը սերտորեն առնչվում է մեխանիկական աշխատան-

քը: Եթե մարմինը կամ մարմինների որևէ համակարգ կարող է աշխատանք կատա-

րել, ապա ասում են, որ այն օժտված է էներգիայով: Աշխատանք կարող են կատա-

րել ինչպես շարժվող, այնպես էլ այլ մարմինների հետ փոխազդող մարմինները,

հետևաբար՝ մեխանիկայում պարբերում են երկու տեսակի էներգիա՝ կինետիկ և

պոտենցիալ: Մարմինների շարժմամբ պայմանավորված էներգիան անվանում են

կինետիկ էներգիա, իսկ փոխազդեցությամբ պայմանավորված էներգիան՝ պոտեն-

ցիալ էներգիա:

Ավելի հանգամանորեն ծանոթա-

նանք ՙկինետիկ էներգիա՚ հասկացու-

թյանը: Հաշվենք m զանգվածով մարմ-

նի վրա ազդող ուժերի համազոր F

Նկ.146. Համազոր ուժի կատարած

աշխատանքը հավասար է մարմնի կինետիկ

հաստատուն ուժի կատարած աշխա-

էներգիայի փոփոխությանը:

տանքը մարմնի s տեղափոխության

ընթացքում (նկ. 146)՝ սահմանափակվելով այն դեպքով, երբ մարմինը կատարում

է ուղղագիծ շարժում, իսկ համազորն ունի արագության ուղղությունը: Սկզբնական

դիրքում մարմնի արագությունը նշանակենք v1-ով, վերջնական դիրքում՝ v2 -ով:

Համազոր ուժի կատարած աշխատանքը՝

ԳԼՈՒԽ

IX. ՊԱՀՊԱՆՄԱՆ ՕՐԵՆՔՆԵՐԸ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅՈՒՄ

169

A = F $ s = Fs:

(9.26)

Նյուտոնի երկրորդ օրենքից՝ F = ma, իսկ ուղղագիծ և a հաստատուն արա-

գացմամբ շարժվող մարմնի տեղափոխությունը՝ s

v2) 2a: Այս արտահայ-

տությունները տեղադրելով (9.26) բանաձևի մեջ, կստանանք՝

v2 v

A =ma

(9.27)

այսինքն՝ մարմնի վրա ազդող հաստատուն ուժի կատարած աշխատանքը փոփո-

խությունն է մի ֆիզիկական մեծության, որը որոշվում է մարմնի զանգվածի և

արագության քառակուսու արտադրյալի կեսով: Կարելի է ցույց տալ, որ (9.27)

առնչությունը ճիշտ է բոլոր դեպքերում՝ անկախ այն բանից, թե ազդող ուժը հաս-

տատու±ն է, թե՞ կոորդինատից կախված փոփոխվում է, այն ուղղված է շարժման

ուղղությա±մբ, թե՞ անկյան տակ: Մարմնի զանգվածի և արագության քառա-

կուսու արտադրյալի կեսին հավասար մեծությունն անվանում են մարմնի

կինետիկ էներգիա.

E = m

(9.28)

Օգտվելով կինետիկ էներգիայի սահմանումից՝ (9.27) բանաձևը կարող ենք

ներկայացնել հետևյալ կերպ՝

A = m

Eu2 E

(9.29)

Այսպիսով՝ մարմնի վրա ազդող ուժերի համազորի կատարած աշխատան-

քը հավասար է մարմնի կինետիկ էներգիայի փոփոխությանը: Այս պնդումը կոչ-

վում է կինետիկ էներգիայի թեորեմ:

Այժմ քննարկենք կինետիկ էներգիայի թեորեմից բխող մի քանի կարևոր հե-

տևանքներ: Ըստ (9.29) բանաձևի, երբ համազոր ուժի կատարած աշխատանքը

դրական է (A > 0), մարմնի կինետիկ էներգիան աճում է այդ աշխատանքի չափով:

Եվ« հակառակը« մարմնի կինետիկ էներգիան նվազում է, երբ նրա վրա ազդող ու-

ժերի համազորը կատարում է բացասական աշխատանք (A < 0): Երբ մարմնի վրա

ազդող ուժերի համազորի կատարած աշխատանքը զրո է (համազոր ուժը զրո է

կամ ուղղված է շարժմանն ուղղահայաց)« նրա կինետիկ էներգիան չի փոխվում:

Կինետիկ էներգիայի թեորեմն արտահայտող (9.29) բանաձևն ստանալիս կա-

րևոր չէր, թե ինչ բնույթի ուժ է ազդում մարմնի վրա և որքան արագ է կատարվում

աշխատանքը: Բոլոր դեպքերում կինետիկ էներգիայի փոփոխությունը կախված է

միայն կատարված աշխատանքի մեծությունից:

Կինետիկ էներգիայի թեորեմից բխում է կինետիկ էներգիայի ֆիզիկական

իմաստը: Եթե արտաքին F ուժի կատարած աշխատանքի շնորհիվ մարմնի արա-

գությունը փոխվում է v1-ից v2 , ապա, համաձայն Նյուտոնի երրորդ օրենքի, մար-

մինն իր հերթին« մոդուլով հավասար, ուղղությամբ հակառակ ուժով ազդում է

արտաքին մարմինների վրա« իսկ նրա կատարած աշխատանքը՝ Al = - A: Քանի

որ Al-ը մարմնի ազդող ուժի աշխատանքն է, ապա ասում են, որ այդ աշխատանքը

կատարում է մարմինը: Ուրեմն՝ մարմնի կատարած աշխատանքը՝

Al = m

(9.30)

170

ՖԻԶԻԿԱ 10

Եթե v1 = v0 սկզբնական արագությամբ շարժվող մարմինը կանգ է առնում՝

v2 = 0, ապա Al =mv

Այսպիսով՝ մարմնի կինետիկ էներգիան հավասար

է այն աշխատանքին, որը կարող է կատարել շարժվող մարմինը մինչև կանգ

առնելը: Այդ պատճառով ասում են, որ մարմնի կինետիկ էներգիան նրա շարժման

էներգիան է: Անշարժ մարմինը կինետիկ էներգիայով օժտված չէ:

Քանի որ մարմնի արագությունը կախված է հաշվարկման համակարգի ընտ-

րությունից, իսկ կինետիկ էներգիան կախված է արագությունից, ապա այն հարա-

բերական մեծություն է և դրա մասին խոսելիս պետք է նախապես ընտրել հաշվարկ-

ման համակարգ: Եթե, օրինակ, մարմինը շարժվում է գնացքի վագոնի նկատմամբ,

որն իր հերթին շարժվում է գետնի նկատմամբ, ապա նրա արագությունը Երկրի և

վագոնի նկատմամբ տարբեր կլինի: Այդ պատճառով տարբեր կլինի նաև նրա կի-

նետիկ էներգիան Երկրի նկատմամբ և վագոնի նկատմամբ:

(9.29) բանաձևի համաձայն՝ կինետիկ էներգիան չափվում է աշխատանքի

միավորներով, ուստի՝ միավորների ՄՀ-ում նրա միավորը 1 ջոուլն է: 1 կգ զանգվա-

ծով և 1 մ/վ արագությամբ շարժվող մարմինն ունի 0,5 Ջ կինետիկ էներգիա:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Թվարկեք էներգիայի՝ ձեզ հայտնի տեսակները: 2. Ի՞նչ ենք հասկանում՝ ասելով՝ մար-

մինն օժտված է էներգիայով: 3. Ո±ր էներգիան են անվանում մարմնի կինետիկ էներգիա և

ի՞նչ բանաձևով է այն արտահայտվում: 4. Ո±րն է կինետիկ էներգիայի միավորը միավոր-

ների ՄՀ-ում: 5. Պատկերեք կինետիկ էներգիայի՝ արագությունից կախումն արտահայտող

գրաֆիկը: 6. Ինչպե՞ս է փոխվում շրջանագծային հավասարաչափ շարժում կատարող

մարմնի կինետիկ էներգիան ժամանակի ընթացքում: 7. Ձևակերպեք մարմնի կինետիկ

էներգիայի թեորեմը: 8. Ինչպե՞ս է փոխվում մարմնի կինետիկ էներգիան, եթե նրա վրա

ազդող ուժերի համազորի աշխատանքը՝ ա) դրական է, բ) բացասական է, գ) զրո է:

9. Կախվա±ծ է արդյոք կինետիկ էներգիան հաշվարկման համակարգի ընտրությունից:

ՊՈՏԵՆՑԻԱԼ ԷՆԵՐԳԻԱ:

56.

ՊՈՏԵՆՑԻԱԼ ԷՆԵՐԳԻԱՅԻ ԹԵՈՐԵՄԸ

ՙԷներգիա՚ հասկացությունը սովորաբար զուգորդվում է շարժման հետ:

Ասում են, որ էներգիայով են օժտված ծովի ալիքը, քամին, շարժվող ավտոմե-

քենան և այլն: Սակայն գոյություն ունի էներգիայի մեկ այլ տեսակ, որը կարծես

ՙթաքնված՚, ՙչդրսևորված՚ էներգիա է, որն անվանում են պոտենցիալ էներ-

գիա: Պոտենցիալ էներգիայով է օժտված, օրինակ, սեղմված զսպանակը, Երկրից

բարձրացված մարմինը: Այդ էներգիան պայմանավորված է որոշակի փոխազդե-

ցությամբ (առաջին դեպքում զսպանակի առանձին մասերի միջև գործող փոխազ-

դեցությամբ, երկրորդ դեպքում՝ Երկրի և մարմնի գրավիտացիոն փոխազդեցու-

թյամբ):

Պոտենցիալ էներգիան չափվում է այն աշխատանքով, որը կարող է կատա-

րել մարմինը՝ առանց արագությունը փոփոխելու մի դիրքից մյուսը տեղափոխելիս:

Պոտենցիալ էներգիայի էությունը հասկանալու համար դիտարկենք մի օրինակ:

Դիցուք՝ m զանգվածով մարմինը Երկրի մակերևույթի A կետից բարձրացրել և

պահում են h բարձրությամբ B կետում (նկ. 147): Ինչո±վ են տարբերվում մարմնի վի-

ԳԼՈՒԽ

IX. ՊԱՀՊԱՆՄԱՆ ՕՐԵՆՔՆԵՐԸ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅՈՒՄ

171

ճակները A և B կետերում: Այդ երկու կետերում էլ մարմնի

արագությունը, հետևաբար և կինետիկ էներգիան, զրո են:

Իսկ տարբե±ր է արդյոք մարմնի աշխատանք կատարելու

ունակությունն այդ կետերում: A կետում մարմինը դադա-

րի վիճակում է, այն աշխատանք չի կատարում: Իսկ եթե

մարմինը բաց թողնենք B կետում, այն Երկրի ձգողության

ազդեցությամբ կշարժվի և աշխատանք կկատարի: Հե-

Նկ.147. Երկրից որոշակի տևաբար՝ B կետում մարմինն օժտված է որոշակի էներ-

բարձրությամբ մարմինն

գիայով, որը պայմանավորված է Երկրի ձգողությամբ:

օժտված է պոտենցիալ

էներգիայով:

Այդ էներգիան անվանում են մարմնի ծանրության ուժով

պայմանավորված պոտենցիալ էներգիա: Պոտենցիալ

էներգիան որոշակի պայմաններում (օրինակ՝ մարմինը բաց թողնելիս) վերածվում

է մարմնի շարժման (կինետիկ) էներգիայի:

Պոտենցիալ էներգիայով է օժտված նաև սեղմված զսպանակը, քանի որ այն

ազատ արձակելիս կարող է ընդարձակվել և որոշակի աշխատանք կատարել: Այս

դեպքում պոտենցիալ էներգիան պայմանավորված է առաձգականության ուժով:

Համակարգին պոտենցիալ էներգիա հաղորդելու համար անհրաժեշտ է աշ-

խատանք կատարել որոշակի ուժերի դեմ: Դիտարկված օրինակներում մարմինը

Երկրից հեռացնելիս աշխատանք է կատարվում ծանրության ուժի դեմ, իսկ զսպա-

նակը սեղմելիս՝ առաձգականության ուժի դեմ: Դրա շնորհիվ համակարգը ձեռք

է բերում պոտենցիալ էներգիա և որոշակի պայմաններում կարող է աշխատանք

կատարել:

Այս պնդումը ճիշտ է միայն այն դեպքում, երբ համակարգում գործում են պո-

տենցիալային ուժեր, որոնց կատարած աշխատանքը ոչ թե մարմնի շարժման հե-

տագծի ձևով, այլ նրա սկզբնական և վերջնական դիրքերով է պայմանավորված:

Ինչպիսի աշխատանք էլ կատարենք շփման ուժերի դեմ, մարմինը չենք օժտի պո-

տենցիալ էներգիայով: Հետևաբար՝ պոտենցիալ էներգիայով օժտված են միայն

այն մարմինները, որոնք փոխազդում են պոտենցիալային ուժերով:

Մարմնի՝ ծանրության ուժով պայմանավորված պոտենցիալ էներգիան:

m զանգվածով մարմինը Երկրի մակերևույթից h₁ բարձրությամբ կետից որևէ հե-

տագծով h₂ բարձրությամբ մեկ այլ կետ տեղափոխելիս, երբ ծանրության ուժը կա-

րելի է հաստատուն համարել« նրա աշխատանքը որոշում են (9.5) բանաձևով՝

A = mgh1- mgh₂:

(9.31)

Այս բանաձևից հետևում է, որ կատարված աշխատանքը կարելի է ներկայաց-

նել որպես mgh մեծության սկզբնական և վերջնական արժեքների տարբերություն:

Մարմնի զանգվածի, ազատ անկման արագացման և Երկրից մարմնի

բարձրության արտադրյալն անվանում են պոտենցիալ էներգիա.

El = mgh:

(9.32)

(9.31) բանաձևից հետևում է, որ մինչև զրոյական՝ h2 =

մակարդակին հաս-

նելը մարմինը կատարում է A = mgh₁ աշխատանք: Ուրեմն՝ զրոյական մակար-

դակից h բարձրությամբ և ծանրության ուժի ազդեցությանը ենթարկվող մարմինն

172

ՖԻԶԻԿԱ 10

օժտված է mgh պոտենցիալ էներգիայով: Հետևաբար՝ կարող ենք պնդել, որ մարմ-

նի՝ ծանրության ուժով պայմանավորված պոտենցիալ էներգիան հավասար է

մարմինը մինչև զրոյական մակարդակ տեղափոխելիս ծանրության ուժի կա-

տարած աշխատանքին: Օգտվելով պոտենցիալ էներգիայի սահմանումից՝ (9.31)

բանաձևը կարող ենք ներկայացնել հետևյալ կերպ՝

A =El1 E

)

(9.33)

Այսպիսով՝ ծանրության ուժի կատարած աշխատանքը հավասար է մարմ-

նի պոտենցիալ էներգիայի փոփոխությանը՝ հակառակ նշանով:

(9.33) բանաձևում ՙմինուս՚ նշանը ցույց է տալիս, որ պոտենցիալ էներգիայի

փոփոխությունը և ծանրության ուժի աշխատանքն ունեն հակառակ նշաններ: Երբ

ծանրության ուժը կատարում է դրական աշխատանք (օրինակ« մարմնի անկման

դեպքում), պոտենցիալ էներգիան նվազում է: Ընդհակառակը« ծանրության ուժի

բացասական աշխատանքի դեպքում (մարմինը վեր է բարձրանում) պոտենցիալ

էներգիան աճում է:

Պոտենցիալ էներգիան որոշվում է հաստատունի ճշտությամբ: Իրոք« պո-

տենցիալ էներգիային գումարելով որևէ C հաստատուն՝ կստանանք՝ Ell = El + C:

Պոտենցիալ էներգիայի այս ձևափոխության հետևանքով աշխատանքի արտա-

հայտությունը չի փոխվում: Իրոք՝ Al = (El1 + C) - (El2 + C) = El1 - El2 = A: Դա

նշանակում է« որ պոտենցիալ էներգիայի զրոյական մակարդակի ընտրությունը

կամայական է: Օրինակ՝ օդապարիկի պոտենցիալ էներգիան կարելի որոշել՝ որ-

պես զրոյական մակարդակ ընտրելով ծովի մակերևույթը, լեռան գագաթը կամ մեկ

այլ մարմին: Նշված դեպքերում մարմնի պոտենցիալ էներգիայի արժեքները

տարբեր են, սակայն (9.31) բանաձևից հետևում է, որ ծանրության ուժի կատարած

աշխատանքը, հետևաբար և պոտենցիալ էներգիայի փոփոխությունը« բոլոր

դեպքերում մնում է նույնը՝ անկախ զրոյական մակարդակի ընտրությունից: Ֆիզի-

կական իմաստ ունի միայն պոտենցիալ էներգիայի փոփոխությունը: Բնության

մեջ ոչ մի երևույթ պայմանավորված չէ պոտենցիալ էներգիայի արժեքով: Կարևոր

է միայն պոտենցիալ էներգիայի փոփոխությունը, ահա թե ինչու պոտենցիալ էներ-

գիայի զրոյական մակարդակը կարելի է ընտրել կամայականորեն:

Սովորաբար մարմնի բարձրությունը հաշվում են Երկրի մակերևույթից: Սա-

կայն որոշ դեպքերում հարմար է ընտրել այլ զրոյական մակարդակ: Օրինակ՝ հան-

քահորում մարմնի շարժումը դիտարկելիս հարմար է որպես պոտենցիալ էներգիա-

յի զրոյական մակարդակ ընտրել հանքահորի հատակը:

Կախված զրոյական մակարդակի ընտրությունից՝ պոտենցիալ էներգիան

կարող է ընդունել և° դրական, և° բացասական արժեքներ: Օրինակ՝ պոտենցիալ

էներգիայի հաշվարկման զրոյական մակարդակը Երկրի մակերևույթին ընտրելիս

h խորությամբ հանքահորի հատակին մարմնի պոտենցիալ էներգիան կլինի - mgh:

Առաձգականորեն դեֆորմացված մարմնի պոտենցիալ էներգիան: Եթե

առաձգական մարմինը, օրինակ« զսպանակը, սեղմենք, ապա առաձգականու-

թյան ուժի շնորհիվ այն կարող է ընդարձակվել և աշխատանք կատարել (նկ. 148):

Առաձգականության ուժի կատարած աշխատանքի համար ստացված

ԳԼՈՒԽ

IX. ՊԱՀՊԱՆՄԱՆ ՕՐԵՆՔՆԵՐԸ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅՈՒՄ

173

A = k 1 2xkx

(9.34)

բանաձևը ևս կարելի է արտահայտել պոտենցիալ

էներգիայի փոփոխությամբ:

Եթե x չափով դեֆորմացված զսպանակը վերա-

Նկ.148. Սեղմված զսպանակն

դարձել է իր հավասարակշռության դիրք ( x2 =

0),

օժտված է պոտենցիալ

ապա (9.34) բանաձևից հետևում է, որ առաձգակա-

էներգիայով:

նության ուժի կատարած աշխատանքը՝ A =kx

հետևաբար՝ առաձգականորեն դեֆորմացված զսպանակի պոտենցիալ էներգիան

հավասար կլինի այդ աշխատանքին՝

E = kx

(9.35)

(9.35) և (9.34) բանաձևերից հետևում է« որ

)

=-DE

(9.36)

Համեմատելով (9.36) և (9.33) արտահայտությունները՝ նկատում ենք, որ ծանրու-

թյան ուժի նման առաձգականության ուժի աշխատանքը նույնպես հավասար է

այդ ուժով պայմանավորված պոտենցիալ էներգիայի փոփոխությանը՝ հակառակ

նշանով: Այս արդյունքը ճիշտ է ոչ միայն ծանրության և առաձգականության ու-

ժերի, այլև բոլոր պոտենցիալային ուժերի համար: Մարմնի վրա ազդող պո-

տենցիալային ուժի աշխատանքը հավասար է նրա պոտենցիալ էներգիա-

յի փոփոխությանը՝ հակառակ նշանով: Այս պնդումը կոչվում է պոտենցիալ

էներգիայի թեորեմ:

Պոտենցիալ էներգիայի մինիմումի սկզբունքը: ՙՍտատիկա՚ բաժնում

ծանոթացաք մեխանիկական հավասարակշռության տեսակներին: Քանի որ

մարմնի պոտենցիալ էներգիան պայմանավորված է մարմնի դիրքով, ապա

հավասարակշռության կայուն և անկայուն տեսակները կարելի է մեկնաբա-

նել նաև էներգիական տեսանկյունից:

Դիցուք՝ մարմինը x = x₀ կոորդինատով դիրքում հավասարակշռության

վիճակում է և ունի E_պ(x₀) պոտենցիալ էներգիա: Եթե հավասարակշռությունը

կայուն է« ապա մարմինը մեկ այլ՝ x = x₁ դիրք տեղափոխելիս առաջացած ուժն

ուղղված է դեպի հավասարակշռության դիրքը և կատարում է բացասական

աշխատանք: Ուստի՝ այդ դեպքում մարմնի պոտենցիալ էներգիան աճում

է՝ E_պ(x₁) > E_պ(x₀):

Եթե հավասարակշռությունն անկայուն է« ապա նշված

ուժի կատարած աշխատանքը դրական է« և մարմնի պոտենցիալ էներ-

գիան նվազում է՝ E_պ(x₁) < E_պ(x₀): Այսպիսով՝ կայուն հավասարակշռության

վիճակին համապատասխանում է պոտենցիալ էներգիայի նվազագույն ար-

ժեք« իսկ անկայուն հավասարակշռության վիճակին՝ առավելագույն արժեք:

149-րդ նկարում գնդիկն A դիրքում անկայուն հավասարակշռության վի-

ճակում է, իսկ B դիրքում՝ կայուն: Հեշտ է նկատել, որ անկայուն հավասա-

րակշռության դիրքից փոքր-ինչ հեռացնելիս գնդիկի պոտենցիալ էներգիան

նվազում է, այսինքն՝ անկայուն հավասարակշռության դիրքում գնդիկի պո-

տենցիալ էներգիան ավելի մեծ է« քան հարևան« մոտ դիրքերում:

174

ՖԻԶԻԿԱ 10

Կայուն հավասարակշռության վիճակում (B

դիրք) գնդիկի պոտենցիալ էներգիան նվազագույնն

է« և այդ դիրքից գնդիկը հեռացնելիս այն աճում է:

Մեկ այլ օրինակ. 150-րդ նկարում պատկեր-

ված չորսուն A դիրքում կայուն հավասարակշռու-

Նկ.149. Կայուն հավասա-

րակշռության վիճակում

թյան վիճակում է: Այդ դիրքից շեղելիս նրա ծան-

մարմնի պոտենցիալ

րության կենտրոնը բարձրանում

է, հետևաբար՝

էներգիան ընդունում է իր

պոտենցիալ էներգիան աճում է: Այդ աճը շարու-

նվազագույն արժեքը:

նակվում

է, քանի

դեռ ծանրության կենտրոնից

տարված ուղղաձիգն անցնում է չորսուի հենման

մակերեսով: B սահմանային դիրքում չորսուի պո-

տենցիալ էներգիան առավելագույնն է: Այդ դիր-

քում չորսուն անկայուն հավասարակշռության վի-

ճակում է: Ավելի մեծ անկյունով շեղելիս չորսուի

Նկ.150. Չորսուի ծան-

ծանրության կենտրոնն իջնում է, այսինքն՝ նրա պո-

րության կենտրոնի դիրքը

տարբեր վիճակներում

տենցիալ էներգիան փոքրանում է և իր նվազագույն

արժեքն ընդունում է C դիրքում: Չորսուն նորից հայտնվում է կայուն հավա-

սարակշռության վիճակում:

Այսպիսով՝ կայուն է այն հավասարակշռությունը, որի դեպքում մարմնի

պոտենցիալ էներգիան ընդունում է իր հնարավոր նվազագույն արժեքը: Այս

պնդումն անվանում են պոտենցիալ էներգիայի մինիմումի սկզբունք:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ո±ր էներգիան են անվանում պոտենցիալ էներգիա: 2. Ի՞նչ բանաձևով է որոշվում մարմ-

նի՝ ծանրության ուժով պայմանավորված պոտենցիալ էներգիան: 3. Ի՞նչ են հասկանում

պոտենցիալ էներգիայի զրոյական մակարդակ ասելով: 4. Կարո±ղ է արդյոք պոտենցիալ

էներգիան լինել բացասական: 5. Որքա±ն է m զանգվածով մարմնի պոտենցիալ էներ-

գիայի փոփոխությունը Երկրի մակերևույթից մինչև h խորությամբ հանքահորի հատակն

իջեցնելիս: 6. Ի՞նչ բանաձևով է որոշվում առաձգականորեն դեֆորմացված զսպանա-

կի պոտենցիալ էներգիան: 7. Ինչպե՞ս է փոխվում զսպանակի պոտենցիալ էներգիան՝

ա) զսպանակը ձգելիս, բ) զսպանակը սեղմելիս: 8. Ինչու± շփման ուժերի դեպքում չեն

ներմուծում պոտենցիալ էներգիայի գաղափարը: 9. Ձևակերպե°ք պոտենցիալ էներգիայի

թեորեմը: 10. Ձևակերպե°ք պոտենցիալ էներգիայի մինիմումի սկզբունքը:

57.

ԳՐԱՎԻՏԱՑԻՈՆ ԴԱՇՏԻ ՊՈՏԵՆՑԻԱԼԸ

Երկրի մակերևույթին մոտ, որտեղ ծանրության ուժը կարելի է համա-

րել հաստատուն, m զանգվածով մարմնի պոտենցիալ էներգիան որոշվում է

(9.32) բանաձևով, որտեղ որպես պոտենցիալ էներգիայի զրոյական մակար-

դակ ընտրված է Երկրի մակերևույթը (h = 0):

Այժմ ընդհանրացնենք այս արդյունքը՝ հաշվի առնելով, որ Երկրի և

մարմնի գրավիտացիոն փոխազդեցության ուժը հաստատուն չէ և հեռավո-

րությունից կախված փոխվում է 1 r² օրենքով:

Ինչպես

գիտեք« պոտենցիալային ուժի

ազդեցությանը

ենթարկվող

մարմնի պոտենցիալ էներգիան տվյալ դիրքում հավասար է այդ դիրքից մին-

ԳԼՈՒԽ

IX. ՊԱՀՊԱՆՄԱՆ ՕՐԵՆՔՆԵՐԸ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅՈՒՄ

175

չև զրոյական մակարդակ մարմինը տեղափոխելիս պոտենցիալային ուժի

կատարած աշխատանքին: Հետևաբար՝ գրավիտացիոն դաշտի որևէ կետում

մարմնի պոտենցիալ էներգիան հաշվելու համար նախ՝ պետք է ընտրել պո-

տենցիալ էներգիայի զրոյական մակարդակ, ապա՝ հաշվել նշված տեղափո-

խության ժամանակ գրավիտացիոն ուժի կատարած աշխատանքը:

Տվյալ դեպքում որպես զրոյական մակարդակ հարմար է ընտրել Երկրից

անվերջ հեռու կետը, որտեղ փոխազդեցության ուժը կարելի է անտեսել: ¢51-

ում ստացել ենք գրավիտացիոն ուժի աշխատանքի բանաձևը, երբ մարմինը

Երկրի կենտրոնից r₁ հեռավորությամբ կետից տեղափոխվում է r₂ հեռավո-

րությամբ կետ՝

A =GMmc

(9.38)

Ընդունելով, որ մարմինը Երկրից կամայական r1= r

հեռավորությամբ

կետից տեղափոխվել է անվերջ հեռու (r " 3

) կետ, (9.38) բանաձևի օգնու-

թյամբ մարմնի պոտենցիալ էներգիայի համար կստանանք՝

El =-

G^M

(9.39)

Նշենք, որ ստացված բանաձևը ճիշտ է միայն Երկրի մակերևույթի և դրսի

կետերում (r $ R ): Բանաձևում ՙմինուս՚ նշանը պայմանավորված է պոտեն-

ցիալ էներգիայի զրոյական մակարդակի ընտրությամբ: Երկրի մակերևույթին

մարմնի պոտենցիալ էներգիան՝ E

G Mm R

l =-

: Երկրից հեռանալիս մարմ-

նի պոտենցիալ էներգիան աճում է և անվերջ հեռու կետում հավասարվում

զրոյի: Օգտվելով պոտենցիալ էներգիայի ստացված բանաձևից՝ (9.38) հա-

վասարումը կարող ենք ներկայացնել այսպես՝ A

)

Այսինքն՝ այս դեպքում ևս գործում է պոտենցիալ էներգիայի թեորեմը:

Ծանրության ուժով պայմանավորված՝ պոտենցիալ էներգիան մարմնի

և Երկրի փոխազդեցության հետևանք է: Համաձայն գրավիտացիոն դաշտի

մասին ժամանակակից պատկերացումների՝ մարմնի վրա անմիջականորեն

ազդում է ոչ թե Երկիրը, այլ նրա գրավիտացիոն դաշտը: Գրավիտացիոն

դաշտում յուրաքանչյուր մարմին օժտված է պոտենցիալ էներգիայով, որը«

բնականաբար« պետք է կախված լինի ինչպես մարմինը, այնպես էլ գրա-

վիտացիոն դաշտը բնութագրող մեծություններից: Գրավիտացիոն դաշտը

բնութագրող մեծությունը գրավիտացիոն դաշտի պոտենցիալն է: Գրավի-

տացիոն դաշտի պոտենցիալ կոչվում է այն սկալյար ֆիզիկական մե-

ծությունը, որը հավասար է դաշտի տվյալ կետում տեղադրված մարմ-

նի պոտենցիալ էներգիայի և մարմնի զանգվածի հարաբերությանը՝

E_l

{ =

(9.40)

Գրավիտացիոն դաշտի պոտենցիալը դաշտի էներգիական բնութագիրն

է: Այն ցույց է տալիս, թե ինչ պոտենցիալ էներգիայով է օժտված միավոր

զանգվածով մարմինը գրավիտացիոն դաշտում: Միավորների ՄՀ-ում պո-

տենցիալ էներգիան արտահայտվում է ջոուլով, իսկ զանգվածը՝ կիլոգրամով,

ուստի՝ պոտենցիալի միավորի համար կստանանք՝ [

]

{

=1 Ջ/կգ:

176

ՖԻԶԻԿԱ 10

(9.40) բանաձևում տեղադրելով պոտեն-

ցիալ

էներգիայի

(9.39)

արտահայտությունը՝

Երկրի գրավիտացիոն դաշտի պոտենցիալի

համար կստանանք՝

{ =-

G^M

(9.41)

Քանի որ g = GM R² , ապա (9.41) բանա-

ձևը կարելի է ներկայացնել նաև

{ =-gR2 r

Նկ.151. Երկրի գրավիտացիոն

տեսքով: {_G -ի կախումը Երկրի կենտրոնից հե-

դաշտի պոտենցիալի կախումը

հեռավորությունից

ռավորությունից պատկերված է 151-րդ նկա-

րում:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ի՞նչ բանաձևով է որոշվում մարմնի պոտենցիալ էներգիան Երկրի գրավիտացիոն

դաշտում:

2. Սահմանե°ք

գրավիտացիոն դաշտի պոտենցիալը: 3. Գրե°ք

Երկրի

գրա-

վիտացիոն դաշտի պոտենցիալի արտահայտությունը: 4. Ի՞նչ միավորով

է չափվում

գրավիտացիոն դաշտի պոտենցիալը միավորների ՄՀ-ում: 5. Ինչո±վ է պայմանավորված

այն հանգամանքը, որ Երկրի գրավիտացոն դաշտում միևնույն մարմնի պոտենցիալ

էներգիան (9.37) բանաձևով հաշվելիս ստանում ենք դրական, իսկ (9.39) բանաձևով

հաշվելիս՝ բացասական արժեքներ: 6. Օգտվելով 151-րդ նկարում պատկերված գրաֆի-

կից՝ որոշեք թե ինչ աշխատանք է անհրաժեշտ կատարել 1 կգ զանգվածով մարմինը

Երկրի մակերևույթից մինչև անվերջ հեռու կետ տեղափոխելու համար:

ԼՐԻՎ ՄԵԽԱՆԻԿԱԿԱՆ ԷՆԵՐԳԻԱ:

ԼՐԻՎ ՄԵԽԱՆԻԿԱԿԱՆ ԷՆԵՐԳԻԱՅԻ

58.

ՊԱՀՊԱՆՄԱՆ ՕՐԵՆՔԸ

Տվյալ մարմինը միաժամանակ կարող է և° շարժվել, և° փոխազդել այլ մար-

մինների հետ: Դա նշանակում է, որ այն միաժամանակ օժտված է և° կինետիկ, և°

պոտենցիալ էներգիայով: Օրինակ՝ ազատ անկում կատարող

մարմինն օժտված է կինետիկ էներգիայով, քանի որ շարժ-

վում է: Բացի այդ՝ այն օժտված է նաև պոտենցիալ էներգիա-

յով, քանի որ փոխազդում է Երկրի հետ:

Մարմնի կինետիկ և պոտենցիալ էներգիաների գումարը

կոչվում է մարմնի լրիվ մեխանիկական էներգիա՝

E=Eu+El:

(9.42)

Օրինակ՝ Երկրի մակերևույթից h բարձրությամբ և v

Նկ. 152. Մարմնի

արագությամբ շարժվող m զանգվածով մարմնի (նկ. 152) լրիվ

լրիվ մեխանիկական

մեխանիկական էներգիան՝

էներգիան հավասար

է կինետիկ էներգիայի

E =Eu+E

mgh

(9.43),

և ծանրության ուժով

պայմանավորված

իսկ եթե մարմինն ամրացված է զսպանակին (նկ. 153), ապա

պոտենցիալ

այդ համակարգի լրիվ մեխանիկական էներգիան՝

էներգիայի գումարին:

ԳԼՈՒԽ

IX. ՊԱՀՊԱՆՄԱՆ ՕՐԵՆՔՆԵՐԸ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅՈՒՄ

177

E =Eu+E

mgh

(9.44)

որտեղ k-ն զսպանակի կոշտությունն է, x-ը՝ զսպանակի երկա-

րացումը:

Մարմնի վրա միաժամանակ կարող է ազդել մի քանի

ուժ: Ժամանակի ընթացքում մարմնի վիճակի փոփոխու-

թյունը կախված է ազդող ուժերի բնույթից:

1. Նախ քննարկենք այն դեպքը, երբ մարմնի վրա ազ-

Նկ.153. Համակարգի

դում են պոտենցիալային ուժեր:

լրիվ մեխանիկական

Ժամանակի որևէ պահի մարմնի կինետիկ էներգիան

էներգիան հավասար

նշանակենք

u -ով, պոտենցիալ էներգիան՝ El1-ով« ժամա-

է կինետիկ էներգիայի

նակի մեկ այլ պահի՝ Eu2 -ով և El2 -ով:

և ծանրության ու

առաձգականության

Ըստ կինետիկ էներգիայի թեորեմի՝ մարմնի վրա ազդող

ուժերով պայմանա-

պոտենցիալային ուժերի աշխատանքը հավասար է մարմնի

վորված պոտենցիալ

կինետիկ էներգիայի փոփոխությանը՝

էներգիաների

գումարին:

A =Eu2 E

(9.45)

Մյուս կողմից, ըստ պոտենցիալ էներգիայի թեորեմի, այդ ուժերի աշխատան-

քը հավասար է պոտենցիալ էներգիայի փոփոխությանը՝ հակառակ նշանով՝

)

(9.46)

(9.45) և (9.46) բանաձևերից հետևում է, որ պոտենցիալային ուժերի ազդեցու-

թյամբ մարմնի կինետիկ և պոտենցիալ էներգիաների փոփոխությունները բացար-

ձակ արժեքով հավասար են, սակայն ունեն հակառակ նշաններ՝

Eu2 E

) ufr DE

+DE

(9.47)

Այսպիսով՝ որքան մարմնի կինետիկ էներգիան աճում է, նույնքան նրա պո-

տենցիալ էներգիան նվազում է և հակառակը, այսինքն՝ տեղի է ունենում մեխանի-

կական էներգիայի մի տեսակի փոխակերպում մեկ այլ տեսակի:

(9.47) բանաձևը կարելի է ներկայացնել նաև հետևյալ կերպ՝

Eu2+E

Eu1+E

(9.48)

(9.48) հավասարման աջ և ձախ մասերում գրված է մարմնի լրիվ մեխանի-

կական էներգիան ժամանակի երկու տարբեր պահերին: Ուրեմն՝ այդ պահերին

մարմնի լրիվ մեխանիկական էներգիաներն իրար հավասար են: Քանի որ ժամա-

նակի պահերն ընտրված են կամայականորեն, ապա կարող ենք եզրակացնել, որ

պոտենցիալային ուժերի ազդեցության դեպքում մարմնի լրիվ մեխանիկական

էներգիան մնում է հաստատուն, այսինքն՝ պահպանվում է:

Պոտենցիալային ուժի

ազդեցությանը

ենթարկվող մարմնի պոտենցիալ

էներգիայի մասին խոսելիս պետք է հաշվի առնել, որ այդ էներգիայով մարմինն

օժտված է, քանի որ փոխազդում է մեկ այլ մարմնի հետ: Օրինակ՝ Երկրի հետ

փոխազդող յուրաքանչյուր մարմին օժտված է պոտենցիալ էներգիայով: Առաձ-

գականորեն դեֆորմացված մարմինն օժտված է պոտենցիալ էներգիայով, քանի

որ միմյանց հետ փոխազդում են մարմնի առանձին մասնիկները:

178

ՖԻԶԻԿԱ 10

Մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքը ճիշտ է միմյանց հետ պո-

տենցիալային ուժերով փոխազդող մարմինների համակարգի համար, եթե այն

փակ է, այսինքն՝ համակարգի մարմինները չեն փոխազդում համակարգին չպատ-

կանող այլ մարմինների հետ: Պոտենցիալային ուժերով փոխազդող մարմին-

ների փակ համակարգի լրիվ մեխանիկական էներգիան պահպանվում է.

E = Eu+ El = const:

(9.49)

2. Եթե փակ համակարգի մարմինների միջև պոտենցիալային ուժերից բացի

գործում են ոչ պոտենցիալային ուժեր (շփման, դիմադրության), որոնք մարմիննե-

րի շարժման ժամանակ կատարում են որոշակի աշխատանք, ապա փակ համա-

կարգի լրիվ մեխանիկական էներգիան չի պահպանվում: Դրանում կարելի է հա-

մոզվել՝ դիտարկելով հետևյալ օրինակը:

Դիցուք՝ m զանգվածով մարմինը

շարժվում

է հորիզոնական հարթու-

թյամբ, որի հետ մարմնի սահքի շփման

Նկ.154. Շփման ուժի առկայությամբ

գործակիցը n է (նկ. 154): Մարմնի արա-

համակարգի լրիվ մեխանիկական էներգիան

գությունը ժամանակի սկզբնական պա-

չի պահպանվում:

հին նշանակենք v₁-ով:

Եթե որպես պոտենցիալ էներգիայի զրոյական մակարդակ ընտրենք մարմ-

նի ծանրության կենտրոնով անցնող հորիզոնականը, ապա կամայական դիրքում

մարմնի պոտենցիալ էներգիան հավասար կլինի զրոյի: Ժամանակի սկզբնական

պահին մարմնի լրիվ մեխանիկական էներգիան՝

E1 =Eu+E

(9.50)

Քանի որ շփման ուժն ուղղված է մարմնի շարժմանը հակառակ, ապա մարմ-

նի արագությունը կնվազի՝ տեղափոխությունից հետո դառնալով v

2: Այդ դիրքում

մարմնի լրիվ մեխանիկական էներգիան՝

E =Eu+E

(9.51)

Հաշվի առնելով, որ v2= v

2as, որտեղ a = F

-ն արագացման մո-

դուլն է, (9.51) բանաձևից կստանանք՝

E = m

F s

(9.52)

2-ը մարմնի լրիվ մեխանիկական էներգիան է ժամանակի սկզբնական պա-

հին, իսկ F

-ը՝ շփման ուժի կատարած A աշխատանքն s տեղափոխություն կա-

տարելիս, հետևաբար՝ E2 = E1+ A, որտեղից՝

E2- E1= A,

(9.53)

այսինքն՝ փակ համակարգի լրիվ մեխանիկական էներգիայի փոփոխությունը հա-

վասար է ոչ պոտենցիալային ուժերի կատարած աշխատանքին:

3. Եթե համակարգում գործող ոչ պոտենցիալային ուժերի հետ մեկտեղ հա-

մակարգի վրա ազդող արտաքին ուժերի համազորը տարբեր է զրոյից, ապա ոչ պո-

ԳԼՈՒԽ

IX. ՊԱՀՊԱՆՄԱՆ ՕՐԵՆՔՆԵՐԸ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅՈՒՄ

179

տենցիալային ուժերի աշխատանքին գումարվում է նաև արտաքին ուժերի աշխա-

տանքը՝

E2 E1=A

tx ltj

f7j

(9.54)

Ստացված հավասարումն արտահայտում է լրիվ մեխանիկական էներգիայի

փոփոխության թեորեմը. համակարգի լրիվ մեխանիկական էներգիայի փոփո-

խությունը հավասար է արտաքին ուժերի և ներքին ոչ պոտենցիալային ուժերի

աշխատանքների գումարին:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Սահմանե°ք լրիվ մեխանիկական էներգիան: 2. Բացարձա±կ, թե՞ հարաբերական մե-

ծություն է լրիվ մեխանիկական էներգիան: Պատասխանը հիմնավորեք: 3. Գրե°ք կինե-

տիկ էներգիայի թեորեմի բանաձևը: 4. Գրե°ք պոտենցիալ էներգիայի թեորեմի բանաձևը:

5. Ո±ր դեպքում են մարմինների համակարգն անվանում փակ: 6. Էներգիայի ինչպիսի՞

փոխակերպումներ են տեղի ունենում նետն աղեղով արձակելիս: 7. Ձևակերպե°ք լրիվ

մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքը: 8. Որքա±ն է հորիզոնի նկատմամբ

անկյան տակ նետված« v₀ սկզբնական արագությամբ մարմնի արագությունը h բարձ-

րությունում: Օդի դիմադրությունն անտեսել: 9. Ե±րբ է դեպի վեր շարժվող մարմնի լրիվ

մեխանիկական էներգիան շարժման ընթացքում ընդունում իր փոքրագույն արժեքը:

Օդի դիմադրությունը հաշվի առնել: 10. Ձևակերպե°ք լրիվ մեխանիկական էներգիայի

փոփոխության թեորեմը:

59.

ԼԱԲՈՐԱՏՈՐ ԱՇԽԱՏԱՆՔ 7

Մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքի

ուսումնասիրումը

Աշխատանքի նպատակը. փորձով ստուգել մեխա-

նիկական էներգիայի պահպանման օրենքը:

Չափամիջոցներ. միլիմետրական բաժանումնե-

րով քանոն (50 սմ երկարությամբ):

Նյութեր և սարքեր. զսպանակ, 100 կամ 50 գրամա-

նոց բեռների հավաքածու, ամրակալան՝ կցորդիչով:

Փորձի կատարման ընթացքը

Ամրակալանին ամրացրեք հայտնի կոշտությամբ (օրինակ՝ k = 8 Ն/մ)

զսպանակ և չափեք չձգված զսպանակի ծայրի կոորդինատը:

Զսպանակից կախեք բեռ (m = 100 գ): Չափեք բեռի h բարձրությունը սե-

ղանի մակերևույթից և ձգման x չափը:

Ձեռքով բարձրացրեք բեռը՝ բեռնաթափելով զսպանակը: Բեռը բարձ-

րացրեք մինչև այնպիսի h₁ բարձրություն (1-ին դիրք© կարելի է համոզվել,

որ բեռը պետք է բարձրացնել h-ով)«. որ այն բաց թողնելիս միայն հպվի

սեղանի մակերևույթին (2-րդ դիրք):

Հաշվեք էներգիաները 1-ին (զսպանակը ձգված է x₁ չափով, իսկ բեռի

բարձրությունը h₁ է) և 2-րդ (զսպանակը ձգված է x₂ չափով, իսկ բեռի

180

ՖԻԶԻԿԱ 10

բարձրությունը զրո է) դիրքում և համոզվեք, որ դրանք հավասար են.

mgh

E = kx2, E =E

Օգտվելով էներգիայի պահպանման օրենքից՝ ապացուցեք, որ h

Խնդիրների լուծման օրինակներ

1. Ի՞նչ աշխատանք պետք է կատարել զսպանակը x = 10 սմ ձգելու համար, եթե

x₁ =1սմ ձգելու համար պահանջվում է F1 =2 Ն ուժ:

Լուծում: Օգտվելով Հուկի օրենքից՝ որոշեք զսպանակի կոշտությունը. F1= kx₁,

k = F1x₁: Զսպանակը x չափով ձգելու համար պահանջվող աշխատանքը՝

1@:

Պատասխան՝ 1 Ջ:

2. h = 0, 6 ՕԳԳ-ով շարժական ճախարակով m=75 կգ զանգվածով բեռը պետք

է բարձրացնել h = 10 մ: Որոշել դրա համար անհրաժեշտ օգտակար աշխատան-

քը, լրիվ աշխատանքը և ուժի մոդուլը:

Լուծում: Բեռը հավասարաչափ բարձրացնելիս կատարված օգտակար աշխա-

տանքը՝ A[s=mgh

7350@

: Լրիվ աշխատանքը կորոշենք

A[s A_v7

բանա-

ձևից՝ A

[s h

12250@:

Բեռը h-ով բարձրացնելու համար պարանի ծայրը

պետք է ձգել 2 h-ով, հետևաբար՝ A

F$2h, որտեղից՝ F = A

612, 5 G:

Պատասխան՝ 612«5 Ն:

3. Սյան գագաթից հաշված h = 1,4 մ բարձրությունից ընկնող m = 600 կգ զանգ-

վածով մուրճի հարվածից սյունը գետնի մեջ է խրվում Dh = 0,1 մ: Գտնել գետնի

դիմադրության միջին ուժը: Սյան զանգվածն անտեսել:

Լուծում:

Դիմադրության ուժի կատարած աշխատանքի հետևանքով համա-

կարգի մեխանիկական էներգիան նվազում է mg(h+Dh)-ով (սյան զանգվածն

անտեսելիս նրա պոտենցիալ էներգիայի փոփոխությունը և հարվածի ժամա-

նակ մեխանիկական էներգիայի կորուստը կարելի է հաշվի չառնել), հետևաբար՝

mg(h

+Dh) = FzDh

, որտեղից՝ F

= mg(1 + h Dh)

88, 2

կՆ:

Պատասխան՝ 88«2 կՆ:

4. Օգտվելով շարժման հավասարումներից՝

ապացուցեք« որ օդի դիմադրությունն անտեսե-

լիս հորիզոնի նկատմամբ անկյան տակ նետ-

ված մարմնի լրիվ մեխանիկական էներգիան

պահպանվում է:

Օգտվենք շարժման հավասարումներից՝ y = v sina$t gt

vx=v0cos

vy = v0sina- gt: t₁ պահին մարմնի բարձրությունը և արագության քառակուսին՝

h=v0sina$t1 gt1

v2=v2+v2=v

-2v0gt1sina

+g2t2

Այս

արտահայտու-

թյունները տեղադրելով E2=mv

mgh

բանաձևի մեջ՝ կստանանք՝

E2=m

ԳԼՈՒԽ

IX. ՊԱՀՊԱՆՄԱՆ ՕՐԵՆՔՆԵՐԸ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅՈՒՄ

181

5. h = 2 մ բարձրությամբ և a= 4 մ հիմքով լանջով սկսում է սահել սահնակը, որը

կանգ է առնում լանջի ստորոտից b= 36 մ ճանապարհ անցնելուց հետո: Որքա±ն

է շփման գործակիցը, եթե այն ամբողջ ճանապարհին նույնն է: Օդի դիմադրու-

թյունն անտեսեք: Ազատ անկման արագացումն համարեք 10 մ/վ²:

Լուծում: Սահնակի կինետիկ էներգիան սկզբնա-

կան և վերջնական դիրքերում զրո է (տես նկարը):

Որպես պոտենցիալ

էներգիայի հաշվարկման

զրոյական մակարդակ ընդունենք ճանապարհի

հորիզոնական տեղամասը: Այդ դեպքում լանջի

գագաթին սահնակի պոտենցիալ էներգիան mgh է, իսկ հորիզոնական տեղամասում՝

զրո: Սահնակի մեխանիկական էներգիայի փոփոխությունը հավասար է ամբողջ

ճանապարհին շփման ուժի կատարած աշխատանքին՝ - mgh = A_mq : Շփման ու-

ժի աշխատանքը թեք հարթության վրա՝ A

mgcosa$l

mq1 = -

է, իսկ հորիզոնական

տեղամասում՝ A

mg$b:

mq2 = -

Քանի որ l cos a = a, ապա ամբողջ աշխատանքը՝

mg(a +b)

=-n

: Այսպիսով՝ mgh = nmg (a + b) և n=h (a + b) = 0, 05:

Պատասխան՝ n = 0,05:

6. Ոչ մեծ մարմինն առանց շփման սկսում է սահել R շառավղով կիսագնդի գագա-

թից: Կիսագնդի հիմքից հաշված՝ ի՞նչ բարձրությունից մարմինը կպոկվի կիսա-

գնդի մակերևույթից:

Լուծում: Եթե որպես պոտենցիալ էներգիայի զրոյա-

կան մակարդակ ընտրենք կիսագնդի հիմքը, ապա

գագաթին մարմնի պոտենցիալ

էներգիան կլինի

mgR , իսկ կինետիկ էներգիան՝ զրո: Պոկվելու պա-

հին նրա պոտենցիալ էներգիան mgh է, իսկ կինե-

տիկը՝ mv

2: Համաձայն լրիվ մեխանիկական էներ-

գիայի պահպանման օրենքի՝ mgR =mv

mgh

(1): Համաձայն Նյուտոնի երկրորդ օրենքի՝ mg + N = ma « որտեղ N¬ը կիսագնդի

հակազդեցության ուժն է: Պրոյեկտելով այս հավասարումը մարմինը կիսագնդի

կենտրոնին միացնող ուղղի վրա, կստանանք՝ mg cosa-

N =man: Քանի որ

an= v2 R, cosa

h R

, իսկ պոկվելու պահին N = 0, h = h₀ ապա v2 = h0g: Տե-

ղադրելով այս արտահայտությունը (1) հավասարման մեջ, կստանանք՝ h

2R 3

0 =

Պատասխան՝ h

2R 3

0 =

7. Ի՞նչ նվազագույն արագություն պետք է հաղորդել մարմնին, որպեսզի այն հե-

ռանա և այլևս չվերադառնա Երկիր: Մթնոլորտի դիմադրության ուժն անտեսել:

Լուծում: Պահանջվող արագությունը նշանակենք v_II -ով: Այն անվանում են երկ-

րորդ տիեզերական արագություն: Երկրի մակերևույթին մարմինն օժտված է

Eu=mv

կինետիկ էներգիայով և E

GmM R

l =-

պոտենցիալ էներգիայով (R¬ը

Երկրի շառավիղն է« M¬ը՝ զանգվածը): Մարմնի լրիվ մեխանիկական էներգիան՝

E1=mv

GmM R

: Երկրից շատ մեծ հեռավորություններում, որտեղ փոխազդե-

ցության ուժը կարելի է անտեսել, իսկ արագությունը համարել զրո, մարմնի լրիվ

մեխանիկական էներգիան՝ E

2 =

: Համաձայն լրիվ մեխանիկական էներգիայի

պահպանման օրենքի՝

2-GmM R

0, որտեղից՝ v

2GM R :

Հաշվի

առնելով, որ GM R2 = g, կստանանք՝ v

2Rg

11, 2կմ/վ:

Պատասխան՝ v

2Rg

11, 2

կմ/վ:

182

ՖԻԶԻԿԱ 10

ՄԱՐՄՆԻ ԻՄՊՈՒԼՍ: ՈՒԺԻ ԻՄՊՈՒԼՍ:

60.

ԻՄՊՈՒԼՍԻ ՊԱՀՊԱՆՄԱՆ ՕՐԵՆՔԸ

Մարմնի վրա ուժի ազդեցության արդյունքը պայմանավորված է ոչ միայն ու-

ժի մեծությամբ, այլ նաև դրա ազդման տևողությամբ: Որքան երկար ժամանակ է

ուժն ազդում, այնքան մեծ է մարմնի արագության փոփոխությունը:

Դիցուք՝ m զանգվածով մարմնի վրա ազդում է հաստատուն F ուժ: Այդ ուժի

ազդեցությամբ մարմինը կշարժվի հաստատուն a = (v2 - v1) D t արագացմամբ,

որտեղ v1-ը մարմնի արագությունն է ժամանակի սկզբնական պահին, իսկ v2 -ը՝ Dt

ժամանակ անց: Տեղադրելով այս արտահայտությունը Նյուտոնի երկրորդ օրենքն

արտահայտող F = ma բանաձևում, կստանանք՝

FDt = mv2 - mv1:

(9.55)

Օգտվելով (9.55) բանաձևից՝ սահմանենք երկու նոր ֆիզիկական մեծություն-

ներ: Ուժի և նրա ազդեցության ժամանակի FDt արտադրյալը կոչվում է ուժի իմ-

պուլս: Եթե ուժի աշխատանքը բնութագրում է ուժի տարածական ազդեցությունը,

ապա ուժի իմպուլսը բնութագրում է ուժի ժամանակային ազդեցությունը: Ուժի իմ-

պուլսի սահմանումից նաև հետևում է, որ այն վեկտորական մեծություն է և ունի

ուժի ուղղությունը: Միավորների ՄՀ-ում այն արտահայտվում է 1 Ն. վ միավորով:

(9.55) բանաձևից հետևում է, որ ուժի իմպուլսը կապված է մի ֆիզիկական մե-

ծության փոփոխության հետ, որը հավասար է մարմնի զանգվածի և արագության

արտադրյալին: Մարմնի զանգվածի և արագության արտադրյալը կոչվում է

մարմնի իմպուլս՝

p = mv:

(9.56)

Մարմնի իմպուլսը վեկտորական մեծություն է և ունի մարմնի արագության

ուղղությունը: Միավորների ՄՀ-ում այն արտահայտվում է 1 կգմ/վ միավորով:

Մարմնի իմպուլսը (9.56) բանաձևով կարելի է հաշվել այն դեպքում, երբ նրա

բոլոր կետերի արագությունը նույնն է, այսինքն՝ այն կատարում է համընթաց շար-

ժում: Եթե մարմնի տարբեր կետեր շարժվում են տարբեր արագություններով, ապա

մարմնի լրիվ իմպուլսը որոշելու համար անհրաժեշտ է այն բաժանել առանձին

փոքր տարրերի (նյութական կետերի), որոշել դրանցից յուրաքանչյուրի իմպուլսը

և դրանք գումարել վեկտորապես:

Դադարի վիճակում մարմնի իմպուլսը զրո է: Սակայն

մարմնի իմպուլսը կարող է զրո լինել նաև այն դեպքում,

երբ այն շարժվում է: Որպես օրինակ կարող է ծառայել O

անշարժ առանցքի շուրջ պտտվող սկավառակը (նկ. 155):

Իրոք, տրամագծորեն հակադիր« հավասար զանգվածնե-

րով կամայական A և B բավականաչափ փոքր տարրերն

Նկ. 155. Պտտվող սկա-

վառակի իմպուլսը զրո է:

ունեն մոդուլով հավասար, ուղղությամբ հակադիր իմպուլս-

ներ, ուստի՝ դրանց գումարը զրո է: Դա ճիշտ է սկավառակի տրամագծորեն հակա-

դիր բոլոր զույգ տարրերի համար, հետևաբար՝ սկավառակի լրիվ իմպուլսը զրո է:

Մարմնի իմպուլսի և նրա վրա ազդող ուժի իմպուլսի միջև կապը բխում է (9.55)

հավասարումից« որը կարող ենք ներկայացնել հետևյալ կերպ՝

ԳԼՈՒԽ

IX. ՊԱՀՊԱՆՄԱՆ ՕՐԵՆՔՆԵՐԸ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅՈՒՄ

183

Dp = FDt :

(9.57)

Ստացանք, որ մարմնի իմպուլսի փոփոխությունը հավասար է նրա վրա

ազդող ուժի իմպուլսին: Սա Նյուտոնի երկրորդ օրենքի առավել ընդհանուր ձևա-

կերպումն է:

(9.57) բանաձևն արտածելիս ենթադրեցինք, որ մարմնի վրա ազդող ուժը

հաստատուն է: Եթե ժամանակի ընթացքում ուժը փոփոխվում է, ապա նրա ազդ-

ման ժամանակամիջոցը կարելի է տրոհել այնքան փոքր ժամանակահատվածնե-

րի, որոնցից յուրաքանչյուրում ուժը կարելի է համարել հաստատուն, որոշել ուժի

իմպուլսը յուրաքանչյուր ժամանակահատվածում և, գումարելով դրանք, որոշել

ուժի իմպուլսն ամբողջ ժամանակամիջոցում:

(9.57) բանաձևից հետևում է իմպուլսի հետևյալ կարևոր առանձնահատկու-

թյունը. տվյալ ուժի ազդեցությամբ այն միատեսակ է փոխվում բոլոր մարմինների

համար, եթե այդ ուժի ազդեցության տևողությունը նույնն է: Որոշակի ժամանա-

կահատվածում տվյալ ուժը նույն իմպուլսն է հաղորդում թե° մեծ զանգվածով, թե°

փոքր զանգվածով մարմիններին:

Մարմնի իմպուլսի փոփոխությունը որոշվում է ուժի իմպուլսով: Կարճատև

ազդող մեծ ուժը մարմնի իմպուլսը կարող է փոխել նույնքանով, որքանով երկար

ժամանակ ազդող փոքր ուժը:

Տարաբնույթ բախումների ժամանակ մարմինը« հանդիպելով խոչընդոտի,

կանգ է առնում, կորցնում է իր սկզբնական իմպուլսը: Որքան փոքր է այդ դեպքում

բախման ժամանակը, այնքան մեծ է մարմնի վրա ազդող ուժը: Երբ մարդը« օրինակ«

որոշ բարձրությունից ցատկելով՝ հարվածում է գետնին, կամ ավտոմեքենան հար-

վածում է պատին, ի հայտ են գալիս մարմնի վրա ազդող մեծ ուժեր:

Դիցուք՝ 80 կգ զանգվածով մարդը ցատկում է 1,3 մ բարձրությունից: Գետ-

նին հարվածելու պահին նրա արագությունը՝ v . 5 մ/վ է: Եթե հարվածի ընթաց-

քում մարդը չի կքանստում« և կոշիկների ներբանները բավականաչափ փափուկ

չեն, ապա հարվածի տևողությունը՝ Dt . 0,01 վ: Այդ ընթացքում գետնից ազդող

ուժի ազդեցությամբ մարդու արագությունը փոքրանում է 5 մ/վ-ից մինչև զրո, հետև-

աբար՝ նրա իմպուլսի փոփոխությունը՝ Dp = 80 կգ© 5 մ/վ = 400 կգմ/վ: Համաձայն

(9.57) բանաձևի՝ գետնից մարդու վրա ազդող միջին ուժը՝ F = Dp Dt = 4000 Ն:

Սա մեծ ուժ է և կարող է մարմնական լուրջ վնասվածքներ պատճառել:

Սակայն այդ բարձրությունից ցատկը կարելի բացարձակ անվտանգ դարձ-

նել՝ երկարաձգելով բախման ժամանակը: Դրա համար հարվածի պահին անհրա-

ժեշտ է ծալել ծնկները, ինչպես նաև հագնել հաստ առաձգական ներբաններով

կոշիկներ կամ ցատկել փափուկ, ավազոտ հողին: Նույն նպատակով էլ դարպա-

սապահները հագնում են հատուկ ձեռնոցներ և գնդակը որսալիս ձեռքերն աստի-

ճանաբար հետ են տանում: Նշված դեպքերում էապես մեծանում է բախման ժա-

մանակը, հետևաբար՝ փոքրանում է մարդու վրա ազդող ուժը:

Որոշ դեպքերում հարկ է լինում ոչ թե փոքրացնել, այլ մեծացնել հարվածի ու-

ժը: Դրա համար պետք է հնարավորինս փոքրացնել հարվածի տևողությունը: Այդ

պատճառով է, որ ֆուտբոլի խաղակոշիկները պատրաստում են պինդ, ամուր նյու-

թերից, որի շնորհիվ փոքր է դրանց դեֆորմացիայի ժամանակը:

184

ՖԻԶԻԿԱ 10

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ո±ր մեծությունն

է կոչվում ուժի իմպուլս« և ի՞նչ միավորով է այն արտահայտվում:

2. Ո±ր մեծությունն է կոչվում մարմնի իմպուլս« և ի՞նչ միավորով է այն արտահայտվում:

3. Ի՞նչ կապ կա ուժի իմպուլսի և մարմնի իմպուլսի միջև: 4. Ի՞նչ ուղղություն ունի ավտո-

մեքենայի իմպուլսի փոփոխությունը՝ ա) երբ ավտոմեքենան դադարի վիճակից սկսում է

շարժվել, բ) երբ շարժվող ավտոմեքենան արգելակում է: 5. Որքա±ն է նույն զանգվածներով

և մոդուլով հավասար արագություններով իրար ընդառաջ շարժվող երկու մարմիններից

կազմված համակարգի լրիվ իմպուլսը: 6. Մարմինը կատարում է շրջանագծային հա-

վասարաչափ շարժում: Փոխվու±մ է արդյոք մարմնի իմպուլսը ժամանակի ընթացքում:

7. m զանգվածով թենիսի գնդակը v արագությամբ ուղղահայաց հարվածում է պատին և

մոդուլով նույն արագությամբ անդրադառնում նրանից: Որքա±ն է գնդակի՝ ա) իմպուլսի

փոփոխության մոդուլը, բ) իմպուլսի մոդուլի փոփոխությունը:

61.

ԻՄՊՈՒԼՍԻ ՊԱՀՊԱՆՄԱՆ ՕՐԵՆՔԸ

Ինչպես և էներգիան, ՙիմպուլս՚ հասկացությունը կարելի է կիրառել ոչ միայն

առանձին մարմնի, այլև մարմինների կամայական համակարգի համար: Համա-

կարգի լրիվ իմպուլս է կոչվում համակարգի մարմինների իմպուլսների վեկտորա-

կան գումարը.

p = p +p

+$$$+

(9.58)

(9.58) սահմանումից հետևում է, որ համակարգի լրիվ իմպուլսի փոփոխությու-

նը հավասար է համակարգի մարմինների իմպուլսների փոփոխությունների վեկ-

տորական գումարին.

=Dp

+Dp

+$$$+D

(9.59)

Պարզության համար ենթադրենք« որ համակարգը

կազմված է A և B մարմիններից (նկ. 156): Դրանք կա-

րող են լինել, օրինակ, երկու բախվող գնդեր, հրանոթը և

նրա արձակած արկը, նավակը և նրա մեջ նստած մար-

դը և այլն: Համակարգի մարմինների վրա ազդող ուժե-

Նկ. 156. Համակարգը

րը կարելի է բաժանել երկու խմբի: Այն ուժերը, որոնք

կազմող մարմինների վրա

գործում են համակարգի մարմինների միջև, կոչվում են

ազդում են արտաքին և

ներքին ուժեր:

ներքին ուժեր: 156-րդ նկարում ներքին ուժեր են

-ը

և F2g -ը: F1g -ը A մարմնի վրա B մարմնի ազդող ուժն է, իսկ F2g -ը՝ B մարմնի վրա A

մարմնի ազդող ուժը: Համակարգի մարմինների վրա համակարգին չպատկանող

մարմինների ազդող ուժերը կոչվում են արտաքին ուժեր: 156-րդ նկարում F1f -ն և

-ն« համապատասխանաբար« A և B մարմինների վրա ազդող արտաքին ուժերն

են:

Նշված ուժերի ազդեցությամբ համակարգի մարմինների իմպուլսը փոփոխ-

վում է: Եթե համակարգի վրա այդ ուժերի ազդեցությունը դիտարկենք բավակա-

նաչափ փոքր Dt ժամանակահատվածի ընթացքում, ապա մարմիններից յուրա-

քանչյուրի իմպուլսի փոփոխությունը կլինի՝

= (F1f + F1g) Dt, Dp

=(F2f + F2g)Dt:

ԳԼՈՒԽ

IX. ՊԱՀՊԱՆՄԱՆ ՕՐԵՆՔՆԵՐԸ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅՈՒՄ

185

Գումարելով այս հավասարումները՝ կստանանք համակարգի լրիվ իմպուլսի

փոփոխությունը Dt ժամանակահատվածում՝

Dp = Dp

+ Dp

= (F1f + F1g + F2f + F2g)D t:

(9.60)

Ըստ Նյուտոնի երրորդ օրենքի՝ F1g =- F2g , հետևաբար՝

Dp =(F1f + F2f)D t:

(9.61)

Քանի որ համակարգի ներքին ուժերի գումարը միշտ զրո է, համակարգի լրիվ

իմպուլսի փոփոխությունը հավասար է համակարգի մարմինների վրա ազդող

արտաքին ուժերի համազորի իմպուլսին: Ստացված արդյունքը հեշտ է ընդհան-

րացնել կամայական թվով մարմիններից բաղկացած համակարգի համար: Եթե

արտաքին ուժերի համազորը նշանակենք R -ով, ապա կարող ենք գրել՝

Dp = RDt :

(9.62)

Այս հավասարումն արտահայտում է Նյուտոնի երկրորդ օրենքը մարմինների

համակարգի համար: Դրանից հետևում է, որ համակարգի լրիվ իմպուլսը կարող է

փոխվել միայն արտաքին ուժերի ազդեցությամբ, ընդ որում« լրիվ իմպուլսի փոփո-

խությունն ունի արտաքին ուժերի համազորի ուղղությունը: Ներքին ուժերը փոխում

են միայն համակարգի առանձին մարմինների իմպուլսները, իսկ համակարգի լրիվ

իմպուլսը փոխել չեն կարող:

Ըստ (9.62) հավասարման՝ եթե R = 0, ապա Dp = 0, այսինքն՝ եթե համա-

կարգի վրա ազդող արտաքին ուժերի համազորը զրո է, ապա համակարգի

իմպուլսը պահպանվում է.

p +p

+$$$+

p = const

(9.63)

Այս պնդումը կոչվում է իմպուլսի պահպանման օրենք: Մասնավորապես,

m₁ և m₂ զանգվածներով մարմինների համակարգի համար

(9.64)

որտեղ v1-ը և v2 -ը մարմինների արագություններն են փոխազդեցությունից առաջ,

իսկ

l -ը և v2l -ը՝ փոխազդ եց ութ յուն ից հետո:

Իմպուլսի պահպանման օրենքը կարելի է կիրառել նաև այն դեպքերում, երբ

համակարգը փակ չէ, սակայն նրա մեջ ընթացող պրոցեսներն այնքան կարճա-

տև են, որ արտաքին ուժերը չեն հասցնում նկատելիո-

րեն փոխել համակարգի իմպուլսը: Բավականաչափ

փոքր Dt -երի դեպքում (9.62) հավասարման աջ մա-

սի փոխարեն տեղադրելով զրո, կստանանք՝ Dp = 0,

այսինքն՝ p = const : Այդպիսի դեպքերից են մարմին-

ների զանազան բախումները, կրակոցները, պայթյուն-

ները:

Դիցուք՝ դեպի վեր արձակված արկը հետագծի

Նկ. 157. Ռումբի պայթման

վերին կետում, որտեղ նրա արագությունը զրո է, պայ-

ժամանակ ծանրության

թում է (նկ. 157): Մինչ պայթյունն արկի իմպուլսը զրո է:

ուժի ազդեցությունը

կարելի է անտեսել:

Պայթյունը շատ կարճ է տևում, ուստի՝ ծանրության ուժը

186

ՖԻԶԻԿԱ 10

չի հասցնում զգալիորեն փոխել արկի իմպուլսը, և պայթյունից հետո առաջացած

բեկորների իմպուլսների գումարը նույնպես պետք է զրո լինի՝

m1v1+m2v2+m3v3+m4v

Որոշ դեպքերում կարող է պահպանվել համակարգի իմպուլսի պրոյեկցիան

որոշակի առանցքի վրա: (9.62) հավասարումից հետևում է, որ իմպուլսի փոփոխու-

թյան պրոյեկցիան կամայական կոորդինատային առանցքի վրա հավասար է այդ

նույն առանցքի վրա արտաքին ուժերի համազորի պրոյեկցիային՝

Dpx= RxDt

(9.65)

Ըստ (9.65) հավասարման՝

եթե R

x =

ապա

0, այսինքն՝ եթե համակարգի վրա ազդող արտա-

քին ուժերի համազորի պրոյեկցիան որևէ առանցքի վրա

զրո է, ապա այդ ուղղությամբ համակարգի իմպուլսի

պրոյեկցիան պահպանվում է: Օրինակ՝ երբ սահադաշ-

տում կանգնած չմշկորդը դեպի ձախ մարմին է նետում

հորիզոնի նկատմամբ

անկյան տակ (նկ. 158), ինքը

Նկ. 26. ՙՉմշկորդ-մարմին՚

դեպի աջ ուղղված արագություն է ստանում: Քանի որ

համակարգի իմպուլսի

ՙչմշկորդ-մարմին՚ համակարգի վրա հորիզոնական ուղ-

հորիզոնական պրոյեկցիան

պահպանվում է

ղությամբ ուժեր չեն ազդում (շփման ուժն անտեսվում է),

ապա համակարգի իմպուլսի պրոյեկցիան այդ ուղղությամբ պահպանվում է: Մինչ

մարմինը նետելը համակարգի իմպուլսը, հետևաբար՝ նաև նրա հորիզոնական

պրոյեկցիան զրո էր: Նետելուց հետո մարմինն ստանում է m1 v0 իմպուլս, որի հո-

րիզոնական պրոյեկցիան՝ mv0cos a-ն« ուղղված է դեպի ձախ: Չմշկորդը հորիզո-

նական ուղղությամբ պետք է ստանա մոդուլով դրան հավասար, իսկ ուղղությամբ

հակադիր իմպուլս, որպեսզի հորիզոնական ուղղությամբ համակարգի իմպուլսի

պրոյեկցիան մնա զրո՝ Mv mv0cos

, որտեղից՝ v = mv0cosa M :

Նշենք իմպուլսի պահպանման օրենքի ևս մեկ կարևոր առանձնահատկու-

թյուն: Եթե մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքը ճիշտ է փակ համա-

կարգում գործող միայն պոտենցիալային ուժերի դեպքում, ապա իմպուլսի պահ-

պանման օրենքը գործում է փակ համակարգի մարմինների կամայական բնույթի

փոխազդեցության դեպքում: Օրինակ՝ շփման ուժերի առկայությամբ փակ համա-

կարգի մեխանիկական էներգիան չի պահպանվում, սակայն իմպուլսը միշտ պահ-

պանվում է:

Իմպուլսի պահպանման օրենքին հանգեցինք՝ օգտվելով Նյուտոնի երկրորդ

և երրորդ օրենքներից: Սակայն իմպուլսի պահպանման օրենքը բնության հիմնա-

րար օրենքներից է և ոչ թե այլ օրենքների հետևանք: Այն չունի բացառություններ

ու գործում է և° մակրոաշխարհում, և° միկրոաշխարհում:

Իմպուլսի պահպանման օրենքի համաձայն՝ շարժումը ենթարկվում է որոշ

ընդհանրական կանոնների: Անկախ մարմինների փակ համակարգում տեղի

ունեցող պրոցեսներից՝ դրա լրիվ իմպուլսը միշտ պահպանվում է: Փակ համա-

կարգի մարմինները կարող են փոխազդել կամայական բնույթի ուժերով, կարող

են պայթյունի հետևանքով տրոհվել առանձին մասերի, կարող են միավորվել,

սակայն փակ համակարգի լրիվ իմպուլսը մնում է անփոփոխ:

ԳԼՈՒԽ

IX. ՊԱՀՊԱՆՄԱՆ ՕՐԵՆՔՆԵՐԸ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅՈՒՄ

187

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ո±ր համակարգն են անվանում փակ: 2. Ո±ր մեծությունն են անվանում համակար-

գի իմպուլս: 3. Հնարավո՞ր է արդյոք, որ երկու մարմիններից կազմված համակարգի

ընդհանուր իմպուլսի մոդուլը փոքր լինի այդ մարմիններից մեկի իմպուլսի մոդուլից:

4. Ո±ր ուժերն

են կոչվում ներքին ուժեր: 5. Ո±ր ուժերն են կոչվում արտաքին ուժեր:

6. Ձևակերպե°ք իմպուլսի պահպանման օրենքը: 7. Ո±ր դեպքերում կարելի է կիրառել իմ-

պուլսի պահպանման օրենքը: 8. Հրացանի գնդակը հարվածում է սեղանին դրված փայ-

տե չորսուին: Ինչո±ւ չորսուի արագությունը որոշելու համար կարելի է կիրառել իմպուլսի

պահպանման օրենքը, չնայած գնդակի և չորսուի վրա ազդում են արտաքին ուժեր՝ ծան-

րության ուժը, սեղանի հակազդեցության ուժը, շփման ուժը:

Թեև էներգիայի և իմպուլսի պահպանման օրենքները ներկայացվեցին որպես

Նյուտոնի օրենքների հետևանք« սակայն դրանք առավել հիմնարար օրենքներ են«

կիրառվում են ոչ միայն մեխանիկական երևույթներում, և հետևանք են ժամանակի ու

տարածության որոշակի հատկությունների:

Էներգիայի պահպանման օրենքը հետևանք է ժամանակի համասեռության«

որի էությունը հետևյալն է: Եթե փակ համակարգում ժամանակի որևէ պահի« տրված

սկզբնական պայմաններում« երևույթն ընթանում է որևէ ձևով« ապա այն նույն

ընթացքը կունենա« եթե նույն սկզբնական պայմաններն ապահովվեն ժամանակի մեկ

այլ պահի: Ժամանակի համասեռության հետևանքով է« որ չնայած փակ համակարգի

մասնիկների կոորդինատներն ու արագությունները ժամանակի ընթացքում փոփոխ-

վում են« սակայն ոչ պոտենցիալային ուժերի բացակայությամբ համակարգի լրիվ

մեխանիկական էներգիան մնում է հաստատուն:

Ժամանակի համասեռությամբ է պայմանավորված նաև այն հանգամանքը« որ

ֆիզիկական հաստատունները և օրենքները ժամանակի ընթացքում չեն փոխվում:

Իմպուլսի պահպանման օրենքը հետևանք է տարածության համասեռու-

թյան: Փակ համակարգում երևույթների ընթացքը չի փոխվում« երբ համակարգը

տարածության մեջ զուգահեռ տեղափոխվում է այնպես« որ նրա մեջ բոլոր մար-

մինները հայտնվում են նույն պայմաններում« ինչպիսին մինչ տեղափոխելն էր:

Այդպիսի տեղափոխության ժամանակ մարմինների փոխազդեցության պոտեն-

ցիալ էներգիան չի փոխվում« քանի որ այն կախված է միայն նրանց փոխա-

դարձ դիրքից (հեռավորությունից)« որը մնում է նույնը: Դա նշանակում է« որ L

զուգահեռ տեղափոխության դեպքում ներքին ուժերի կատարած աշխատանքը զրո

է՝

(F1+F

+$ $$+ n)$L

=0:

Այս պայմանը ճիշտ է կամայական L¬ի համար« ուստի՝

F1+F2+$

$ +

: Սա այն պայմանն է« որը Նյուտոնի երկրորդ օրենքի կիրառման

դեպքում բերում է իմպուլսի պահպանման օրենքին: Այս դեպքում Նյուտոնի երրորդ

օրենքի փոխարեն օգտագործվում է տարածության համասեռությունը: Վերջինից

հետևում է նաև Նյուտոնի երրորդ օրենքը: Իրոք« երկու մարմինների փակ համակարգի

համար ստանում ենք՝ F1= - F2 :

62.

ՌԵԱԿՏԻՎ ՇԱՐԺՈՒՄ

Ռեակտիվ շարժմանը ծանոթ եք 8-րդ դասարանի ֆիզիկայի դասընթացից:

Ռեակտիվ շարժում անվանում են այն շարժումը, երբ մարմնից որոշակի արա-

գությամբ անջատվում է նրա մի մասը, իսկ մնացած մասը շարժվում է հակա-

ռակ ուղղությամբ:

Ռեակտիվ շարժման հիմքում երկու մարմինների փոխազդեցությունն է:

Շարժման սկզբում այդ մարմինները կազմում են մեկ ամբողջություն և ապա,

188

ՖԻԶԻԿԱ 10

փոխազդեցության հետևանքով ձեռք են բերում մոդուլով հավասար և ուղղությամբ

հակառակ իմպուլսներ: Ռեակտիվ շարժման օրինակներ են կրակելիս հրացանի

ՙհետհարվածը՚՝ հրացանի շարժումը գնդակի շարժմանը հակառակ ուղղությամբ,

հրանոթի հետգլորքը՝ արկն արձակելիս, հրթիռի շարժումը և այլն:

Ի տարբերություն շարժման այլ տեսակների՝ ռեակտիվ շարժումը տեղի է ու-

նենում մարմնի մասերի (համակարգի մարմինների) միջև գործող ներքին ուժերի

ազդեցությամբ« առանց արտաքին մարմինների հետ փոխազդեցության: Ռեակ-

տիվ շարժման ժամանակ մարմնի մասերի իմպուլսները փոփոխվում են, սակայն

նրա լրիվ իմպուլսը մնում է հաստատուն:

Դիտարկենք լճում անշարժ վիճակում մի

նավակ, որը բեռնված է հավասար զանգված-

ներով քարերով: Բեռնված նավակի ընդհանուր

զանգվածը (մարդու հետ միասին) նշանակենք

M-ով: Նավակը, նավակում նստած մարդը և

քարերը կազմում են մարմինների փակ հա-

Նկ. 159. Նավակում կանգնած մարդն

մակարգ, քանի որ նրանց փոխազդեցությունը

անընդհատ քարեր է նետում:

շրջապատի (օդի և ջրի) հետ կարելի է անտե-

սել. շփումը փոքր է, ծանրության ուժը համակշռված է ջրի հակազդեցության ուժով:

Ի՞նչ տեղի կունենա, եթե մարդն իրար հետևից« հավասար ընդմիջումներով,

նավակի նկատմամբ նույն u արագությամբ սկսի քարերը նետել հորիզոնական

ուղղությամբ (նկ. 159): m զանգվածով առաջին քարը նետելիս մարդը նրան կհա-

ղորդի mu իմպուլս: Մինչև քարը նետելը համակարգի իմպուլսը զրո էր: Քարը նե-

տելուց հետո համակարգի իմպուլսը (զրո է) պահպանելու համար նավակը, մարդը

և նավակում մնացած քարերը պետք է ստանան ուղղությամբ հակառակ ուղղված,

մոդուլով հավասար իմպուլս՝

(M m) v₁,

(9.63)

որտեղ v₁-ը նավակի արագությունն է առաջին քարը նետելուց հետո: (9.63) բա-

նաձևից կորոշենք նավակի արագությունը՝

(9.64)

M m

որի համաձայն՝ որքան մեծ են նետված քարի զանգվածը և արագությունը, այն-

քան մեծ է քարը նետելուց հետո նավակի ձեռք բերած արագությունը: Այսպիսով՝

առաջին քարը նետելուց հետո նավակի արագությունն ափի նկատմամբ աճում է

Dv1= v1- 0 = v₁-ով:

Երկրորդ քարը նետելուց հետո նավակի արագությունը կաճի Dv₂ -ով, որը կա-

րելի է հաշվել՝ դարձյալ կիրառելով իմպուլսի պահպանման օրենքը: Այս դեպքում

պետք է հաշվի առնել, որ երկրորդ քարը նետելուց առաջ նավակն ուներ v₁ արա-

գություն:

Այսպիսով, ամեն անգամ հաշվելով նավակի արագության աճը հերթական

քարը նետելուց հետո, կստանանք նավակի վերջնական արագությունը՝

=Dv

+Dv

+ $$$+ D

(9.65)

ԳԼՈՒԽ

IX. ՊԱՀՊԱՆՄԱՆ ՕՐԵՆՔՆԵՐԸ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅՈՒՄ

189

Նկ. 160. Հրթիռի կառուցվածքը

Հրթիռի շարժման հիմքում այս նույն սկզբունքն է: Հրթիռը (նկ.160) բաղկացած

է երկու հիմնական մասերից՝ պատյանից, որը պարունակում է օգտակար բեռը

(գիտական սարքեր, վառելիք, ղեկավարման սարքեր, տիեզերագնացներ և այլն)

և այրվող վառելիքի արգասիքներից, որոնք մեծ արագությամբ արտանետվում են

հրթիռից՝ նրան հաղորդելով իմպուլս շիթի արտանետման հակառակ ուղղությամբ:

Ի տարբերություն նավակի օրինակի՝ նյութի արտանետումը հրթիռից կա-

տարվում է ոչ թե առանձին, ընդհատ մասնաբաժիններով, այլ անընդհատորեն,

որն էապես բարդացնում է հրթիռի վերջնական արագության հաշվարկը: Սակայն

այս դեպքում ևս որքան մեծ է միավոր ժամանակում արտանետված նյութի զանգ-

վածը և հրթիռի նկատմամբ դրա արագությունը, այնքան մեծ է հրթիռի ձեռք բերած

արագությունը:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ո±ր շարժումն են անվանում ռեակտիվ: 2. Ո±րն է ռեակտիվ շարժման առանձնահատ-

կությունը: 3. Բերե°ք ռեակտիվ շարժման օրինակներ: 4. Ի՞նչ երևույթ է ընկած ռեակտիվ

շարժման հիմքում: 5. Ի՞նչ մեծություններից է կախված հրթիռի արագությունը:

63.

ՓՈՓՈԽԱԿԱՆ ԶԱՆԳՎԱԾՈՎ ՄԱՐՄՆԻ ՇԱՐԺՈՒՄԸ

Եթե ժամանակի ընթացքում մարմնի զանգվածը փոփոխվում է, ապա

նրա շարժումը նկարագրելու համար չենք կարող կիրառել Նյուտոնի երկրորդ

օրենքն արտահայտող F = mDv Dt հավասարումը: Փոփոխական զանգվա-

ծով մարմնի արագության փոփոխությունը պայմանավորված է ոչ միայն նրա

վրա ազդող ուժով, այլև նրա զանգվածի փոփոխությամբ:

Որպես փոփոխական զանգվածով մարմնի շարժման օրինակ՝ դիտար-

կենք հրթիռի շարժումը: Դիցուք՝ ժամանակի որևէ պահի հրթիռի արագությու-

նը հաշվարկման տվյալ իներցիալ համակարգում v է: Որպես այդպիսին՝ մեծ

ճշտությամբ կարող ենք համարել Երկրին կապված հաշվարկման համակար-

գը: Դիտարկենք մեկ այլ հաշվարկման իներցիալ համակարգ, որի նկատ-

մամբ հրթիռը ժամանակի տվյալ պահին դադարի վիճակում է: Այդ համակար-

գը, որը Երկրի նկատմամբ շարժվում է v արագությամբ, անվանենք հրթիռին

ուղեկցող հաշվարկման համակարգ:

Երբ հրթիռից Dt շատ փոքր ժամանակամիջոցում արտանետվում է Dms

զանգվածով գազ, որի արագությունը հրթիռի նկատմամբ u է, ապա ուղեկցող

համակարգում հրթիռի արագությունը զրոյից աճում է Dv -ով:

ՙՀրթիռ + այրված գազեր՚ համակարգի համար կիրառենք իմպուլսի

պահպանման օրենքը: Ժամանակի սկզբնական պահին հրթիռը և գազերը

դադարի վիճակում են, հետևաբար՝ դրանց լրիվ իմպուլսը զրո է: Dt ժամանակ

190

ՖԻԶԻԿԱ 10

անց հրթիռի իմպուլսը դառնում է mDv , իսկ արտանետված գազերինը՝ D msu:

Համաձայն իմպուլսի պահպանման օրենքի՝

mDv+Dmsu

(9.66)

Այդ ժամանակամիջոցում արտանետված գազերի Dms զանգվածը հա-

վասար է հրթիռի զանգվածի Dm փոփոխությանը՝ հակառակ նշանով©

Dms =m1 m

=-Dm:

(9.67)

Հաշվի առնելով (9.67) առնչությունը՝ (9.66) հավասարումը կարող ենք

ներկայացնել այսպես՝ mDv - Dmu = 0, որի բոլոր անդամները բաժանելով

Dt-ի, կստանանք՝

(9.68)

Այս հավասարումն ունի Նյուտոնի երկրորդ օրենքի տեսքը: Այն ցույց է

տալիս, որ հրթիռի վրա ազդում է

F6=u

(9.69)

ուժ, որը պայմանավորված է հրթիռի զանգվածի փոփոխությամբ: Այդ ուժն

անվանում են ռեակտիվ ուժ: Հրթիռի զանգվածը ժամանակի ընթացքում

փոքրանում է, հետևաբար՝ նրա փոփոխությունը՝ Dm Dt < 0, ուստի՝ ռեակ-

տիվ ուժը միշտ հակառակ է ուղղված հրթիռի նկատմամբ գազերի շարժման u

արագությամը: (9.69) բանաձևից հետևում է, որ ռեակտիվ ուժն այնքան մեծ է,

որքան մեծ է միավոր ժամանակում արտանետված գազերի Dm Dt զանգվա-

ծը և հրթիռի նկատմամբ դրանց u արագությունը:

(9.68) բանաձևը ստացանք հրթիռի հետ կապված հաշվարկման համա-

կարգում: Համաձայն Գալիլեյի հարաբերականության սկզբունքի՝ այն ճիշտ

է հաշվարկման կամայական իներցիալ համակարգում: Եթե հրթիռի վրա« բա-

ցի ռեակտիվ ուժից« ազդում են նաև այլ ուժեր, օրինակ« հրթիռի ծանրության

ուժը, օդի դիմադրության ուժը, ապա դրանք անհրաժեշտ է ավելացնել (9.68)

հավասարման աջ մասում՝

(9.70)

Այս հավասարումն ստացել է ռուս մեխանիկոս Իվան Մեշչերսկին և կոչ-

վում է նրա անունով: Հրթիռի շարժիչի աշխատանքի որոշակի ռեժիմում, երբ

հայտնի է հրթիռի զանգվածի կախումը ժամանակից, Մեշչերսկու հավասա-

րումը հնարավորություն է տալիս հաշվելու հրթիռի արագությունը ժամանակի

յուրաքանչյուր պահին:

Եթե շարժման ընթացքում մարմնի զանգվածը չի փոխվում՝ Dm = 0,

ապա Մեշչերսկու հավասարումից ստացվում է Նյուտոնի երկրորդ օրենքն

արտահայտող F = mDv Dt հավասարումը:

Այժմ ենթադրենք՝ հրթիռի մեկնարկը տեղի է ունենում ազատ տարա-

ծության մեջ, որտեղ նրա վրա ազդող արտաքին ուժերը կարելի է անտե-

ԳԼՈՒԽ

IX. ՊԱՀՊԱՆՄԱՆ ՕՐԵՆՔՆԵՐԸ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅՈՒՄ

191

սել:

Ենթադրենք նաև, որ այրման ժամանակ

արտանետված գազերի u արագությունը հրթի-

ռի նկատմամբ հաստատուն է: Պրոյեկտելով

(9.68) հավասարումը շարժման ուղղության վրա,

կստանանք՝ mDv Dt = - uDm Dt : Հետագա-

յում, երբ սովորեք հաշվել ֆունկցիայի ածանց-

յալը, կարող եք համոզվել, որ այս հավասարման

լուծումը կարելի է ներկայացնել հետևյալ կերպ՝

Կոնստանտին

23ulg`

(9.71)

Ցիոլկովսկի

որտեղ m₀ -ն հրթիռի սկզբնական զանգվածն է,

1857 -1935

m-ը՝ վերջնական զանգվածը, իսկ v-ն՝ հրթիռի

Ռուս գիտնական և գյուտարար«

ձեռք բերած արագությունը: (9.71) առնչությունն

տիեզերագնացության հիմնադիր:

անվանում են Ցիոլկովսկու բանաձև: Ցիոլկովս-

Աշխատանքները վերաբերում են

օդագնացությանը« հրթիռադինա-

կու բանաձևով կաելի է հաշվարկել, թե որքան

միկային և տիեզերագնա-

վառելանյութ պետք է օգտագործել հրթիռին

ցությանը: Ուսումնասիրել է

որոշակի արագություն հաղորդելու համար: Ժա-

տիեզերական թռիչքների հնա-

րավորությունն Արեգակնային

մանակակից հրթիռներում օգտագործվող քիմի-

համակարգում և նրանից դուրս:

ական վառելանյութի այրման ժամանակ գազե-

րի արտանետման արագությունը 2-ից մինչև 5 կմ/վ է: Ենթադրենք՝ հրթիռին

անհրաժեշտ է հաղորդել առաջին տիեզերական արագություն, այսինքն՝ այն-

պիսի արագություն, որ այն դառնա Երկրի արհեստական արբանյակ: Այդ

արագությունը մոտավորապես 8 կմ/վ է: Արտանետվող գազերի u = 2 կմ/վ

արագության դեպքում Ցիոլկովսկու բանաձևից հետևում է, որ m0 m

55,

այսինքն՝ հրթիռի գրեթե ամբողջ զանգվածը պետք է կազմի վառելիքը:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Բերե°ք փոփոխական զանգվածով մարմնի շարժման օրինակներ: 2. Գրե°ք հրթիռի վրա

ազդող ռեակտիվ ուժի բանաձևը: 3. Ինչպե՞ս կարելի է մեծացնել ռեակտիվ ուժը: 4. Գրե°ք

Մեշչերսկու հավասարումը և բացատրեք նրա մեջ մտնող մեծությունների ֆիզիկական

իմաստը: 5. Ի՞նչ է արտահայտում Ցիոլկովսկու բանաձևը: 6. Ի՞նչ մեծություններից է

կախված հրթիռի վերջնական արագությունը:

64.

ԱՌԱՁԳԱԿԱՆ ԵՎ ՈՉ ԱՌԱՁԳԱԿԱՆ ԲԱԽՈՒՄՆԵՐ

Ֆիզիկայում ՙբախում՚ (հարված) ասելով հասկանում են մարմինների կար-

ճատև փոխազդեցություն: Կարճատև փոխազդեցության օրինակ է երկու պող-

պատե գնդերի բախումը: Այս բախման ճշգրիտ ժամանակամիջոցը որոշելը բա-

վականաչափ բարդ խնդիր է« սակայն դատողություններով կարելի է գնահատել

այն: Բախվելիս գնդերի հպվող մասերը դեֆորմացվում են« և գնդերում ծագում է

սեղմման վազող ալիք« որը« անդրադառնալով գնդերի սահմաններից« վերադառնում

է հետ: Դեֆորմացիան վերականգնվում է« և գնդերը հեռանում են միմյանցից:

Վազող ալիքը միջավայրում տարածվում է ձայնի v արագությամբ« ուստի՝ t ~ R / v:

Ընդունելով գնդի շառավիղը R = 5 սմ« իսկ ձայնի արագությունը պողպատում՝

192

ՖԻԶԻԿԱ 10

v=5000մ/վ« կստանանք՝ t ~10^-5վ: Փոխազդ եց ութ յան կարճատևության հետևան-

քով բախվող մարմինների համակարգը կարելի է համարել փակ և կիրառել իմպուլ-

սի պահպանման օրենքը: Եթե բախման ընթացքում համակարգի մեխանիկական

էներգիան չի փոխակերպվում էներգիայի այլ տեսակների, ապա կարելի է կիրառել

նաև լրիվ մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքը:

Եթե հայտնի են բախվող մարմինների արագությունները բախումից առաջ,

ապա պահպանման օրենքները հնարավորություն են տալիս որոշելու մարմիննե-

րի արագությունները բախումից հետո՝ առանց դիտարկելու նրանց միջև գործող

փոխազդեցության ուժերը: Նշենք, որ շատ դեպքերում այդ ուժերը մարմինների հե-

ռավորությունից կախված փոխվում են բարդ օրենքով, իսկ որոշ դեպքերում դրանք

պարզապես հայտնի չեն:

Կախված փոխազդեցության բնույթից՝ բախումները կարող են ընթանալ

տարբեր ձևերով: Ընդունված է տարբերել երկու սահմանային դեպքեր՝ բացարձակ

ոչ առաձգական և բացարձակ առաձգական բախումներ:

Բացարձակ ոչ առաձգական բախում: Բախումը կոչվում է բացարձակ ոչ

առաձգական, եթե բախումից հետո մարմինները միանում են (կպչում են) իրար և

այնուհետև շարժվում որպես մի ամբողջություն: Այդպիսի բախման օրինակներ են

կավե գնդերի բախումը, հրացանի արձակած գնդակի բախումը ավազով լցված

սայլակին, երկնաքարի բախումը Երկրին, ֆուտբոլի թռչող գնդակի բախումն այն

որսացող դարպասապահին և այլն:

Դիցուք՝ v₁ արագությամբ շարժվող m₁ զանգ-

վածով գունդը բախվում է v₂ արագությամբ շարժ-

վող m₂

զանգվածով գնդին (նկ. 161):

Բախման

հետևանքով նրանք միանում են՝ կազմելով m1+ m₂

զանգվածով նոր մարմին, որը շարժվում է u արա-

գությամբ: Համակարգի իմպուլսը մինչ բախումը

Նկ. 161. Երկու գնդերի բացար-

mv + m v₂

է, իսկ բախումից հետո՝

(m1+ m2) u :

ձակ ոչ առաձգական բախումը

Համաձայն իմպուլսի պահպանման օրենքի՝

mv +m v

(m1+m2) u,

որտեղից՝

(9.72)

Մասնավոր դեպքում, երբ մինչև բախումն առաջին գնդի արագությունը v₀ է,

իսկ երկրորդ գունդը դադարի վիճակում է ( v = 0)՝

(9.73)

m1+m2

(9.73) բանաձևից հետևում է, որ բախումից հետո գնդերը շարժվում են մինչև

բախումն առաջին գնդի շարժման ուղղությամբ, ավելի փոքր արագությամբ(u < v ):

Էներգիայի փոխակերպումը բացարձակ ոչ առաձգական բախման

ժամանակ: Համակարգի կինետիկ էներգիան ոչ առաձգական բախումից հե-

տո նվազում է: Իրոք, վերը դիտարկված դեպքում մինչև բախումը համակար-

գի կինետիկ էներգիան հավասար է առաջին մարմնի կինետիկ էներգիային՝

ԳԼՈՒԽ

IX. ՊԱՀՊԱՆՄԱՆ ՕՐԵՆՔՆԵՐԸ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅՈՒՄ

193

E = m

(9.74)

Բախումից հետո համակարգի կինետիկ էներգիան՝

(

E = m

(9.75)

որտեղ տեղադրելով u-ի արժեքը (9.73) հավասարումից, կստանանք՝

m1 m

E0<E

(9.76)

2(m1+m

)

m1+m

Այսպիսով՝ բացարձակ ոչ առաձգական բախման դեպքում մեխանիկա-

կան էներգիան չի պահպանվում« ընդ որում« կինետիկ էներգիայի կորուստը՝

m2 m

DE =E0 E

(9.77)

m1+m

որը ծախսվում է բախվող մարմինների ներքին էներգիայի փոփոխության

համար՝ բախումից հետո մարմինները դեֆորմանում են և տաքանում:

Բախվող մարմինների զանգվածների k = m2 m₁ հարաբերությունից կի-

նետիկ էներգիայի կորստի կախումը որոշելու համար DE -ն ներկայացնենք

(9. 78)

m1+m

բանաձևով« որի գրաֆիկը պատկերված է 162-րդ

նկարում: Գրաֆիկից հետևում է, որ երբ k << 1

այսինքն՝ բախումից առաջ անշարժ մարմնի

զանգվածը շատ փոքր է շարժվող մարմնի զանգ-

վածից, համակարգի կինետիկ էներգիան գրեթե

չի փոխվում: k -ն մեծացնելիս կինետիկ էներգի-

այի կորուստը մեծանում է: Երբ բախվող մար-

մինների զանգվածները հավասար են՝ k =1 և

Նկ. 162. Կինետիկ էներգիայի

կորստի կախումը բախվող

E =E

այսինքն՝ համակարգի սկզբնական

մարմինների զանգվածների

էներգիայի կեսը փոխարկվում է ներքին էներգի-

հարաբերությունից

այի: Բավականաչափ մեծ k -երի դեպքում, երբ

անշարժ մարմնի զանգվածը շատ մեծ է նրան հարվածող մարմնի զանգվա-

ծից, բախման հետևանքով համակարգի գրեթե ամբողջ կինետիկ էներգիան

փոխակերպվում է մարմինների ներքին էներգիայի:

Ստացված արդյունքները հնարավորություն են տալիս ոչ առաձգական

բախումներն արդյունավետ կիրառելու տարբեր նպատակների համար: Այս-

պես՝ եթե նպատակը մարմնի ձևի փոփոխությունն է (օրինակ՝ քանդակադրոշ-

մում), ապա բախման հետևանքով փոխարկված կինետիկ էներգիայի զգալի

մասը պետք է ծախսվի դեֆորմացիայի աշխատանքի համար, որը կապահով-

վի k

> պայմանի դեպքում, երբ անշարժ մարմնի զանգվածը շատ մեծ է:

Մեկ այլ դեպքում, եթե բախման նպատակը մարմնի տեղափոխումն է (օրի-

նակ՝ մեխը պատի մեջ խփելը), ապա հարվածի հետևանքով մարմինը պետք

է հնարավորինս մեծ կինետիկ էներգիա ձեռք բերի, որին կարելի է հասնել

k<<1 պայմանի դեպքում:

194

ՖԻԶԻԿԱ 10

Փոխակերպված DE կինետիկ էներգիայի մեծությամբ է պայմանավոր-

ված նաև երկու ավտոմեքենաների բախման կործանարար ազդեցությունը.

որքան մեծ է անշարժ ավտոմեքենայի զանգվածը, այնքան մեծ է նրան բախ-

վող ավտոմեքենայի հասցրած վնասը:

Բացարձակ առաձգական բախում: Մարմինների բախումը կոչվում է

բացարձակ առաձգական, եթե բախման հետևանքով մեխանիկական էներ-

գիայի կորուստ տեղի չի ունենում և բախվող մարմինների ներքին էներգիան

մնում է անփոփոխ:Այս դեպքում մարմիններն իրար չեն միանում և շարժվում

են առանձին-առանձին: Բացարձակ առաձգական բախման դեպքում պահ-

պանվում է ոչ միայն համակարգի իմպուլսը, այլև մեխանիկական էներգիան:

Տարանջատում են երկու տիպի առաձգական բախումներ՝ կենտրոնական

(ճակատային) և ոչ կենտրոնական: Երկու համասեռ գնդերի ճակատային

բախման ժամանակ գնդերը շարժվում են նրանց կենտրոնները միացնող ուղ-

ղի երկայնքով: Հակառակ դեպքում բախումը ոչ կենտրոնական է:

Դիտարկենք երկու համասեռ գնդերի բախումը

հետևյալ պարզ դեպքում: Դիցուք՝ m₁ զանգվածով

գունդը v₀ արագությամբ բախվում է m₂ զանգվա-

Նկ. 163. Երկու գնդերի

ծով անշարժ գնդին (նկ. 163): Բախումը կենտրոնա-

բացարձակ առաձգական

կենտրոնական բախումը

կան է: Բախումից հետո գնդերի արագությունները

նշանակենք« համապատասխանաբար« v₁-ով և v₂ -ով: Օգտվենք էներգիայի և

իմպուլսի պահպանման օրենքներից՝

v2,

(9.79)

որտեղ v₁-ը և v₂ -ը գնդերի արագությունների պրոյեկցիաներն են X առանցքի

վրա և դրանց նշաններով է որոշվում, թե ինչ ուղղությամբ են շարժվում գնդերը

բախումից հետո: Կատարելով պարզ ձևափոխություններ՝ հավասարումների

այս համակարգից կստանանք՝

(v0 v

)

(9.80)

)

(v2 v

)

որտեղից՝

(v0 v

)

(9.81)

)

v0+v

=v2:

Վերջին համակարգի լուծումից՝

m1 m

v0, v

v0:

(9.82)

m1+m

Քննարկենք ստացված լուծման մի քանի մասնավոր դեպքեր:

ա) Եթե բախումից առաջ շարժվող գնդի զանգվածը մեծ է անշարժ գնդի

զանգվածից՝ m1> m₂ , բախումից հետո այն շարունակում է շարժվել նույն ուղ-

ղությամբ, իսկ փոքր լինելու դեպքում այն շարժվում է հակառակ ուղղությամբ

(v1< 0):

ԳԼՈՒԽ

IX. ՊԱՀՊԱՆՄԱՆ ՕՐԵՆՔՆԵՐԸ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅՈՒՄ

195

բ) Եթե գնդերի զանգվածները հավասար են (m1= m₂), ապա v

v2= v₀, այսինքն՝ գնդերը փոխանակում են իրենց արագությունները. շարժ-

վող գունդը կանգ է առնում, իսկ անշարժ գունդն սկսում է շարժվել մինչև

բախումն առաջին գնդի արագությամբ:

գ) Եթե անշարժ գնդի զանգվածը շատ մեծ է շարժվող գնդի զանգվածից՝

m1>>m₂ , ապա v

2 .

, v

, այլ խոսքով՝ գունդը, հարվածելով զանգվա-

ծեղ մարմնին (օրինակ՝ պատին), անդրադառնում է մոդուլով նույն արագու-

թյամբ (իսկ պատը մնում է անշարժ):

Էներգիայի փոխանակումը բացարձակ առաձգական բախման ժա-

մանակ: Տեսնենք, թե առաձգական բախման ժամանակ որքան էներգիա

է կորցնում շարժվող գունդը կամ, որ նույն է, որքան էներգիա է ստանում

անշարժ գունդը (ըստ էներգիայի պահպանման օրենքի՝ դրանք հավասար են).

4m1m2 m

DE = m

(9.83)

(m1+m

)

որտեղ E0=m1v

-ն համակարգի սկզբնական

կինետիկ էներգիան է, իսկ k = m2 m₁: Բախվելիս

մի մարմնից մյուսին փոխանցվող DE կինետիկ

էներգիայի կախումը մարմինների զանգվածների

հարաբերությունից պատկերված է 164-րդ նկա-

րում: Այսպիսով՝ շարժվող գունդը կորցնում է իր

սկզբնական ամբողջ կինետիկ էներգիան,

եթե

Նկ. 164. Փոխանցվող

բախվում է նույն զանգվածով անշարժ գնդին

էներգիայի կախումը բախվող

մարմինների զանգվածների

և կանգ է առնում, իսկ անշարժ գունդը սկսում է

հարաբերությունից

շարժվել նույն արագությամբ:

Ստացված արդյունքը տարբեր կիրառություններ ունի: Օրինակ՝ նեյտ-

րոնները դանդաղեցնելու, նրանցից առավելագույն էներգիա խլելու համար

անհրաժեշտ է, որ նրանք բախվեն հնարավորինս մոտ զանգվածով ատոմ-

ների (լավագույնը ջրածնի ատոմն է): Այդ պատճառով նեյտրոնների հոսքից

պաշտպանվելու համար օգտագործում են ջրածին պարունակող նյութեր:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ո±ր բախումներն

են կոչվում բացարձակ ոչ առաձգական: 2. Ո±ր բախումներն են

կոչվում բացարձակ առաձգական: 3. Ո±ր մեծությունն է պահպանվում և° բացարձակ

առաձգական, և° բացարձակ ոչ առաձգական բախումների դեպքում: 4. Ո±ր մեծու-

թյունը չի պահպանվում բացարձակ ոչ առաձգական բախման դեպքում, բայց պահ-

պանվում է բացարձակ առաձգական բախման դեպքում:

196

ՖԻԶԻԿԱ 10

65.

ԼԱԲՈՐԱՏՈՐ ԱՇԽԱՏԱՆՔ 8

Իմպուլսի պահպանման օրենքի ուսումնասիրումը

Աշխատանքի նպատակը. փորձով ստուգել իմպուլ-

սի պահպանման օրենքը:

Չափամիջոցներ. ուսումնական կշեռք, միլիմետրա-

կան բաժանումներով քանոն (50 սմ երկարությամբ):

Նյութեր և սարքեր. իմպուլսի պահպանման օրեն-

քի ուսումնասիրման սարք (սարքի պատյան՝ փոսիկով,

ամրակալանին ամրացվող հարմարանքով, հարթաչա-

թով,

երկու արկ, զսպանակ« գնդիկներ), գրելու թուղթ,

պատճենաթուղթ, ամրակալան՝ կցորդիչով:

Փորձի կատարման ընթացքը

Իմպուլսի պահպանման օրենքի ուսումնասիրման սարքն ամրակալանի

հարթաչափի միջոցով տեղադրեք հորիզոնական դիրքով՝ սեղանի մակե-

րևույթից 20 - 30 սմ բարձրությամբ:

Արկերին ամրացրեք հավասար զանգվածներով գնդիկներ և կշռեք

դրանք:

Գրելու թուղթը և պատճենաթուղթը դրեք սեղանին՝ սարքի երկու կողմե-

րում:

Սեղմեք արկերի արձակման ստեղնը և նշեք նրանց անկման տեղերը:

Քանի որ արկերի արձակման ժամանակ երկուսն էլ հորիզոնական ուղ-

ղությամբ իմպուլս են ստանում, ապա ըստ իմպուլսի պահպանման օրեն-

քի« m1v1= m2v₂ , որտեղ v₁-ը և v₂ -ն արկերի սկզբնական արագություն-

ների մոդուլներն են: Մյուս կողմից՝ քանի որ հորիզոնական ուղղությամբ

արկերի շարժումը հավասարաչափ է և, բացի այդ, նրանց անկման ժա-

մանակները նույն են, ապա արկերի թռիչքների հեռավորությունները

որոշվում են s1= v1t , s

v2t

բանաձևերով:

Այսպիսով՝ իմպուլսի պահպանման օրենքը համարժեք

է հետևյալ

առնչությանը՝ m1s1= m2s₂ :

Փորձը կատարեք 3 անգամ՝ ամեն անգամ աղյուսակում նշելով s₁-ի և

s₂-ի« ինչպես նաև m1s₁ և m2s₂ արտադրյալների արժեքները:

s₁

s₂

1 1

m2s₂

Փոխեք արկերից մեկին ամրացված գնդիկը և փորձը կրկնեք:

Հաշվեք m1s₁ և m2s₂ արժեքների թվաբանական միջինը և համոզվեք իմ-

պուլսի պահպանման օրենքի ճշմարտացիության մեջ:

ԳԼՈՒԽ

IX. ՊԱՀՊԱՆՄԱՆ ՕՐԵՆՔՆԵՐԸ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅՈՒՄ

197

Խնդիրների լուծման օրինակներ

1. Հորիզոնական ճանապարհով v₁=0,2 մ/վ արագությամբ շարժվող m₁= 800 կգ

զանգվածով վագոնի մեջ վերևից լցնում են m₂=200 կգ խճաքար: Որքանո±վ փոք-

րացավ վագոնի արագությունը խճաքար լցնելու հետևանքով:

Լուծում: Խճաքարը լցնելուց հետո վագոնի արագությունը նշանակենք v₂-ով: Հո-

րիզոնական ուղղությամբ ՙվագոն-խճաքար՚ համակարգի իմպուլսի պրոյեկցի-

ան պահպանվում է, ուստի՝ m1v

(m1+m2) v2,

որտեղից՝ v

m1v

(m1+m2):

Խճաքարը լցնելու հետևանքով վագոնի արագությունը փոքրանում է D v₂ =

v1 v2=m2v

(m1+m2)

= 0,04 մ/վ-ով:

Պատասխան՝ 0«04 մ/վ

2. u₀=1 մ/վ արագությամբ շարժվող M=200 կգ զանգվածով նավակից հորիզոնա-

կան ուղղությամբ դուրս է ցատկում m=50 կգ զանգվածով տղան: Որոշել նավակի

արագությունը տղայի ցատկելուց անմիջապես հետո, եթե նա ցատկում է. ա) նա-

վակի քթամասից՝ v=2 մ/վ արագությամբ, բ) նավակի քթամասից 6 մ/վ արագու-

թյամբ, գ) նավակի վերջնամասից՝ 4 մ/վ արագությամբ: Տղայի արագությունը տր-

ված է ափի նկատմամբ:

Լուծում: Ցատկի կարճ տևողության հետևանքով« անտեսելով ջրի դիմադրության

ուժի իմպուլսը« կարող ենք կիրառել համակարգի իմպուլսի հորիզոնական պրո-

յեկցիայի պահպանման օրենքը: Եթե X առանցքն ուղղենք նավակի շարժման

սկզբնական ուղղությամբ,

ապա

(M + m) u0x= Mux+ mv_x , որտեղից՝ u_x =

=^(M +m) u0x mv

M: Ստացված արտահայտությունը քննարկենք v-ի որո-

շակի արժեքների դեպքում:

ա) Երբ vx = 2 մ/վ, ստանում ենք՝ ux = 0,75 մ/վ (նավակը շարունակում է ավելի

փոքր արագությամբ շարժվել նույն ուղղությամբ):

բ) Երբ vx = 6 մ/վ, ստանում ենք՝ ux = - 0,25 մ/վ (նավակն այդ արագությամբ շարժ-

վում է հակառակ ուղղությամբ):

գ) Երբ vx = - 4 մ/վ (տղան ցատկում է նավակի շարժմանը հակառակ), ստանում

ենք՝ ux = 2,25 մ/վ (նավակը շարունակում է ավելի մեծ արագությամբ շարժվել

նույն ուղղությամբ):

3. m և 2m զանգվածներով մասնիկները շարժվում են« համապատաս-

խանաբար« v և 2v արագություններով« փոխուղղահայաց ուղղու-

թյուններով: Ժամանակի ինչ¬որ պահից մասնիկների վրա սկսում

են ազդել նույն ուժերը« որոնց վերացումից հետո պարզվում է« որ m

զանգվածով մասնիկը շարժվում է 2v արագությամբ՝ իր սկզբնական

արագությանը հակառակ: Ի՞նչ արագությամբ և ո՞ր ուղղությամբ է

շարժվում երկրորդ մասնիկը:

Լուծում: Մասնիկների վրա ազդում են նույն ուժերը«

նույն ժամանակում« ուստի՝

դրանց վրա ազդող ուժե-

րի FDt իմպուլսները« հետևաբար՝ իմպուլսների Dp

փոփոխությունները հավասար

են:

Առաջին մասնիկի

իմպուլսի փոփոխությունը մոդուլով 3mv է և ուղղված է

pl= p

: բ նկարից՝

երկրորդ մասնիկի իմպուլսի

մոդուլը՝ pl

= 5mv« հետևաբար՝ նրա արագությունը մո-

198

ՖԻԶԻԿԱ 10

դուլով հավասար է

= 5mv/2m = 2, 5v և սկզբնական ուղղության հետ կազմում է

a = arctg(3/4) անկյուն:

Պատասխան՝

= 2, 5v, a = arctg (3/4):

4. m₁=1 կգ և m₂=2 կգ զանգվածներով երկու գնդեր, համապատասխանաբար«

1=7 մ/վ և v2=1 մ/վ արագություններով, հորիզոնական ուղղի երկայնքով շարժ-

վում են իրար ընդառաջ: Ժամանակի ինչ-որ պահի նրանց միջև տեղի է ունենում

բացարձակ առաձգական կենտրոնական բախում: Որոշել գնդերի արագություն-

ների մոդուլները հարվածից հետո:

Լուծում: Գնդերի համակարգի համար կիրառե-

լով իմպուլսի և էներգիայի պահպանման օրենք-

ները, կստանանք՝

m1u1x+m2u

)

m1u2x m2u

(2)

որտեղ

1 -ը և v2x -ը գնդերի արագություններն են բախումից առաջ, իսկ u1x -ը և u2x

-ը՝ բախումից հետո: (1) և (2) հավասարումները ներկայացնենք հետևյալ կերպ՝

)

և բաժանենք իրար: Կստանանք՝ v1x+ u1x= u2x+ v2x : Այս և (1) հավասարումից՝

(m1 m

(m2 m

m1+m

Հիշելով, որ

=7մ/վ,

=-1 մ/վ, կստանանք՝,

11/3 մ/վ,

= 13/3 մ/վ

(բախումից հետո գնդերը փոխում են իրենց շարժման ուղղությունները):

Պատասխան՝ 11/3 մ/վ, 13/3 մ/վ:

5. Շարժվող գունդը հարվածում է նույն զանգվածով անշարժ գնդին: Հարվածը

բացարձակ առաձգական է և ոչ կենտրոնական (շարժվող գնդի արագության ուղ-

ղությունը որոշակի անկյուն է կազմում գնդերի կենտրոնները միացնող ուղղի հետ):

Ի՞նչ անկյուն են կազմում հարվածից հետո գնդերի շարժման ուղղությունները:

Լուծում: Համաձայն իմպուլսի և մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենք-

ների՝

v1+v

, կամ )^v

v2= v2+v2

որտեղ v0 -ն շարժվող գնդի արագությունն է մինչև բախումը,

իսկ v1-ը և v2 -ը գնդերի արագություններն են բախումից հետո:

(1) հավասարումից հետևում է, որ v0 վեկտորը հավասար է v1

և v2 վեկտորների գումարին, իսկ (2) հավասարումից հետևում

է« որ այդ վեկտորներով կազմված եռանկյունը ուղղանկյուն

է, այսինքն՝ հարվածից հետո գնդերի շարժման ուղղությունները կազմում են 90

անկլյուն: Նույն արդյունքը կարելի է ստանալ նաև հետևյալ կերպ: Եթե (1) հավա-

սարման երկու կողմերը բարձրացնենք քառակուսի և դրանից հանենք (2) հավա-

սարումը, կստանանք՝ 2v1v2cos

, որտեղ a-ն հարվածից հետո գնդերի արա-

ԳԼՈՒԽ

IX. ՊԱՀՊԱՆՄԱՆ ՕՐԵՆՔՆԵՐԸ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅՈՒՄ

199

գությունների վեկտորների կազմած անկյունն է: Քանի որ v

, v2 ! 0, ապա a =

90:

Պատասխան՝ 90

6. v₁ և v₂ արագություններով շարժվող m₁ և m₂ զանգվածներով գնդերի միջև տեղի

է ունենում բացարձակ ոչ առաձգական բախում: Որոշել բախման հետևանքով

գնդերի համակարգի կինետիկ էներգիայի փոփոխությունը:

Լուծում: Բախումից հետո գնդերի համատեղ շարժման u արագությունը որոշվում

է իմպուլսի պահպանման օրենքից՝

m +m

)u,

(

m +m

)

Գնդերի համակարգի կինետիկ էներգիայի փոփոխությունը՝

(

DE= m

-c

Տեղադրելով u¬ի արժեքը և կատարելով որոշ ձևափոխություններ« կստանանք՝

v v

m +m2

Քանի որ DE < 0« ապա գնդերի կինետիկ էներգիան փոքրանում է: Այդ կորուստը

կախված է գնդերի v1-v

2 հարաբերական արագությունից: Բախվող մարմինների

կինետիկ էներգիաները կախված են հաշվարկման համակարգից: Մեխանիկական

էներգիայի կորուստը (որը փոխարկվում է ներքին էներգիայի) պետք է նույնը լի-

նի հաշվարկման բոլոր համակարգերում« ուստի՝ այն կախված է մարմինների

հարաբերական արագությունից:

200

ՖԻԶԻԿԱ 10

ԳԼՈՒԽ X

ՄԵԽԱՆԻԿԱԿԱՆ ՏԱՏԱՆՈՒՄՆԵՐ

ԵՎ ԱԼԻՔՆԵՐ

ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ

Ինչպես գիտեք հիմնական դպրոցի ֆիզիկայի դասընթացից, մեխանիկական

տատանումներն այն շարժումներն են, որոնք կատարվում են հերթականորեն՝ հա-

կադիր ուղղություններով, որոնք պարբերաբար, որոշակի ժամանակամիջոցներից

հետո նույնությամբ կրկնվում են: Օրինակ՝ եթե զսպանակավոր ճոճանակի ծայ-

րին ամրացված գնդիկը, թեթևակի ներքև քաշելով, հանենք հավասարակշռության

դիրքից և բաց թողնենք, ապա այն կսկսի տատանվել վերև-ներքև ուղղությամբ:

Թելավոր ճոճանակի գնդիկը« շեղելով հավասարակշռության դիրքից և բաց թող-

նելով, կտեսնենք, որ այն ճոճվում է ուղղաձիգ հարթության մեջ՝ աջից ձախ և հա-

կառակ ուղղություններով: Երկու գնդիկների տատանումներն էլ շարունակվում են

երկար ժամանակ, եթե ՙգնդիկ-զսպանակ՚, ՙգնդիկ-թել՚ համակարգերում շփման,

ինչպես նաև միջավայրի դիմադրության ուժերն աննշան են: Նշանակում է՝ երկու

ճոճանակների գնդիկներն էլ կատարում են գրեթե պարբերական շարժումներ. իսկ

դիտարկման փոքր ժամանակահատվածում այդ շարժումները կարելի է համարել

պարբերական: Ուստի՝ մեխանիկական տատանումները, պարբերական շարժում-

ների նման, նույնպես կարելի է բնութագրել պարբերությամբ և հաճախությամբ,

քանի որ յուրաքանչյուր ճոճանակի գնդիկի շարժում որոշակի ժամանակամիջոց-

ներից հետո նույնությամբ կրկնվում է:

Կրկնման ժամանակամիջոցներից ամենափոքրն անվանում են տատանում-

ների պարբերություն և նշանակում են T տառով: Տատանումների պարբերությու-

նը յուրաքանչյուր տատանման տևողությունն է: Հետևաբար՝ պարբերության հա-

կադարձ մեծությունը ցույց կտա միավոր ժամանակամիջոցում տատանումների

թիվը, որն անվանում են տատանումների հաճախություն և սովորաբար նշանա-

կում են o տառով՝ o = 1 T : Քանի որ տատանումների պարբերությունն արտա-

հայտվում է վայրկյանով, ապա տատանումների հաճախությունը կարտահայտվի

վ^-1 միավորով, որը, ինչպես գիտեք, կոչվում է հերց (Հց):

Ստորև ավելի խորը կուսումնասիրենք տատանողական շարժման օրինա-

չափությունները և կտանք մեխանիկայի հիմնական խնդրի լուծումը տատանվող

մարմնի համար, այն է՝ նրա կոորդինատի՝ ժամանակից կախման արտահայտու-

թյունը: Կծանոթանանք նաև մեխանիկական ալիքների ֆիզիկական բնութագրե-

րին և մաթեմատիկական նկարագրությանը:

ԳԼՈՒԽ

X. ՄԵԽԱՆԻԿԱԿԱՆ ՏԱՏԱՆՈՒՄՆԵՐ ԵՎ ԱԼԻՔՆԵՐ

201

ԱԶԱՏ ՏԱՏԱՆՈՒՄՆԵՐ:

66.

ՆԵՐԴԱՇՆԱԿ ՏԱՏԱՆՈՒՄՆԵՐ

Այն փաստը, որ զսպանակավոր կամ թելավոր ճոճանակի գնդիկը տատան-

վելիս շարժվում է մերթ մի ուղղությամբ, մերթ՝ հակառակ, ապացուցում է, որ տա-

տանողական շարժումը փոփոխական արագացմամբ շարժում է: Տատանման

պրոցեսում փոփոխվում է գնդիկի արագացման ոչ միայն ուղղությունը, այլև մո-

դուլը: Նյուտոնի առաջին օրենքից հետևում է, որ

առանձնացված (ազատ) մարմինը չի կարող շարժ-

վել արագացմամբ: Նշանակում է՝ տատանումներ

հնարավոր են միայն այլ մարմինների հետ տա-

տանվող մարմնի փոխազդեցության հետևանքով:

Այն մարմինների համակարգը, որոնց

փոխազ-

դեցության հետևանքով առաջանում են տատա-

նումներ, կոչվում է տատանողական համակարգ,

իսկ

փոխազդեցության ուժերը՝ ներքին ուժեր:

Օրինակ՝ զսպանակավոր ճոճանակի գնդիկը տա-

Նկ. 165. Գնդիկի տատանում-

տանվում է զսպանակի առաձգականության ուժի

ները զսպանակի առաձգական

ազդեցությամբ, երբ այն շեղում ենք հավասարա-

ուժի ազդեցությամբ

կշռության դիրքից և ապա բաց թողնում (նկ. 165):

Այն տատանումները, որոնք առաջանում են համակարգում ներքին ուժերի

ազդեցությամբ, երբ համակարգը դուրս է բերվում հավասարակշռության դիր-

քից, կոչվում են ազատ տատանումներ:

Թելավոր ճոճանակի տատանումները, երբ թելից կախված գնդիկը շեղում ենք

հավասարակշռության դիրքից, տեղի են ունենում գնդիկի և Երկրի փոխազդեցու-

թյան հետևանքով (մեկ ամրացված ծայրով թելը, գնդիկը և Երկիրը միասին ՙթելա-

վոր ճոճանակ՚ տատանողական համակարգն է):

Ուրեմն՝ առաձգականության ուժը՝ զսպանակավոր ճոճանակի, իսկ ծանրու-

թյան և թելի ձգման ուժերը թելավոր ճոճանակի ներքին ուժերն են:

Զսպանակավոր կամ թելավոր ճոճանակի տատանումներն ազատ մեխանի-

կական տատանումների օրինակներ են: Հանվելով հավասարակշռության դիրքից՝

ճոճանակը տատանվում է միայն ներքին ուժերի ազդեցությամբ:

Իսկ ի՞նչ պայմանների առկայությամբ են հնարավոր ճոճանակի (այսինքն՝

տատանողական համակարգի) ազատ մեխանիկական տատանումները:

Նախ՝ ճոճանակի մի դիրքում գնդիկին կիրառված ուժերի համազորը պետք է

լինի զրո: Այդ դիրքը ճոճանակի կայուն հավասարակշռության դիրքն է: Երբ ճոճա-

նակը շեղում են կայուն հավասարակշռության դիրքից, այլ կերպ ասած՝ ճոճանա-

կին հաղորդում են էներգիայի որոշ պաշար, գնդիկի վրա ազդող ուժերը փոփոխ-

վում են և, որպեսզի ծագեն տատանումներ, այդ ուժերի համազորը պետք է ուղղված

լինի դեպի կայուն հավասարակշռության դիրքը:

Օրինակ՝ 165, ա նկարում ցույց է տրված զսպանակավոր ճոճանակի գնդի-

կի կայուն հավասարակշռության դիրքը: Գնդիկն այդ դիրքից A հատվածով դեպի

աջ տեղաշարժելիս (նկ. 165, բ) նրա վրա սկսում է ազդել զսպանակի առաձգակա-

202

ՖԻԶԻԿԱ 10

նության ուժը: Հուկի օրենքի համաձայն՝ այդ ուժը համեմատական է զսպանակի

երկարացմանը և ուղղված է դեպի ձախ: Հետևաբար՝ ազատ թողնելուց հետո գնդի-

կը շարժվում է դեպի հավասարակշռության դիրք՝ աստիճանաբար մեծացնելով

արագությունը: Հավասարակշռության դիրքում, առաձգականության ուժը դառնում

է զրո, իսկ արագությունը հասնում է իր առավելագույն արժեքին: Իներտության

շնորհիվ գնդիկը շարունակում է շարժվել դեպի ձախ, և զսպանակը սեղմվում է:

Դրա հետևանքով ի հայտ է գալիս արդեն դեպի աջ ուղղված և գնդիկի շարժումն

արգելակող ուժ (նկ. 165, գ): Գնդիկի արագությունն աստիճանաբար փոքրանում է

և ձախ սահմանային դիրքում դառնում է զրո: Գնդիկի շեղումն այդ դիրքում -A է:

Դրանից հետո գնդիկն սկսում է արագացմամբ շարժվել դեպի հավասարակշռու-

թյան դիրք, որտեղ առաձգականության ուժը նորից դառնում է զրո, բայց գնդիկը,

շնորհիվ ձեռք բերած արագության, շարունակում է շարժվել դեպի աջ: Ուստի՝

զսպանակն սկսում է ձգվել, և դեպի ձախ ուղղված առաձգականության ուժ է առա-

ջանում, որն արգելակում է գնդիկի շարժումը մինչև վերջինիս՝ աջ սահմանային

դիրքում մի պահ ՙկանգ առնելը՚: Դրանից հետո գնդիկի շարժումը նույնությամբ

կրկնվում է: Տատանումների ընթացքում գնդիկը հավասարակշռության դիրքից

շեղվում է առավելագույնը A-ով, որն անվանում են տատանումների լայնույթ:

Ճոճանակի ազատ տատանողական շարժման ժամանակ, շփման ուժե-

րի ազդեցությամբ գնդիկին հաղորդված սկզբնական մեխանիկական էներգիան

աստիճանաբար նվազում է՝ փոխակերպվելով ճոճանակի և այն շրջապատող

միջավայրի ներքին էներգիայի: Գնդիկի շեղումը հավասարակշռության դիրքից

հետզհետե փոքրանում է, և որոշ ժամանակ անց ճոճանակի տատանումները

դադարում են: Ժամանակի ընթացքում հավասարակշռության դիրքից ճոճանակի

տատանումների շեղման նվազումն անվանում են տատանումների մարում: Ու-

րեմն՝ ազատ մեխանիկական տատանումները մարող տատանումներ են:

Եթե շփում չլիներ, գնդիկի տատանողական շարժումը երբեք չէր դադարի, և

ազատ տատանումները կլինեին չմարող: Չմարող ազատ տատանումներն անվա-

նում են սեփական տատանումներ, իսկ դրանց հաճախությունը՝ սեփական հա-

ճախություն:

Տատանումները նկարագրելիս հարմար

է կոորդինատների սկզբնակետը համատեղել

մարմնի հավասարակշռության դիրքի հետ, քանի

որ այդ դեպքում հավասարակշռության դիրքից

մարմնի շեղումը և կոորդինատը կհամընկնեն:

Տատանողական շարժման կինեմատիկա-

կան բնութագրերը հեշտությամբ կարող ենք որոշել

Նկ. 166. Զսպանակավոր ճոճանակի

տատանագիրը

տատանագրի՝ կոորդինատի կախումը ժամանա-

մարմնի տատանագիրը, գիտեք 8-րդ դասարանի ֆիզիկայի դասընթացից:

166¬րդ նկարում պատկերված է զսպանակավոր ճոճանակի՝ փորձնական

եղանակով ստացված տատանագիրը: Տատանագրից երևում է, որ շարժման ըն-

թացքում զսպանակին ամրացված գնդիկը հավասարակշռության դիրքից հե-

ռանում է մինչև A = 5 սմ կոորդինատով կետը, այնուհետև շարժվում հակառակ

ԳԼՈՒԽ

X. ՄԵԽԱՆԻԿԱԿԱՆ ՏԱՏԱՆՈՒՄՆԵՐ ԵՎ ԱԼԻՔՆԵՐ

203

ուղղությամբ՝ մինչև -5 սմ կոորդինատով կետը և վերադառնում հավասարակշռու-

թյան դիրք: Դրանից հետո նրա շարժումը կրկնվում է:

166¬րդ նկարից երևում է նաև, որ գնդիկի շարժումը նույնությամբ կրկնվում է

4 վ անց, հետևաբար՝ ճոճանակի տատանումների պարբերությունը՝ T = 4 վ, իսկ

հաճախությունը՝ o = 0,25 Հց: Տատանագրի մանրակրկիտ ուսումնասիրությունը

ցույց է տալիս, որ այն սինուսարդ է: Այսինքն՝ գնդիկի կոորդինատը ժամանակի

ընթացքում փոփոխվում է սինուսի կամ կոսինուսի օրենքով: Տատանվող մարմնի

կոորդինատի՝ ժամանակից կախված պարբերական փոփոխությունները,

որոնք տեղի են ունենում սինուսի կամ կոսինուսի օրենքով, կոչվում են ներ-

դաշնակ տատանումներ:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ի՞նչ է տատանողական շարժումը: 2. Ո±ր տատանումներն են կոչվում պարբերական:

3. Ո±ր մեծությունն են անվանում տատանումների պարբերություն, տատանումների հա-

ճախություն: 4. Ի՞նչ է տատանումների լայնույթը: 5. Մարմինը t ժամանակում կատարում

է N տատանում: Որքա±ն է տատանումների՝ ա) պարբերությունը, բ) հաճախությունը:

6. Ո±ր տատանումներն են կոչվում ազատ: Ի՞նչ պայմաններում են առաջանում ազատ

տատանումները: 7. Ո±ր տատանումներն են անվանում մարող: Մարո±ղ են արդյոք ազատ

տատանումները: 8. Ո±ր տատանումներն են անվանում սեփական: 9. Ի՞նչ է տատանագի-

րը: 10. Ո±ր տատանումներն են կոչվում ներդաշնակ:

ՆԵՐԴԱՇՆԱԿՈՐԵՆ ՏԱՏԱՆՎՈՂ ՄԱՐՄՆԻ

ԿՈՈՐԴԻՆԱՏԻ, ԱՐԱԳՈՒԹՅԱՆ ԵՎ ԱՐԱԳԱՑՄԱՆ

ԿԱԽՈՒՄԸ ԺԱՄԱՆԱԿԻՑ ԱՐՏԱՀԱՅՏՈՂ

67.

ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԸ ԵՎ ԳՐԱՖԻԿՆԵՐԸ

Եթե մարմնի կոորդինատը նշանակենք x -ով, ապա կոորդինատի ժամանա-

կային փոփոխությունները մաթեմատիկորեն կարելի է ներկայացնել

x (t) = A sin { (t)

(10.1)

ներդաշնակ ֆունկցիայով, որտեղ { (t)-ն՝ ներդաշնակ ֆունկցիայի արգումենտը,

կոչվում է տատանումների փուլ: { (t)-ն արտահայտվում է ռադիանով և կախումը

ժամանակից գծային է՝

{(t)

2rot

(10.2)

{

-ն անվանում են սկզբնական փուլ՝

{

={(0):

(10.2) հավասարման մեջ o-ի

փոխարեն օգտագործում են նաև շրջանային հաճախությունը՝

2ro,

(10.3)

որը կարելի է մեկնաբանել որպես 2r վայրկյանում տատանումների թիվ: (10.2) և

(10.3) առնչությունների հաշվառմամբ (10.1) ֆունկցիան կարելի է ներկայացնել

x (t)

A sin (2rot

)

A sin (~0t

)

(10.4)

տեսքով: Քանի որ o = 1 T , ապա շրջանային հաճախության համար կստանանք՝

(10.5)

204

ՖԻԶԻԿԱ 10

(10.4) հավասարումը մեխանիկայի հիմնական խնդրի լուծումն է ներդաշնա-

կորեն տատանվող մարմնի համար: Եթե հայտնի են տատանումները բնութագրող

հիմնական կինեմատիկական մեծությունները՝ տատանումների A լայնույթը,

շրջանային հաճախությունը (հետևաբար՝ նաև T պարբերությունն ու o հաճա-

խությունը) և սկզբնական պայմանները

{ սկզբնական փուլը), ապա այդ հա-

վասարմամբ միարժեքորեն որոշվում է մարմնի դիրքը (կոորդինատը) ժամանակի

կամայական պահի: (10.4) հավասարման միջոցով որոշվում են նաև մարմնի ակն-

թարթային արագության և արագացման արժեքները ժամանակի յուրաքանչյուր

պահի:

Այսպես, օրինակ, ակնթարթային արագությունը՝

vx= A~0cos(~0t

)

v0cos (~0t

(10.6)

իսկ ակնթարթային արագացումը՝

=- ~2sin (~0t

)

a0sin (~0t

)«

(10.7)

որտեղ

v0= A~

և a0= A~

(10.8)

մեծություններն արագության և արագացման առավելագույն (կամ լայնութային)

արժեքներն են:

(10.6) և (10.7) բանաձևերը կարող ենք գրել նաև հետևյալ կերպ՝

A~0sin`~0t

{

+ j

(10.9)

ax= A~2sin(~0t

+r):

(10.10)

(10.6) բանաձևից երևում է, որ ներդաշնակորեն

տատանվող մարմնի արագությունը նույնպես փո-

փոխվում է ներդաշնակության օրենքով: (10.4) և

(10.9) հավասարությունների համեմատությունից

պարզվում է, որ արագության տատանումները r 2

փուլով առաջ են ընկնում կոորդինատի տատանում-

ներից: Սա նշանակում է, որ երբ կոորդինատը զրո

է, արագությունն առավելագույնն է, իսկ երբ կոոր-

դինատն է առավելագույնը, արագությունը զրո է

(նկ. 167): Իրոք, զսպանակավոր ճոճանակի տատա-

նումներն ուսումնասիրելիս տեսանք, որ հավասա-

րակշռության դիրքում գնդիկի արագությունն առա-

վելագույնն է, իսկ առավելագույն շեղման դիրքում

գնդիկը մի պահ ՙկանգ է առնում՚:

(10.10) բանաձևից երևում է, որ արագացման

տատանումների փուլը r-ով առաջ է ընկնում կոոր-

Նկ.167. Ներդաշնակային տա-

դինատի տատանումների փուլից: Նման դեպքում

տանվող մարմնի կոորդինատի,

ասում են, որ արագացումը և կոորդինատը հակա-

արագության և արագացման

փուլերում են (նկ. 167): Սա նշանակում է, որ երբ կո-

տատանագրերը

ԳԼՈՒԽ

X. ՄԵԽԱՆԻԿԱԿԱՆ ՏԱՏԱՆՈՒՄՆԵՐ ԵՎ ԱԼԻՔՆԵՐ

205

որդինատի արժեքը հասնում է ամենամեծ դրական արժեքին, արագացումը հաս-

նում է մոդուլով ամենամեծ և բացասական արժեքին և հակառակը:

(10.9) և (10.10) բանաձևերը ներդաշնակորեն տատանվող մարմնի արագու-

թյան և արագացման կախումները ժամանակից արտահայտող հավասարումներն

են, իսկ 167-րդ նկարում պատկերված են մարմնի կոորդինատի, արագության և

արագացման տատանագրերը (կոորդինատի տատանման սկզբնական փուլը՝

{

2):

Տատանվող մարմնի միջին արագությունը ժամանակի t, t + Dt բավա-

կանաչափ փոքր միջակայքում կարող ենք որոշել հետևյալ կերպ.

Asin^~

(t +Dt)+{

Asin^~

t + {

Dx x(t+Dt)-

x t)

(10.11)

2Asin

cosc~

{

Եռանկյունաչափությունից հայտնի է, որ փոքր՝ a << 1 անկյունների հա-

մար sin a . a« ընդ որում« որքան փոքր է a -ն, այնքան ավելի ճշգրիտ է այս

հավասարությունը: Երբ Dt -ն բավականաչափ փոքր է, կոսինուս ֆունկցիայի

արգումենտում 2-րդ անդամը, որպես շատ փոքր մեծություն, կարելի է հաշվի

չառնել, ուստի՝ կստանանք՝ sin (~0t

2, cos (~0t+Dt

2+{

)

cos (~0t

)

և vx. A~0cos (~0t

): Եթե Dt " 0, ապա vx միջին արա-

գությունը հավասար կլինի t պահին տատանվող մարմնի ակնթարթային

արագությանը՝ vx=vx=A~0cos (~0t

)

Գրելով տատանվող մարմնի միջին արագացումը t, t + Dt բավակա-

նաչափ փոքր միջակայքում՝

vx(t

Dt) vx(t)

օգտվելով (6) առնչությունից և կոսինուսների տարբերության բանաձևից,

Dt " 0 սահմանում կստանանք (10.7) բանաձևն ակնթարթային արագացման

համար:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ո±ր մեծությունն են անվանում տատանումների փուլ, ի՞նչ միավորով է այն արտահայտ-

վում: 2. Ո±ր մեծությունն են անվանում շրջանային հաճախություն, և ի՞նչ է ցույց տա-

լիս այն: 3. Գրե°ք ներդաշնակորեն տատանվող մարմնի կոորդինատի, արագության և

արագացման կախումը ժամանակից արտահայտող բանաձևերը: 4. Որքա±ն է ներդաշ-

նակ տատանումների սկզբնական {0 փուլը, եթե t = 0 պահին մասնիկի շեղումը՝

ա) x = A, բ) x = 0, գ) x = -A , դ) x = A 2: 5. Ո±ր դիրքերում են զրո դառնում ներ-

դաշնակորեն տատանվող մարմնի՝ ա) արագությունը, բ) արագացումը: 6. Ինչպե՞ս կարե-

լի է կրկնապատկել ներդաշնակորեն տատանվող մարմնի առավելագույն արագությունը:

7. Որքա±ն է մեկ պարբերության ընթացքում ներդաշնակ տատանումներ կատարող մարմ-

նի՝ ա) տեղափոխությունը, բ) անցած ճանապարհը, եթե տատանումների լայնույթն A է:

206

ՖԻԶԻԿԱ 10

ԶՍՊԱՆԱԿԻՆ ԱՄՐԱՑՎԱԾ ՄԱՐՄՆԻ

ՏԱՏԱՆՈՒՄՆԵՐԻ ՊԱՐԲԵՐՈՒԹՅԱՆ ԲԱՆԱՁԵՎԸ:

ԷՆԵՐԳԻԱՅԻ ՓՈԽԱԿԵՐՊՈՒՄՆԵՐԸ

68.

ՏԱՏԱՆՈՒՄՆԵՐԻ ՊՐՈՑԵՍՈՒՄ

Ինչպես տեսանք, զսպանակավոր ճոճանակի սեփական տատանումները

ներդաշնակ տատանումներ են: Զսպանակին ամրացված գնդիկն այդ տատա-

նումների ընթացքում շարժվում է փոփոխական արագացմամբ, որի ակնթարթա-

յին արժեքը ժամանակի որևէ t պահի որոշվում է (10.7) բանաձևով: Նշանակում է՝ t

պահին գնդիկին կիրառված ուժի պրոյեկցիան՝

Fx=ma

=- ~2Asin(~0t

(10.12)

Նկատի ունենալով (10.4) բանաձևը՝ (10.12) բանաձևից կստանանք՝

=-m~2x:

(10.13)

Հուկի օրենքի համաձայն ՝ F

x =-

, որտեղ k-ն զսպանակի կոշտությունն է,

հետևաբար՝

k = m~

(10.14)

(10.14) բանաձևից կարող ենք որոշել զսպանակավոր ճոճանակի սեփական

տատանումների շրջանային հաճախությունը՝

(10.15)

որի համաձայն զսպանակավոր ճոճանակի սեփական հաճախությունը կախված է

միայն այդ տատանողական համակարգի k և m բնութագրերից:

Ըստ (10.13) բանաձևի՝ զսպանակավոր ճոճանակի գնդիկի վրա ազդող ուժն

ուղիղ համեմատական է հավասարակշռության դիրքից գնդիկի շեղմանը: ՙ-՚ նշա-

նը ցույց է տալիս, որ այդ ուժն ուղղված է շեղման ուղղությանը հակառակ, այսինքն՝

դեպի հավասարակշռության դիրք: Այդ պատճառով այն անվանում են նաև վե-

րադարձնող ուժ: Այս պայմանները, մասնավորապես, բավարարում է զսպանակի

առաձգականության ուժը, որը որոշվում է Հուկի օրենքով: Ուստի՝ F

x =-

տեսքի

ուժերը, անկախ դրանց բնույթից, անվանում են քվազիառաձգական (ՙքվազի՚՝

լատիներեն ՙկարծես թե՚ բառից) ուժեր, իսկ k-ն՝ քվազիկոշտություն:

Այսպիսով՝ զսպանակավոր ճոճանակի գնդիկը կատարում է ներդաշնակ տա-

տանումներ միայն այն դեպքում, երբ նրա վրա քվազիառաձգական վերադարձնող

ուժ է ազդում: Ընդ որում, ինչպես հետևում է (10.5) և (10.15) հավասարություննե-

րից, այդ տատանումների պարբերությունը՝

= 2r

(10.16)

Տատանողական համակարգի սեփական տատանումների ներդաշնակությու-

նը ցույց տալու և պարբերությունը որոշելու համար, անհրաժեշտ է՝

1. համոզվել, որ մարմինը հավասարակշռության դիրքից շեղելուց և ազատ

թողնելուց հետո նրա վրա ազդող ներքին ուժերի համազորն ուղղված է դեպի հա-

վասարակշռության դիրք«

ԳԼՈՒԽ

X. ՄԵԽԱՆԻԿԱԿԱՆ ՏԱՏԱՆՈՒՄՆԵՐ ԵՎ ԱԼԻՔՆԵՐ

207

ապացուցել, որ այդ ուժը կամ նրա որևէ բաղադրիչ ուղիղ համեմատական

է շեղմանը, և գտնել k քվազիկոշտությունը«

3. քվազիկոշտությունը տեղադրել ներդաշնակ տատանումների պարբերու-

թյան (10.16) բանաձևի մեջ և որոշել տատանումների պարբերությունը:

Հաճախ, բարդ տատանողական համակարգեր դիտարկելիս, նույնպես հա-

ջողվում է վերադարձնող ուժը ներկայացնել F

x =-

քվազիառաձգական ուժի

տեսքով, որտեղ k-ն կախված է համակարգի պարամետրերից: Իմանալով նաև

տատանվող մարմնի m զանգվածը՝ (10.16) բանաձևից հեշտ է գտնել համակարգի

սեփական տատանումների պարբերությունը:

Զսպանակավոր ճոճանակի սեփական տատանումները տեղի են ունենում

միայն զսպանակի առաձգականության ուժի ազդեցությամբ« ուստի՝ (10.16) բա-

նաձևով որոշվող պարբերությունը նույնն է ինչպես Երկրի տարբեր վայրերում,

այնպես էլ այլ մոլորակների վրա և նույնիսկ՝ անկշռության պայմաններում: Հե-

տևաբար, չափելով զսպանակավոր ճոճանակի սեփական տատանումների պար-

բերությունը և իմանալով զսպանակի կոշտությունը« (10.16) բանաձևից կարելի է

որոշել զսպանակին ամրացված մարմնի զանգվածը: Զանգվածի որոշման այդ

եղանակը կարող է օգտագործվել նաև անկշռության պայմաններում, երբ սովորա-

կան կշեռքները կամ պիտանի չեն, կամ էլ հարմար չեն զանգվածը չափելու համար:

Էներգիայի փոխակերպումները տատանումների պրոցեսում: Տատանո-

ղական համակարգը կարող է ազատ տատանումներ կատարել, եթե այն հանենք

կայուն հավասարակշռության դիրքից՝ նրան էներգիայի որոշ պաշար հաղորդելով:

165-րդ նկարում, օրինակ, գնդիկը տեղաշարժելով դեպի աջ A հեռավորու-

թյամբ՝ տատանողական համակարգին հաղորդում ենք առաձգականության ու-

ժով պայմանավորված պոտենցիալ էներգիայի որոշ պաշար: Գնդիկը դեպի ձախ

շարժվելիս զսպանակի դեֆորմացիան փոքրանում է, ուստի՝ նվազում է համա-

կարգի պոտենցիալ էներգիան: Բայց միաժամանակ մեծանում է գնդիկի շարժման

արագությունը և, հետևաբար՝ կինետիկ էներգիան: Հավասարակշռության դիրքով

անցնելու պահին համակարգի պոտենցիալ էներգիան դառնում է զրո, իսկ գնդիկի

կինետիկ էներգիան հասնում է իր առավելագույն արժեքին:

Հավասարակշռության դիրքն անցնելուց հետո գնդիկի արագությունը նվա-

զում է, ուստի՝ նվազում է նաև կինետիկ էներգիան: Իսկ ճոճանակի պոտենցիալ

էներգիան կրկին աճում է: Ձախ սահմանային դիրքում վերջինս հասնում է իր առա-

վելագույն արժեքին, իսկ գնդիկի կինետիկ էներգիան դառնում է զրո: Այսպիսով՝

տատանումների ժամանակ տեղի է ունենում պոտենցիալ էներգիայի պարբերա-

բար փոխակերպում կինետիկի և հակառակը:

Քանի որ գնդիկի ներդաշնակ տատանումները տեղի են ունենում առաձգա-

կանության ուժի ազդեցությամբ, ապա գնդիկի շարժման հետագծի յուրաքանչյուր

կետում համակարգն օժտված է պոտենցիալ էներգիայով՝

E = kx

ուստի ներդաշնակորեն տատանվող գնդիկի լրիվ մեխանիկական էներգիան՝

E = k 2x+ m

208

ՖԻԶԻԿԱ 10

Գնդիկի կոորդինատը և արագությունը ժամանակի ընթացքում փոխվում են

համաձայն (10.4) և (10.7) բանաձևերի, ուստի՝ գնդիկի կինետիկ և պոտենցիալ

էներգիաների կախումները ժամանակից կարտահայտվեն հետևյալ բանաձևերով՝

Eu(t)

m~2A2cos2(~0t

)«

(10.17)

El(t)

kA2sin2(~0t

(10.18)

168-րդ նկարում պատկերված են զսպանակավոր

ճոճանակի գնդիկի կոորդինատի, կինետիկ և պոտեն-

ցիալ էներգիաների կախումները ժամանակից արտա-

հայտող գրաֆիկները (երբ

{

): Գրաֆիկներից

պարզ երևում է, որ կինետիկ էներգիան առավելա-

գույնն է, երբ պոտենցիալ էներգիան դառնում է զրո, և

հակառակը, երբ պոտենցիալ էներգիան է առավելա-

գույնը, կինետիկ էներգիան դառնում է զրո« և որ կինե-

տիկ ու պոտենցիալ էներգիաների ՙտատանումների՚

պարբերությունը երկու անգամ փոքր է համակարգի

տատանումների պարբերությունից:

Լրիվ մեխանիկական էներգիայի արտահայտու-

Նկ. 168. Ներդաշնակորեն

տատանվող մարմնի կոորդի-

թյան մեջ տեղադրելով կինետիկ ու պոտենցիալ էներ-

նատի, կինետիկ և պոտենցիալ

գիաների (10.17) և (10.18) արտահայտությունները՝

էներգիաների կախումները

կստանանք՝

ժամանակից

sin2(~

{

)

m~2A

cos2(~

{

)

E = kA

Հաշվի առնելով (10.14) առնչությունը՝ կստանանք՝

6sin2(~

+{ +cos2(~

)@=

(10.19)

Այսպիսով՝ ժամանակի ընթացքում զսպանակին ամրացված գնդիկի կինե-

տիկ և զսպանակ-գնդիկ համակարգի պոտենցիալ էներգիաները պարբերաբար

փոփոխվում են, բայց կամայական պահի համակարգի լրիվ մեխանիկական էներ-

գիան նույնն է և հավասար գնդիկի առավելագույն շեղման դիրքում համակարգի

պոտենցիալ էներգիային (երբ գնդիկի կինետիկ էներգիան զրո է) կամ գնդիկի կի-

նետիկ էներգիային հավասարակշռության դիրքով անցնելու պահին (երբ համա-

կարգի պոտենցիալ էներգիան զրո է): Սա էներգիայի պահպանման և փոխակերպ-

ման օրենքն է ներդաշնակ տատանումների դեպքում:

(10.19) հավասարությունից երևում է, որ ներդաշնակ տատանումներ կատա-

րող մարմնի լրիվ մեխանիկական էներգիան ուղիղ համեմատական է կոորդինա-

տի տատանումների լայնույթի քառակուսուն կամ արագության տատանումների

լայնույթի քառակուսուն: Էներգիայի պահպանման օրենքը կապ է հաստատում

տատանման լայնույթի և տատանվող մարմնի առավելագույն արագության միջև:

Իրոք, (10.19) և (10.15) բանաձևերից հետևում է, որ

v0= A

(10.20)

ԳԼՈՒԽ

X. ՄԵԽԱՆԻԿԱԿԱՆ ՏԱՏԱՆՈՒՄՆԵՐ ԵՎ ԱԼԻՔՆԵՐ

209

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ինչպիսի՞ն

են զսպանակավոր ճոճանակի սեփական տատանումները: 2. Ի՞նչ ուժի

ազդեցությամբ է զսպանակին ամրացված գնդիկը կատարում ներդաշնակ տատանում-

ներ: 3. Ինչո±վ է պայմանավորված տատանողական համակարգի սեփական հաճախու-

թյունը:

4. Ո±ր ուժերն են անվանում քվազիառաձգական: Ի՞նչ է քվազիկոշտությունը,

և ինչի±ց

այն կախված: 5. Գրե°ք զսպանակավոր ճոճանակի ներդաշնակ տատա-

նումների հաճախության և պարբերության բանաձևերը: 6. Ինչպե՞ս կփոխվի զսպանա-

կավոր ճոճանակի տատանումների պարբերությունը« եթե հաշվի առնենք նաև զսպա-

նակի զանգվածը: 7. Ի՞նչ ընթացակարգով է որոշվում տատանողական համակարգի

ներդաշնակ տատանումների պարբերությունը: 8. Ինչպե՞ս կարելի է չափել մարմնի

զանգվածը զսպանակավոր ճոճանակի միջոցով: 9. m զանգվածով բեռը կախված է k

կոշտությամբ զսպանակից: Զսպանակը, մեջտեղից կտրելով, բաժանեցին երկու մասի

և դարձյալ կախեցին նույն բեռը: Քանի± անգամ փոխվեց տատանումների հաճախու-

թյունը:

10.

Գրե°ք տատանողական շարժման լրիվ մեխանիկական էներգիայի արտա-

հայտությունը:

11. Որքա±ն

է ներդաշնակ տատանումներ կատարող մարմնի մեխանի-

կական էներգիան՝ ա) հավասարակշռության դիրքով անցնելու պահին, բ) եզրային

դիրքերում: 12. Ո±ր

դիրքերում է առավելագույնը՝ ա) կինետիկ էներգիան, բ) պոտեն-

ցիալ էներգիան, գ) լրիվ մեխանիկական էներգիան: 13. Ո±ր դիրքերում է նվազագույնը՝

ա) կինետիկ էներգիան, բ) պոտենցիալ էներգիան, գ) լրիվ մեխանիկական էներգիան:

14.

Եթե կրկնապատկենք ներդաշնակորեն տատանվող մարմնի տատանումների լայ-

նույթը, ապա ինչպե՞ս կփոխվի. ա) հաճախությունը, բ) առավելագույն արագությունը,

գ) առավելագույն արագացումը, դ) լրիվ մեխանիկական էներգիան: 15. Ի՞նչ պայման-

ներում են ազատ տատանումները չմարող:

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՃՈՃԱՆԱԿ:

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՃՈՃԱՆԱԿԻ

69.

ՏԱՏԱՆՈՒՄՆԵՐԻ ՊԱՐԲԵՐՈՒԹՅԱՆ ԲԱՆԱՁԵՎԸ

Մաթեմատիկական ճոճանակին ծանոթ եք 8-րդ

դասարանի ֆիզիկայի դասընթացից: Այն տատանո-

ղական համակարգ է, որտեղ փոխազդում են մի ծայ-

րով ամրացված թելը, նրանից կախված գնդիկը և

Երկիրը (նկ. 169): Կքննարկենք միայն ճոճանակի սե-

փական տատանումները՝ անտեսելով կախման կե-

տում թելի և հենարանի միջև շփումը, ինչպես նաև օդի

դիմադրությունը: Բացի այդ՝ ենթադրենք, որ թելն ան-

կշիռ է, չձգվող ու այնքան երկար, որ գնդիկի շառավի-

ղը թելի երկարության համեմատությամբ կարելի է

անտեսել և գնդիկը դիտարկել որպես նյութական կետ:

Ճոճանակը փոքր a անկյունով շեղենք հավա-

Նկ. 169. Մաթեմատիկական

սարակշռության դիրքից և բաց թողնենք (նկ. 169, բ):

ճոճանակը ա.հավասարա-

կշռության դիրքում, բ. երբ

Տատանումների ընթացքում գնդիկի վրա ազդում են

անկյունով:

այն շեղված է a

միայն թելի լարման N ուժը և ծանրության mg ուժը:

Ծանրության ուժը վերածենք F և Q բաղադրիչների այնպես, որ F ուժն

ուղղված լինի շրջանագծի աղեղին տարված շոշափողով, դեպի հավասարակշ-

ռության դիրք, իսկ Q-ն՝ թելի երկայնքով (Q + N արդյունարար ուժով պայմանա-

210

ՖԻԶԻԿԱ 10

վորված է մարմնի շարժման կենտրոնաձիգ արագացումը): Կոորդինատային X

առանցքն ուղղենք հորիզոնական ուղղությամբ՝ O սկզբնակետը համատեղելով թելի

կախման կետի հետ (նկ. 169): Քանի որ ճոճանակի հավասարակշռության դիրքն

անցնում է O կետով, ապա այդ դիրքից գնդիկի հորիզոնական շեղումը և x կոորդի-

նատը կհամընկնեն: Ինչպես երևում է 169, բ նկարից, sin a =

(l-ը թելի երկա-

րությունն է), իսկ F ուժի մոդուլը՝ F = mg sin a = mg

l :Փոքր a անկյունների

դեպքում կարող ենք համարել, որ X առանցքը գրեթե զուգահեռ է շոշափողին, այն-

պես որ

= x, իսկ X առանցք ի վրա F ուժ ի պրոյեկց իան՝ Fx =-

F, երբ մարմինը

=- x, Fx= F, երբ մարմ ին ը

ձախ դիրքում է: Երկու դեպքում էլ

mg x/ kx:

(10.21)

Այսինքն՝ մարմինը հավասարակշռության դիրք վերադարձնող ուժի պրոյեկ-

ցիան ուղիղ համեմատական է շեղմանը՝ հակառակ նշանով, իսկ քվազիկոշտու-

թյունը՝ k = mg l , հետևաբար՝ ճոճանակը կատարում է ներդաշնակ տատանում-

ներ, որոնց պարբերությունը [(10.16) բանաձևի համաձայն]՝

= 2r

(10.22)

(10.22) բանաձևն առաջին անգամ ստացել և փորձով ստուգել է հոլանդացի

գիտնական Քրիստիան Հյույգենսը, ուստի՝ կոչվում է Հյույգենսի բանաձև:

Հյույգենսի բանաձևը հաստատում է մաթեմատիկական ճոճանակի տատա-

նումների չորս փորձառական օրենքները:

1. Տատանումների պարբերությունը կախված չէ գնդիկի զանգվածից:

Այս հատկությունը բնորոշ է գրավիտացիոն ուժերի, մասնավորապես Երկրի ծան-

րության ուժի ազդեցությամբ տատանվող բոլոր ճոճանակներին:

2. Տատանումների պարբերությունը կախված չէ լայնույթից: Ճոճանա-

կի (ոչ միայն մաթեմատիկական) տատանումների այս հատկությունը կոչվում է

իզոխրոնություն (հավասարատևություն) և հնարավորություն է տալիս կառուցելու

ժամանակակից ժամացույցների մի ամբողջ շարք (ճոճանակային, զսպանակա-

վոր, կամերտոնային և այլն):

3. Տատանումների պարբերությունն ուղիղ համեմատական է ճոճանակի

երկարության քառակուսի արմատին: Հաշվի առնելով այս փաստը և համապա-

տասխան ձևով փոխելով ճոճանակի երկարությունը՝ կարգավորում են ճոճանա-

կային ժամացույցների (պատի և սեղանի) ընթացքը:

4. Տատանումների պարբերությունը հակադարձ համեմատական

ազատ անկման արագացման քառակուսի արմատին: Վերջին օրենքը հնարա-

վորություն է տալիս առավել ճշգրիտ որոշելու ազատ անկման արագացումը Երկ-

րի տարբեր կետերում և նույնիսկ փորձով հաստատել նրա կախումը մինչև Երկրի

կենտրոն հեռավորությունից: Չափումներով հաջողվում է որոշել ազատ անկման

արագացման տեղային աղավաղումները, որոնք հաճախ կապված են օգտակար

հանածոների առկայության հետ:

ԳԼՈՒԽ

X. ՄԵԽԱՆԻԿԱԿԱՆ ՏԱՏԱՆՈՒՄՆԵՐ ԵՎ ԱԼԻՔՆԵՐ

211

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ո±ր

ճոճանակն է կոչվում մաթեմատիկական: 2. Ե±րբ կարելի է թելավոր ճոճանակը

համարել մաթեմատիկական ճոճանակ: 3. Գրե°ք մաթեմատիկական ճոճանակի ներդաշ-

նակ տատանումների պարբերության բանաձևը (Հյույգենսի բանաձևը): 4. Թվարկե°ք

մաթեմատիկական ճոճանակի չորս փորձառական օրենքները: 5. Ճոճանակավոր ժա-

մացույցը ճշգրիտ աշխատում է ծովափին: Առա±ջ, թե՞ հետ կընկնի նույն ժամացույցը

սարի գագաթին:

70.

ԼԱԲՈՐԱՏՈՐ ԱՇԽԱՏԱՆՔ 9

Ազատ անկման արագացման որոշումը մաթեմատիկական ճոճանակով

Աշխատանքի նպատակը. փորձով որոշել ազատ անկման արագացումը:

Անհրաժեշտ պարագաներ. վայրկենաչափ, չափերիզ, անցքով կամ կեռիկով

գնդիկ, թել, ամրակալան՝կցորդիչով և թաթով:

Փորձի կատարման ընթացքը

1. Սեղանին դրեք ամրակալանը և նրա վերևի ծայրին կցորդիչով ամրացրեք

թաթը՝ դրանից թելով կախելով գնդիկը, որը պետք է կախված լինի մոտ 50

սմ երկարությամբ բարակ, կոշտ թելից՝ սեղանից 13 սմ բարձրությամբ:

2. Չափերիզով չափեք ճոճանակի երկարությունը՝ l:

3. Գնդիկը շեղեք հավասարակշռության դիրքից 58 սմ և բաց թողեք:

4. Չափեք 40 լրիվ տատանումների ժամանակը՝ t:

5. Տատանումների պարբերությունը հաշվեք T = t / 40 բանաձևով:

6. Ազատ անկման արագացումը հաշվեք մաթեմատիկական ճոճանակի տա-

տանումների պարբերության բանաձևից՝

r2l

ՄԱՐՈՂ ԵՎ ՀԱՐԿԱԴՐԱԿԱՆ ՏԱՏԱՆՈՒՄՆԵՐ:

71.

ՌԵԶՈՆԱՆՍԻ ԵՐԵՎՈՒՅԹԸ

Զսպանակին ամրացված բեռի կամ ճոճանակի ազատ տատանումները ներ-

դաշնակ են միայն այն դեպքում, երբ չկան դիմադրության ուժեր: Բայց այդ ուժերը,

շատ փոքր լինելով, այնուամենայնիվ, ազդում են տատանվող մարմնի վրա:

Դիմադրության ուժերը կատարում են բացասական աշխատանք՝ նվազեցնե-

լով համակարգի մեխանիկական էներգիան: Այդ պատճառով ժամանակի ընթաց-

քում տատանումների լայնույթը դառնում է ավելի ու ավելի փոքր: Վերջ ի վերջո,

երբ մեխանիկական էներգիայի պաշարը սպառվում է, տատանումները դադարում

ները մարող են: Գնդիկի կոորդինատի կախումը ժամանակից արտահայտող տա-

212

ՖԻԶԻԿԱ 10

տանագիրը մարող տատանումների դեպքում պատկեր-

ված է 170-րդ նկարում:

Չմարող տատանումներ ստանալու համար անհրա-

ժեշտ է, որ ճոճանակի տատանվող գնդիկի վրա ազդեն

արտաքին ուժեր, որոնք ժամանակից կախված փոփոխ-

վում

են որոշակի պարբերությամբ: Այդպիսի ուժերի

Նկ. 170. Մարող տատա-

ազդեցությամբ կատարվող տատանումներն անվանում

նումների տատանագիր

են հարկադրական տատանումներ:

Հարկադրական տատանումների ժամանակ ճոճանակի (կամ կամայական

տատանողական համակարգի) մեխանիկական էներգիայի կորուստներն անընդ-

հատ լրացվում են պարբերաբար փոփոխվող արտաքին ուժերի աշխատանքի

հաշվին: Ուստի՝ հարկադրական տատանումները, դիմադրության ուժերի առկա-

յությամբ, չմարող (պարբերական) են և շարունակվում են այնքան ժամանակ, քա-

նի դեռ ճոճանակի գնդիկի վրա արտաքին, պարբերական ուժ է ազդում:

Հարկադրական տատանումները փորձնականորեն ուսումնասիրում են տար-

բեր սարքերի օգնությամբ: Այդպիսի մի սարք ձեզ ծանոթ է 8-րդ դասարանի ֆիզի-

կայի դասընթացից:

Հարկադրական տատանումները կարելի է ուսումնասիրել նաև 171-րդ նկա-

րում պատկերված՝ սեփական տատանումների հաճախություն ունեցող մեկ այլ

սարքի օգնությամբ: Զսպանակներին ամրացված է գնդիկ, և զսպանակներից մեկի

ծայրն ամրացված է ճախարակի վրայով գցված թելի ծայրին: Թելի մյուս ծայրը

միացված է սկավառակի վրայի ձողիկին: Եթե սկավառակը պտտենք էլեկտրա-

շարժիչի միջոցով, ապա գնդիկի վրա կսկսի ազդել արտաքին պարբերական ուժ:

Գնդիկն աստիճանաբար կսկսի ճոճվել: Տատանումների լայնույթը կաճի: Որոշ

թացքում կդադարի փոփոխվել: Ուշադիր դիտելով՝ կնկատենք, որ գնդիկի տատա-

նումների հաճախությունը հավասար է զսպանակի ծայրի տատանումների հաճա-

խությանը, այսինքն՝ արտաքին ուժի փոփոխման հաճախությանը, որը հավասար

է մեկ վայրկյանում սկավառակի պտույտների թվին:

Այսպիսով՝ երբ ճոճանակի գնդիկի վրա ազդում է ժամանակի ընթացքում

պարբերաբար փոփոխվող արտաքին ուժ, ճոճանակը կատարում է կայունացված

պարբերական շարժում: Այդպիսի պարբերական շարժումներն էլ հենց հարկադ-

րական տատանումներն են: Հարկադրական տատանումների պարբերությունը

հավասար է արտաքին ուժի փոփոխման պարբերությանը:

Այժմ դիտարկենք k կոշտությամբ հորիզոնական զսպանակից և նրա ծայրին

ամրացված m զանգվածով չորսուից կազմված համակարգ, որի սեփական տատա-

նումների շրջանային հաճախությունը

է: Ենթադրենք նաև, որ չորսուի վրա, Ox

Նկ. 171. Զսպանակին ամրացված գնդիկի հարկադրական տատանումները ցուցադրող սարք

ԳԼՈՒԽ

X. ՄԵԽԱՆԻԿԱԿԱՆ ՏԱՏԱՆՈՒՄՆԵՐ ԵՎ ԱԼԻՔՆԵՐ

213

առանցքին զուգահեռ, ազդում է ներ-

դաշնակորեն

փոփոխվող

արտաքին

ուժ ~ շրջանային հաճախությամբ և

F₀ լայնույթով՝ F

F0cos~t

(նկ. 172):

Դիցուք՝ ժամանակի t = 0 սկզբնա-

կան պահին

զսպանակը ձգված

առավելագույն՝ x (0) չափով և անշարժ

է՝ v (0) = 0:

Այդ պահին զսպանա-

կի առաձգականության ուժի մոդուլը՝

F > F₀: Եթե չորս ուն բաց թողն ենք, այն

Նկ. 172. Զսպանակավոր ճոճանակի

արագացմամբ կշարժվի դեպի ձախ:

հարկադրական տատանումները արտաքին

ուժի ազդեցությամբ

Հավասարակռության դիրքից անցնե-

լով՝ չորսուն կսկսի սեղմել զսպանակը

և, հասնելով ամենաձախ դիրքին, որտեղ զսպանակը սեղմված է առավելագույն

չափով, այնուհետև կվերադառնա սկզբնական դիրք: Դրանից հետո չորսուի շար-

ժումը կկրկնվի. չորսուն կկատարի ներդաշնակ հարկադրական տատանումներ

արտաքին ուժի փոփոխման ~ շրջանային հաճախությամբ և A լայնույթով՝

x = Acos~t:

(10.23)

Չորսուի վրա կիրառված են զսպանակի F = - kx ուժը և արտաքին, պարբե-

րաբար փոփոխվող F_x ուժը: Համաձայն Նյուտոնի 2-րդ օրենքի՝

kx +F0cos~t:

(10.24)

(10.24) հավասարումն անվանում են հարկադրական տատանումների հավա-

սարում:

Եթե (10.23) արտահայտությունը ներկայացնենք x = A sin (~t + r 2) տես-

քով, ապա, վերջինս համադրելով (10.4) բանաձևի հետ և նկատի ունենալով (10.7)

բանաձևը՝ չորսուի տատանողական շարժման արագացման համար կունենանք

=-~

A cos~t

(10.25)

արտահայտությունը: Հետևաբար, հաշվի առնելով (10.23) և (10.25) բանաձևերը,

(10.24) հավասարումը կարող ենք գրել հետևյալ կերպ՝

- ~2Acos~t

kA cos~t +F0cos~t

(10.26)

Կրճատելով (10.26) հավասարությունը cos ~t -ով և նկատի ունենալով, որ

k = m

, կունենանք՝ m~2A

=- ~2A+F

, որտեղից էլ կստանանք հարկադ-

րական տատանումների լայնույթի արտահայտությունը՝

(10.27)

m(~

)

(10.27) բանաձևի համաձայն՝ հարկադրական տատանումների լայնույ-

թը կախված է արտաքին ուժի F₀ լայնույթից և փոփոխման ~ հաճախությունից:

A (~) կախման գրաֆիկը կառուցելու համար դիտարկենք հետևյալ սահմանային

դեպքերը:

214

ՖԻԶԻԿԱ 10

1. Երբ ~ = 0, ապա Fx= F₀, այսինքն՝ ճոճանակի վրա ազդում է հաստա-

տուն ուժ: Այդ դեպքում, համաձայն (10.23) բանաձևի, x = A, իսկ (10.27) բանա-

ձևից հետևում է, որ A = F0 m

2. Եթե ~-ն փոքր է

սեփական հաճախությունից՝ 0 <

ապա ~-ն

մեծանալիս

տարբերությունը փոքրանում է, ուստի՝ A-ն մեծանում է:

3. Եթե ~-ն զգալիորեն գերազանցում է

-ն՝

ապա (10.27) բանա-

ձևում

-ն անտեսելով

~ : Այսինքն՝

արտաքին ուժի փոփոխման մեծ հաճախությունների դեպքում ~-ի աճին զուգըն-

թաց հարկադրական տատանումների լայնույթը նվազում է:

4. Երբ ~-ն մոտենում է

սեփական հաճախությանը« (10.27) արտահայ-

տության հայտարարը ձգտում է զրոյի: Հետևաբար՝ տատանումների A լայնույթը

կտրուկ աճում է՝ ընդունելով որքան ասես մեծ արժեքներ:

Հարկադրական տատանումների լայնույթի

կտրուկ աճը, երբ արտաքին ուժի փոփոխման հա-

ճախությունը համընկնում է տատանողական հա-

մակարգի սեփական հաճախությանը, անվանում են

ռեզոնանս (լատիներեն ՙռեզոնանս՚՝ արձագանք տալ

բառերից):

A (~) ֆունկցիայի գրաֆիկն անվանում են ռեզո-

նանսային կոր: Զսպանակավոր ճոճանակի ռեզոնան-

սային կորը, շփման բացակայությամբ, պատկերված է

173-րդ նկարում (1-ին կորը): Սակայն շփման առկա-

յությամբ ~-ն

-ին ձգտելիս հարկադրական տատա-

Նկ. 173. Հարկադրական

նումների լայնույթը ձգտում է վերջավոր արժեքի, ընդ

տատանումների լայնույթի

որում, որքան մեծ է շփման ուժը, այնքան փոքր է այդ

կախումը հաճախությունից

արժեքը (2-րդ և 3-րդ կորեր):

պատկերող ռեզոնանսային

171-րդ նկարում պատկերված սարքի միջոցով

կորերը. 1՝ շփումը բացակա-

յում է, 2 կորը համապատաս-

կարելի է փորձով պարզել, որ արտաքին ուժի հաճա-

խանում է փոքր, 3 կորը՝ մեծ

խությունը սահուն կերպով մեծացնելիս տատանումնե-

շփման ուժի:

րի լայնույթն աճում է: Այն հասնում է առավելագույնի,

երբ արտաքին ուժի փոփոխման հաճախությունը հավասարվում է գնդիկի սեփա-

կան տատանումների հաճախությանը, իսկ հաճախությունը մեծացնելիս կայու-

նացված տատանումների լայնույթը նորից փոքրանում է:

Այժմ բացատրենք ռեզոնանսի երևույթը՝ էներգիական տեսանկյունից:

Ռեզոնանսի դեպքում հարկադրական տատանումների լայնույթն առավե-

լագույնն է այն պատճառով, որ ստեղծվում են նպաստավոր պայմաններ արտա-

քին պարբերական ուժի աղբյուրից համակարգին էներգիա հաղորդելու համար:

Արտաքին ուժը ռեզոնանսի դեպքում փոփոխվում է ազատ տատանումներին հա-

մընթաց: Ամբողջ պարբերության ընթացքում նրա ուղղությունը համընկնում է տա-

տանվող մարմնի արագության (շարժման) ուղղությանը, ուստի՝ այդ ուժը կատա-

րում է դրական աշխատանք: Կայունացված տատանումների ժամանակ արտաքին

ուժի դրական աշխատանքը բացարձակ արժեքով հավասար է դիմադրության ուժի

ԳԼՈՒԽ

X. ՄԵԽԱՆԻԿԱԿԱՆ ՏԱՏԱՆՈՒՄՆԵՐ ԵՎ ԱԼԻՔՆԵՐ

215

բացասական աշխատանքին և ամբողջությամբ ծախսվում է մեխանիկական էներ-

գիայի կորուստները լրացնելու համար: Ուստի՝ որքան փոքր է շփման գործակիցը,

այնքան մեծ է կայունացված տատանումների լայնույթը:

Եթե արտաքին ուժի փոփոխման ~ հաճախությունը հավասար չէ համակար-

գի տատանումների

սեփական հաճախությանը, ապա արտաքին ուժը պար-

բերության միայն մի մասի ընթացքում է դրական աշխատանք կատարում: Իսկ

պարբերության մյուս մասի ընթացքում ուժի ուղղությունը հակադիր է արագության

ուղղությանը, և արտաքին ուժի աշխատանքը բացասական է:

Փոքր շփման դեպքում ռեզոնանսի ժամանակ տատանումների լայնույթը կա-

րող է շատ մեծ լինել նույնիսկ այն դեպքում, երբ արտաքին ուժը փոքր է, սակայն

դա տեղի կունենա միայն արտաքին ուժի երկարատև ազդեցությամբ: Ըստ էներ-

գիայի պահպանման օրենքի՝ համակարգին փոքր արտաքին ուժով կարելի է տա-

տանումների մեծ լայնույթ, հետևապես՝ նաև մեծ էներգիա հաղորդել միայն երկար

ժամանակի ընթացքում: Եթե շփումը մեծ է, ապա տատանումների լայնույթը կլինի

փոքր և տատանումների կայունացման համար շատ ժամանակ չի պահանջվի:

Ռեզոնանսի մասին իմաստ ունի խոսել, եթե համակարգում ազատ տատա-

նումների մարումը փոքր է: Մեծ դիմադրության առկայությամբ հարկադրական

տատանումների լայնույթը ռեզոնանսի դեպքում քիչ է տարբերվում այլ հաճախու-

թյուններին համապատասխանող տատանումների լայնույթից:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ո±ր տատանումներն են կոչվում հարկադրական: 2. Բերե°ք հարկադրական տատա-

նումների օրինակներ: 3. Գրե°ք հարկադրական տատանումների հավասարումը: 4. Ի՞նչ

բանաձևով են հաշվում հարկադրական տատանումների լայնույթը: 5. Ո±ր երևույթն

են անվանում ռեզոնանս: 6. Բերե°ք ռեզոնանսի մի քանի օրինակ առօրյա կյանքից:

7. Բացատրեք ռեզոնանսի առաջացումը՝ ելնելով էներգիական նկատառումներից: Ռեզո-

նանսի ժամանակ համակարգում տատանումների լայնույթի աճն ինչո±վ է պայմանավոր-

ված: Ե±րբ է այն մեծ և ե±րբ՝ փոքր:

72.

ԻՆՔՆԱՏԱՏԱՆՈՒՄՆԵՐ

Ազատ տատանումները կայուն հավասարակշռության դիրքի շուրջը տե-

ղի ունեցող տատանողական շարժումներ են: Այդ տատանումների լայնույթը,

ինչպես գիտեք, որոշվում է հավասարակշռության դիրքից տատանվող մարմ-

նի սկզբնական շեղմամբ և սկզբնական արագությամբ, այսինքն՝ այն էներ-

գիայով, որ հաղորդվում է մարմնին սկզբնական պահին: Շփման ուժերի դեմ

աշխատանք կատարելու հետևանքով էներգիայի այդ պաշարը հետզհետե

ծախսվում է, և ազատ տատանումներն աստիճանաբար մարում են: Տատա-

նումների պահպանման համար անհրաժեշտ է էներգիայի աղբյուր՝ լրացնելու

համար համակարգի մեխանիկական էներգիայի կորուստները: Այսպիսով՝

որպեսզի տատանումները չմարեն, տատանողական համակարգը, օրինակ,

մեկ պարբերության ընթացքում, աղբյուրից պետք է վերցնի այնքան էներգիա,

որքան ծախսվում է այդ նույն ժամանակամիջոցում: Հարկադրական տատա-

216

ՖԻԶԻԿԱ 10

նումների ժամանակ, ինչպես տեսանք, դրսից համակարգին էներգիա է հա-

ղորդվում արտաքին՝ պարբերաբար փոփոխվող ուժի դրական աշխատանքի

շնորհիվ, ընդ որում« էներգիայի ՙմատուցումը՚ համակարգին ՙկարգավոր-

վում է՚ արտաքին ուժի փոփոխման հաճախությամբ: Ռեզոնանսի ժամանակ,

տատանումների մեկ պարբերության ընթացքում այդ էներգիան ճիշտ այնքան

է, որքան այդ ժամանակամիջոցում համակարգը ՙվատնել՚ է:

Սակայն չմարող տատանումներ կարելի է ստանալ նաև, երբ տատա-

նողական համակարգն ինքն է ՙկարգավորում՚ աղբյուրից ՙմատուցվող՚

էներգիայի քանակը: Այդպիսի համակարգերն անվանում են ինքնատա-

տանողական համակարգեր, իսկ նրանց չմարող տատանումները՝ ինքնա-

տատանումներ: Ինքնատատանողական համակարգերն, օրինակ, կարող

են պարբերաբար ընդհատել կամ փոփոխել արտաքին հաստատուն ուժի

ազդեցությունն այնպես, որ նրա արդյունարար աշխատանքը լինի դրա-

կան: Այդ դեպքում տատանվող մարմնից արտաքին աղբյուրին էներգիա չի

փոխանցվում: Որոշ տատանողական համակարգերում, սակայն, հնարավոր

է միայն մասամբ փոքրացնել բացասական աշխատանքի արժեքը դրակա-

նի համեմատությամբ: Ինքնատատանումներ կարող են կատարվել նաև, եթե

արտաքին ուժի ազդման ուղղությունը և տատանվող մարմնի շարժման ուղղու-

թյունը փոփոխվեն այնպես, որ տատանումների երկու կիսապարբերություն-

ների ընթացքում էլ արտաքին ուժի աշխատանքը

լինի դրական:

Վերը թվարկված եղանակների օգնությամբ

հաջողվում է ոչ միայն ապահովել էներգիայի մա-

տակարարում դրսից, այլև կարգավորել ստացված

էներգիայի քանակն այնպես, որ ճշտորեն փոխհա-

տուցվեն էներգիայի կորուստները շփմամբ և առա-

ջանան հաստատուն լայնույթով չմարող տատա-

նումներ:

Որպես ինքնատատանողական համակար-

գի օրինակ դիտարկենք սիֆոնը (նկ.174): Ջուրը A

խողովակով հավասարաչափ լցվում է անոթի մեջ,

Նկ. 174. Ինքնատատանո-

նրա մակարդակն աստիճանաբար բարձրանում է

ղական համակարգի

h₁-ից մինչև h₂, իսկ B խողովակը մնում է փակված

օրինակ. սիֆոն

օդային ՙխցանով՚: Հասնելով h₂ բարձրությամբ

մակարդակի՝ հիդրոստատիկ ճնշումը դուրս է մղում

օդային ՙխցանը՚ B խողովակից, և ջուրն անոթից

թափվում է՝ իջնելով մինչև h₁ բարձրությամբ մա-

կարդակը, որի դեպքում խողովակի մեջ օդ է թա-

փանցում՝ չթողնելով որ այլևս ջուրը թափվի: Նրա

մակարդակը նորից է սկսում բարձրանալ, և այս-

Նկ. 175. Սիֆոնում հեղուկի

պես շարունակ: Ջրի մակարդակի տատանումնե-

մակարդակի տատանումնե-

րի կախումը ժամանակից արտահայտող գրաֆիկը

րի ժամանակային կախման

պատկերված է 175-րդ նկարում: Այստեղ

-ը ջրի

գրաֆիկը

ԳԼՈՒԽ

X. ՄԵԽԱՆԻԿԱԿԱՆ ՏԱՏԱՆՈՒՄՆԵՐ ԵՎ ԱԼԻՔՆԵՐ

217

(էներգիայի) կուտակման ժամանակն է, իսկ

-ը՝ թափվելու ժամանակը:

գումարն

այդ տատանումների պարբերությունն է:

Ինքնատատանումներ

են կատարվում

նաև սովորական պատի ժամացույցների ճո-

ճաններում (նկ.176« ա): Բարձրացրած ծանրա-

կը, որը կապված է ատամնանիվից գցած շղթա-

յիկին, էներգիայի աղբյուրն է: Բուն տատանվող

մասը մի ճոճանակ է, որն ինքն իրեն կկատարեր

միայն մարող տատանումներ:

Բայց ճոճանակը կապված է փականի

ներ ապահովող սարք ճոճանա-

հետ, որը տվյալ դեպքում խարիսխային (անկե-

րային) մեխանիզմն է (նկ.176« բ): AB կեռը տա-

1. խարիսխ« 2. ատամնանիվ

տանվում է իրեն ամրացված ճոճանակի հետ

մեկտեղ: Ամեն մի ճոճումից A թիթեղը բաց է

խարսխային մեխանիզմը

թողնում ատամնանիվի մի ատամ, իսկ B թիթե-

ղը պահում է հերթական ատամը: Այդ դեպքում ծանրոցի էներգիայի մի մասը

փոխանցվում է խարիսխային կեռին և, հետևաբար, ճոճանակին: Ծանրակը

դանդաղ իջնում է, և ճոճանակը տատանվում է առանց մարման (հիշենք, որ

տատանումների պարբերությունը լայնույթից կախված չէ): Ատամնանիվ-

ները պտույտը փոխանցում են ժամացույցի սլաքներին:

Ինքնատատանողական համակարգը պարբերաբար վերցնում է իրեն

անհրաժեշտ էներգիայի բաժիններն այնպիսի հաճախությամբ, որը հավա-

սար է տատանողական համակարգի սեփական հաճախությանը: Դրանով

ինքնատատանողական համակարգը տարբերվում է հարկադրական տատա-

նողական համակարգից:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ո±ր տատանումներն են կոչվում ինքնատատանումներ: 2. Ինչո±վ են տարբերվում ինք-

նատատանումները հարկադրական տատանումներից: 3. Բերե°ք ինքնատատանողական

համակարգերի օրինակներ:

ԳԱՂԱՓԱՐ ՈՉ ՆԵՐԴԱՇՆԱԿ

73.

ՏԱՏԱՆՈՒՄՆԵՐԻ ՄԱՍԻՆ

Հարկադրական տատանումներն ուսումնասիրելիս ենթադրեցինք, որ

արտաքին ուժը ժամանակի ընթացքում փոփոխվում է ներդաշնակության

օրենքով: Սակայն հաճախ արտաքին ազդեցությունները պարբերական

են, բայց ոչ ներդաշնակ: Ինչպիսի՞ն կլինի տատանողական համակարգի

ՙարձագանքն՚ այդպիսի արտաքին ազդեցություններին:

Օրինակ՝ երբ ճոճանակի գնդիկը պարբերաբար հրվում է, ապա, ինչպես

ցույց է տալիս փորձը, ռեզոնանսային երևույթներ նկատվում են ոչ միայն ուժի

մեկ որոշակի պարբերության դեպքում: Դիցուք՝ հարվածում ենք ճոճանակի

218

ՖԻԶԻԿԱ 10

գնդիկին յուրաքանչյուր պարբերությունը մեկ անգամ: Բնականաբար, ինչ-

պես ներդաշնակորեն փոփոխվող ուժի դեպքում« կդիտվի ռեզոնանս: Բայց

ռեզոնանս դիտվում է նաև, երբ ճոճանակին հարվածում են երկու անգամ

ավելի փոքր հաճախությամբ՝ մեկընդմեջ, կամ երեք անգամ ավելի սակավ՝

յուրաքանչյուր երրորդ տատանումը մեկ, և այլն:

Այսպիսով՝ նկարագրված փորձից երևում է, որ եթե արտաքին ուժը

փոփոխվում է պարբերաբար, բայց ոչ ներդաշնակորեն, ապա ռեզոնանս է

դիտվում ոչ միայն այն դեպքում, երբ ուժի փոփոխման պարբերությունը հա-

մընկնում է համակարգի սեփական տատանումների պարբերությանը, այլ

նաև այն դեպքում, երբ մեծ է այդ պարբերությունից ամբողջ թիվ անգամ:

Այժմ պատկերացնենք, թե ունենք տարբեր տատանման պարբերու-

թյուններով մի քանի ճոճանակ: Դիցուք՝ ճոճանակներից ՙամենադանդաղ՚

տատանվողի պարբերությունը T է (հաճախությունը՝ o = 1 T ): Եթե բոլոր

ճոճանակների վրա ազդենք միևնույն՝ T պարբերությամբ փոփոխվող ոչ ներ-

դաշնակ ուժով, ապա ուժեղ կճոճվեն միայն այն ճոճանակները, որոնց տա-

տանումների պարբերություններն են՝ T, T/2, T/3, T/4 և այլն (հաճախություն-

ները՝ o, 2o, 3o, 4o և այլն): Այսինքն՝ T պարբերությամբ ոչ ներդաշնակ

պարբերական ազդեցությունը համարժեք է o =1 T -ին բազմապատիկ

հաճախություններով ներդաշնակորեն փոփոխվող ուժերի միաժամանա-

կյա ազդեցությանը:

Պարզվում է, որ այս եզրակացությունը մասնավոր հետևանքն է ընդ-

հանուր մաթեմատիկական այն թեորեմի, որը 1822 թվականին ապացուցել է

ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ժան Բատիստ Ֆուրիեն: Համաձայն Ֆուրիեի

թեորեմի՝ T պարբերությամբ յուրաքանչյուր պարբերական տատանման շե-

ղում կարելի է ներկայացնել որպես այնպիսի ներդաշնակ տատանումների

շեղումների գումար, որոնց պարբերություններն են՝ T, T/2, T/3, T/4 և այլն (հա-

ճախությունները՝ o, 2o, 3o, 4o և այլն): Այս հաճախություններից ամենա-

ցածրը՝ o-ն, անվանում են հիմնական հաճախություն, հիմնական o հաճա-

խությամբ տատանումը՝ առաջին հարմոնիկ կամ հիմնական տոն, իսկ 2o,

3o, 4o և այլ հաճախություններով տատանումները՝ բարձր կարգի հարմո-

նիկներ կամ օբերտոններ (գերմաներեն ՙօբեր՚՝ բարձր, վերին բառից):

Ֆուրիեի թեորեմը հնարավորություն է տալիս կամայական պարբերա-

կան մեծություն ներկայացնել ներդաշնակորեն փոփոխվող մեծությունների

գումարով:

Օգտվելով Ֆուրիեի թեորեմից՝ կարող ենք բացատրել, թե ինչու է ռեզո-

նանս առաջանում ոչ միայն ճոճանակի սեփական հաճախությամբ փոփոխ-

վող պարբերական ուժի դեպքում, այլ նաև, երբ ուժի փոփոխման հաճախու-

թյունը 2, 3, 4, ® անգամ գերազանցում է այդ հաճախությունը: Մասնավորապես,

երբ ուժի փոփոխման պարբերությունը 2T է, ապա հիմնական հարմոնիկի

(հիմնական տոնի) հաճախությունը կլինի 1 2T = o 2, իսկ հաջորդ՝ բարձր

հարմոնիկինը (առաջին օբերտոնինը)՝ 2

$ o

2 = o: Հետևաբ ար՝ այս դեպք ում

ռեզոնանս է առաջանում, երբ առաջին օբերտոնի հաճախությունն է համընկ-

նում ճոճանակի սեփական հաճախությանը:

ԳԼՈՒԽ

X. ՄԵԽԱՆԻԿԱԿԱՆ ՏԱՏԱՆՈՒՄՆԵՐ ԵՎ ԱԼԻՔՆԵՐ

219

Այսպիսով՝ պարբերաբար, բայց ոչ ներդաշնակորեն փոփոխվող ուժը

ռեզոնանս է առաջացնում այն դեպքերում, երբ ուժի փոփոխման կա°մ հիմ-

նական հարմոնիկի, կա°մ որևիցե օբերտոնի հաճախությունը համընկնում է

տատանողական համակարգի սեփական հաճախության հետ:

177-րդ նկարում պատկերված են եր-

կու ներդաշնակ տատանումների՝ առա-

ջին հարմոնիկի (հիմնական տոնի) և

առաջին օբերտոնի տատանագրերը

(կետագծերով նշված գրաֆիկներ): Այդ

տատանումների հաճախություններն

իրարից տարբերվում են երկու անգամ:

Տատանումների գումար արդյունարար

տատանման գրաֆիկը պատկերված է

Նկ. 177. Ներդաշնակ տատանումների՝

առաջին հարմոնիկի (հիմնական

հոծ գծով: Արդյունարար տատանման

տոնի) և առաջին օբերտոնի գու-

պարբերությունը հավասար է առաջին

մար արդյունարար տատանման

հարմոնիկի (հիմնական տոնի) պարբե-

րությունը, բայց այդ տատանումը, ինչ-

տատանում

պես երևում է նկարից, ոչ ներդաշնակ է:

Հարցեր և առաջադրանքներ

Ե±րբ է դիտվում ռեզոնանս ճոճանակի գնդիկին ոչ ներդաշնակ, բայց պարբերաբար

փոփոխվող ուժով ազդելիս: 2. Ճոճանակի գնդիկի վրա ազդում է o = 1 T հաճախու-

թյամբ պարբերական, ոչ ներդաշնակորեն փոփոխվող ուժ: Կդիտվի± արդյոք ռեզոնանս,

երբ ճոճանակի սեփական տատանումների պարբերությունը՝ ա) 2T է, բ) T / 2 է: 3. Պարբե-

րական, ոչ ներդաշնակ տատանումները ներկայացնող ներդաշնակ տատանումներից ո՞րն

է կոչվում առաջին հարմոնիկ (հիմնական տոն), և որո±նք՝ բարձր հարմոնիկներ (օբերտոն-

ներ): 4. Հիմնվելով Ֆուրիեի թեորեմի վրա՝ բացատրեք ռեզոնանսի առաջացումը, երբ T

սեփական պարբերությամբ տատանողական համակարգի վրա ազդում է ոչ ներդաշնակ,

2T պարբերությամբ փոփոխվող ուժ:

ԱՌԱՁԳԱԿԱՆ ԴԵՖՈՐՄԱՑԻԱՅԻ ՏԱՐԱԾՈՒՄԸ

ՄԻՋԱՎԱՅՐՈՒՄ: ԱԼԻՔՆԵՐ: ԵՐԿԱՅՆԱԿԱՆ

74.

ԵՎ ԼԱՅՆԱԿԱՆ ԱԼԻՔՆԵՐ: ԱԼԻՔԻ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄԸ

Մեխանիկական ալիքների մասին նախնական պատկերացումներ ստացել

եք 8-րդ դասարանի ֆիզիկայի դասընթացն ուսումնասիրելիս: Բայց ՙի՞նչ է ալիքը՚

հարցին պատասխանելուց առաջ վերհիշեք, թե ի՞նչ է ձեզ արդեն հայտնի ալիքնե-

րի մասին: Գիտեք, որ ալիք կարող է առաջանալ միայն նյութական (պինդ, հեղուկ

կամ գազային) միջավայրում, ընդ որում« ալիքի հետ ՙտեղափոխվում՚ է և° էներ-

գիա, և° իմպուլս: Հայտնի է, որ տարածության մեջ, մի տեղից մյուսը, էներգիան և

իմպուլսը կարող են ՙտեղափոխվել՚ երկու եղանակով.

ա) միջավայրի մասնիկների (նյութի) տեղափոխմամբ,

բ) միջավայրի մասնիկների փոխազդեցության հետևանքով. այս դեպքում

ալիքի հետ մասնիկներ չեն տեղափոխվում: Պարզապես

արտաքին ուժերի

220

ՖԻԶԻԿԱ 10

ազդեցությամբ միջավայրի մասնիկները շեղվում են իրենց սկզբնական (հավա-

սարակշռության) դիրքերից, որի հետևանքով միջավայրը դեֆորմացվում է: Մի-

ջավայրի դեֆորմացված տեղամասն օժտվում է պոտենցիալ էներգիայով: Բայց

դեֆորմացիան, ՙչի մնում՚ իր տեղում, այլ փոխանցվում է տեղամասից տեղամաս՝

իր հետ ՙտեղափոխելով՚ էներգիա:

Միջավայրում առաձգական դեֆորմացիայի տարածման պրոցեսն

անվանում են ալիքային պրոցես կամ, պարզապես, ալիք:

Թեև ալիքային պրոցեսին մասնակ-

ցում են միջավայրի բոլոր մասնիկները՝ տա-

տանվելով տարբեր փուլերով, բայց հաճախ

ասում են նաև, որ ՙմիջավայրում տարած-

վում են տատանումներ՚, կամ ՙմիջավայ-

րում տարածվում է ալիք՚: Այսպես արտա-

հայտվելով, սակայն, միշտ պետք է նկատի

ունենալ, որ տարածվում է ոչ թե տատանու-

մը կամ ալիքը, այլ դեֆորմացիան:

Եթե միջավայրի մասնիկների տատա-

նումները տեղի են ունենում դեֆորմացիայի

տարածման ուղղությամբ,

ապա

ալիքն

Նկ. 178. Սեղմման և ձգման

անվանում են երկայնական ալիք: Երկայ-

դեֆորմացիաների տարածումը

զսպանակում: Զսպանակի 7-րդ գալարին

նական ալիքներ դիտվում են պինդ, հեղուկ

արված նշանը (կետը) հնարավորություն է

կամ

գազային միջավայրերում:

178-րդ

տալիս հետևելու նրա շարժմանը:

նկարում, օրինակ, պատկերված է սեղմման

զսպանակում, երբ վերջինս մի ծայրից սեղմում և ապա բաց են թողնում:

Լայնական ալիքում մասնիկները տատանվում են միջավայրի դեֆորմա-

ցիայի տարածման ուղղությանն ուղղահայաց: Լայնական ալիքներ կարող են տա-

րածվել միայն պինդ մարմնում:

Ալիքային պրոցեսում միջավայրի դեֆորմացիան ՙտեղափոխվում՚ է ոչ թե

ակնթարթորեն, այլ որոշակի արագությամբ:

Դարձյալ դիտարկենք 178-րդ նկարում պատկերված զսպանակում ՙսեղմում-

ձգումների՚ տարածման պրոցեսը՝ ենթադրելով, սակայն, որ զսպանակի O ծայրը

զսպանակի երկայնքով ուղղված Ox առանցքով տատանում ենք ներդաշնակորեն՝

= Asin~t

օրենքով« որտեղ y₀ -ն զսպանակի O ծայրի շեղումն է:

Զսպանակում կծագեն երկայնական ալիքներ՝ ՙսեղմման-ձգման՚ դեֆորմա-

ցիան կհաղորդվի զսպանակի երկայնքով: Զսպանակի այն գալարը, որը նրա ծայ-

րից ունի x հեռավորություն, կկատարի նույնպիսի տատանումներ՝ սակայն ժա-

մանակի մեջ հետ մնալով: Այդ ուշացումը պայմանավորված է այն անհրաժեշտ

ժամանակով, որ դեֆորմացիան անցնի x հեռավորություն: Ուշացման ժամանա-

կը x v է, որտեղ v-ն Ox առանցքի երկայնքով դեֆորմացիայի տարածման ալիքի

արագությունն է: x հեռավորությամբ կետը ժամանակի t պահին կունենա այնպիսի

ԳԼՈՒԽ

X. ՄԵԽԱՆԻԿԱԿԱՆ ՏԱՏԱՆՈՒՄՆԵՐ ԵՎ ԱԼԻՔՆԵՐ

221

շեղում, ինչպիսին ուներ O սկզբնակետը x v ժամանակ առաջ, այսինքն՝ t - x v

պահին: Այսպիսով՝ O սկզբնակետից x հեռավորությամբ կետը կտատանվի

y = Asin8~`t

(10.28)

օրենքով:

(10.28) բանաձևն

անվանում են

ալիքի հավասարում: Քանի որ

~ = 2r

որտեղ T-ն տատանումների պարբերությունն է, ապա (10.28) բանաձևի

փոխարեն կարող ենք գրել՝

y = Asin82r`

- jB:

(10.29)

(10.29) բանաձևից հետևում է, որ ժամանակի միևնույն՝ t պահին զսպանա-

կի տարբեր մասնիկներ, ընդհանրապես ասած, ունեն տարբեր y շեղումներ: Բայց

զսպանակի այն մասնիկները, որոնց միջև հեռավորությունը vT է, ժամանակի յու-

րաքանչյուր պահի կունենան միևնույն շեղումը, քանի որ ՙսինուս՚ ֆունկցիայի

արգումենտները կտարբերվեն 2r-ով: vT հեռավորությունն անվանում են ալիքի

երկարություն և նշանակում են m տառով՝

m = vT:

(10.30)

Ըստ (10.30) բանաձևի՝ ալիքի երկարությունն այն ճանապարհն է, որն անց-

նում է զսպանակի ձգման-սեղմման դեֆորմացիան մեկ պարբերության ընթաց-

քում: Նկատի ունենալով (10.30) բանաձևը՝ (10.29) առնչությունից կստանանք՝

y = Asin82r`

- jB

(10.31)

Զսպանակի բոլոր մասնիկները տատանվում են միևնույն լայնույթով, բայց,

ընդհանրապես, տարբեր փուլերով: Զսպանակի յուրաքանչյուր կետ կատարում

է ներդաշնակ տատանումներ: Եթե զսպանակի երկայնքով շարժվենք v արագու-

թյամբ, ապա ոչ մի տատանում չենք նկատի: Զսպանակի բոլոր այն մասնիկները,

որոնք յուրաքանչյուր պահի մեր դիմաց են, կու-

նենան միևնույն շեղումը:

Եթե մասնիկի շեղումը փոփոխվում է (10.31)

բանաձևով արտահայտվող օրենքով, ապա այդ

մասնիկի արագությունը, համաձայն (10.6) առն-

չության, կփոփոխվի

vx= A~cos82r`

- jB

(10.32)

օրենքով: Դիտարկվող մասնիկի արագությունը

կետից կետ փոփոխվում է նույն օրենքով, ինչ

շեղումը, բայց մասնիկի շեղման և արագության

փոփոխությունները

(տատանումները)« ըստ

Նկ. 179. Հարկադրող ուժի ազդեցու-

թյամբ լարի x

կոորդինատով

փուլի« տարբերվում են r 2-ով: Օրինակ՝ երբ

ծայրը (ալիքի աղբյուրը) կատարում

այդ մասնիկի արագությունը դառնում է առավե-

է T պարբերությամբ վերև-ներքև

լագույնը, շեղումը հավասարվում է զրոյի:

ուղղված ներդաշնակ տատանում-

Զսպանակի

դեֆորմացիայի տարածմա-

ներ: A-ն տատանումների լայնույթն

է, m-ն՝ ալիքի երկարությունը:

նը զուգընթաց տարածվում է նաև մասնիկների

222

ՖԻԶԻԿԱ 10

արագությունը: Դեֆորմացիայով պայմանավորված է զսպանակի պոտենցիալ

էներգիան, իսկ մասնիկների արագություններով՝ կինետիկ էներգիան: Կարող ենք

ասել, որ զսպանակի դեֆորմացված տարրերն իրենց պոտենցիալ և կինետիկ էներ-

գիաները փոխանցում են հարևան տարրերին և այդպես շարունակ: Էներգիան

ՙտեղափոխվում՚ է զսպանակի երկայնքով նույն արագությամբ, ինչ արագությամբ

տարածվում է ալիքը:

179-րդ նկարում պատկերված է առաձգական լարում առաջացող ալիքը,

երբ լարի մի ծայրը, հարկադրող ուժի ազդեցությամբ, կատարում է ներդաշնակ

տատանումներ: Նկարում պատկերված են լարի դիրքերը t = 0, T/4, T/2, 3T/4 և T

պահերին: Նկարից պարզորոշ երևում է, որ t = T 2 պահին ալիքային պրոցեսով

ընդգրկված լարի մասնիկների շարժումները կրկնում են t = 0 պահին նույն մաս-

նիկների շարժումները՝ միայն հակառակ ընթացքով:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ի՞նչ

եղանակներով կարող են տարածվել էներգիան և իմպուլսը տարածության մեջ:

2. Ո±ր պրոցեսն են անվանում ալիք: 3. Ո±ր ալիքն են անվանում երկայնական: Ինչպիսի՞

միջավայրերում է դիտվում երկայնական ալիքը: 4. Ո±ր ալիքն են անվանում լայնական:

Ինչպիսի՞ միջավայրերում է դիտվում լայնական ալիքը: 5. Ո±ր ալիքն է կոչվում ներդաշ-

նակ: 6. Գրե°ք ալիքի աղբյուրից x հեռավորությամբ միջավայրի մասնիկի տատանում-

ների շեղման բանաձևը (ալիքի հավասարումը): 7. Ի՞նչ է ալիքի երկարությունը: Ո±ր

բանաձևով են այն հաշվում: 8. Ի՞նչ բանաձևով է նկարագրվում միջավայրի մասնիկների

արագությունը, երբ միջավայրում տարածվում է ներդաշնակ ալիք: 9. Որքա±ն է առաձ-

գական միջավայրի մասնիկների շեղման և արագության տատանումների փուլերի տար-

բերությունը: Ի՞նչ է դա նշանակում:

ԱԼԻՔՆԵՐԸ ՀՈԾ ՄԻՋԱՎԱՅՐՈՒՄ:

75.

ՀԱՐԹ ԵՎ ԳՆԴԱՅԻՆ ԱԼԻՔՆԵՐ

Զսպանակում կամ նմանօրինակ այլ միջավայրում՝ ձողում կամ լարում«

դեֆորմացիան կարող է տարածվել միայն մեկ՝ որոշակի ուղղությամբ: Իսկ մեծ

չափերի առաձգական մարմնում« օրինակ« ջրում կամ օդում, դեֆորմացիան

տարածվում է բոլոր ուղղություններով՝ ընդգրկելով տարածության ավելի ու

ավելի մեծ տիրույթներ: Ալիքով ՙտեղափոխվող՚ էներգիայի ծավալային

խտությունը, բնականաբար, նվազում է: Ակներև է, որ այդ դեպքում փոքրա-

նում է միջավայրի մասնիկների պարբերական տատանումների լայնույթը:

Միայն առանձին դեպքերում, երբ միջավայրն ընդգրկված է այսպես կոչ-

ված հարթ ալիքային պրոցեսով (այլ կերպ ասած՝ միջավայրում տարած-

վում է հարթ ալիք), ալիքի լայնույթը մնում է անփոփոխ: Այդպիսի հարթ ալիք

կստանանք, եթե առաձգական միջավայրում տեղադրենք մեծ չափերով հարթ

առաձգական թիթեղ, որը տատանվում է թիթեղի հարթությանն ուղղահայաց

ուղղի երկայնքով: Միջավայրի՝ թիթեղին հպվող բոլոր մասնիկները կկատա-

րեն միևնույն լայնույթով և փուլով տատանումներ: Այդ տատանումների հե-

տևանքով միջավայրում առաջացող դեֆորմացիան տարածվում է թիթեղին

ուղղահայաց ուղղությամբ: Միջավայրի այն մասնիկները, որոնք թիթեղին զու-

գահեռ կամայական հարթության մեջ են, տատանվում են միևնույն փուլով:

ԳԼՈՒԽ

X. ՄԵԽԱՆԻԿԱԿԱՆ ՏԱՏԱՆՈՒՄՆԵՐ ԵՎ ԱԼԻՔՆԵՐ

223

Թիթեղին զուգահեռ այդ հարթությունները, հետևաբար, կոչվում են հավա-

սար փուլի կամ ալիքային մակերևույթներ: Երկու ալիքային մակերևույթ-

ների միջև պարփակված՝ ալիքի հետ տարածվող էներգիան միշտ զբաղեց-

նում է միևնույն ծավալը: Ուստի՝ էներգիայի խտությունը հարթ ալիքում մնում

է անփոփոխ, հետևաբար՝ անփոփոխ է մնում նաև ալիքի լայնույթը: Այդ է

պատճառը, որ հարթ ալիքի և զսպանակի երկայնքով տարածվող ալիքի հա-

y = Asin8~`t

jB,

որտեղ x-ը հեռավորությունն է թիթեղից (ալիքի աղբյուրից), իսկ v-ն՝ ալիքի

արագությունը:

Պարզելու համար, թե ինչպես է ալիքի լայնույթը փոփոխվում միջավայ-

րում դեֆորմացիայի տարածման ժամանակ, կարելի է օգտվել ալիքի լայնույ-

թի և էներգիայի խտության կապն արտահայտող առնչությունից: Առաձգա-

կան դեֆորմացիայի պոտենցիալ էներգիայի խտությունը համեմատական է

դեֆորմացիայի չափի (օրինակ՝ երկարացման) քառակուսուն, իսկ կինետիկ

էներգիայի խտությունը՝ արագության քառակուսուն, ուստի՝ ալիքով տարած-

վող էներգիայի խտությունը համեմատական է ալիքի լայնույթի քառակուսուն«

քանի որ մասնիկների շեղումների լայնույթները և մասնիկների արագություն-

ների լայնույթներն իրար համեմատական են: Ուրեմն՝ գիտենալով, թե ինչպես

է փոփոխվում ալիքի էներգիայի խտությունը, կարելի է ասել, թե ինչպես է

փոփոխվում ալիքի լայնույթը:

Դիցուք՝ տարածության ուսումնասիրվող տիրույթը բավականաչափ հե-

ռու է ալիքի աղբյուրից: Այդ դեպքում կարելի է անտեսել աղբյուրի չափերը

վերջինիս և ուսումնասիրվող տիրույթի r հեռավորության համեմատությամբ:

Այդպիսի աղբյուրն անվանում են կետային:

Ենթադրենք՝ կետային աղբյուրից առաձգական դեֆորմացիան տարած-

վում է բոլոր ուղղություններով: Այլ կերպ ասած՝ միջավայրն ընդգրկված է կե-

տային աղբյուրից սկիզբ առնող ալիքային պրոցեսով: Միջավայրի բոլոր այն

մասնիկները, որոնք ալիքի կետային աղբյուրից ունեն նույն հեռավորությու-

նը, ժամանակի յուրաքանչյուր պահի կունենան տատանումների միևնույն

փուլը: Ուրեմն՝ ամեն մի գնդային մակերևույթ, որի կենտրոնում ալիքի կե-

տային աղբյուրն է, ալիքային մակերևույթ է: Այդպիսի ալիքային մակերևույթ

ունեցող ալիքներն անվանում են գնդային: Հետևաբար՝ կետային աղբյուրից

սկիզբ առնող ալիքները գնդային ալիքներ են:

Ընտրենք երկու՝ իրարից որոշակի հեռավորությամբ ալիքային մակե-

րևույթներ, և հետևենք, թե ինչպես է ՙտեղափոխվում՚ այդ մակերևույթների

միջև պարփակված ալիքի էներգիան: Այդ էներգիան, ինչպես տեսանք, տա-

րածվում է ալիքի հետ մեկտեղ, հետևաբար՝ միշտ զբաղեցնում է ալիքային

մակերևույթներով սահմանափակված՝ անփոփոխ հաստությամբ գնդային

թաղանթի ծավալ« որը ալիքի տարածմանը զուգընթաց, աճում է r² -ուն հա-

մեմատականորեն: Ուստի՝ ալիքի էներգիայի խտությունը նվազում է հակա-

դարձ համեմատական r² -ուն: Քանի որ ալիքի էներգիան համեմատական է

224

ՖԻԶԻԿԱ 10

ալիքի լայնույթի քառակուսուն, ապա ալիքի լայնույթը

կնվազի 1 r օրենքով: Հետևաբար՝ եթե ալիքի կետա-

յին աղբյուրից միավոր հեռավորությամբ կետերում

ալիքի լայնույթը A է, ապա r հեռավորությամբ կետե-

րում այն կլինի A r , այսինքն՝ միջավայրի մասնիկնե-

րի տատանումները տեղի կունենան

y = AR sin8~`t

(10.33)

օրենքով: (10.33) արտահայտությունը գնդային ալիքի

Նկ. 180. S կետային

հավասարումն է: Գնդային ալիքներ կարող են առա-

աղբյուրից տարած-

ջանալ նաև այն դեպքում, երբ առաձգական միջավայ-

վող ալիքի լայնույթը

R շառավղով գնդային րում զետեղենք գունդ, որը համաչափորեն պարբերա-

մակերևույթի բոլոր

բար սեղմվում-ընդարձակվում է: Միջավայրի՝ գնդի

կետերում AR է, r >R

մակերևույթին հարող մասնիկներն այդ դեպքում կա-

շառավղով գնդային

տարում են միատեսակ տատանողական շարժումներ՝

մակերևույթին՝ ARR/r:

գնդի շառավիղներն ընդգրկող ուղղություններով: Այդ

տատանողական շարժումներով պայմանավորված՝ միջավայրի սեղմում-ըն-

դարձակումներն էլ կտարածվեն՝ առաջացնելով գնդային ալիքներ:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ո±ր ալիքն են անվանում հարթ: Ինչպե՞ս կարելի է առաձգական միջավայրում առա-

ջացնել հարթ ալիք: 2. Ի՞նչ է ալիքային մակերևույթը: 3. Գրե°ք հարթ ալիքի հավասարու-

մը: 4. Ո±ր ալիքի աղբյուրն է կոչվում կետային: 5. Ո±ր ալիքն են անվանում գնդային: Ինչ-

պե±ս կարելի է առաջացնել գնդային ալիքներ: 6. Հիմնավորե°ք, թե աղբյուրից հեռանալիս

ինչու± է նվազում գնդային ալիքի լայնույթը: 7. Գրե°ք գնդային ալիքի հավասարումը:

ՁԱՅՆԱՅԻՆ ԱԼԻՔՆԵՐ: ՁԱՅՆԻ ԱՐԱԳՈՒԹՅՈՒՆ:

ՁԱՅՆԻ ՈՒԺԳՆՈՒԹՅՈՒՆ, ՏՈՆԻ ԲԱՐՁՐՈՒԹՅՈՒՆ:

76.

ԵՆԹԱՁԱՅՆ ԵՎ ԱՆԴՐԱՁԱՅՆ: ԱՐՁԱԳԱՆՔ

8-րդ դասարանի ֆիզիկայի դասընթացից գիտեք, որ եթե հոծ առաձգական

միջավայրում (օրինակ՝ օդում) մեխանիկական ալիքի աղբյուրը տատանվում է 16

Հց-ից մինչև 20 կՀց հաճախությամբ, ապա այդ միջավայրում առաջացող ալիքն

անվանում են ձայնային ալիք, իսկ ալիքի աղբյուրը՝ ձայնի աղբյուր: Նշված միջա-

կայքին պատկանող հաճախություններն անվանում են ձայնային:

Ձայնի աղբյուր կարող է լինել ձայնային հաճախությամբ տատանվող կամա-

յական մարմին: Եթե, օրինակ, մուրճիկով հարվածենք կամերտոնին և նրա ոտիկին

մոտեցնենք թելից կախված փոքրիկ գնդիկը, ապա կամերտոնի արձակած ձայ-

նը կլսենք այնքան ժամանակ, քանի դեռ գնդիկը, դիպչելով կամերտոնին, հետ է

ՙցատկում՚: Դիտվող երևույթը խոսում է կամերտոնի տատանումների մասին:

Ձայնի աղբյուրի ազդեցությամբ աղբյուրին հպվող օդի շերտերը դեֆոր-

մացվում են, որի հետևանքով փոխվում է այդ շերտերում օդի ճնշումը (բնակա-

նաբար՝ նաև խտությունը): Եթե մինչև դեֆորմացիան օդի ճնշումը p₀ էր, ապա

դեֆորմացվելիս նրա ճնշումը փոփոխվում է՝ կախված ինչպես ժամանակից, այն-

ԳԼՈՒԽ

X. ՄԵԽԱՆԻԿԱԿԱՆ ՏԱՏԱՆՈՒՄՆԵՐ ԵՎ ԱԼԻՔՆԵՐ

225

Նկ. 181. Օդում առաջացող ձայնային ալիքում խտացումների

և նոսրացումների տարածման պատկերը

պես էլ կոորդինատներից: Հետևաբար՝ օդում լրիվ ճնշումը՝ p = p + Dp, որտեղ

-ն այն լրացուցիչ ճնշումն է, որն առաջանում է օդում ձայնային ալիք տարած-

վելիս: Ճնշման փոփոխությունն այդ շերտերում առաջացնում է հարակից շերտե-

րի դեֆորմացիա, ապա՝ ճնշման (խտության) փոփոխություն, և այդպես շարունակ:

Օդի դեֆորմացիան՝ խտացումներ-նոսրացումները« տարածվում է ձայնի աղբյու-

րից ավելի ու ավելի հեռու՝ ընդգրկելով օդի նորանոր շերտեր (նկ. 181): Հասնելով

մեր ականջին՝ օդի դեֆորմացիայի ալիքը թմբկաթաղանթին առաջացնում է օդի

ճնշման փոփոխություն. թմբկաթաղանթն սկսում է տատանվել ձայնի աղբյուրի

տատանումների հաճախությամբ, և մենք լսում ենք

աղբյուրի արձակած ձայնը:

Վակուումում ձայնային ալիքները չեն կարող տա-

րածվել: Դրանում համոզվելու համար կարելի է էլեկտ-

րական զանգը տեղավորել օդահան պոմպի զանգի

տակ (նկ. 182): Զանգի տակ օդի ճնշման փոքրացմա-

նը զուգընթաց ձայնը թուլանում է մինչև ամբողջու-

թյամբ մարելը:

Թաղիքը, ծակոտկեն պանելները, մամլած խցա-

նը և այլն ձայնի վատ են հաղորդիչներ են: Այդ նյու-

Նկ. 182. Օդահան պոմպի մեջ

դրված զանգի փորձի (Բոյլի

թերն օգտագործում են շենքերի ձայնամեկուսացման

փորձ) սխեման

համար:

Ձայնի արագություն: Ձայնային ալիքները, լինելով երկայնական մեխանի-

կական ալիքներ, նույնպես տարածվում են վերջավոր արագությամբ:

Օգտվելով չափայնությունների մեթոդից՝ գնահատենք այդ արագությունը:

Որևէ ֆիզիկական մեծության չափայնությունն այդ մեծության միավորի ար-

տահայտությունն է հիմնական ֆիզիկական մեծությունների միավորներով: Միա-

վորների ՄՀ-ում հիմնական ֆիզիկական մեծությունները յոթն են, որոնցից մեխա-

նիկայում գործածվում են երեքը՝ երկարություն (l ), զանգված (m) և ժամանակ (t ):

Հիմնական ֆիզիկական մեծությունների միավորները, սովորաբար, արտահայ-

տում են պայմանանշաններով՝ [l] = L,

[m] = M,

[t] = T և այլն: 2-րդ աղյուսա-

կում ներկայացված են մի քանի մեխանիկական մեծությունների չափայնություն-

ները:

Փորձերից հայտնի է, որ ձայնի v արագությունը կախված է գազի p ճնշումից

և t խտությունից: Հետևաբար՝ կարելի է գրել

t ,

(10.34)

որտեղ x-ը և y-ն անհայտ ցուցիչներ են, որոնք հարկավոր է որոշել: Ակներև է, որ

(10.34) առնչության ձախ և աջ մասերի չափայնությունները պետք է լինեն նույնը,

226

ՖԻԶԻԿԱ 10

Աղյուսակ 2

Մեխանիկական մեծությունների չափայնությունները

Հիմնական մեծությունների

Պայմանանշաններով

միավորներով

Ֆիզիկական մեծություն

արտահայտված

չափայնությունը

Արագություն, v

մ/վ

LT^-1

Մակերես, S

մ²

L²

Խտություն, t

կգ/մ³

ML^-3

Ուժ, F

Ն = կգ մ/վ²

MLT^-2

Ճնշում, p

Ն/մ² = կգ/(մվ²)

ML^-1T^-2

այսինքն՝ [v]

$ t

]

[p]

]: Օգտվելով 2-րդ աղյուսակից, կունենանք՝

-1

Mx+yL x

-2x,

որտեղից x + y = 0, - 2x = - 1, - x - 3y = 1: Առաջին և երկրորդ հավասարում-

ներից x = 1 2, y = -1 2« որոնք բավարարում են նաև երրորդ հավասարումը:

Այսպիսով՝ v + p12$

, հետևաբար՝ կարող ենք գրել՝

v = C

(10.35)

որտեղ C անորոշ չափազուրկ գործակիցը որոշվում է փորձով: Օրինակ՝ օդի հա-

մար 0 C ջերմաստիճանում C . 1, 2, այնպես որ ձայնի արագությունն օդում

0 C-ում մոտավորապես 331 մ/վ է:

Ձայնի ուժգնություն, տոնի բարձրություն: Ձայնային ալիքի կարևոր բնու-

թագրերից է ձայնի ուժգնությունը, որը ձայնի տարածմանն ուղղահայաց, միա-

վոր մակերեսով հարթակով միավոր ժամանակում անցնած ձայնային ալիքի էներ-

գիան է: Ձայնի ուժգնությունը նշանակելով I տառով՝ կարող ենք գրել՝

(10.36)

որտեղ E-ն t ժամանակում S մակերեսով հարթակով անցնած ձայնային ալիքի

ուժգնությունն է, որ արտահայտվում է Վտ/մ² միավորով: Ձայնի ուժգնությունը

ձայնային ալիքի օբյեկտիվ բնութագիր է և կախված է ձայնի աղբյուրի տատա-

նումների լայնույթից:

Հասնելով լսողության օրգանին և ազդելով նրա վրա՝ ձայնային ալիքն առաջ

է բերում լսելիության սուբյեկտիվ զգացողություն: Առանձին մարդիկ և նույնիսկ

նույն մարդը տարբեր պայմաններում տարբեր կերպ են ընկալում միևնույն ուժգ-

նության ձայնը: Ձայնային ալիքի այն ուժգնությունը, որ գնահատում է մարդու լսո-

ղության օրգանը, անվանում են ձայնի սաստկություն:

Եթե ձայնի աղբյուրը տատանվում է մեկ որոշակի հաճախությամբ, ապա նրա

արձակած ձայնը կոչվում է պարզ ձայն կամ երաժշտական տոն: Տարբեր հա-

ճախությամբ տոներ տարբեր ազդեցություն են ունենում մեր լսողության օրգանի

վրա: Որքան մեծ է տոնի հաճախությունը, այնքան այդ տոնը բարձր ենք անվա-

ԳԼՈՒԽ

X. ՄԵԽԱՆԻԿԱԿԱՆ ՏԱՏԱՆՈՒՄՆԵՐ ԵՎ ԱԼԻՔՆԵՐ

227

նում: Ընդհակառակը, փոքր հաճախությամբ տոներն առաջ են բերում ցածր ձայնի

զգացողություն: Ձայնի սաստկությունը և տոնի բարձրությունը մարդու ընկալած

ձայնի բնութագրերն են, այլ կերպ ասած՝ ձայնի սուբյեկտիվ բնութագրերը:

(10.35) բանաձևից հետևում է, որ գազում ձայնի արագությունը հակադարձ

համեմատական է գազի մոլային զանգվածի քառակուսի արմատին: Հետևա-

բար՝ ձայնի արագությունն առավել մեծ է ջրածնում: 0 C-ում այն 1270 մ/վ է, իսկ

ածխաթթու գազում՝ 258 մ/վ:

Ջրում ձայնի տարածման արագությունը մի քանի անգամ ավելի մեծ է, քան

օդում: Այսպես՝ 8 C - ում այն 1435 մ/վ է:

Որպես կանոն՝ պինդ մարմիններում ձայնի տարածման արագությունն ավելի

մեծ է, քան հեղուկներում: Օրինակ՝ պողպատում ձայնի արագությունը 15 C-ում

4980 մ/վ է: Որ ձայնի արագությունը պինդ մարմնում ավելի մեծ է, քան օդում, կա-

րելի է հայտնաբերել այսպես: Եթե ձեր ընկերը հարվածի ռելսի մի ծայրին, իսկ

դուք ականջը դնեք մյուս ծայրին, ապա կլսեք երկու հարվածի ձայն: Սկզբում ձայ-

նը ձեր ականջին է հասնում ռելսով, իսկ հետո՝ օդով:

Ենթաձայն և անդրաձայն: 16 Հց-ից փոքր և 20000 Հց-ից մեծ հաճախու-

թյան մեխանիկական ալիքները մարդը չի ընկալում որպես ձայն: 16 Հց-ից ցածր

հաճախության ալիքներն անվանում են ենթաձայն, իսկ 20000 Հց-ից բարձրը՝ անդ-

րաձայն: Ինչպես ենթաձայնը, այնպես էլ անդրաձայնը բնության մեջ ունեն իրենց

դրսևորումները և կիրառությունները:

Ենթաձայնային տատանումների ուսումնասիրությամբ հաստատվել է, որ

փոթորկի ժամանակ ծովում առաջանում են 813 Հց հաճախությամբ ենթաձայ-

նային ալիքներ, որոնց արագությունը զգալիորեն գերազանցում է փոթորկի տե-

ղաշարժման (20 -30մ/վ) արագությունը, և, հետևաբար, ենթաձայնային ալիքներն

առաջ են ընկնում փոթորիկից և դառնում նրա մոտեցման ազդանշան: Ձկնորսնե-

րը, ծովափնյա շրջանների բնակիչները վաղուց ի վեր նկատել են, որ ծովային շատ

կենդանիներ և թռչուններ նախօրոք զգում են մոտալուտ փոթորիկը: Դելֆիններն,

օրինակ, լողալով անցնում են ժայռերի հետևը, կետերը հեռանում են դեպի բաց

ծով: Մեդուզաները փոթորկից առաջ շտապում են հեռանալ ափերից և սուզվել

մեծ խորությամբ: Ճապոնիայում նույնիսկ տանը՝ ակվարիումներում, պահում են

ձկնիկներ, որոնք ծովամրրիկից կամ երկրաշարժից առաջ սկսում են անհանգիստ

շարժումներ անել:

Պարզվել է« որ կենդանիների նման անհանգստությունը պայմանավորված է

նրանց վրա ենթաձայնային ալիքների ազդեցությամբ:

Իսկ ինչպե՞ս են կենդանիներն ու թռչունները զգում սպասվող փոթորիկը կամ

երկրաշարժը: Պարզվում է՝ ենթաձայնի միջոցով: Մեդուզան, օրինակ, ընդունակ է

որսալու 8 13 Հց հաճախության ենթաձայնային ալիքներ: Այդ ալիքները, որոնք

լավ տարածվում են ջրում, 10 15 ժամ առաջ նրանց տեղեկացնում են սպասվող

արհավիրքի մասին:

Անդրաձայնի բազմաթիվ կիրառություններից նշենք մի քանիսը: Անդրա-

ձայնային ալիքներն օգտագործում են ձայնախորաչափ կոչվող սարքերում՝ ծո-

վի խորությունը չափելու համար: Անդրաձայնի աղբյուրն արձակում է առանձին

228

ՖԻԶԻԿԱ 10

ազդանշաններ: Անդրադառնալով հատակից՝ դրանք վերադառնում և գրանցվում

ընդունիչում: Իմանալով ազդանշանի արձակման և գրանցման միջև ընկած ժա-

մանակամիջոցը, ինչպես նաև ձայնի արագությունը ջրում, կարելի է որոշել ծովի

խորությունը:

Անդրաձայնային ալիքների գլխավոր առանձնահատկությունն այն է, որ

դրանք կարելի է դարձնել ուղղորդելի« որի շնորհիվ կարելի է կատարել տարբեր

մարմինների (օրինակ՝ սառցասար« սուզանավ և այլն) տեղորոշում:

Անդրաձայնային ալիքների անդրադարձման երևույթն օգտագործում են

մարդու ներքին օրգաններում հիվանդագին փոփոխություններ հայտնաբերե-

լու համար: Հետազոտվող օրգանի, օրինակ« ստամոքսի առջևի և հետևի պատե-

րն անդրադարձնում են անդրաձայնային ազդանշանները: Եթե ստամոքսի երկու

պատերն էլ առողջ են, ապա դրանց անդրադարձրած ալիքների ուժգնությունը

նույնն է: Ստամոքսում« ասենք« խոց լինելու դեպքում տարբեր պատերից անդրա-

դարձած ալիքների ուժգնությունները տարբերվում են, որն էլ հնարավորություն է

տալիս որոշելու, օրինակ, խոցի դիրքը և չափերը:

Արձագանք: Ձայնի արագության վերջավորությամբ և ձայնի անդրադարձ-

մամբ է պայմանավորված արձագանքը, որը որևէ արգելքից (շենքերից, բլուրնե-

րից, անտառից և այլն) անդրադարձած և աղբյուրի գրանցած ձայնային ալիքն է:

Իսկ ե±րբ է անդրադարձած ձայնը լսվում որպես արձագանք:

Հայտնի է, որ մարդու ականջն ընդունակ է պահպանելու ձայնի զգայությունը

թմբկաթաղանթի վրա ձայնի ազդեցությունը դադարելուց հետո մոտավորապես

0,06 վայրկյանի ընթացքում: Ուստի, որպեսզի կարողանանք լսել մեր ձայնի արձա-

գանքը, անհրաժեշտ է, որ այն ժամանակը, որը ծախսում է ձայնային ալիքը մինչև

արգելք գնալու և վերադառնալու համար, գերազանցի 0,06 վայրկյանը: Իսկ դա

հնարավոր է, եթե արգելքը բավական հեռու է:

Եթե մեզ հասնում են ձայնային ալիքներ, որոնք հաջորդականորեն անդրա-

դարձվել են մի քանի արգելքներից, առաջանում է բազմապատիկ արձագանք:

Ենթադրենք՝ արձագանքն աղբյուրին է հասնում մեկ անդրադարձումից հե-

տո: Ձայնի արձակման պահից մինչև արձագանքը գրանցելու պահն ընկած t ժա-

մանակամիջոցում ձայնային ալիքի անցած ճանապարհը 2l է, ուստի՝ t = 2l v,

որտեղ v-ն ձայնի արագությունն է օդում: Իմանալով այն և չափելով ժամանակը՝

ստացված բանաձևից կարող ենք հաշվել արգելքի l հեռավորությունը:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ո±ր ալիքներն են կոչվում ձայնային: 2. Ի՞նչ միջավայրում են առաջանում և տարած-

վում ձայնային ալիքները: 3. Ձայնը տարածվու±մ է արդյոք վակուումում: Պատասխանը

հիմնավորե°ք: 4. Գրե°ք օդում ձայնի տարածման արագության բանաձևը: 5. Որքա±ն է

ձայնի տարածման արագությունն օդում 0 C-ում: 6. Որտե±ղ է ձայնն ավելի արագ տա-

րածվում՝ օդու±մ« թե՞ պինդ մարմնում: 7. Ո±րն է կոչվում երաժշտական տոն: 8. Որո±նք

են ձայնի սուբյեկտիվ բնութագրերը: 9. Ի՞նչ են ենթաձայնը և անդրաձայնը: 10. Ինչպե՞ս

կարելի է չափել ծովի խորությունը: 11. Ի՞նչ է արձագանքը:

ԳԼՈՒԽ

X. ՄԵԽԱՆԻԿԱԿԱՆ ՏԱՏԱՆՈՒՄՆԵՐ ԵՎ ԱԼԻՔՆԵՐ

229

Խնդիրների լուծման օրինակներ

1. Ox

առանցքի երկայնքով ներդաշնակորեն տատանվող մասնիկի շեղումը

տրվում է x (t) = 0, 24 cos (4rt - r 6) օրենքով: Որոշել՝ ա) տատանումների հաճա-

խությունը և պարբերությունը, բ) մասնիկի շեղումը և արագությունը t = 0 պահին,

գ) մասնիկի արագությունը և արագացումը t = 1 վ պահին:

Լուծում: ա) x(t)-ն համեմատելով (10.4) բանաձևի հետ՝ կստանանք, որ հաճախու-

թյունը՝ o =2 Հց, իսկ պարբերությունը՝ T = 1 o =0,5 վ:

բ) Մասնիկի շեղումը t = 0 պահին՝ x(0) = 0,24cos(r

4) r

0, 17 r: Մասնիկի

տատանողական շարժման արագությունը որոշելու համար նրա շարժման օրենքը

ներկայացնենք ՙսինուս՚ ֆունկցիայի միջոցով և օգտվենք (10.6) բանաձևից՝

x (t) = 0, 24 sin (4rt - r 4 + r 2) = 0, 24 sin (4rt + r 4)«

vx(t)

0, 24

4r$

cos (4rt

0, 96rcos (4rt

4):

Հետևաբար՝ որոնելի արագությունը՝ vx(0)

0, 96rcos (r

2, 13մ/վ:

գ) Մասնիկի արագությունը t = 1 վ պահին՝

vx(1)

0, 96rcos (4r+r

0, 96rcos (r

0, 68մ/վ:

Մասնիկի արագացումը կարող ենք հաշվարկել (10.7) բանաձևով՝

ax(t)

0, 96$4r2sin (4rt

=-3,84r2sin(4rt

4),

ax(1)

=-3, 84r2sin (r

26, 8մ/վ2:

Պատասխան՝ ա) o =2 Հց« T =0,5վ բ) x(0)=0,17մ«

vx(0)=2, 13մ/վ« գ) vx(1)=0, 68

մ/վ« ax(1)=26, 8

մ/վ²:

2. Գտնել ջրում ուղղաձիգ դիրքով լողացող գլանաձև մարմնի տատանումների

պարբերությունը, եթե նրա զանգվածն m է, իսկ լայնական հատույթի մակերեսը՝ S:

Լուծում: Երբ մարմինն ազատ լողում է, նրա վրա ազդող ծանրության և արքիմե-

դյան ուժերի համազորը զրո է: Բայց եթե մարմինը հավասարակշռության դիրքից

ուղղաձիգ ուղղությամբ շեղենք x չափով (x-ը շատ փոքր է գլանի բարձրությունից),

ապա համազոր ուժն արդեն զրո չի լինի: Դրա պրոյեկցիան ուղղաձիգ դեպի վեր

ուղղված X առանցքի վրա արտահայտվում է հետևյալ բանաձևով՝ F

gS $x,

x =-

որտեղ t-ն ջրի խտությունն է: ՙ-՚ նշանը ցույց է տալիս, որ համազոր ուժի ուղ-

ղությունը հակառակ է գլանաձև մարմնի շեղման ուղղությանը: Ուժի արտահայ-

տությունը համեմատելով վերադարձնող F = - kx ուժի արտահայտության հետ՝

կստանանք քվազիկոշտությունը՝ k = tgS , ուստի՝ տատանումների պարբերու-

թյունը՝

tgS

Պատասխան՝ T = 2r m tgS :

3. Տատանումների աղբյուրից x = 4 սմ հեռավորությամբ կետի շեղումը հավասա-

րակշռության դիրքից պարբերության 1/6 մասին հավասար պահին հավասար է

տատանման լայնույթի կեսին: Գտնել ալիքի երկարությունը:

Լուծում: y = Asin~(t - x v) ալիքային հավասարման մեջ տեղադրելով

=2r

և m = vT

արտահայտությունները՝ կստանանք՝ y = A sin (2rt T -2 rx vT ) =

230

ՖԻԶԻԿԱ 10

= Asin(2rt T -2rx

m):

Ըստ պայմանի՝ A 2 = A sin (2rT 6T -2rx

m),

կամ

1 2 = sin(r

3-2rx

m), որտեղից՝ r 3 - 2rx m = r 6, այսինքն՝ m =12x = 0,48 մ:

Պատասխան՝ m =0,48մ:

Դիցուք՝ m զանգվածով գնդիկն ամրացված է

աննշան զանգվածով և l երկարությամբ բարակ ձո-

ղի ծայրին: Շեղման փոքր անկյունների դեպքում

այդպիսի

ճոճանակի շրջանային հաճախությու-

նը կորոշվի

~0= g l արտահայտությամբ: Ճո-

ճանակին լրացուցիչ ամրացնենք k կոշտությամբ

զսպանակ: Որոշել ստացված ՙկապված՚ ճոճա-

նակի տատանումների շրջանային հաճախությունը:

Շփումն անտեսել:

Լուծում: Կապված ճոճանակի հաճախությունը որոշելու համար օգտվենք էներ-

գիայի պահպանման օրենքից: Համակարգի առավելագույն պոտենցիալ էներ-

գիան՝

mgh

kA2= mgl (1

cos{

)

l max

որտեղ h₀ -ն գնդիկի առավելագույն բարձրությունն է,

{

-ն՝ ճոճանակի առավելա-

գույն շեղման անկյունը, իսկ A₁-ն՝ զսպանակի առավելագույն ձգման (կամ սեղմ-

ման) չափը: Հաշվի առնելով, որ փոքր

{

անկյան համար sin{0

{

, կստանանք՝

A1.

{ , որտեղ a-ն հոր իզ ոն ակ ան դիրք ում զսպան ակ ի հեռ ավ որ ութ յունն է ճոճ ա-

նակի կախման կետից: Քանի որ 1-cos{

=2 sin

{

({

2, պոտեն-

ցիալ

էներգիայի

առավելագույն

արժեքի համար կունենանք՝ Elmax .

mgl{

2+ka

{

2: Ճոճանակի առավելագույն կինետիկ էներգիան՝ Eumax .

m~2A

. ~2l

{

2, որտեղ ճոճանակի տատանումների լայնույթը՝

A1=

{

: Համաձայն (10.19) հավասարության՝ E

u max =

El max : Հետևաբար՝ տեղա-

դրելով կինետիկ և պոտենցիալ էներգիաների արժեքները՝ տատանումների շրջա-

նային հաճախության համար վերջնականապես կունենանք՝

~=~

mgl

Պատասխան՝

~=~

+ka2 mgl

5. Որոշել ծանր առաձգական զսպանակից կախված ծանրոցի սեփական տատա-

նումների հաճախությունը:

Լուծում: Եթե զսպանակի զանգվածը համեմատելի է ծանրոցի զանգվածի հետ,

ապա սեփական տատանումների պարբերությունն այլևս չի կարելի որոշել (10.16)

բանաձևով, քանի որ վերջինիս ստացման ժամանակ զսպանակի զանգվածն

անտեսվել է: Դիցուք՝ ծանրոցը կատարում է ներդաշնակ տատանումներ

սե-

փական հաճախությամբ և A լայնույթով: Այդ դեպքում զսպանակի յուրաքանչյուր

գալար, որը ճոճանակի դադարի վիճակում կախման կետից x հեռավորությամբ

դիրքում է, ունի a = A (x l) տատանումների լայնույթ, որտեղ l-ն ամբողջ զսպանա-

կի երկարությունն է դադարի վիճակում: Եթե զսպանակն ունի N գալար, ապա i-րդ

գալարի տատանումների լայնույթը՝ (հաշված կախման կետից) ai= iA N : Երբ

ծանրոցն անցնում է հավասարակշռության դիրքով, զսպանակի կինետիկ էներ-

գիան առավելագույնն է՝

ԳԼՈՒԽ

X. ՄԵԽԱՆԻԿԱԿԱՆ ՏԱՏԱՆՈՒՄՆԵՐ ԵՎ ԱԼԻՔՆԵՐ

231

ml~2A2 N(N

1)(2N

u max

i = 1

N N

i = 1

որտեղ ml-ը զսպանակի զանգվածն է: Եթե N >> 1« ապա

N (N

1)(2N

N$N$2N N

իսկ զսպանակի առավելագույն կինետիկ էներգիան՝

umax

2 3

Հետևաբար՝ ՙբեռ + զսպանակ՚ համակարգի առավելագույն կինետիկ էներգիան՝

u max

m~2A

A2c + m

2 3

Առավելագույն ձգման (կամ սեղմման) պահին զսպանակի պոտենցիալ էներգիան՝

l max

2« որտեղ k-ն զսպանակի կոշտությունն է: Eumax = Elmax հավասարու-

թյունից ստանում ենք՝

cm+mlm~2A

, կամ՝

m+ml 3

Այսպիսով՝ զսպանակից կախված բեռի սեփական տատանումների հաճախու-

թյունն ավելի ճշգրիտ որոշելու համար անհրաժեշտ է ծանրոցի զանգվածին գու-

մարել զսպանակի զանգվածի 1/3-ը: Ակնհայտ է, որ եթե զսպանակի զանգվածը՝

ml << m, ապա այս ճշգրտումը նոր արդյունքի չի հանգեցնում, և կարող ենք օգտ-

վել (10.5) բանաձևից:

Պատասխան՝

k (m +ml

3) :

232

ՖԻԶԻԿԱ 10

ԳԼՈՒԽ XI

ՀԵՂՈՒԿՆԵՐԻ ԵՎ ԳԱԶԵՐԻ

ՄԵԽԱՆԻԿԱՅԻ ՏԱՐՐԵՐ

ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ

Ինչպես գիտեք, հեղուկները և գազերն իրենց հատկություններով զգալիորեն

տարբերվում են պինդ մարմիններից: Եթե պինդ մարմինն անփոփոխ արտաքին

պայմաններում ունի որոշակի ձև և ծավալ, ապա հեղուկ մարմինն օժտված է միայն

որոշակի ծավալով՝ չունենալով սեփական ձև, իսկ գազերը չունեն ո°չ սեփական

ծավալ, ո°չ սեփական ձև: Նրանց առաձգական հատկությունները գործնականում

դրսևորվում են միայն սեղմման ժամանակ, երբ ծագում են առաձգականության ու-

ժեր, որոնցով հեղուկները և գազերն ազդում են իրենց մեջ ընկղմված պինդ մար-

մինների, անոթի պատերի և հատակի վրա: Այդ ուժերը միշտ ուղղահայաց են հե-

ղուկի (գազի) և պինդ մարմնի հպման մակերևույթին, հետևապես՝ ճնշման ուժեր են,

որոնցով էլ պայմանավորված է հեղուկի և գազի ճնշումը: Նշանակում է՝ հեղուկի

շերտերն իրար նկատմամբ զուգահեռ տեղաշարժվելիս չեն առաջանում այդ տե-

ղաշարժերին հակառակ ուղղված առաձգականության ուժեր: Հետևաբար՝ ոչինչ չի

խանգարում, որ հեղուկի շերտերն իրար նկատմամբ ազատորեն շարժվեն: Հեղուկ-

ների և գազերի այդ հատկությունն անվանում են հոսունություն:

Հեղուկների և գազերի մեխանիկան ուսումնասիրում է անշարժ հեղուկում և

գազում ճնշման բաշխումը, հեղուկի և գազի ազդեցությունը նրանց մեջ ընկղմված

պինդ մարմինների վրա, ինչպես նաև հեղուկի և գազի շարժումով պայմանավոր-

ված շատ երևույթներ: Նշված խնդիրները լուծելիս հեղուկները և գազերը համար-

վում են հոծ, այսինքն՝ հաշվի չի առնվում դրանց մոլեկուլային կառուցվածքը:

77.

ՃՆՇՈՒՄՆ ԱՆՇԱՐԺ ՀԵՂՈՒԿՈՒՄ ԵՎ ԳԱԶՈՒՄ

Հիմնական դպրոցի ֆիզիկայի դասընթացից գիտեք, որ երկու հպվող մար-

մինների, մասնավորապես, հեղուկի և նրա հետ հպվող պինդ մարմնի կամ հեղուկի

առանձին մասերի փոխազդեցությունը բնութագրում են ՙճնշում՚ ֆիզիկական մե-

ծությամբ: Երբ պինդ մարմնի հպման հարթ մակերևույթին հեղուկի ճնշման ուժերը

մակերևույթով բաշխված են հավասարաչափ, ապա հեղուկի ճնշումը՝

(11.1)

ԳԼՈՒԽ

XI. ՀԵՂՈՒԿՆԵՐԻ ԵՎ ԳԱԶԵՐԻ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅԻ ՏԱՐՐԵՐ

233

որտեղ S -ը հպման մակերևույթի մակերեսն է, F -ը՝ այդ մակերևույթին կիրառված

ճնշման ուժերի գումարը:

Եթե ճնշման ուժերը հարթ մակերևույթով բաշխված են անհավասարաչափ,

կամ եթե մակերևույթը հարթ չէ, ապա այն մտովի տրոհում են այնքան փոքր մակե-

րեսներով տեղամասերի (մակերևույթի տարրերի), որոնք կարելի լինի համարել

հարթ, իսկ ճնշման ուժերի բաշխումն այդ տեղամասերից յուրաքանչյուրում՝ հա-

վասարաչափ: Նշանակելով տեղամասի մակերեսը DS-ով, իսկ այդ տեղամասին

կիրառված գումարային ճնշման ուժը՝ DF-ով, տեղամասին հեղուկի գործադրած

ճնշումը կարտահատվի

(11.2)

բանաձևով: Քանի որ մակերևույթի տարրի DS մակերեսը շատ փոքր է մակերևույթի

S մակերեսից՝ DS << S, ապա կարելի է համարել, որ այդ տարրով ընդգրկված է մա-

կերևույթի ընդամենը մեկ կետ, որն էլ հիմք է տալիս հեղուկի ճնշումը դիտարկվող

տարրի վրա սահմանել որպես ճնշում այդ կետում:

Երբ ճնշման ուժերը բաշխված են անհավասարաչափ, (11.1) բանաձևով

արտահայտվում է հեղուկի միջին ճնշումը դիտարկվող մակերևույթին:

Պասկալի օրենքը: Ապացուցենք, որ հեղուկում՝ կամայական կետում, ճնշու-

մը բոլոր ուղղություններով նույնն է: Դրա համար անշարժ հեղուկի ներսում մտո-

վի պատկերացնենք բավականաչափ փոքր ծավալով ուղիղ եռանկյուն պրիզմա

(նկ. 183, ա), որը, բնականաբար, հավասարակշռության մեջ է:

Հավասարակշռության պայմանից հետևում է, որ պրիզմայի ABC և A₁B₁C₁

հիմքերին ազդող ճնշման ուժերը մոդուլով հավասար են, ուղղությամբ՝ հակադիր:

ABB₁A₁ , BCC₁B₁ և ACC₁A₁ կողմնային նիստերին

ազդող F1, F2 և F3 ճնշման ուժերն ուղղահայաց

են այդ նիստերին, հետևաբար՝ նրանց վրա ազ-

դող ճնշման ուժերի մոդուլները՝ F₁ = p₁S₁, F₂= p₂S₂,

F₃=p₃S₃, որտեղ S₁-ը, S₂-ը և S₃-ն այդ նիստերի մա-

կերեսներն են:

Քանի որ պրիզման հավասարակշռության

մեջ է,

ապա F1+ F2+ F

(նկ. 183, բ), ուստի,

համաձայն վեկտորների գումարման եռանկյան

կանոնի, F1, F2 և F3 վեկտորները կազմում են

եռանկյուն (նկ. 183, գ), որը նման է պրիզմայի ուղ-

ղահայաց հատույթին՝ ABC եռանկյանը: Իրոք, F1,

F2 և F3 վեկտորները, ուղղահայաց լինելով պրիզ-

մայի կողմնային նիստերին, ուղղահայաց են նաև

Նկ. 183. ա. Անշարժ հեղուկում

ABC եռանկյան AB, BC և AC կողմերին: Հետևա-

h-ը պրիզմայի բարձրությունն է,

բար՝

այդ վեկտորներով կազմված

ՙուժային՚

բ. պրիզմայի կողմնային նիստե-

եռանկյան անկյունները հավասար են ABC եռան-

րին ազդող F1, F2 և F3

ուժերի հա-

կյան անկյուններին՝ որպես փոխուղղահայաց կող-

մակարգը հավասարակշռված է.

մերով անկյուններ (նկ. 183): Եռանկյունների նմա-

գ. F1, F2 և F3 վեկտորները կազ-

մում են ՙուժային՚ եռանկյուն:

նությունից հետևում է, որ

234

ՖԻԶԻԿԱ 10

AB BC CA

Բայց AB . h = S₁, BC . h = S₂, CA . h = S₃, որտեղ h - ը պրիզմայի բարձրությունն

է, ուստի՝ ստացված հավասարությունների փոխարեն կունենանք՝

F1 F2 F

որտեղից հետևում է, որ p₁ = p₂ = p₃

Այսպիսով՝ անշարժ հեղուկի ճնշումը պրիզմայի երեք նիստերին էլ նույնն է:

Այս եզրակացությունը ճիշտ է նաև այն դեպքում, երբ հեղուկի կամ գազի վրա ազ-

դում է ծանրության ուժը: Իրոք, վերջինս համեմատական է պրիզմայի ծավալին,

իսկ ճնշման ուժերը՝ նիստերի մակերեսներին: Ուստի՝ պրիզմայի չափերը (հետևա-

բար՝ նաև ծավալը) փոքրացնելով՝ ծանրության ուժը կարելի է դարձնել որքան

ասես փոքր և այդ պատճառով՝ անտեսել:

Բայց բավականաչափ փոքր ծավալով պրիզման կարելի է համարել կետա-

յին մարմին, և քանի որ պրիզմայի դիրքն ընտրված էր կամայականորեն, ապա

կարող ենք պնդել, որ իրոք, հեղուկի յուրաքանչյուր կետում ճնշումը բոլոր ուղ-

ղություններով նույնն է: Այս պնդումը, որն առաջինը սահմանել է ֆրանսիացի

գիտնական Բլեզ Պասկալը 1653 թվականին, կոչվում է Պասկալի օրենք: Հեղուկի

ճնշումը պայմանավորված է հեղուկի սեղմման դեֆորմացիայով, ուստի՝ հեղուկի

որևէ մասում առաջացած դեֆորմացիան, համաձայն Պասկալի օրենքի, տարած-

վում է բոլոր ուղղություններով հավասարապես: Այդ պատճառով էլ Պասկալի

օրենքը, սովորաբար, ձևակերպում են հետևյալ կերպ. հեղուկի (գազի) վրա գոր-

ծադրված ճնշումը հեղուկով (գազով) հաղորդվում է բոլոր ուղղություններով՝

առանց փոփոխության:

Պասկալի օրենքի վրա է հիմնված ձեզ արդեն ծանոթ ջրաբաշխական մամ-

լիչի աշխատանքի սկզբունքը:

Հեղուկի հիդրոստատիկ ճնշումը: Պասկալի օրենքն արտածելիս անտեսել

էինք հեղուկի (գազի) կշիռը: Այժմ պարզենք, թե ինչպես է բաշխված ճնշումը հեղու-

կում, երբ վերջինիս կշիռն անտեսել չենք կարող: Տրված խորությամբ յուրաքան-

չյուր կետում ճնշումը նույնն է բոլոր ուղղություններով, բայց փոխվում է՝ կախված

խորությունից: Եթե հեղուկն անսեղմելի է (այսինքն՝ հեղուկի ծավալի փոփոխու-

թյունն արտաքին ճնշման ուժերի ազդեցությամբ այնքան փոքր է, որ կարելի է

հաշվի չառնել), ապա ճնշման (ստատիկ ճնշման) կախումը խորությունից արտա-

հայտվում է ձեզ հայտնի

p_h = p +tgh

(11.3)

բանաձևով, որտեղ p_h -ը հեղուկի ճնշումն է h խորությամբ մակարդակում, p -ն՝

արտաքին ճնշումը, t-ն՝ հեղուկի խտությունը, իսկ tgh գումարելին՝ հեղուկի սեփա-

կան կշռով պայմանավորված հիդրոստատիկ ճնշումը:

Մթնոլորտային ճնշում: Երկիրը շրջապատող օդային թաղանթը՝ մթնոլոր-

տը, սեղմված լինելով Երկրի ձգողության աղդեցությամբ, ճնշման ուժերով ազդում

է նրա մակերևույթի վրա: Դրա հետևանքով առաջացած մթնոլորտային ճնշումը

Երկրի (ավելի ճիշտ՝ համաշխարհային օվկիանոսի) մակերևույթին՝ p₀ = 760 մմ

ԳԼՈՒԽ

XI. ՀԵՂՈՒԿՆԵՐԻ ԵՎ ԳԱԶԵՐԻ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅԻ ՏԱՐՐԵՐ

235

սնդ. սյան = 101325 Պա: Այդ ճնշումն անվանում են նաև ֆիզիկական մթնոլորտ:

Մարդը, բնակվելով այդ հսկայական օդային օվկիանոսի հատակին, չի զգում այդ

ճնշումը: Դրա պատճառն այն է, որ մարդու բոլոր ներքին օրգանները գործում

են բնական ձևով, երբ, սեղմված են մթնոլորտային ճնշմամբ, իսկ օրգանիզմում

ստեղծված ճնշումը սնդիկի սյան 670 -760 մմ ճնշման տիրույթում է: Այդ տիրույթից

դուրս ճնշման առկայությամբ մարդու օրգանիզմի բնականոն կենսագործունեու-

թյունը խաթարվում է:

Երկրի մակերևույթից վեր բարձրանալիս մթնոլորտային ճնշումը նվազում է

(այդ երևույթին հանգամանորեն կծանոթանաք 11-րդ դասարանում՝ բարձրությու-

նից մթնոլորտային ճնշման կախումն ուսումնասիրելիս):

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Սահմանե°ք հեղուկի (գազի) ճնշումը նրա հետ պինդ մարմնի հպման մակերևույթի

որևէ տեղամասում: Գրե°ք ճնշման բանաձևը: 2. Ձևակերպե°ք Պասկալի օրենքը հեղուկնե-

րի (գազերի) համար: 3. Ինչպե՞ս է բաշխված ճնշումը հեղուկի ներսում՝ ըստ խորության:

4. Ի՞նչ

է մթնոլորտային ճնշումը, և ինչո±վ է այն պայմանավորված: Որքա±ն է մթնո-

լորտային ճնշումը համաշխարհային օվկիանոսի մակերևույթին: 5. Ի՞նչ է ֆիզիկական

մթնոլորտը: Արտահայտե°ք այն պասկալով:

78.

ԱՐՔԻՄԵԴԻ ՕՐԵՆՔԸ

Հեղուկի հիդրոստատիկ ճնշումը, ինչպես հետևում

(11.3) բանաձևից, խորության մեծացմանը զուգընթաց աճում

է« ուստի՝ հեղուկի մեջ ընկղմված մարմնի վրա ճնշման ուժը

մարմնի մակերևույթի ստորին տեղամասերի վրա ավելի մեծ

է, քան վերին տեղամասերին կիրառված ճնշման ուժը: Թեև

կամայական ձև ունեցող մակերևույթի յուրաքանչյուր տարրի

վրա ազդող ճնշման ուժն ուղղահայաց է այդ տարրին, այդու-

հանդերձ բոլոր ճնշման ուժերի համազոր FA ուժն ուղղված է

Նկ.184. Մարմնի

վրա ազդող ճնշման

ուղղաձիգ դեպի վեր (նկ. 184): FA ուժը, ինչպես գիտեք, անվա-

ուժերի FA

համա-

նում են արքիմեդյան ուժ: Այն մարմնի մակերևույթի տարրե-

զորը. P -ն մարմնի

րի վրա կիրառված ճնշման ուժերի համազորն է:

կշիռն է:

Արքիմեդյան ուժի մոդուլը և ուղղությունը որոշելու հա-

մար պատկերացնենք, թե մարմինը հեռացված է« և նրա տեղը լցված է հեղուկ, որը,

բնականաբար, ունի նույն ծավալը և նույն մակերևույթը (նկ. 185, ա և բ): Այդ հեղուկ

մարմնի մակերևույթին հիդրոստատիկ ճնշումը բաշխված է նույն կերպ, ինչպես

պինդ մարմնի մակերևույթին: Հետևաբար՝ պինդ մարմնի վրա ազդող արքիմեդյան

ուժը հավասար է նրա տեղն զբաղեցնող հեղուկ մարմնի վրա կիրառված արքիմե-

դյան ուժին: Քանի որ հեղուկ մարմինը հավասարակշռության մեջ է, ապա նրա վրա

ազդող FA արքիմեդյան ուժն ուղղված է ուղղաձիգ դեպի վեր և, բացի այդ, մոդուլով

հավասար է P_h ծանրության ուժին՝ FA = Ph= tVg, որտեղ t-ն հեղուկի խտությունն

է, V-ն՝ պինդ մարմնի ծավալը (նկ. 185, բ): tV արտադրյալը պինդ մարմնի ծավալով

հեղուկ մարմնի զանգվածն է՝ m_h = tV, ուստի՝ F_A = m_h g, այսինքն՝ արքիմեդյան ուժի

236

ՖԻԶԻԿԱ 10

մոդուլը համեմատական է մարմնի ծավալն զբա-

ղեցնող հեղուկի զանգվածին:

Արքիմեդյան ուժի կիրառման կետը կարելի

է գտնել նույն եղանակով, ինչպես պինդ մարմնի

ծանրության կենտրոնը: Դրա համար դիտարկենք

հեղուկում ընկղմված պինդ մարմնի ծավալով հե-

ղուկ մարմինը երկու տարբեր դիրքերում (նկ. 186):

Նկ. 185. ա. FA արքիմեդյան ուժի

Այդ երկու դիրքերում էլ հեղուկ մարմինը հավասա-

C կիրառման կետը կարող է չհա-

րակշռության մեջ է, ուստի՝ FA արքիմեդյան ուժի

մընկնել մարմնի O ծանրության

կենտրոնին, բ. FA արքիմեդյան

ազդման գիծը համընկնում է հեղուկ մարմնի ծան-

ուժի կիրառման C կետը համընկ-

րության O կենտրոնով անցնող AB ուղղաձիգին:

նում է մարմնի ծավալով հեղուկի

Այստեղից կարելի է եզրակացնել, որ եթե արքի-

O ծանրության կենտրոնին:

մեդյան ուժի կիրառման կետը միակն է, ապա այն

պետք է համընկնի O ծանրության կենտրոնին: Եթե

նորից հեղուկ մարմինը փոխարինենք պինդ մարմ-

նով,

ապա վերջինիս վրա հեղուկի գործադրած

ճնշման ուժերը կմնան նույնը, որն էլ նշանակում

է, որ իրոք, հեղուկի (գազի) մեջ ընկղմված մարմ-

նի վրա ազդող արքիմեդյան ուժը հավասար է

մարմնի ծավալով հեղուկի (արտամղված հե-

Նկ.186. Պինդ մարմնի ծավալով

ղուկի) կշռին, ուղղված է ուղղաձիգ դեպի վեր և

հեղուկ մարմնի կամայական

կիրառված է արտամղված հեղուկի ծանրության

դիրքում FA ուժի ազդման գիծը

կենտրոնում: Այս պնդումը Արքիմեդի օրենքն է:

համընկնում է հեղուկ մարմնի O

ծանրության կենտրոնով անցնող

Արքիմեդյան ուժի բանաձևը կարելի է արտա-

AB ուղղաձիգին:

ծել նաև հետևյալ մտային փորձով: V ծավալով և

t₀ խտությամբ մարմինը մտովի բարձրացնենք h բարձրությամբ, մեկ անգամ՝ վա-

կուումում, մյուս անգամ՝ t խտությամբ հեղուկում: Առաջին դեպքում վերելքի հա-

մար պետք է ծախսել E₁ = mgh = tVgh էներգիա, որտեղ m-ը մարմնի զանգվածն է:

Երկրորդ դեպքում ծախսված էներգիան, բնականաբար, ավելի փոքր է, քանի որ

V ծավալով մարմինը հեղուկում h բարձրությամբ վեր հանելիս նույն բարձրությու-

նից նույն V ծավալով հեղուկ իջնում է ներքև՝ մարմնի նախկին զբաղեցրած տե-

ղը: Ուրեմն՝ այդ դեպքում մարմինը բարձրացնելու համար անհրաժեշտ է ծախսել

E₂=E₁-A էներգիա, որտեղ A-ն ծանրության ուժի աշխատանքն է՝ հեղուկը h բարձ-

րությամբ իջեցնելիս՝ A = m_h gh = tVgh (m_h-ը մարմնի ծավալով հեղուկի զանգվածն

է): Քանի որ E₂ < E₁, ապա երկրորդ դեպքում մարմնի վրա ազդում է ուղղաձիգով

դեպի վեր ուղղված մի F_A ուժ, որը հեշտացնում է մարմնի վերելքը, և որի աշխա-

տանքը՝ A = FA . h = tVg . h, որտեղից՝ F = tVg: Այս ուժը, որը հավասար է ընկղմված

մարմնի ծավալով հեղուկի կշռին, հենց արքիմեդյան ուժն է:

Արքիմեդի օրենքը երբեմն ձևակերպում են հետևյալ կերպ. հեղուկի (գազի)

մեջ ընկղմված մարմինն իր կշռից կորցնում է այնքան, որքան արտամղված

հեղուկի կշիռն է:

Եթե հեղուկում ամբողջությամբ ընկղմված մարմնի P ծանրության ուժը մեծ է

F_A արքիմեդյան ուժից՝ P > F_A ապա մարմինը կխորասուզվի: P < F_A դեպքում մար-

ԳԼՈՒԽ

XI. ՀԵՂՈՒԿՆԵՐԻ ԵՎ ԳԱԶԵՐԻ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅԻ ՏԱՐՐԵՐ

237

մինը կբարձրանա հեղուկի մակերևույթ՝ մնա-

լով մասամբ ընկղմված հեղուկում (նկ. 187):

Այս դեպքում ասում են, որ մարմինը լողում է

հեղուկի մակերևույթին:

Եթե մարմնի կշիռը հավասար է արքի-

մեդյան ուժին՝ P = F_A, ապա այն մնում է հա-

վասարակշռության մեջ հեղուկի կամայական

մասում:

Այդպիսի հավասարակշռությունը

Նկ. 187. Արքիմեդյան FF ուժը և մարմ-

նի ծանրության P ուժը հավասար են:

կարելի է ցուցադրել հետևյալ փորձի օգնու-

C-ն արքիմեդյան ուժի կիրառման կետն

թյամբ: Եթե ջրով լցված անոթի մեջ իջեցնենք

է, O -ն՝ մարմնի ծանրության կենտրոնը:

հավի ձու, ապա, ջրին աստիճանաբար աղ

խառնելով, կարելի է այնպես անել, որ ձուն,

ամբողջությամբ ընկղմված լինելով ջրում, լինի

հավասարակշռության մեջ, ընդ որում« կայուն

հավասարակշռության դիրքում ձվի O ծանրու-

թյան կենտրոնը և արքիմեդյան ուժի կիրառ-

ման C կետը միշտ կլինեն միևնույն ուղղաձիգ

Նկ. 188. ա. Ձուն կայուն հավասա-

ուղղի վրա և միշտ O կետը՝ C կետից ցածր: P

րակշռության դիրքում, բ. ձուն վերա-

և FA ուժազույգի մոմենտը ձվի այդպիսի դիր-

դառնում է հավասարակշռության դիրք:

քում զրո է: Այդ դիրքից ձուն շեղելիս P և FA

ուժազույգի մոմենտը դառնում է զրոյից տարբեր (նկ. 188), որի ազդեցությամբ ձուն

վերադառնում է սկզբնական դիրքը:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ո±ր ուժն են անվանում արքիմեդյան ուժ: 2. Ինչպե՞ս կարելի է տեսականորեն որոշել

արքիմեդյան ուժի մոդուլը: Գրե°ք նրա բանաձևը: 3. Ինչպե՞ս է ուղղված արքիմեդյան ու-

ժը: Ինչու±: 4. Ո±րն է արքիմեդյան ուժի կիրառման կետը: Հիմնավորե°ք: 5. Ձևակերպե°ք

Արքիմեդի օրենքը: 6. Տանը կատարե°ք պարագրաֆի վերջում նկարագրված փորձը:

Ինչու± էր Արքիմեդը գոչում՝ ՙԷ¯վրիկա՚

Պատմում են, որ Արքիմեդն իր անունով հանրահայտ օրենքը հայտնագործել է լոգա-

րանում՝ մտորելով այն մասին, թե ինչպես կարելի է պարզել՝ Սիրակուսեի (հին հունա-

կան քաղաք-պետություն Սիցիլիա կղզում, ներկայիս Սիրակուզա քաղաքի տեղում)

Հիերոն 2-րդ արքայի նորաձույլ թագը զուտ ոսկու±ց է պատրաստված, թե՞ կեղծված

է: Արքիմեդին հայտնի էր ոսկու t խտությունը, նա կարող էր որոշել նաև թագի P₀ կշի-

ռը: Մնում էր գտնել թագի V ծավալը, որպեսզի, հաշվելով թագի t₁ խտությունը, այն

համեմատեր t-ի հետ: Բայց ինչպե՞ս որոշեր բարդ ձև ունեցող թագի ծավալը: Այս-

րի P₀-P տարբերությունը նա հավասարեցրեց թագի արտամղած ջրի կշռին՝ t_ջVg-ին՝

P₀-P =t_ջVg, որտեղ t_ջ-ն ջրի խտությունն է: Այստեղից Արքիմեդը որոշեց թագի ծա-

վալը՝ V= (P₀-P )/ t_ջg:

Ասում են, որ Արքիմեդը, պարզելով, թե ինչպես կարելի է որոշել թագի խտությունը,

լոգարանից անմիջապես դուրս է եկել և վազել Սիրակուսեի փողոցներով՝ գոչելով՝

ՙԷ¯վրիկա՚ (այսինքն՝ գտա¯):

238

ՖԻԶԻԿԱ 10

ՀԵՂՈՒԿԻ (ԳԱԶԻ) ԼԱՄԻՆԱՐ

79.

ԵՎ ՏՈՒՐԲՈՒԼԵՆՏ ՀՈՍՔ

Այժմ ուսումնասիրենք երևույթներ, որոնք պայմանավորված են հեղուկի

շարժմամբ:

Հեղուկը պատկերացնենք որպես հոծ մարմին՝ մտովի տրոհելով այնքան փոքր

մասերի՝ տարրերի կամ մասնիկների, որ նրանցից յուրաքանչյուրի չափերը և ձևը

հնարավոր լինի հաշվի չառնել հեղուկի շարժման ժամանակ: Բայց, միևնույն ժա-

մանակ, այդ տարրերի ծավալները պետք է լինեն բավականաչափ մեծ (այսինքն՝

պետք է պարունակեն հսկայական թվով մոլեկուլներ), որպեսզի հեղուկի շարժումը

հնարավոր լինի նկարագրել՝ դիտարկելով նրա առանձին մասնիկների շարժումը

Նյուտոնի օրենքների հիման վրա:

Շարժվող հեղուկի ուսումնասիրումն այս եղանակով պայմանավորված է մե-

ծածավալ հաշվարկներով: Ուստի՝ դրա փոխարեն, սովորաբար, դիտարկում են

տարածության՝ շարժվող հեղուկով ընդգրկված տիրույթը և հետևում, թե ժամանա-

կի տարբեր պահերի ինչպիսի՞ն են այդ տիրույթի յուրաքանչյուր կետով անցնող

հեղուկի մասնիկների արագությունները: Եթե ժամանակի որևիցե պահի ՙլուսա-

նկարենք՚ դիտարկվող տիրույթը, ապա ՙլուսանկարում՚ պատկերված կլինեն հե-

ղուկի մասնիկների արագությունները տիրույթի բոլոր կետերում: Ընդ որում, յուրա-

քանչյուր կետում նշված կլինի հեղուկի այն մասնիկի արագությունը, որն անցնում

է այդ կետով ժամանակի դիտարկվող պահին: Այն գիծը, որի ամեն մի կետով տար-

ված շոշափողի երկայնքով է ուղղված ժամանակի դիտարկվող (ՙլուսանկարման՚)

պահին այդ կետով անցնող հեղուկի մասնիկի արագությունը, անվանում են հո-

սանքի գիծ (նկ.189,ա):

Հեղուկի շարժումն անվանում են ստացիոնար, եթե

ժամանակի ընթացքում դիտարկվող տիրույթի յուրա-

քանչյուր կետում արագությունը չի փոխվում: Բնակա-

նաբար, այդ դեպքում չեն փոխվի նաև հոսանքի գծերը,

որոնք արդեն կհամընկնեն հեղուկի մասնիկների շարժ-

ման հետագծերին: Իրոք, դիցուք՝ հեղուկի A մասնիկը

ժամանակի t₁ պահին իր հետագծի մի կետում ունի v

Նկ. 189. ա. Հեղուկի

արագություն (նկ. 189, ա): Քանի որ հեղուկի շարժումը

հոսանքի գիծ, բ. հոսան-

ստացիոնար է, ապա ժամանակի t₂ պահին այդ կետով

քի խողովակ: S₁-ը և S₂-ը

անցնող մեկ այլ՝ B մասնիկի արագությունը նույնպես

լայնական հատույթների

մակերեսներն են, v₁-ը և

կլինի v : Բայց t₁ և t₂ պահերն ընտրել էինք կամայա-

v₂ -ը՝ այդ հատույթներով

կանորեն: Ուրեմն՝ A մասնիկի հետագծի յուրաքանչյուր

անցնող հեղուկի մասնիկ-

կետով անցնող բոլոր մասնիկներն ունեն նույն արագու-

ների արագությունները:

թյունը, այսինքն՝ այդ հետագիծը նաև հոսանքի գիծ է:

Հեղուկի ստացիոնար շարժումն ուսումնասիրելու համար նպատակահարմար

է ամբողջ շարժվող հեղուկը մտովի տրոհել այսպես կոչված հոսանքի խողովակ-

ների և ուսումնասիրել հեղուկի շարժումը յուրաքանչյուր այդպիսի խողովակի ներ-

սում: Հոսանքի խողովակ են անվանում շարժվող հեղուկից մտովի առանձնացված

այն մասը, որը սահմանափակված է հոսանքի գծերով (նկ.189, բ): Սովորաբար հո-

ԳԼՈՒԽ

XI. ՀԵՂՈՒԿՆԵՐԻ ԵՎ ԳԱԶԵՐԻ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅԻ ՏԱՐՐԵՐ

239

սանքի խողովակներն ընտրում են այնպես, որ խողովակի յուրաքանչյուր լայնա-

կան հատույթի (հոսանքի գծերին ուղղահայաց մակերևույթի տեղամասի) բոլոր կե-

տերում արագությունները հնարավոր լինի համարել նույնը: Ակներև է, որ հեղուկի

մասնիկները երբեք չեն հատում հոսանքի խողովակի կողմնային մակերևույթը, քա-

նի որ մասնիկների արագություններն ուղղված են հոսանքի գծերի շոշափողներով:

Հեղուկի շարժումները կարող են տարբերվել նաև այլ հատկանիշներով: Օրի-

նակ՝ երբ հեղուկի շարժումն այնպիսին է, որ հարևան շերտերն իրար նկատմամբ

կարծես սահում են, ապա այդպիսի շարժումն անվանում են լամինար (շերտավոր,

հարթ« լատիներեն ՙլամինա՚՝ թիթեղ, շերտ բառից): Լամինար շարժման դեպքում

հեղուկի յուրաքանչյուր մասնիկ շարժվում է չխզվող հետագծով, և տարբեր մաս-

նիկների շարժման հետագծերը չեն հատվում (նկ.190, ա):

Հեղուկի

այնպիսի շարժումը, որն ուղեկցվում

տարբեր շերտերի՝ իրար խառնվելով, որի հետևանքով

առաջանում են փոքրիկ պտուտահոսանքներ (մրրիկ-

ներ), անվանում են տուրբուլենտ (մրրկային, լատինե-

րեն ՙտուրբուլենտուս՚՝ անկանոն բառից): Տուրբուլենտ

շարժումն առանձնահատուկ է նրանով, որ հեղուկի մաս-

նիկների շարժման հետագծերը հատվում են, և ունեն բա-

վական բարդ, խճճված գծերի տեսք (նկ. 190, բ):

Նկ.190. Հեղուկի՝ ա. լա-

մինար, բ. տուրբուլենտ

Հեղուկի տուրբուլենտ շարժումը ՙտեսանելի՚ կա-

շարժումը պատկերող

րելի է դարձնել՝ մի քիչ թանաք խառնելով, օրինակ, հո-

հոսանքի գծերը

սող ջրին: Ծխնելույզից դուրս եկող ծուխը ՙտեսանելի՚

է դարձնում օդի հոսքը: Ուշադիր զննելով ծխի մասնիկների շարժումը՝ կարելի է

հայտնաբերել, թե ինչպես են շարժվող օդի առանձին շիթեր կատարում անկա-

նոն շարժումներ մերթ մեկ, մերթ մյուս կողմ: Դրա հետևանքով շարժվող օդի շիթն

անընդհատ լայնանում է, և ծխի մասնիկները տարածվում են տարբեր կողմեր. օդի

շերտերն անընդհատ խառնվում են իրար:

Եթե ապակե խողովակով տուրբուլենտ շարժում կատարող ջրի հոսքի արա-

գությունը հետզհետե փոքրացնենք, ապա կնկատենք, որ« որոշակի արագությունից

սկսած« ջրի հոսքը խողովակում դառնում է լամինար:

Փորձերը ցույց են տալիս, որ ինչքան նեղ է խողովակը, այնքան ավելի մեծ է

արագության այն արժեքը, որից սկսած հեղուկի հոսքը մրրկայինից վերածվում է

լամինարի: Շատ նեղ խողովակներում՝ մազանոթներում, հեղուկի կամ գազի շար-

ժումը միշտ լամինար է: Ուշագրավ է, որ մարդու համար կենսականորեն կարևոր

հեղուկի՝ արյան շարժումը զարկերակներում լամինար է:

Դիտարկենք 190, բ նկարում պատկերված հոսանքի խողովակը, որի լայնա-

կան հատույթի մակերեսներն են՝ S₁ և S₂, իսկ այդ հատույթներով անցնող հեղու-

կի մասնիկների արագությունները՝ v₁ և v₂ : Dt ժամանակում առաջին հատույթով

անցնող հեղուկի զանգվածը՝ m₁ = t₁v₁S₁Dt, իսկ երկրորդով անցնող հեղուկի զանգ-

վածը՝ m₂= t₂v₂S₂Dt, որտեղ t₁-ը և t₂-ը առաջին և երկրորդ հատույթներում հեղուկի

խտություններն են: Եթե հեղուկի շարժումը ստացիոնար է, ապա m₁ = m₂, այլապես

առաջին և երկրորդ հատույթների միջև հեղուկի քանակը կաճի (կամ կնվազի) և հե-

ղուկի հոսքն այլևս չի լինի ստացիոնար: m₁ = m₂պայմանից հետևում է« որ

240

ՖԻԶԻԿԱ 10

t₁v₁S₁=t₂v₂S₂:

Այս առնչությունն անվանում են հեղուկի (կամ գազի) անընդհատության հա-

վասարում:

Եթե հեղուկն անսեղմելի է, այսինքն՝ t₁= t₂= t, ապա

v₁S₁=v₂S₂:

(11.4)

Այսպիսով՝ հոսանքի խողովակի նեղ մասերում հոսքի արագությունը մեծ է:

(11.4) հավասարումից և 190, բ նկարից կարելի է եզրակացնել, որ ինչքան խիտ են

դասավորված հոսանքի գծերը, այնքան մեծ է հեղուկի հոսքի արագությունը:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ի՞նչ է հոսանքի գիծը: Տարբերվու±մ է արդյոք հոսանքի գիծը հեղուկի մասնիկի շարժ-

ման հետագծից: Ինչու±: 2. Հեղուկի ո՞ր շարժումն են անվանում ստացիոնար: 3. Ապա-

ցուցե°ք, որ ստացիոնար շարժման դեպքում հեղուկի մասնիկի շարժման հետագիծը

միաժամանակ նաև հոսանքի գիծ է: 4. Ի՞նչ է հոսանքի խողովակը: Ինչու± հեղուկը չի

կարող դուրս հոսել հոսանքի խողովակի կողմնային մակերևույթով: 5. Հեղուկի ո՞ր շար-

ժումն են անվանում լամինար, և ո՞ր շարժումը՝ տուրբուլենտ: 6. Գրե°ք անընդհատության

հավասարումն անսեղմելի հեղուկի համար:

ՀԵՂՈՒԿԻ ՃՆՇՄԱՆ ԿԱԽՈՒՄՆ

80.

ԱՐԱԳՈՒԹՅՈՒՆԻՑ: ԲԵՌՆՈՒԼԻԻ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄԸ

Հեղուկի շարժումն ուսումնասիրելիս նախ անհրաժեշտ է ճշտել, թե ինչպե՞ս

պետք է չափել հեղուկի ճնշումը (օրինակ՝ ճնշումը խողովակով հոսող ջրում, օդի

ճնշումը քամոտ եղանակին):

Ինչպես գիտեք, հեղուկի ճնշումը պայմանավորված է նրա սեղմվածությամբ:

Անշարժ հեղուկում ճնշումը չափելու համար հարկավոր է երկու կողմից բաց և

90-ով ծռված խողովակն իջեցնել հեղուկի մեջ: Այդպիսի խողովակն անվանում

են Պիտոյի խողովակ: Խողովակի ուղղաձիգ ծնկում հեղուկի սյան բարձրությամբ

կարելի է մոտավորապես գնահատել անշարժ հեղուկի ճնշումը: Շարժվող հեղու-

կում, սակայն, այդ նույն ծնկում հեղուկի սյան բարձրությունը կլինի ավելի մեծ

(նկ. 191, ա): Շնորհիվ շարժման՝ հեղուկը հավելյալ ճնշում է ստեղծում խողովա-

կի ներսում: Հետևաբար՝ անշարժ դիրքով Պիտոյի խողովակը մոտավորապես չա-

փում է հեղուկի լրիվ ճնշումը՝ ստատիկ և շարժմամբ

պայմանավորված ճնշումների գումարը: Սակայն

եթե խողովակը շարժվի հեղուկի հետ մեկտեղ, հե-

ղուկը խողովակի նկատմամբ կլինի անշարժ: Այդ

կերպ չափված ճնշումը շարժվող հեղուկի ստատիկ

ճնշումն է: Շարժվող հեղուկի ստատիկ ճնշումը կա-

րելի է չափել նաև 191, բ նկարում պատկերված Պի-

Նկ.191. Պիտոյի խողովակներ

տոյի խողովակի օգնությամբ:

Այժմ արտածենք հոսող հեղուկում արագության և ճնշման կապն արտահայ-

տող հավասարումը ստացիոնար շարժում կատարող անսեղմելի հեղուկի համար,

որի շերտերի միջև շփումը բացակայում է: Այդպիսի հեղուկն անվանում են իդեա-

ԳԼՈՒԽ

XI. ՀԵՂՈՒԿՆԵՐԻ ԵՎ ԳԱԶԵՐԻ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅԻ ՏԱՐՐԵՐ

241

լական: Այդ հեղուկից մտովի առանձնացնենք հոսանքի տարրական խողովակ և

դիտարկենք այդ խողովակի՝ S₁ և S₂ փոքր մակերեսներ ունեցող լայնական հա-

տույթներով սահմանափակված հեղուկը: Առաջին հատույթի կետերում հեղուկի

արագությունը, դիցուք, v₁ է, արտաքին ճնշումը՝ p₁, իսկ երկրորդ հատույթի կետե-

րում՝ v₂ և p₂: Հատույթների բարձրությունները h₁ և h₂ են (նկ. 192): Dt շատ փոքր

ժամանակում առաջին հատույթով կանցնի Dm շատ փոքր զանգվածով հեղուկ՝

լցնելով DV₁= S₁l₁ = S₁v₁Dt ծավալով տիրույթ« հետևաբար՝ Dm= tS₁v₁Dt: Հանգու-

նորեն՝ երկրորդ հատույթով Dt ժամանակում կանցնի նույն Dm զանգվածով հե-

ղուկ՝ Dm= tS₁v₁Dt:

Առաջին հատույթով անցած հեղուկի Dm

զանգվածով տարրի պոտենցիալ էներգիան՝

E_պ1=Dmgh₁=tS₁v₁Dtgh₁, իսկ կինետիկը՝

E_կ1=Dmv12/2=tS₁v₁₃Dt/2: Հանգունորեն՝ երկ-

րորդ հատույթով անցած հեղուկի տարրի պո-

տենցիալ և կինետիկ էներգիաները կլինեն՝

E_պ2=tS₂v₂Dtgh₂ և E_կ2=tS₂v₂₃Dt/2:

Նկ.192. Բեռնուլիի հավասարման

Առաջին հատույթով

անցնող հեղուկի

արտածումը լուսաբանող հոսանքի

տարրի վրա ազդող արտաքին (այդ հատույ-

խողովակ

թից ձախ տիրույթի հեղուկի) ճնշման ուժերը

ուղղված են հեղուկի շարժման ուղղությամբ, և նրանց աշխատանքը դրական է, իսկ

երկրորդ հատույթով անցնող հեղուկի տարրին կիրառված արտաքին ուժերը՝ շարժ-

ման ուղղությանը հակառակ, և նրանց աշխատանքը բացասական է: Ուստի՝

արտաքին ուժերի գումարային աշխատանքը կլինի՝ A = p₁S₁l₁-p₂S₂l₂= p₁S₁v₁Dt -

-p₂S₂v₂Dt: Համաձայն լրիվ մեխանիկական էներգիայի փոփոխության թեորեմի՝

A=DE, որտեղ

(El2+E

)

(El1+E

)

(tS

Dtgh

2)-

(tS

Dtgh

2):

Հետևաբար՝

(p1S1v1 p2S2v2)Dt

=t Dt(S2v2h2 S1v1h1)

t (S2v

S1v3) 2

+ tD

Հաշվի առնելով անընդհատության (11.4) հավասարումը, համաձայն որի՝

v₁S₁=v₂S₂, կարող ենք ստացված հավասարումը կրճատել v₁S₁-ով, որից հետո

կստանանք՝ p p

=tg (h2 h1)+t(v

-v2) 2, կամ՝

tgh

(11.5)

(11.5) հավասարումը, ի պատիվ շվեյցարացի մաթեմատիկոս և մեխանիկոս

Դանիել Բեռնուլիի (1700 -1782), որ առաջինն է գրել այն, կոչվում է Բեռնուլիի հա-

վասարում: Այն շարժվող հեղուկի հիմնական հավասարումն է:

p+tgh

=const:

(11.6)

(11.6) հավասարման ձախ մասը կարելի է դիտել նաև որպես ճնշումների գումար.

p-ն հեղուկի վրա գործադրված արտաքին ճնշումն է, tgh-ը՝ հեղուկի հիդրոստատիկ

242

ՖԻԶԻԿԱ 10

ճնշումը, իսկ tv²/2-ը՝ հեղուկի շարժմամբ պայմանավորված ճնշումը՝ հիդրոդինա-

միկական ճնշումը: Այսպիսի մեկնաբանությամբ (11.6) հավասարման ձախ կողմը

շարժվող հեղուկի լրիվ ճնշումն է հոսանքի խողովակի կամայական հատույթում:

Հետևաբար՝ համաձայն Բեռնուլիի հավասարման, շարժվող հեղուկի լրիվ ճնշու-

մը պահպանվում է:

Եթե խողովակը հորիզոնական է, այսինքն՝ խողովակով հոսող հեղուկի մա-

կարդակն անփոփոխ է (h = const) ապա (11.6) հավասարումից հետևում է, որ

=const

(11.7)

(11.7) առնչությունն արտահայտում է այն փաստը, որ խողովակի այն հա-

տույթներում, որտեղ հեղուկի արագությունը մեծ է, ճնշումը փոքր է, և հակառակը:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ի՞նչ է շարժվող հեղուկի ստատիկ ճնշումը: Ինչպե՞ս են այն չափում: 2. Ի՞նչ էներգիա-

կան մեկնաբանություն ունի ՙճնշում՚ ֆիզիկական մեծությունը: 3. Հիմնվելով ճնշման

էներգիական մեկնաբանության վրա և օգտվելով

էներգիայի պահպանման օրենքից՝

արտածե°ք Բեռնուլիի հավասարումը: 4. Ի՞նչ է շարժվող հեղուկի լրիվ ճնշումը: Ճնշումնե-

րի ՙլեզվով՚ մեկնաբանե°ք Բեռնուլիի հավասարումը: 5. Նկարում պատկերված է տարբեր

մակերեսներով (S₁>S₃>S₂) լայնական հատույթներ ունեցող խողովակ, որով հոսում է ջուր:

Անընդհատության և Բեռնուլիի հավասարումների հիման վրա բացատրե°ք, թե ինչու±

կացրի (պուլվերիզատոր) աշխատանքը: Երբ փչում ենք (1) խողովակի մեջ, որի ծայրը

նեղացրած է, անոթից (2) խողովակով հեղուկը մղվում է դեպի վեր« անցքի մոտ ընկնում

է օդի շիթի մեջ և փոշեցրվում է: Բացատրե°ք այդ երևույթը: 8. Բացատրե°ք« թե ինչպես է

ՄԱԾՈՒՑԻԿ ՀԵՂՈՒԿԻ ՀՈՍՔԸ:

81.

ՇՐՋՀՈՍԵԼԻՈՒԹՅՈՒՆ

Մենք դիտարկեցինք հեղուկների և գազերի շարժումը՝ առանց հաշվի առնելու

նրանց շերտերի միջև առկա այն փոխազդեցության ուժերը, որոնց ազդման գծերն

այդ շերտերի շոշափողներ են: Այդ ուժերն անվանում են ներքին շփման կամ մա-

ծուցիկության ուժեր: Համաձայն Նյուտոնի 3-րդ օրենքի՝ երկու հարևան շերտե-

րից յուրաքանչյուրը մյուսի վրա ազդում է մոդուլով հավասար, ուղղությամբ՝ հա-

կադիր մածուցիկության ուժով:

Գործնական շատ խնդիրներում հեղուկների ներքին շփումն անտեսել հնա-

ԳԼՈՒԽ

XI. ՀԵՂՈՒԿՆԵՐԻ ԵՎ ԳԱԶԵՐԻ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅԻ ՏԱՐՐԵՐ

243

րավոր չէ. բազմաթիվ են այն երևույթները, որոնք կարելի է բացատրել, երբ հաշվի

ենք առնում հեղուկների հենց այդ հատկությունը:

Դիտարկենք, օրինակ, հետևյալ փորձը: Անփո-

փոխ լայնական հատույթով հորիզոնական խողովակի

երկայնքով տեղադրենք մի քանի ճնշաչափ: Քանի դեռ

խողովակում հեղուկն անշարժ է, ճնշաչափների ցուց-

մունքները նույնն են: Բայց երբ հեղուկն սկսում է հոսել

Նկ. 193. Շարժման ուղ-

խողովակով, շարժման ուղղությամբ ճնշումն ընկնում է,

ղությամբ հեղուկի ճնշման

չնայած հեղուկի արագությունը խողովակի բոլոր հա-

անկումը ցուցադրող փորձ

տույթներում միևնույնն է (նկ. 193): Այս փաստը կարե-

լի է բացատրել միայն շարժվող հեղուկի շերտերի միջև մածուցիկության ուժերի

առկայությամբ: Իրոք, եթե խողովակով հեղուկը շարժվեր միայն ճնշման ուժերի

ազդեցությամբ, ապա, օրինակ, (1) և (2) հատույթների միջև հեղուկի շարժումը

կլիներ արագացմամբ: Բայց հեղուկի շերտերը խողովակով հոսում են հավասա-

րաչափ: Նշանակում է՝ խողովակի պատերը հեղուկի վրա ազդում են նրա շարժմա-

նը հակառակ ուղղված ուժերով: Այդ ուժերն էլ հենց հավասարակշռում են ճնշման

ուժերը: Այդպիսի ուժեր գոյանում են նաև շարժվող հեղուկի առանձին շերտերի

միջև, որոնք էլ հենց ներքին շփման կամ մածուցիկության ուժերն են:

Մածուցիկության ուժերի առկայությամբ խողովակին անմիջապես հպվող

հեղուկի շերտը շփման ուժով ազդում է իր հարևան շերտի վրա, վերջինս՝ հաջորդ

շերտի վրա և այսպես շարունակ: Այսպիսով՝ խողովակի պատերը շփման ուժե-

րի միջոցով ազդում են ամբողջ հեղուկի վրա: Խողովակի պատին հպված հեղուկի

շերտը չի շարժվում, իսկ խողովակի պատերից հեռանալուն զուգընթաց մնացած

շերտերի շարժման արագություններն աստիճանաբար մեծանում են:

Պարզելու համար հեղուկի շերտերի արագությունների բաշխումը քննար-

կենք հետևյալ փորձը: Պատկերացնենք երկու զուգահեռ, հարթ թիթեղների միջև

պարփակված հեղուկ (նկ. 194): Դիցուք՝ ներքևի թիթեղն

անշարժ է, իսկ վերևինը շարժվում է հաստատուն v₀

արագությամբ: Փորձը ցույց է տալիս, որ հեղուկը յու-

րաքանչյուր թիթեղի վրա ազդում է F ուժով, որը համե-

մատական է վերևի թիթեղի շարժման v₀ արագությանը,

թիթեղի S մակերեսին և հակադարձ համեմատական

թիթեղների d հեռավորությանը՝

Նկ. 194. Երկու հարթ թի-

թեղների միջև պարփակված

⁰ :

(11.8)

մածուցիկ հեղուկ

(11.8) բանաձևն անվանում են Նյուտոնի բանաձև: h գործակիցը բնութագրում

է հեղուկի այն հատկությունը, որը դրսևորվում է դանդաղ սահող շերտի՝ արագ սա-

հող շերտին ցույց տրվող դիմադրությամբ, և կոչվում է մածուցիկություն: h-ն տար-

բեր հեղուկների համար տարբեր է« կախված է նաև ջերմաստիճանից:

(11.8) բանաձևից

Fd Sv₀

« որը հնարավորություն է տալիս որոշելու մա-

ծուցիկության միավորը՝

6F@6d@

G$r

6h@=

Lf $a:

@6v

244

ՖԻԶԻԿԱ 10

Աղյուսակ 3

Ջերմաս-

Մածուցիկու-

Ջերմաս-

Մածուցիկու-

տիճան,

թյուն,

տիճան,

թյուն,

C

h, 10^-3 Պա.վ

C

h, 10^-3 Պա.վ

Հեղուկներ

Շարժիչի յուղ

200

Գլիցերին

1500

1,8

Ջուր

1,0

Գազեր

100

0,3

Օդ

1,8 ©10^-2

Արյուն

Ջրածին

0,9 ©10^-2

Էթիլ սպիրտ

1,2

Ջրի գոլորշի

100

1,3 ©10^-2

Այսպիսով՝ միավորների ՄՀ-ում մածուցիկության միավորը 1 Պա . վ է:

3-րդ աղյուսակում ներկայացված են մի քանի հեղուկների և գազերի մածուցի-

կության տվյալները« ըստ որոնց՝ գազերի մածուցիկությունը հարյուրավոր անգամ

փոքր է հեղուկների մածուցիկությունից:

Գործնականում կարևոր այն հարցերը, որոնք վերաբերում են անշարժ հե-

ղուկում կամ գազում շարժվող պինդ մարմնի վրա ազդող ուժերին, որոնք կոչվում

են դիմադրության ուժեր: Հաճախ, սակայն, ավելի հարմար է դիտարկել անշարժ

պինդ մարմնի վրա շարժվող հեղուկի կամ գազի ազդեցությունը. երկու մոտեցում-

ներն էլ, համաձայն Գալիլեյի հարաբերականության սկզբունքի, համարժեք են:

Նախքան նշված հարցերին անդրադառնալը

համոզվենք, որ իդեալական հեղուկը դիմադրության

ուժով չի ազդում շարժվող պինդ մարմնի վրա: 195 -րդ

նկարից ակնհայտ է, որ շրջհոսող հեղուկի հոսանքի

գծերը համաչափ են դասավորված գնդի նկատմամբ.

թե° գնդից վերև, թե° ներքև հոսանքի գծերի խտություն-

ները, հետևաբար՝ նաև հեղուկի մասնիկների արագու-

Նկ.195. Ոչ մածուցիկ հեղուկի

թյունները նույնն են: Համաձայն Բեռնուլիի օրենքի՝

հոսանքի գծերը գունդը

հեղուկի ճնշումները գնդից ներքև և վերև դարձյալ

շրջհոսելիս դասավորված են

համաչափ

նույնն են: Ճնշումը նույնն է գնդի ձախ և աջ կողմե-

րում: Հետևաբար՝ մարմնի մակերևույթի առանձին տարրերի վրա ազդող հեղուկի

ճնշման ուժերի համազորը զրո է:

Նշանակում է՝ մարմնի վրա ազդող դիմադրության ուժերը պայմանավոր-

ված են հեղուկի մածուցիկությամբ:

Որպես կանոն՝ տարբերում են հեղուկում պինդ մարմնի վրա ազդող երկու տի-

պի դիմադրության ուժեր՝ պայմանավորված մածուցիկությամբ (ներքին շփմամբ)

և ճնշմամբ: Մածուցիկությամբ պայմանավորված դիմադրության ուժը, ինչպես

երևում է (11.8) բանաձևից, կախված է հեղուկի մածուցիկությունից, արագությու-

նից և մարմնի չափերից: Նշանակելով մարմնի բնութագրական չափը l -ով՝ դիմադ-

Fv =Bh^mvⁿl^k,

(11.9)

որտեղ B -ն չափազուրկ գործակից է, իսկ m, n և k անհայտ ցուցիչները որոշվում

են այն պայմանից, որ (11.9) հավասարության ձախ և աջ մասերի չափայնություն-

ԳԼՈՒԽ

XI. ՀԵՂՈՒԿՆԵՐԻ ԵՎ ԳԱԶԵՐԻ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅԻ ՏԱՐՐԵՐ

245

ները նույնն են: Դրանք ներկայացնենք մեխանիկական մեծությունների՝ երկա-

րության (L), զանգվածի (M) և ժամանակի (T) չափայնություններով՝ [F_v ] = Ն =

= կգ .մ/վ² = MLT^-2, [h]= Պա . վ= Ն . վ / մ²= ML^-1 T^-1, [v]= մ/վ= LT^-1, [l ]= մ= L, ու-

րեմն, MLT^-2= (ML^-1 T^-1)^m(LT^-1)ⁿ L^k= M^mL-m+n+k T-m-n: Հավասարեցնելով ձախ և

աջ կողմերում միևնույն միավորների ցուցիչները, կստանանք՝ m = 1, - m + n + k = 1,

-m-n = -2, հետևաբար՝ m= n= k= 1: Այսպիսով, (11.9) արտահայտությունը կար-

Fv =Bhv l :

(11.10)

B գործակիցը հաճախ որոշում են փորձնականորեն: Անգլիացի ֆիզիկոս և մաթե-

մատիկոս Ջորջ Ստոքսը (1819-1903) ցույց է տվել, որ, օրինակ, գնդի համար« որի

բնութագրական չափը նրա շառավիղն է՝ l = R, B = 6r : Ուստի՝ հեղուկի մածուցի-

կությամբ պայմանավորված դիմադրության ուժը գնդի դեպքում արտահայտվում է

Fv =6rhv R

(11.11)

բանաձևով, որն անվանում են Ստոքսի բանաձև:

Դիմադրության ուժ կարող է առաջանալ նաև հեղուկում շարժվող մարմնի առ-

ջևի և հետևի տիրույթներում ճնշումների տարբերության հետևանքով: Այդ դիմադ-

րության ուժն անվանում են ճնշման դիմադրության ուժ, երբեմն ճակատային

դիմադրության ուժ:

Ճակատային դիմադրության ուժի առաջացման պատճառը մարմնի հետևի

տիրույթում առաջացող մրրիկները՝ պտուտահոսանքներն են: Հեղուկի հոսանքն

այդ մրրիկները հեռացնում է մարմնից՝ առաջացնելով

այսպես կոչված մրրկաշավիղ (նկ. 196):

Առաջացած մրրիկները խախտում են հեղուկի

շրջհոսման համաչափությունը, որի հետևանքով

Նկ.196. Ճակատային դիմա-

մարմնի առջևում հեղուկի ճնշումը դառնում է ավելի

դրության ուժի առաջացումը:

մեծ, քան հետևում՝ p₁ > p₂:

Մարմնի հետևի տիրույթում

Ճակատային դիմադրության ուժը կախված է

առաջանում է մրրկաշավիղ,

հեղուկի խտությունից,

արագությունից և մարմնի

որի պատճառով առջևի և հե-

տևի տիրույթներում ճնշումնե-

առավելագույն լայնական հատույթի մակերեսից և

րը տարբեր են՝ p₁ > p₂:

արտահայտվում է

(11.12)

բանաձևով, որտեղ c ճակատային դիմադրության գոր-

ծակիցը կախված է մարմնի ձևից կամ, ինչպես ասում

են« մարմնի շրջհոսելիությունից: Օրինակ՝ սկավա-

ռակի համար c=1,11,2, գնդի համար՝ c=0,20,4, կա-

թիլաձև մարմնի համար՝ c.0,04 (նկ. 197): Այսինքն

նույն

առավելագույն լայնական հատույթի մա-

Նկ. 197. Ճակատային դիմա-

կերեսով հոսող հեղուկի՝ կաթիլաձև մարմնի վրա

դրության ուժն ամենափոքրն

ճակատային դիմադրության ուժը 30 անգամ փոքր է.

է կաթիլաձև մարմնի համար

այս դեպքում ասում են, որ կաթիլն ավելի շրջհոսելի է,

և ամենամեծը՝ սկավառակի

համար:

քան սկավառակը:

246

ՖԻԶԻԿԱ 10

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ո±ր ուժերն են անվանում ներքին շփման կամ մածուցիկության ուժեր: 2. Ի՞նչ փորձով

կարելի է համոզվել, որ հեղուկում առկա են մածուցիկության ուժեր: 3. Գրե°ք Նյուտոնի

բանաձևը: 4. Հեղուկի ի՞նչ հատկություն է բնութագրում մածուցիկությունը, և ի՞նչ միա-

վորով է այն արտահայտվում: 5. Ո±ր ուժերն են կոչվում դիմադրության ուժեր: 6. Չափայ-

նությունների մեթոդով

արտածե°ք մածուցիկությամբ պայմանավորված դիմադրության

ուժի բանաձևը: Գրե°ք Ստոքսի բանաձևը: 7. Որքա±ն է փոխվում ջրի մածուցիկությունը«

երբ ջերմեստիճանը 0 C¬ից դառնում է 100 C: 8. Ի՞նչ է ճակատային դիմադրության ու-

ժը: Չափայնությունների մեթոդով ստացե°ք այդ ուժի բանաձևը: 9. Ինչի±ց է կախված

ճակատային դիմադրության գործակիցը:

82.

ԻՆՔՆԱԹԻՌԻ ԹԵՎԻ ՎԵՐԱՄԲԱՐՁ ՈՒԺԸ

Հեղուկ կամ գազային միջավայրում շարժվող մարմնի վրա միջավայրի ճնշման

ուժերի համազորի՝ շարժման ուղղությանն ուղղահայաց բաղադրիչն անվանում են

վերամբարձ ուժ:

Ինչպես տեսաք

(նկ. 196), իդեալական հեղուկում

(կամ

գազում) շարժ-

վող մարմնի վրա ճնշման ուժ, հետևաբար՝ նաև վերամբարձ ուժ չի առաջանում:

Հետևաբար՝ վերամբարձ ուժ կարող է առաջանալ միայն մածուցիկ միջավայրում:

Իսկ դրա համար անհրաժեշտ է, որ հեղուկը (գազը) մարմինը շրջհոսի անհամաչա-

փորեն, այսինքն՝ մարմինը շրջհոսող հոսանքի գծերի խտությունը մարմնին ներքև-

ից և վերևից հարող տիրույթներում լինի տարբեր:

Հասկանալու համար, թե ինչպես կարող է հե-

ղուկը (գազը) անհամաչափորեն շրջհոսել մարմինը,

դիտարկենք օդում պտտվող գլան, որը միաժամա-

նակ շարժվում է համընթաց: Բայց կարող ենք պատ-

կերացնել, որ գլանը միայն պտտվում է, իսկ օդը

Նկ©198. Պտտվող

մածուցիկ օդը ՙկպչում՚ նրա մակերևույթին: Այդ շեր-

գլանի վերամբարձ ուժի

տը, ինչպես նաև նրան հարող օդի շերտերը նույնպես

առաջացումը

շրջապտույտ են կատարում գլանի շուրջը:

(Մագնուսի երևույթը)

Ինչպես երևում է 198-րդ նկարից, գլանից ներ-

քև օդի հոսանքի (համընթաց շարժվող օդի) և գլանի

հետ պտտվող օդի շերտերի արագությունները հա-

կուղղված են: Հետևաբար՝ օդի արդյունարար արա-

գությունը

փոքր է օդի հոսանքի

արագությունից:

Գլանից վերև, ընդհակառակը, այդ արագությունները

համուղղված են, և օդի արդյունարար արագությունն

ավելի մեծ է, քան գլանից նեքև: Համաձայն Բեռնու-

լիի օրենքի՝ գլանից ներքև օդի ճնշումն ավելի մեծ է,

քան գլանից վերև: Ճնշումների այդ տարբերության

Նկ.199. Մագնուսի երևույթը

շնորհիվ գլանի վրա ազդող համազոր ճնշման F վե-

դիտվում է, երբ թեթև գլանը

գլորվում է թեք հարթությունից:

րամբարձ ուժն ուղղված է դեպի վեր (նկ. 198): Սա էլ

ԳԼՈՒԽ

XI. ՀԵՂՈՒԿՆԵՐԻ ԵՎ ԳԱԶԵՐԻ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅԻ ՏԱՐՐԵՐ

247

հենց Մագնուսի երևույթն է (Հայնրիխ Մագնուս (1802-1870)՝ գերմանացի ֆիզիկոս

և քիմիկոս):

Մագնուսի երևույթը կարելի է դիտել, երբ, օրինակ, ստվարաթղթից պատ-

րաստված թեթև գլանը ցած է գլորվում թեք հարթությունից (նկ. 199):

Նման ձևով է առաջանում ինքնաթիռի թևի վերամբարձ ուժը« սակայն ինք-

նաթիռի թևը շրջհոսող օդի շրջապտույտն ստեղծվում է այլ պատճառներով: Երբ

օդը շրջհոսում է ինքնաթիռի թևը, նրա հետևի սուր եզրի մոտ ծագում են մրրիկներ

(պտուտահոսանքներ), որոնց մեջ օդի շրջապտույտը տեղի է ունենում ժամսլաքի

պտտման հակառակ ուղղությամբ (նկ. 200): Այդ մրրիկները, մեծանալով, այնու-

հետև պոկվում են թևից: Փոխչեզոքացնելու համար

թևից պոկված մրրիկների պտույտը՝ օդի մնացած

զանգվածն սկսում է պտտվել հակառակ ուղղությամբ՝

ինքնաթիռի թևի շուրջն առաջացնելով շրջապտույտ

ժամացույցի սլաքների շարժման ուղղությամբ:

Շրջապտույտ կատարող օդի և դեպի թևը շարժ-

վող օդային հոսանքների վերադրման հետևանքով

օդի շարժման արագությունը թևից վերև ավելի մեծ է,

քան թևից ներքև (նկ. 200):

Նկ.200. Ինքնաթիռի թևը շրջա-

Հետևաբար, համաձայն Բեռնուլիի օրենքի, օդի

հոսելիս օդի շրջապտույտի և

ճնշումը թևից վերև փոքրանում է, իսկ թևից ներքև՝

մեծանում, որն էլ հանգեցնում է վերամբարձ ուժի

F2 -ը՝ ճակատային դիմադրու-

թյան ուժն է:

առաջացման (նկ. 200):

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ո±ր ուժն

է կոչվում վերամբարձ ուժ:

2. Ինչպիսի՞ հեղուկ կամ

գազային միջա-

վայրում է հնարավոր վերամբարձ ուժի առաջացումը: 3. Ի՞նչ է Մագնուսի երևույթը:

Բացատրե°ք վերամբարձ ուժի առաջացումն այդ երևույթում: 4. Բացատրե°ք, թե ինչպես

առաջանում ինքնաթիռի թևի վերամբարձ ուժը: 5. Սեղանին՝ թեք հարթության վրա«

դրեք ստվարաթղթե թեթև գլան (տե°ս նկարը): Գլորվելով թեք

հարթությունից՝

գլանն ընկնում

է սեղանից: Պարաբոլաձև

հետագծո±վ

է շարժվում

արդյոք գլանի ծանրության կենտ-

րոնը: Ինչու±: Ցուցում: Օգտվելով

աջ կողմում պատկերված

նկարից՝ համեմատել ընկնող

գլանի ձախ և աջ կողմերը

շրջհոսող հանդիպակաց օդի շարժման արագությունները և

նկատի առնել Բեռնուլիի հավասարումը: 6. Սեղանի թենիս

խաղալիս, երբ թևճակը կտրուկ շարժում են վերև՝ գնդիկը պտտեցնելով 1-ին նկարում

պատկերված սլաքի ուղղությամբ, ապա գնդիկի շարժման հետագիծը կտրուկ կորա-

նում

է: Ընդհակառակը, թևճակը կտրուկ շարժելով վար՝ գնդիկը պտտեցնելով 2-րդ

նկարում պատկերված սլաքի ուղղությամբ՝ գնդիկը շարժման ընթացքում ավելի վեր է

բարձրանում, և նրա հետագիծը պակաս թեքավուն է դառնում: Բացատրե°ք, թե ինչու:

248

ՖԻԶԻԿԱ 10

Խնդիրների լուծման օրինակներ

1. m =14,7 կգ զանգվածով թագը ջրում կշռում է P =131,32 Ն: Ոսկու±ց է արդյոք

թագը, թե՞ ոչ: Ոսկու խտությունը 19300 կգ/մ³ է:

Լուծում: Ջրում թագի P կշիռը օդում թագի P₀ կշռի և ջրում թագի վրա ազդող F_A

արքիմեդյան ուժի տարբերությունն է՝ P = P₀ -F_A=mg-tVg, որտեղ t -ն ջրի խտու-

թյունն է: Այստեղից կարող ենք որոշել թագի ծավալը՝ V = (mg-P ) /tg: Թագի

խտությունը՝

mtg

1000

11307 կգ/մ³,

V mg P

0,91

որը համընկնում է կապարի խտությանը:

Պատասխան՝ ակնհայտ է, որ թագը կապարից է:

2. Ինչու± է նեղանում խոհանոցի ծորակից դանդաղ հոսող ջրի շիթը:

Լուծում: Համաձայն անընդհատության հավասարման՝ Sv=const, որտեղ S-ը ջրի

շիթի լայնական հատույթի մակերեսն է, v -ն՝ այդ հատույթով անցնող ջրի հոսքի

արագությունը: Քանի որ ընկնելիս ջրի արագությունն աստիճանաբար մեծանում

է, ապա, ակներև է, ցած հոսելուն զուգընթաց ջրի շիթի հատույթի մակերեսը պետք

է ավելի փոքր դառնա:

3. Լայն անոթում լցված է ջուր, որը, պատին արված նեղ անցքով, ծանրության

ուժի ազդեցությամբ, կարող է արտահոսել անոթից: Որոշել ջրի արտահոսման

v արագությունը, եթե անցքը ջրի ազատ մակերևույթից h խորությամբ մակար-

դակում է (նկար): Ջուրը համարել անսեղմելի:

Լուծում: Ըստ խնդրի պայմանի՝ անոթի լայնական հատույ-

թի մակերեսը շատ մեծ է անցքի մակերեսից: Ուստի՝ կարելի է

համարել, որ ջրի ազատ մակերևույթի իջնելու արագությու-

նը գրեթե զրո է՝ v = 0: Հետևաբար՝ Բեռնուլիի հավասարումը

ջրի ազատ մակերևույթին և անցքի մոտ նույնն է և հավասար է մթնոլորտային

ճնշմանը: Այստեղից ջրի արտահոսման արագությունը՝ v =

2gh : Այս բանաձևն

անվանում են Տորիչելիի բանաձև:

Պատասխան՝ v =

2gh :

4. Գնահատել, թե առնվազն որքա՞ն պետք է լինի ճնշումների պարբերությունը

ինքնաթիռի թևի տակ և թևի վրա, որպեսզի ինքնաթիռը մնա օդում:

Լուծում: Ակներև է, որ օդում մնալու համար վերամբարձ ուժը չպետք է փոքր լինի

ծանրության ուժից, այսինքն՝ F  mg« որտեղ m-ն ինքնաթիռի զանգվածն է, F -ը՝

թևի վերամբարձ ուժը՝ F = DpS (S -ը թևերի ընդհանուր մակերեսն է, Dp-ն՝ թևից

ներքև և վերև օդի ճնշումների տարբերությունը): Հետևաբար՝ DpS  mg: Տեղեկա-

տու աղյուսակներից կարելի է գտնել, որ m .^ կգ, S . մ², հետևաբար՝

6,7$103Պա:

Ինչպես տեսնում ենք, Dp-ն զգալիորեն փոքր է p₀ մթնոլորտային ճնշումից՝

p₀ . Պա:

Պատասխան. 6,7.10³ Պա:

ԳԼՈՒԽ

XI. ՀԵՂՈՒԿՆԵՐԻ ԵՎ ԳԱԶԵՐԻ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅԻ ՏԱՐՐԵՐ

249

ԽՆԴԻՐՆԵՐ

ԳԼՈՒԽ II

ԸՆԴՀԱՆՈՒՐ ՏԵՂԵԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ՇԱՐԺՄԱՆ ՄԱՍԻՆ

Շոգենավը հարավային ուղղությամբ անցավ 300 մ, այնուհետև արևմտյան

ուղղությամբ՝ 400 մ: Շոգենավի անցած ճանապարհը քանի± մետրով է մեծ

նրա տեղափոխության մոդուլից:

Գնդակն ընկավ 10 մ բարձրությունից, հատակին հարվածելուց հետո հետ

թռավ և բռնվեց 5 մ բարձրության վրա: Գնդակի անցած ճանապարհը քանի±

անգամ է մեծ նրա տեղափոխության մոդուլից:

Մարմինը հավասարաչափ պտտվում է 10 մ շառավիղ ունեցող շրջանագծով:

Հաշվել մարմնի անցած ճանապարհը և տեղափոխության մոդուլը քառորդ

պարբերությունից հետո:

Ավտոմեքենան շրջադարձ կատարելիս գծում է կիսաշրջանագիծ: Ավտոմեքե-

նայի անցած ճանապարհը քանի± անգամ է մեծ այդ նույն ժամանակում նրա

տեղափոխության մոդուլից:

Նյութական կետի շարժումը ներկայացվում է x = 2t և y = 8t հավասարումնե-

րով: Ի՞նչ տեսք ունի նրա շարժման հետագիծը:

6.*

Նյութական կետի շարժումը ներկայացվում է x = Asin~t և y = Acos~t հա-

վասարումներով: Ի՞նչ տեսք ունի նրա շարժման հետագիծը:

Նկարում պատկերված

դպրոցամերձ

ֆուտբոլի

դաշտի պլանը: Որոշեք

անկ-

յունային դրոշակների (O, C, F, L), գնդա-

կի (E) և հանդիսատեսների (A, B, D, K, M)

կոորդինատները:

Նկարում ցույց են տրված հինգ նյութական

կետերի տեղափոխությունները: Գտեք տե-

ղափոխությունների վեկտորների պրոյեկ-

Խնդիր 7

ցիաները կոորդինատային

առանցքների

վրա:

Մարմինը x₁= -1 մ, y₁=3 մ կոորդինատ-

ներով կետից տեղափոխվում

է x₂= 4 մ,

y₂=-2 մ կոորդինատներով կետը:

Գծեք

պարզաբանող գծագիր, ցույց տվեք տեղա-

փոխության վեկտորն ու դրա պրոյեկցիանե-

րը կոորդինատային առանցքների վրա:

Խնդիր 8

10.

Արշավախումբը շարժվում է՝ կողմնորոշվե-

լով կողմնացույցով: Գնալով 30 ազիմուտով՝ արշավախումբն անցավ 400 մ

ճանապարհ, իսկ այնուհետև 0,4 կմ ճանապարհ անցավ 270 ազիմուտով,

ապա 200 մ ճանապարհ՝ 0 ազիմուտով: Պատկերեք արշավախմբի շարժ-

ման հետագիծը, որոշեք նրա կատարած տեղափոխության մոդուլը և անցած

ճանապարհը: (Ազիմուտը դեպի հյուսիս տանող ուղղության ու շարժման ուղ-

ղության կազմած անկյունն է՝ հաշվված ժամսլաքի պտտման ուղղությամբ):

11.

Մարմինը M0(x0, y0) կետից տեղափոխվեց M (x, y) կետը: Որքա±ն է տեղա-

փոխության մոդուլը՝ արտահայտված M₀ և M կետերի կոորդինատներով:

Գունավոր թվերով նշված են խորացված հոսքի համար նախատեսված խնդիրները:

250

ՖԻԶԻԿԱ 10

ԳԼՈՒԽ III

ՈՒՂՂԱԳԻԾ ՀԱՎԱՍԱՐԱՉԱՓ ՇԱՐԺՈՒՄ

12.

Հավասարաչափ շարժվող երկու ավտոմեքենաներից մեկը 20 վ-ում անցավ

նույն ճանապարհը, ինչ որ երկրորդը՝ 15 վ-ում: Որոշել երկրորդ ավտոմեքե-

նայի արագությունը, եթե առաջինը շարժվում է 24 մ/վ արագությամբ:

13.

X առանցքով շարժվող նյութական կետի կոորդինատը ժամանակից կախ-

ված փոխվում է x =20-5t օրենքով, որտեղ մեծություններն արտահայտված

են ՄՀ-ի համապատասխան միավորներով: Ի՞նչ շարժում է կատարում մար-

մինը, ո՞ր կետից է սկսել շարժումը, ո՞ր ուղղությամբ է այն շարժվում: Որոշեք

մարմնի դիրքը և անցած ճանապարհը շարժումն սկսելուց 4 վ հետո:

14.

Երկու մարմինների շարժումները նկարագրվում են x₁=10t և x₂=250-15t հա-

վասարումներով, որտեղ մեծություններն արտահայտված են ՄՀ-ի համապա-

տասխան միավորներով: Ժամանակի ո՞ր պահին կհանդիպեն մարմինները,

հաշվարկման սկզբնակետից ի՞նչ հեռավորության վրա: Ժամանակի ո՞ր պա-

հերին նրանց հեռավորությունը կլինի 50 մ:

15.

Նկարագրեք այն շարժումները, որոնց գրաֆիկները պատկերված են նկա-

րում: Ի՞նչ է նշանակում գրաֆիկների հատման կետը:

16.

Նկարում պատկերված են երկու մարմինների շարժման գրաֆիկները: Որքա±ն

է նրանցից յուրաքանչյուրի արագության պրոյեկցիան:

17.

Երկու մարմինների շարժման գրաֆիկներից պարզեք, թե ո՞ր մարմնի արա-

գությունն է ավելի մեծ, ի՞նչ են ցույց տալիս x₀-ն և t₀-ն:

18.

X առանցքով շարժվող երկու մարմինների շարժման գրաֆիկները պատկեր-

ված են նկարում: Մինչև t₀ պահը ո՞ր մարմնի անցած ճանապարհն է ավելի

մեծ և ինչու±: Կհանդիպե±ն արդյոք մարմինները, եթե շարունակեն շարժումը:

Ո±ր մարմինն ավելի շուտ կհասնի x₀ կետին:

19.

Մարմինը v հաստատուն արագությամբ M(x₀, y₀ ) կե-

տից շարժվում է հորիզոնի նկատմամբ a անկյուն կազ-

մող թեք հարթությամբ դեպի վեր: Գտեք մարմնի x և y

կոորդինատների՝ ժամանակից կախումն արտահայտող

հավասարումները:

20.

60 անկյան տակ հատվող ճանապարհներով միևնույն 50 կմ/ժ արագությամբ

շարժվող ավտոմեքենաների հեռավորությունը խաչմերուկում հանդիպելուց

ինչքա±ն ժամանակ հետո կդառնա 2 կմ:

21.

Մի նավահանգստից մյուսը, որոնց հեռավորությունը 120 կմ է, գետի հոսանքի

ուղղությամբ ջերմանավն անցնում է 10 ժ-ում և վերադառնում 12 ժ-ում: Որո-

շեք ջերմանավի և գետի հոսանքի արագությունները:

22. Մետրոյի շարժասանդուղքը ուղևորին բարձրացնում է 30 վայրկյանում: Ան-

շարժ շարժասանդուղքով ուղևորը բարձրանում է 1,5 րոպեում: Ինչքա±ն ժա-

մանակում ուղևորը կբարձրանա շարժվող շարժասանդուղքով:

Խնդիր 15

Խնդիր 16

Խնդիր 17

Խնդիր 18

ԽՆԴԻՐՆԵՐ

251

23.

Երևանից Ստեփանակերտ ուղղաթիռը համընթաց քամու ուղղությամբ անց-

նում է 40 ր-ում, իսկ Ստեփանակերտից Երևան՝ 1,6 ժ-ում: Երկու դեպքում էլ

քամու արագությունը նույնն է: Որոշեք ուղղաթիռի արագությունը օդի նկատ-

մամբ, եթե քաղաքների հեռավորությունը 200 կմ է:

24.

Շոգենավը գետով մի նավահանգստից մյուսն անցնում է 6 օրում, վերադառ-

նում՝ 9 օրում: Քանի± օրում կանցնի լաստն այդ հեռավորությունը:

25.

Ապացուցե°ք, որ միևնույն հեռավորությունը գնալն ու վերադառնալը գետով

միշտ ավելի երկար է տևում« քան լճով: Երկու դեպքում էլ նավի արագությունը

ջրի նկատմամբ նույնն է:

26.

Երկու ավտոմեքենա շարժվում են 45 անկյուն կազմող փողոցներով, մեկը

30 մ/վ արագությամբ, մյուսը՝ 20 մ/վ: Որոշեք ավտոմեքենաների հարաբերա-

կան արագության մոդուլը:

27.

300 մ երկարությամբ գնացքը շարժվում է ուղղագիծ հավասարաչափ: Ավտո-

մեքենան գնացքի վերջից մինչև սկիզբը և սկզբից մինչև վերջը գնում և վերա-

դառնում է 37,5 վ-ում՝ 25 մ/վ արագությամբ: Գտեք գնացքի արագությունը:

28.

Մոտորանավակը շարժվում է այնպես, որ տեղափոխվում է ափին ուղղահա-

յաց ուղղությամբ: Նավակի արագությունը կանգնած ջրում 1,7 մ/վ է, գետի

հոսանքի արագությունը՝ 0«8 մ/վ, գետի լայնությունը՝ 225 մ: Որքա±ն ժամանա-

կում նավակը կհատի գետը:

29.

Մոտորանավակը գետի մի ափից պետք է անցնի մյուս ափը՝ ջրի նկատմամբ

մոդուլով հաստատուն արագությամբ: Ի՞նչ ուղղությամբ շարժվելու դեպքում

գետանցի ժամանակը կլինի նվազագույնը:

30.

Նավամատույցից միաժամանակ շարժվեցին նավակն ու լաստը՝ հակառակ

ուղղություններով: 2 ժ անց նավակը հետ դարձավ և հետադարձ ճանապարհին

հանդիպեց լաստին: Գտեք հանդիպման վայրի հեռավորությունը նավամա-

տույցից, եթե գետի հոսանքի արագությունը 2 կմ/ժ է:

ԳԼՈՒԽ IV

ՈՒՂՂԱԳԻԾ ԱՆՀԱՎԱՍԱՐԱՉԱՓ ՇԱՐԺՈՒՄ

31. Մինչև նշանակված կետը ձգվող ճանապարհի առաջին կեսն ավտոբուսն ան-

ցավ 50 կմ/ժ արագությամբ, իսկ երկրորդ կեսը՝ 60 կմ/ժ արագությամբ: Գտեք

ավտոբուսի շարժման միջին ճանապարհային արագությունը:

32.

Արշավախումբը երթուղու վրա ծախսված ժամանակի առաջին կեսում շարժ-

վել է 6 կմ/ժ, իսկ երկրորդ կեսում՝ 4 կմ/ժ արագությամբ: Որքա±ն է արշավա-

խմբի միջին ճանապարհային արագությունն ամբողջ շարժման ընթացքում:

33. Մարմնի շարժման ամբողջ ժամանակը բաժանված է n հավասար ժամա-

նակամիջոցների: Այդ ժամանակամիջոցներում նրա արագությունները« հա-

մապատասխանաբար« v₁, v₂, ... , v_n են: Որքա±ն է մարմնի շարժման միջին

ճանապարհային արագությունը:

34.

Ավտոբուսը ճանապարհի առաջին 40 մետրն անցավ 4 մ/վ արագությամբ,

իսկ հաջորդ 500 մետրը՝ 10 մ/վ արագությամբ: Որքա±ն է ավտոբուսի միջին

ճանապարհային արագությունն ամբողջ ճանապարհին:

35.

Գնացքն անցավ 180 կմ ճանապարհ: Այն 1 ժ շարժվել է 80 կմ/ժ արագությամբ,

այնուհետև 1,5 ժ ծախսել է կայարանում, իսկ ճանապարհի մնացած մասում

շարժվել է 40 կմ/ժ արագությամբ: Որքա±ն է գնացքի միջին ճանապարհային

արագությունն ամբողջ ճանապարհին:

252

ՖԻԶԻԿԱ 10

36.

Ավտոմեքենան ճանապարհի առաջին կեսում ծախսեց 1,5 անգամ ավե-

լի քիչ ժամանակ, քան երկրորդ կեսում: Ամբողջ ճանապարհին նրա միջին

արագությունը 43,2 կմ/ժ է: Որքա±ն է ավտոմեքենայի միջին արագությունը

ճանապարհի յուրաքանչյուր կեսում:

37.

Դահուկորդն սկսում է ցած սահել սարի գագաթից: Ի՞նչ արագություն ձեռք

կբերի նա շարժումն սկսելուց 20 վ անց և ինչքա±ն ճանապարհ կանցնի այդ

ընթացքում, եթե իջնում է 0,5 մ/վ² արագացմամբ:

38.

Մոտոցիկլավարը, շարժվելով դադարի վիճակից, մայրուղու 1 կմ երկարու-

թյամբ հատվածն անցնում է 0,8 մ/վ2 արագացմամբ: Որոշեք հատվածն անց-

նելու ժամանակը և արագությունը՝ հատվածի վերջում:

39.

Դադարի վիճակից հավասարաչափ արագացող շարժում կատարող մար-

մինն առաջին վայրկյանում անցավ 10 սմ ճանապարհ: Որքա±ն ճանապարհ

կանցնի մարմինը՝ ա) առաջին երեք վայրկյանում, բ) երրորդ վայրկյանում:

40.

Կայարանից շարժվող գնացքի առաջին վագոնը դիտորդի մոտով անցավ 12

վայրկյանում: Մինչ շարժումը նա այդ վագոնի սկզբնամասում էր: Անտեսելով

վագոնների միջև հեռավորությունը և շարժումը համարելով հավասարաչափ

փոփոխական՝ որոշեք« թե ինչքա±ն ժամանակում կանցնի դիտորդի մոտով՝ ա)

9 միատեսակ վագոնից կազմված գնացքը, բ) 9-րդ վագոնը:

41.

Երկու ավտոմեքենա շարժվեցին կանգառից, մեկը մյուսից 10 վ հետո: I ավ-

տոմեքենայի դուրս գալուց որքա՞ն ժամանակ անց II ավտոմեքենան կհասնի

I-ին, եթե երկուսն էլ կատարում են հավասարաչափ արագացող շարժում, ընդ

որում, II-ի արագացումը 4 անգամ մեծ է առաջինի արագացումից:

42.

Հավասարաչափ արագացող շարժում կատարող գնացքի արագությունն

ինչքա±ն ժամանակում է աճել 12 կմ/ժ-ից մինչև 60 կմ/ժ, եթե այդ ընթացքում

գնացքն անցել է 800 մ ճանապարհ:

43.

Նկարում պատկերված է X առանցքով հավասա-

րաչափ փոփոխական շարժում կատարող մարմ-

նի արագության պրոյեկցիայի կախումը ժամա-

նակից: Որքա±ն է մարմնի արագացման պրոյեկ-

ցիան շարժման ուղղությամբ:

44.

Հաստատուն արագացմամբ շարժվող մարմինը 24 մ ճանապարհն անցավ

2 վ-ում, իսկ հաջորդ 24 մ երկարությամբ հատվածը՝ 4 վ-ում: Որոշեք մարմնի

արագացման պրոյեկցիան շարժման ուղղությամբ:

45.

Կայարանից որքա՞ն հեռու պետք է միացնել 54 կմ/ժ արագությամբ շարժվող

գնացքի արգելակները, եթե արգելակման արագացումը 0,1 մ/վ2 է:

46.

15 կմ/ժ արագությամբ շարժվող ավտոմեքենայի արգելակման ճանապարհը

1,5 մ է: Որքա±ն կլինի արգելակման ճանապարհը 90 կմ/ժ արագության դեպ-

քում: Երկու դեպքում էլ ավտոմեքենայի արագացումը նույնն է:

47.

54 կմ/ժ արագությամբ հարավից դեպի հյուսիս գնացող մարմինն սկսում է

շարժվել հաստատուն՝ 0,2 մ/վ2 արագացմամբ, որն ուղղված է սկզբնական

արագության հակառակ ուղղությամբ: Որոշեք մարմնի դիրքը 3 ր անց և այդ

ընթացքում նրա անցած ճանապարհը:

48. Մարմինը 30 մ/վ արագությամբ նետում են ուղղաձիգ դեպի վեր: Որքա±ն ժամա-

նակ անց՝ ա) մարմինը կընկնի գետին, բ) մարմնի արագության մոդուլը երեք

անգամ փոքր կլինի սկզբնական արագության մոդուլից:*

Այս և հաջորդ խնդիրներում օդի դիմադրությունը անտեսեք:

ԽՆԴԻՐՆԵՐ

253

49. 50 մ/վ արագությամբ ուղղաձիգ դեպի վեր արձակած արկը 3 վ անց հասավ

նպատակակետին: Ի՞նչ բարձրությամբ էր նպատակակետը և որքա՞ն էր ար-

կի արագությունը նպատակակետին հասնելու պահին:

50. Նկարում պատկերված է X առանցքով շարժվող

նյութական կետի արագության պրոյեկցիայի՝ ժա-

մանակից կախման գրաֆիկը: Որոշեք նյութական

կետի արագացման պրոյեկցիան ժամանակի (0,2)

միջակայքում, նրա անցած ճանապարհը և տեղա-

փոխությունը՝ մինչև 4 վ պահը:

51. Ինչքա±ն ժամանակում 20 մ բարձրությամբ կամրջից առանց սկզբնական

արագության ընկնող քարը կհասնի ջրի մակերևույթին: Ի՞նչ սկզբնական

արագություն պետք է հաղորդել քարին, որպեսզի այն հասնի ջրի մակերևույ-

թին 1 վ-ում:

52. Մարմինն ազատ ընկնում է 80 մ բարձրությունից: Որքա±ն են նրա անկման

ժամանակը և տեղափոխության մոդուլն անկման վերջին վայրկյանում:

53.

Աղեղից ուղղաձիգ դեպի վեր արձակված նետն ընկավ գետին 6 վ անց: Որ-

քա±ն են նետի սկզբնական արագությունը և վերելքի առավելագույն բարձրու-

թյունը:

54.

Գետնից 25 մ բարձրությամբ պատշգամբից գնդակը նետեցին ուղղաձիգ դե-

պի վեր 20 մ/վ սկզբնական արագությամբ: Գրեք y կոորդինատի՝ ժամանակից

կախումն արտահայտող բանաձևը, հաշվարկման սկզբնակետ համարելով

գետնի մակերևույթը, և որոշեք, թե ինչքան ժամանակ անց գնդակը կընկնի

գետին:

ԳԼՈՒԽ V

ԿՈՐԱԳԻԾ ՇԱՐԺՈՒՄ

55. Մարզիկը վազում է շրջանագծով« v = 5 մ/վ արագությամբ: Կառուցեք նրա ան-

ցած ճանապարհի՝ ժամանակից կախման գրաֆիկը:

56. Որքա±ն են ժամացույցի ժամ, րոպե և վայրկյան ցույց տվող սլաքների անկ-

յունային արագությունները:

57.

Երկրի՝ սեփական առանցքի շուրջը պտտման անկյունային արագությունը

քանի± անգամ է մեծ Արեգակի շուրջը նրա պտտման անկյունային արագու-

թյունից:

58. Հավասարաչափ շրջանագծային շարժում կատարող նյութական կետի

պտտման պարբերությունը 4 վ է: Որոշեք այդ կետի պտտման անկյունային և

գծային արագությունները, եթե շրջանագծի շառավիղը 5 մ է:

59.

2 մ շառավիղ ունեցող շրջանագծով շարժվող նյութական կետի անցած ճանա-

պարհը որոշվում է s = 6t բանաձևով, որտեղ մեծություններն արտահայտված

են ՄՀ-ի համապատասխան միավորներով: Որքա±ն է կետի անկյունային

արագությունը:

60. Շրջանագծով շարժվող նյութական կետի շառավիղ-վեկտորի կազմած անկ-

յունն ընտրված ուղղության հետ որոշվում է { = 5t բանաձևով, որտեղ մեծու-

թյուններն արտահայտված են ՄՀ-ի համապատասխան միավորներով: Որ-

քա±ն է շրջանագծի շառավիղը, եթե կետի ճանապարհային արագությունը

10 մ/վ է:

254

ՖԻԶԻԿԱ 10

61.

Շարժումն a փոկանիվից փոխանցվում է d փոկանի-

վին նկարում պատկերված երկու փոխանցումների մի-

ջոցով: a փոկանիվի պտտման հաճախությունը 20 վ-1

է:

Անիվների շառավիղները հավասար են՝ r_a=8 սմ,

b=32սմ, rc=11սմ, rd =55սմ: Որոշեք b և c փոկա-

նիվների պտտման հաճախությունը, d փոկանիվի պտտման պարբերությունը

և նրա եզրակետի գծային արագությունը:

62.

72 կմ/ժ արագությամբ շարժվող ավտոմեքենան արգելակելիս 25 սմ շառավ-

ղով նրա անիվների պտտման անկյունային արագացումը 20 ռադ/վ2 էր: Որ-

քա±ն ժամանակից կանգ կառնի ավտոմեքենան: Քանի± պտույտ կկատարեն

նրա անիվներն այդ ընթացքում: Որքա±ն կլինի արգելակման ճանապարհը:

63.

Երկրի բևեռներով անցնող առանցքով անշարժ հաշվարկման համակարգում

որքա՞ն են հասարակածի կետերի գծային արագությունը և կենտրոնաձիգ

արագացումը: Երկրի շառավիղը մոտավորապես 6400 կմ է:

64.

Լուսինը Երկրի շուրջը պտտվում է 27,3 օրում: Նրա հեռավորությունը Երկրից

384000 կմ է: Հաշվեք Լուսնի կենտրոնաձիգ արագացումը:

65.

Գտեք Երկրի՝ Արեգակի շուրջը պտտման գծային արագությունը, եթե Երկրի

ուղեծրի շառավիղը (Արեգակ-Երկիր հեռավորությունը) 150000000 կմ է:

66.

50 մ շառավղով շրջանագծով հավասարաչափ շարժվող մարմինը 10 վ-ի ըն-

թացքում պտտվում է 1,57 ռադ անկյամբ: Որոշեք այդ ընթացքում մարմնի ան-

ցած ճանապարհը և գծային արագությունը:

67.

3 մ երկարությամբ ձողը հավասարաչափ պտտվում է իր ծայրերից մեկով

անցնող առանցքի շուրջը: Մյուս ծայրը շարժվում է 9 մ/վ արագությամբ:

Պտտման առանցքից ի՞նչ հեռավորության վրա է ձողի այն կետը, որի գծային

արագությունը 3 մ/վ է:

68.

Ինքնաթիռը հորիզոնական ուղղությամբ թռչում է 4500 մ բարձրությամբ՝

250 մ/վ արագությամբ: Մինչ նպատակակետը ի՞նչ հորիզոնական հեռա-

վորությամբ դիրքից պետք է օդաչուն բեռն արձակի, որպեսզի այն հասնի

նպատակակետին: Օդի դիմադրությունն անտեսեք:

69.

Որոշ բարձրությամբ կետից միաժամանակ հորիզոնական ուղղությամբ միմ-

յանց հակառակ նետում են երկու գնդիկ՝ 2 մ/վ և 4 մ/վ արագություններով:

Ինչքա±ն կլինի գնդիկների հեռավորությունը 4 վ անց:

70.

Քարը նետված է հորիզոնական ուղղությամբ: 3 վ անց արագության վեկտո-

րը հորիզոնի նկատմամբ կազմեց 45 անկյուն: Ինչքա±ն էր այդ պահին քարի

արագության մոդուլը: Օդի դիմադրությունն անտեսեք:

71.

Գնդակը հրացանի փողից դուրս է թռչում հորիզոնական ուղղությամբ« 800

մ/վ սկզբնական արագությամբ: Թռիչքի ընթացքում ուղղաձիգ ուղղությամբ

որքա՞ն կիջնի գնդակը, եթե մինչև նպատակակետ հեռավորությունը 600 մ է:

Օդի դիմադրությունն անտեսեք:

ԳԼՈՒԽ VI

ԴԻՆԱՄԻԿԱՅԻ ՀԻՄՈՒՆՔՆԵՐԸ

72.

24 Ն հաստատուն համազոր ուժի ազդեցությամբ 2,5 կգ զանգվածով մարմնի

շարժման արագությունը 4 վ-ի ընթացքում դարձավ 45 մ/վ: Ի՞նչ արագությամբ

էր շարժվում մարմինը մինչ ուժ կիրառելը:

ԽՆԴԻՐՆԵՐ

255

73.

40 և 50 կգ զանգվածներով երկու չմշկորդ կանգնած են սառույցին: Մի չմշկոր-

դը մյուսին հրում է 10 Ն ուժով: Ի՞նչ արագացումներով են սկսում շարժվել

չմշկորդները:

74.

0,5 կգ զանգվածով մարմնի շարժման հավասարումն է՝ x = 5t + 0,8t 2: Գտե°ք

մարմնի վրա ազդող ուժի պրոյեկցիան շարժման ուղղության վրա:

75.

Ավտոմեքենան 103 Ն ուժի ազդեցությամբ շարժվում է 0,2 մ/վ2 արագացմամբ:

Ի՞նչ արագացմամբ կշարժվի այն 750 Ն ուժի ազդեցությամբ:

76.

Դադարի վիճակում 0,2 կգ զանգվածով մարմնի վրա սկսում է ազդել 0,1 Ն ուժ:

Որքա±ն կլինի այդ մարմնի շարժման արագությունը 5 վ անց:

77. Համեմատե°ք երկու պողպատե գնդերի բախման ընթացքում շարժման արա-

գացումները, եթե առաջին գնդի շառավիղը 2 անգամ մեծ է երկրորդի շա-

ռավղից:

78. F₁ ուժը 2 կգ զանգվածով մարմնին հաղորդում է 2 մ/վ2 արագացում, իսկ F₂ ու-

ժը 3 կգ զանգվածով մարմնին՝ 1 մ/վ2: Ի՞նչ արագացում կհաղորդի 4 կգ զանգ-

վածով մարմնին F1 և F2 ուժերի գումարը, եթե նրանց կազմած անկյունը 90 է:

ԳԼՈՒԽ VII

ԲՆՈՒԹՅԱՆ ՈՒԺԵՐԸ

79. Վերին ծայրն ամրացված ուղղաձիգ զսպանակից կախված է 0,1 կգ զանգվա-

ծով ծանրոց: Ծանրոցի տատանումները դադարելուց հետո պարզվեց, որ

զսպանակը երկարել է 2 սմ-ով: Ի՞նչ կոշտություն ունի զսպանակը:

80.

Երկու միանման սայլակներ, որոնցից յուրաքանչյուրի զանգվածը 0«1 կգ է,

իրար են միացվել սեղմված զսպանակով: Զսպանակի երկարությունը (սեղմ-

ված վիճակում) 6 սմ է: Զսպանակի կոշտությունը 30 Ն/մ է: Համակարգը

ազատ թողնելու պահին սայլակները ձեռք բերեցին 6 մ/վ2 արագացում:

Որոշեք չդեֆորմացված զսպանակի երկարությունը:

81.

100 Ն ուժի ազդեցությամբ ձողի երկարությունը դառնում է 0,82 մ, իսկ 300 Ն

ուժի ազդեցությամբ՝ 0,86 մ: Գտեք ձողի կոշտությունը:

82. Ինչպե՞ս կփոխվի երկու գնդերի գրավիտացիոն ձգողության ուժը, եթե նրանց

միջև հեռավորությունը մեծացնենք երկու անգամ:

83.

Երկրի վրա մարմինները ձգում են միմյանց: Ինչո±ւ մենք դա չենք նկատում:

84.

Երկրի մակերևույթին մարմնի վրա ազդող գրավիտացիոն ուժը քանի± ան-

գամ է մեծ մակերևույթից Երկրի շառավղի կեսին հավասար բարձրությամբ

կետում նույն մարմնի վրա ազդող գրավիտացիոն ուժից:

85.

Երկրի մակերևույթից ի՞նչ հեռավորությամբ կետում տիեզերական ձգողու-

թյան ուժը 100 անգամ ավելի փոքր է, քան մակերևույթին:

ազատ անկման արագացումն այդ մոլորակի մակերևույթին:

87. Ի՞նչ ճանապարհ կանցնի առանց սկզբնական արագության ազատ անկում

կատարող մարմինն իր շարժման առաջին վայրկյանում, եթե այն սկսում է

ընկնել Երկրի շառավղին հավասար բարձրությունից: Քանի± անգամ է այդ

ճանապարհը փոքր այն ճանապարհից, որ կանցներ մարմինը Երկրի մակե-

րևութին մոտ բարձրությունից ընկնելիս:

88. Հաշվեք

Երկրի մակերևույթից նրա շառավղին հավասար բարձրությամբ

Երկրի շուրջը պտտվող տիեզերանավի արագությունը:

256

ՖԻԶԻԿԱ 10

89.

Հաշվեք Երկրից 300 կմ բարձրությամբ արբանյակի պտտման պարբերու-

թյունը:

90.

Երկրի երկու արհեստական արբանյակներ պտտվում են շրջանագծային ու-

ղեծրերով: Առաջին արբանյակի բարձրությունը Երկրի մակերևույթից 6400 կմ

է: Քանի± անգամ է երկրորդ արբանյակի բարձրությունը մեծ առաջինի բարձ-

րությունից, եթե նրա արագությունը 2 անգամ փոքր է առաջինի արագությու-

նից: Քանի± անգամ է երկրորդ արբանյակի պտտման պարբերությունը մեծ

առաջինի պտտման պարբերությունից:

91.

120 կգ զանգվածով բեռը դրված է դեպի վեր շարժվող վերելակի հատակին և

վերջինիս վրա ճնշում է 1440 Ն ուժով: Որոշեք վերելակի արագացման մոդուլը:

92.

Հանքահորի վերելակի հատակին 100 կգ զանգվածով բեռ է դրված: Ինչ-

քա±ն կլինի այդ բեռի կշիռը, եթե վերելակը՝ ա) բարձրանա ուղղաձիգ դեպի

վեր ուղղված 0,3 մ/վ² արագացմամբ, բ) շարժվի հավասարաչափ, գ) իջնի

ուղղաձիգ ներքև ուղղված 0,4 մ/վ2 արագացմամբ, դ) կատարի ազատ անկում:

93.

Ճոպանից կախված սկզբնական արագություն չունեցող 2 կգ զանգվածով բե-

ռը հաստատուն արագացմամբ իջնում է հանքահորի մեջ: Որոշեք բեռի կշիռը,

եթե շարժման սկզբից 3 վ անց բեռն անցել է 18 մ ճանապարհ:

94.

Որոշեք մոլորակի նյութի միջին խտությունը, եթե նրա վրա օրվա տևողությու-

նը 6 ժ է, իսկ հասարակածում մարմնի կշիռը 10 %-ով ավելի փոքր է, քան բևե-

ռում:

95.

Հորիզոնական մակերևույթի և 3 կգ զանգվածով չորսուի միջև շփման գործա-

կիցը 0,15 է: Որքա±ն է չորսուի վրա ազդող շփման ուժը, եթե նրա վրա հորիզո-

նական ուղղությամբ ազդող ուժի մոդուլը հավասար է ա) 2 Ն, բ) 4 Ն, գ) 5 Ն,

դ) 10 Ն:

96.

Չափելով հորիզոնական տեղամասում ավտոմեքենայի արգելակման ճանա-

պարհը« ավտոտեսուչը պարզեց, որ այն 40 մ է« և արագությունը գերազանցելու

վերաբերյալ արձանագրություն կազմեց: Ճի±շտ վարվեց արդյոք ավտոտե-

սուչը,

եթե այդ տեղամասում երթևեկության թույլատրելի առավելագույն

արագությունը 60 կմ/ժ է: Ավտոմեքենայի անիվների և ճանապարհի միջև

շփման գործակիցը 0,5 է:

97.

Հորիզոնական տեղամասում 8,4 կգ զանգվածով մարմնի վրա ազդում է 40 Ն

ուժ« որը հորիզոնի հետ կազմում է 60 անկյուն: Որքա±ն է մարմնի և հարթու-

թյան միջև շփման գործակիցը, եթե մարմինը շարժվում է հավասարաչափ:

98.

Հորիզանական մայրուղով 90 կմ/ժ արագությամբ սլացող ավտոմեքենան մո-

տենում է ոլորանին, որի կորության շառավիղը 75 մ է: Նվազագույնը որքա-

նո±վ պետք է փոքրացնել ավտոմեքենայի արագությունը ոլորանն անվտանգ

անցնելու համար: Շփման գործակիցը 0,3 է:

99.

2 կգ զանգվածով մարմինն սկսում է ցած սահել 3 մ բարձրություն և 5 մ երկա-

րություն ունեցող թեք հարթության գագաթից: Որքա±ն է մարմնի վրա ազդող

շփման ուժը: Ինչքա±ն ժամանակ անց այն կհասնի թեք հարթության ստորո-

տին: Ի՞նչ արագություն կունենա մարմինն այդ պահին: Մարմնի և թեք հար-

թության միջև շփման գործակիցը 0,3 է:

100. Թեք հարթության երկայնքով դեպի վեր ուղղված ի՞նչ նվազագույն արագու-

թյուն պետք է հաղորդել մարմնին թեք հարթության ստորոտում, որպեսզի այն

հասնի գագաթին: Թեք հարթության երկարությունը 20 մ է, բարձրությունը՝

12 մ, շփման գործակիցը՝ 0,5:

ԽՆԴԻՐՆԵՐ

257

101. Նկարում պատկերված M = 0«4 կգ զանգվածով չորսուն«

m =0«1կգ զանգվ ած ով բեռ ի ազդ եց ութ յամբ դուրս գալով

դադարի վիճակից, 2 վ-ում անցնում է 0«8 սմ ճանապարհ:

Որքա±ն է շփման գործակիցը չորսուի և սեղանի միջև:

Խնդիր 101

102. Ուժաչափից կախված ճախարակի վրայով թելի ծայրե-

րից կախված են 3 կգ և 1 կգ զանգվածներով բեռներ: Ի՞նչ

ուժ է ցույց տալիս ուժաչափը բեռների շարժման ժամա-

նակ: Ճախարակի և թելերի զանգվածներն անտեսել:

Ճախարակի առանցքում շփումը բացակայում է:

103. m = 3 կգ և M = 4 կգ զանգվածներով բեռները կախված են

անշարժ և շարժական ճախարակներից կազմված հա-

մակարգից: Գտեք թելի լարման ուժը մարմինների շարժ-

Խնդիր 103

ման ժամանակ: Ճախարակների և թելերի զանգվածները«

ինչպես նաև շփման ուժերն անտեսեք:

Խնդիր 102

104. Թելերով հաջորդաբար միացված n միատեսակ չորսուներից կազմված հա-

մակարգն արագացող շարժման մեջ են դնում՝ առաջին չորսուն ձգելով F ու-

ժով: Որքա±ն է թելի լարման T ուժը k-րդ և (k +1)-երորդ չորսուների միջև:

ԳԼՈՒԽ VIII

ՍՏԱՏԻԿԱ

105.

20 մ երկարությամբ անկշիռ ճոպանի միջնակետից կախված է 3,4 կգ զանգ-

վածով բեռ« որի պատճառով ճոպանը կախ է ընկել 5 սմ-ով: Որոշեք ճոպանում

ծագող առաձգականության ուժը:

106.

200 կգ զանգվածով և 5 մ երկարությամբ հեծանի մի ծայրից 3 մ հեռավորու-

թյամբ կախված է 250 կգ զանգվածով բեռ: Հեծանը ծայրերով դրված է

հենարաններին: Ինչքա±ն է ճնշման ուժը հենարաններից յուրաքանչյուրի

վրա:

107.

10 կգ զանգվածով և 40 սմ երկարությամբ ձողի ծայրերից կախված են 40 և

10 կգ զանգվածներով բեռներ: Որտե±ղ պետք է ձողին հենարան դնել, որ այն

մնա հավասարակշռության վիճակում:

108.

Համասեռ ձողի ծայրից կտրեցին 40 սմ երկարությամբ կտոր: Ո±ր կողմ և

ինչքա±ն տեղափոխվեց ծանրության կենտրոնը:

109.

10 կգ զանգված ունեցող տախտակին նեցուկ է դրված նրա երկարության

1/4-ի վրա: Տախտակին ուղղահայաց ի՞նչ ուժ պետք է կիրառել նրա կարճ

հատվածի ծայրին, որպեսզի տախտակը պահվի հավասարակշռության մեջ:

110.

0,5 կգ զանգվածով համասեռ ձողն իր մի ծայրին ամրացված ծանրոցով

կմնա հավասարակշռության մեջ, եթե ձողին նեցուկ դրվի նրա երկարության

1/8-ին հավասար հեռավորությամբ կետում: Որոշեք ծանրոցի զանգվածը:

111.

Դադարի վիճակում 400 գ զանգվածով համասեռ չորսուի վրա (տես նկարը),

որի հաստությունը կարելի է հաշվի չառնել, C կետում

ազդում է F=2 Ն ուժը: Որոշեք շփման ուժը և հենարանի

հակազդեցության ուժը: BC կողմից որքա՞ն

է հեռու

հակազդեցության ուժի ազդման գիծը, եթե AB=20 սմ,

BC=10 սմ:

258

ՖԻԶԻԿԱ 10

112.

30 թեքության անկյուն ունեցող հարթության վրա անշարժ դրված է համա-

սեռ չորսու, որի բարձրությունը 9 սմ է: Ծանրության կենտրոնից ի՞նչ հեռա-

վորությամբ է անցնում հենարանի հակազդեցության ուժը:

113.

5 սմ շառավղով և 50 գ զանգվածով գնդիկը պահվում է 24 սմ շառավղով ան-

շարժ գնդի վրա« նրա վերին A կետին կապված AB = 7 սմ երկարությամբ

անկշիռ թելով (տես նկարը): Որոշեք թելի ձգման ուժը: Շփումն անտեսեք:

114.

Երկու գնդեր՝ ալյումինե և ցինկե, հպված են իրար: Որքա±ն է հպման կետից

մինչև համակարգի ծանրության կենտրոնը հեռավորությունը, եթե յուրաքան-

չյուր գնդի շառավիղը 10 սմ է:

115.

Ուղղաձիգ պատին ամրացված AC և BC ձողերի մեկական

ծայրերն ամրացված են C կետում, որից, թելի միջոցով« կախ-

ված է 100 կգ զանգվածով բեռ: Պատի հետ AC ձողի կազմած

անկյունը 30 է, BC ձողի կազմած անկյունը՝ 60 (տես նկա-

րը): Որոշեք ձողերի լարվածության ուժերը: Ձողերի, ինչպես

Խնդիր 113

նաև թելի զանգվածը հաշվի չառնել:

116.

1 կգ զանգվածով և 0,72 մ երկարությամբ համասեռ ձողի

ծայրերին ամրացված են 1 կգ և 2 կգ զանգվածներով գնդիկ-

ներ: Որքա±ն է ձողի մեջտեղից մինչև համակարգի զանգ-

վածների կենտրոն հեռավորությունը:

117.

10 և 12 կգ զանգվածներով, 4 ու 6 սմ շառավիղներով երկու

համասեռ գնդեր միացված են 2 կգ զանգվածով և 10 սմ

երկարությամբ համասեռ ձողով: Գնդերի կենտրոնները են

ձողի առանցքի շարունակությունների վրա են: Որոշեք այդ

համակարգի ծանրության կենտրոնի դիրքը:

Խնդիր 115

118.

30 սմ երկարությամբ գլանաձև ձողի կեսը երկաթից է, կեսը՝

ալյումինից: Որոշեք ձողի ծանրության կենտրոնի դիրքը:

119.

1,7 մ

երկարությամբ գլանաձև ձողի մի կեսը երկաթից է,

մյուսը՝ կապարից: Երկաթի խտությունը հավասար է կա-

Խնդիր 120

պարի խտության 0,7 մասին: Ձողի կենտրոնից ի՞նչ հեռա-

վորությամբ է գտնվում նրա զանգվածների կենտրոնը:

120.

40 Ն կշռով սկավառակը դրված է թեք տախտակին, որը

հորիզոնի հետ կազմում է 30 անկյուն (տես նկարը): Սկա-

վառակը տախտակի վրա անշարժ պահվում է հորիզոնական

թելի միջոցով, որի մի ծայրն ամրացված է սկավառակի

ամենավերին A կետին, իսկ մյուս ծայրը՝ տախտակին: Որո-

Խնդիր 121

շեք թելի լարման ուժը:

121.

a կողմով քառակուսաձև բարակ թիթեղից կտրել-հանել են

a/4 շառավղով շրջանակ այնպես, որ այն շոշափում է քա-

ռակուսու կողմը, ընդ որում« շոշափման կետը կողմի միջ-

նակետն է (տես նկարը): Որոշեք ստացված պատկերի ծան-

րության կենտրոնի դիրքը:

Խնդիր 122

122.

R =105,6 սմ շառավղով բարակ շրջանաձև թիթեղից կտրել-հանել են քառա-

կուսի այնպես, ինչպես ցույց է տրված նկարում: Որոշեք ստացված պատկերի

ծանրության կենտրոնի կոորդինատները:

ԽՆԴԻՐՆԵՐ

259

ԳԼՈՒԽ IX

ՊԱՀՊԱՆՄԱՆ ՕՐԵՆՔՆԵՐԸ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅՈՒՄ

123.

Ինչ-որ ուժի ազդեցությամբ հավասարաչափ արագացող շարժում կատարող

մարմնի արագությունը 3 մ/վ-ից աճում է մինչև 5 մ/վ: Այդ ուժի աշխատանքը

200 Ջ է: Որքա±ն է մարմնի զանգվածը:

124.

Դադարի վիճակում 0,02 կգ զանգվածով մարմնի վրա 10 վ-ի ընթացքում ազ-

դում է 0,001 Ն ուժ: Ի՞նչ կինետիկ էներգիա է ձեռք բերում մարմինը:

125.

Հորիզոնի նկատմամբ անկյան տակ նետված 2 կգ զանգվածով մարմինը

նետման պահին ունի 400 Ջ կինետիկ էներգիա: Հետագծի վերին կետում նրա

կինետիկ էներգիան 150 Ջ է: Ի՞նչ սկզբնական արագությամբ և ի՞նչ անկյան

տակ է նետվել մարմինը: Օդի դիմադրությունն անտեսեք:

126.

Մարմնին Երկրի մակերևույթից հաղորդում են ուղղաձիգ դեպի վեր ուղղված

արագություն, որը հավասար է առաջին տիեզերական արագությանը: Երկ-

րի մակերևույթից ի՞նչ առավելագույն բարձրության կհասնի մարմինը: Օդի

դիմադրությունն անտեսեք:

127.

Առանց սկզբնական արագության ազատ անկում կատարելիս 200 գ զանգ-

վածով մարմնի վրա ազդող ծանրության ուժի աշխատանքը 2,5 Ջ է: Ի՞նչ

բարձրությունից է ընկել մարմինը և որքա՞ն է մարմնի արագությունը գետնին

հարվածելու պահին:

128.

1 կգ զանգվածով մարմինն ուղղաձիգ դեպի վեր ուղղված 10,8 Ն ուժով բարձ-

րացնում են 50 մ: Որոշեք մարմնի վերջնական արագությունը:

129.

3 կգ զանգվածով գունդը 3 մ բարձրությունից ընկնում է զսպանակի վրա և

սեղմում այն: Որքա±ն է զսպանակի առավելագույն սեղմման չափը, եթե նրա

կոշտությունը 700 Ն/մ է: Զսպանակի զանգվածը հաշվի չառնել:

130.

Որքա±ն է երկու մարմինների իմպուլսների գումարի մոդուլը, եթե իմպուլսնե-

րը փոխուղղահայաց են, իսկ մոդուլները հավասար են 3 կգմ/վ և 4 կգմ/վ:

131.

145 գ զանգվածով գնդակը 30 մ/վ արագությամբ ուղղահայաց հարվածում է

պատին և հակառակ ուղղությամբ հետ թռչում 20 մ/վ արագությամբ: Որքա±ն

է գնդակի վրա պատի ազդող ուժի իմպուլսը: Որքա±ն է գնդակի վրա պատի

ազդող միջին ուժը, եթե հարվածի տևողությունը 0,01 վ է:

132.

0«5 կգ զանգվածով կապարե գունդը« շարժվելով 10 մ/վ արագությամբ« բախ-

վում է 200 գ զանգվածով անշարժ մոմե գնդին: Որքա±ն է գնդերի համատեղ

շարժման կինետիկ էներգիան:

133.

Նավակում նստած մարդը հորիզոնի նկատմամբ 30 անկյան տակ 10 մ/վ

արագությամբ նետում է 1 կգ զանգվածով քարը: Նավակի և մարդու ընդհա-

նուր զանգվածը 100 կգ է: Որքա±ն է նավակի արագությունը քարը նետելուց

անմիջապես հետո:

134.

Հորիզոնական ուղղությամբ քարը նետելուց հետո սառույցի վրա կանգ-

նած չմշկորդն անցավ 0,3 մ ճանապարհ և կանգ առավ: Ի՞նչ արագությամբ

է նետվել քարը, եթե չմշկորդի զանգվածը 20 անգամ մեծ է քարի զանգվա-

ծից, իսկ չմուշկների և սառույցի միջև շփման գործակիցը 0,015 է: Համարեք՝

g =10 մ/վ2:

135.

Հորիզոնական ուղղությամբ 20 մ/վ արագությամբ թռչող արկի պայթյունից,

որից առաջացան 10 կգ և 5 կգ զանգվածներով երկու բեկորներ: Փոքր բեկորը

շարունակեց թռչել նույն ուղղությամբ՝ 90 մ/վ արագությամբ: Որքա±ն է մեծ

բեկորի արագությունը և ինչպե՞ս է այն ուղղված:

260

ՖԻԶԻԿԱ 10

136.

m զանգվածով մարմինը շարժվում է v արագությամբ: Dt ժամանակամիջո-

ցում նրանից անջատված մասնիկների զանգվածների գումարը՝ Dm << m:

Յուրաքանչյուր մասնիկի արագությունը մարմնի նկատմամբ u է: Որոշեք

մարմնի վրա ազդող ռեակտիվ ուժը, եթե u =2 կմ/վ, Dm/Dt =100 կգ/վ:

137.

Որքա±ն է հրթիռի արագացումն արձակման պահին, երբ նրա զանգվածը 40

տ է, արտանետված գազերի արագությունը հրթիռի նկատմամաբ՝ 4000 մ/վ,

իսկ վառելիքի ծախսը՝ 200 կգ/վ:

138.

Հրթիռի զանգվածը յուրաքանչյուր վայրկյանում փոքրանում է 200 կգ-ով, իսկ

նրանից արտանետված գազերի արագությունը Երկրի նկատմամբ 1 կմ/վ է:

Ի՞նչ արագությամբ է շարժվում հրթիռն այդ պահին, եթե նրա շարժիչների

քարշի ուժը 600 կՆ է:

139.

A գունդը, շարժվելով B և C անշարժ գնդերի կենտրոնները միացնող ուղղի

երկայնքով 6 մ/վ արագությամբ, հարվածում է B

գնդին: Որոշեք գնդերի արագությունները՝ նրանց

առաձգական բախումներից հետո: Շփումն անտե-

սեք:

140.

1 մ/վ արագությամբ շարժվող բիլիարդի գունդը հարվածում է նույնպիսի

անշարժ գնդին և թռչում իր սկզբնական ուղղության հետ 60 անկյուն կազմող

ուղղությամբ: Ի՞նչ անկյան տակ և ի՞նչ արագությամբ կթռչի երկրորդ գունդը:

Գնդերի բախումը համարել բացարձակ առաձգական:

141.

Հորիզոնական ուղղությամբ v₀ արագությամբ թռչող m զանգվածով գնդա-

կը հարվածում է R շառավղով կիսագնդի գագաթին դրված M զանգվածով

անշարժ մարմնին և խրվում նրա մեջ (տես նկարը)« որի հետևանքով մարմինն

սկսում է սահել դեպի ներքև: Կիսագնդի հիմքից ի՞նչ բարձ-

րությունում մարմինը կպոկվի կիսագնդից: Որքա±ն կլի-

նի մարմնի արագությունը կիսագնդից պոկվելու պահին:

Գնդակի արագության ի՞նչ արժեքների դեպքում մարմինը

կիսագնդից կպոկվի նրա գագաթում:

ԳԼՈՒԽ X

ՄԵԽԱՆԻԿԱԿԱՆ ՏԱՏԱՆՈՒՄՆԵՐ ԵՎ ԱԼԻՔՆԵՐ

142. Լարի մի կետի չմարող տատանումների լայնույթը 1 մմ է, հաճախությունը՝

1 կՀց: Ի՞նչ ճանապարհ կանցնի այդ կետը 0,2 վ-ում:

143. Ճոճանակը 1 ր 40 վ-ում կատարեց 50 տատանում: Գտե°ք տատանումների

պարբերությունը, հաճախությունը և շրջանային հաճախությունը:

144. Շարժման հավասարումն ունի x = 0,06 cos100rt տեսքը« որտեղ մեծություն-

ներն արտահայտված են ՄՀ-ի համապատասխան միավորներով: Ինչքա±ն

են տատանումների լայնույթը, հաճախությունը և պարբերությունը:

145. Մոծակի թևերի տատանումների հաճախությունը 600 Հց է, իսկ կրետի թևերի

տատանումների պարբերությունը՝ 5 մվ: Թռիչքի ժամանակ այդ միջատներից

ո՞րը և որքանո±վ ավելի շատ է թափահարում թևերը 1 րոպեի ընթացքում:

146. Որքա±ն ժամանակում ներդաշնակ տատանումներ կատարող մարմինը, հա-

վասարակշռության դիրքից հաշված, կանցնի

3A 2

ճանապարհ, որտեղ

A-ն տատանումների լայնույթն է: Տատանումների պարբերությունը 0,6 վ է:

147. Զսպանակին ամրացված բեռը տատանվում է ինչ-որ ուղղի երկայնքով:

Տատանումների լայնույթը 2 սմ է, իսկ պարբերությունը՝ 2 վ: Սկզբնական

ԽՆԴԻՐՆԵՐ

261

պահին բեռն անցնում է հավասարակշռության դիրքով: Որոշեք բեռի արա-

գության և արագացման պրոյեկցիաները 0,25 վ անց:

148. Մասնիկն x առանցքի երկայնքով, x = 0 հավասարակշռության դիրքի շուրջը

տատանվում է ներդաշնակորեն: Տատանումների հաճախությունը 4 Հց է:

Հավասարակշռության դիրքով անցնելուց նվազագույնը որքա՞ն ժամանակ

անց մասնիկի հեռավորությունն այդ դիրքից կլինի 2«5 սմ« իսկ արագության

մոդուլը՝ 1 մ/վ:

149. 10 գ զանգվածով փոքրիկ մարմինը կատարում է 0,2 Հց հաճախությամբ ներ-

դաշնակ տատանումներ: Տատանումների լայնույթը 5 սմ է: Որոշեք մարմնի

վրա ազդող առավելագույն ուժը և այդ մարմնի լրիվ մեխանիկական էներ-

գիան:

150. Ճոճանակավոր ժամացույցը Երկրի մակերևույթին ցույց է տալիս ճշգրիտ

ժամանակը: 1 օրում որքա՞ն հետ կընկնի այդ ժամացույցը, եթե այն հանենք

վեր՝ Երկրի շառավղին հավասար բարձրությամբ:

151. Մաթեմատիկական ճոճանակի թելի որքա՞ն մասը պետք է կտրել, որպեսզի

ճոճանակը Երկրի մակերևույթից 10 կմ բարձրությամբ վեր հանելիս տատա-

նումների պարբերությունը չփոխվի:

152. Քանի± անգամ փոխվեց տատանվող ճոճանակի լրիվ մեխանիկական էներ-

գիան, եթե նրա երկարությունը փոքրացավ 3 անգամ, իսկ լայնույթը մեծացավ

2 անգամ:

153. 80 կգ զանգվածով մարդը ճոճվում է ճլորթիով: Նրա տատանման լայնույթը

1 մ է: 1 ր-ի ընթացքում նա կատարում է 15 տատանում: Գտե°ք կինետիկ և

պոտենցիալ էներգիաները 1/12 պարբերությունից հետո:

154. 1 կՆ/մ կոշտությամբ

զսպանակից կախված բեռը տատանվում է 2 սմ

լայնույթով: Գտե°ք կինետիկ և պոտենցիալ էներգիաները r/3 ռադ փուլում:

155. Սեղանի հորիզոնական մակերևույթին դրված զսպանակի մի ծայրն անշարժ

ամրացված է, իսկ մյուս՝ ծայրին ամրացված է 10 կգ զանգվածով չորսու:

Հրացանից արձակված 10 գ զանգվածով գնդակը, որը 500 մ/վ արագությամբ

թռչում էր զսպանակի առանցքի երկայնքով, բախվում է չորսուին և խրվում

նրա մեջ: Չորսուն, գնդակի հետ միասին, սկսում է տատանվել այդ դիրքի

շուրջը 10 սմ լայնույթով: Որոշեք չորսուի տատանումների պարբերությունը:

Շփումը և օդի դիմադրությունը հաշվի չառնել:

156. Զսպանակավոր ճոճանակներից մեկի էներգիան ութ անգամ ավելի մեծ է,

քան մյուսինը, իսկ կոշտությունը՝ երկու անգամ: Որոշեք այդ ճոճանակների

տատանումների լայնույթների հարաբերությունը:

157. Մաթեմատիկական ճոճանակը կատարում է ներդաշնակ տատանումներ:

Կմեծանա±, թե՞ կփոքրանա տատանումների լայնույթը և քանի± անգամ, եթե

թելը կարճացնենք երկու անգամ՝ չփոխելով ճոճանակի լրիվ մեխանիկական

էներգիան:

158. Զսպանակավոր ճոճանակը հանեցին հավասարակշռության վիճակից և

բաց թողեցին: Որքա±ն ժամանակ անց (պարբերությամբ արտահայտված)

տատանվող մարմնի կինետիկ էներգիան հավասար կլինի դեֆորմացված

զսպանակի պոտենցիալ էներգիային:

159. Նյութական կետը կատարում է T պարբերությամբ ներդաշնակ տատանում-

ներ x առանցքի երկայնքով: Ժամանակի սկզբնական պահին կետն անցել

է կոորդինատական սկզբնակետով: Ժամանակից կախված՝ ինչպե՞ս է փո-

262

ՖԻԶԻԿԱ 10

փոխվում նյութական կետի պոտենցիալ և կինետիկ էներգիաների հարաբե-

րությունը:

160. Ձայնն անդրադարձնող արգելքի հեռավորությունը 680 մ է: Որքա±ն ժամա-

նակ անց մարդը կլսի արձագանքը, եթե ձայնի արագությունն օդում 340 մ/վ է:

161. Որոշեք 200 Հց հաճախությամբ ձայնի աղբյուրի առաջացրած ձայնային

ալիքի

երկարությունը հեղուկում: Ձայնի

արագությունն

այդ հեղուկում

1450 մ/վ է:

162. Ձկնորսը նկատեց, որ 10 վ-ի ընթացքում լողանն ալիքների վրա կատարեց

20 տատանում: Որքա±ն է ալիքների տարածման արագությունը, եթե ալիքի

երկարությունը 1,2 մ է:

163. Քարն ազատ ընկնում է հանքահորի մեջ: 11,225 վ անց լսվում է հանքահո-

րի հատակին քարի հարվածելու ձայնը: Որոշեք հանքահորի խորությունը:

Ձայնի տարածման արագությունն օդում համարեք 400 մ/վ:

164. Ալիքը տարածվում է x առանցքի ուղղությամբ: Միջավայրի երկու մասնիկ, որ

x առանցքի վրա են, և որոնց կոորդինատներն են՝ 5 մ և 5,5 մ, տատանվում են

r /5 ռադ փուլերի տարբերությամբ: Որոշեք ալիքի երկարությունը:

165. o հաճախւթյամբ ձայնի ալիքի երկարությունն առաջին միջավայրում m₁ է,

իսկ երկրորդում՝ m₂: Ինչպե՞ս է փոխվում ձայնի տարածման արագությունը

առաջին միջավայրից երկրորդն անցնելիս, եթե m₁= 2 m₂:

166. Գրել ալիքի հավասարումը, եթե միջավայրի մասնիկները տատանվում են

o =1,5 կ Հց հաճախությամբ:

Այդ հաճախությանը համապատասխանող

ալիքի երկարությունը՝ m = 20 սմ: Միջավայրի մասնիկների առավելագույն

շեղումը հավասարակշռության դիրքից n = 200 անգամ փոքր է ալիքի երկա-

րությունից:

167. Օ’Հենրիի պատմվածքներից մեկի հերոսը ոտքով այնպես է հարվածում

խոճկորին, որ վերջինս դուրս է թռչում՝ ՙառաջ անցնելով սեփական ճղճղոցի

ձայնից՚: Առնվազն ի՞նչ F ուժով պետք է խոճկորին հարվածեր պատմվածքի

հերոսը, որ նկարագրված դեպքը, իրոք, տեղի ունենար: Համարել, որ խոճկորի

զանգվածը՝ m = 5 կգ, հարվածի տևողությունը՝ t = 0,01 վ« ձայնի արագությունը

օդում՝ 330 մ/վ:

168. Ծովում, մակերևույթին մոտ, պայթեց ռումբը: Նավում տեղադրված սարքերը

ջրով տարածվող ձայնային ալիքը գրանցեցին 45 վ ավելի շուտ, քան օդով

տարածվող ալիքը: Նավից ի՞նչ հեռավորությամբ էր պայթեցվել ռումբը: Հա-

մարեք, որ օդում ձայնի արագությունը 330 մ/վ է, իսկ ջրում՝ 1430 մ/վ:

169. 220 Հց հաճախությամբ ձայնային ալիքն օդում տարածվում է 330 մ/վ արա-

գությամբ: Որքա±ն է ձայնային ալիքի երկարությունը: Ինչքա±ն ժամանակում

ալիքի փուլը տարածության տրված կետում կփոխվի 90-ով: Որքա±ն է

իրարից 6,3 սմ հեռավորությամբ օդի երկու մասնիկների տատանումների

փուլերի տարբերությունը:

ԳԼՈՒԽ XI

ՀԵՂՈՒԿՆԵՐԻ ԵՎ ԳԱԶԵՐԻ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅԻ ՏԱՐՐԵՐ

170. Անոթը մասամբ լցված է սնդիկով, մասամբ՝ ձեթով: Գունդը լողում է հեղուկնե-

րի բաժանման սահմանին կիսով չափ ընկղմված սնդիկի, կիսով չափ՝ ձեթի

մեջ: Որոշեք գնդի նյութի խտությունը: Սնդիկի խտությունը 13600 կգ/մ3 է, ձե-

թի խտությունը՝ 900 կգ/մ3:

ԽՆԴԻՐՆԵՐ

263

171. Պղնձի և արծաթի համաձուլվածքի կտորն օդում կշռում է 2,94 Ն, իսկ ջրում

2,646 Ն: Որքա±ն արծաթ և պղինձ է պարունակվում համաձուլվածքում:

172. Ներարկիչի մխոցի մակերեսը՝ S₁=2 սմ², իսկ անցքի մակե-

րեսը՝ S₂ =1 մմ2: Որքա±ն ժամանակում ջուրը դուրս կհոսի

ներարկիչից, եթե մխոցին գործադրվի F=8 Ն ճնշման ուժ,

և մխոցը տեղափոխվի l=5 սմ-ով (տես նկարը):

173. Ուղղաձիգ դիրք ունեցող երկար խողովակն ունի հատած կոնի ձև

(տես նկարը), որի ստորին՝ նեղ մասից, որի հատույթի մակերեսը

1,5 սմ2 է, յուրաքանչյուր րոպեում արտահոսում է 60 լ ծավալով

ջուր: Որքա±ն է խողովակի՝ 2 մ բարձրությամբ հատույթի մակերեսը:

174. Սուզանավի խորությունը ծովի մակերևույթից 100 մ է: Սուզանավի իրանին

բացված անցքից ի՞նչ արագությամբ է ջուրը ներս մղվում: Որքա±ն ջուր կլցվի

սուզանավի ներսը 1 ժամում, եթե անցքի տրամագիծը 2 սմ է: Օդի ճնշումը

սուզանավում հավասար է մթնոլորտային ճնշմանը:

175. v =18 կմ/ժ արագությամբ շարժվող նավակից ուղիղ անկյունով ծռված մի

խողովակ են իջեցնում ջրի մեջ այնպես, որ ջրի մեջ եղած մասը լինի հորի-

զոնական, իսկ առանցքը՝ ուղղված շարժման կողմը: Խողովակի մյուս մասը,

որն օդում է, ուղղաձիգ է: Լճի մակարդակի համեմատ որքա՞ն կբարձրանա

ջուրը խողովակում:

176. Ջրատար խողովակի պատին առաջացած անցքից, որի մակերեսը 4 մմ2 է,

ջուրը ցայտում է ուղղաձիգ դեպի վեր՝ հասնելով 80 սմ բարձրության: Որքա±ն

ջուր է արտահոսում մեկ օրվա ընթացքում:

177. Լայն անոթում լցված ջրի մակարդակն ունի H բարձրություն: Ջրի վրա

ավելացնում են h բարձրությամբ ձեթի շերտ: Ի՞նչ v արագությամբ կհոսի

ջուրն անոթի հատակին բացված անցքից: Ջրի խտությունը t₁ է, ձեթինը՝ t₂:

Անոթում ջրի մակարդակի իջեցումն անտեսեք:

178. Ջրով լցված անոթը կախված է մի ծայրով առաստաղին ամրացված թելից:

Անոթում ջրի մակարդակի բարձրությունը h է: Որքանո±վ կփոխվի թելի

ձգման ուժը, եթե անոթի հատակին բացված անցքից ջուրը սկսի դուրս հոսել:

Անցքի մակերեսը S է, ջրի խտությունը՝ t:

264

ՖԻԶԻԿԱ 10

ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ՊԱՏԱՍԽԱՆՆԵՐ

ԳԼՈՒԽ II

ԳԼՈՒԽ IV

200 մ:

31.

54,5 կմ/ժ:

32.

5 կմ/ժ:

15,7 մ« 14«1 մ:

33.

(v₁ + v₂ + ...+ v_n)/n:

1«57:

34.

9 մ/վ:

Հետագիծն ուղիղ գիծ է:

35.

36 կմ/ժ:

Հետագիծը շրջանագիծ է, որի

36.

15 մ/վ, 10 մ/վ:

շառավիղը A է:

O(0, 0), C(0, 36), F(66, 36), L(66, 0)«

37.

10 մ/վ, 100 մ:

E(18, 24), A(-6, -6), B(-3, 12),

38.

50 վ, 40 մ/վ:

D(30, 42), K(72, 18), M(36, -9):

39.

0«9 մ, 0,5 մ:

(10, 10), (20, -10), (20, 0), (0, -15),

40.

36 վ, 2«1 վ:

(-30, 5):

41.

20 վ:

Տեղափոխության վեկտորը պատկեր-

ված է նկարում, Sx=5մ, Sy=-5մ:

42.

80 վ:

43.

-5 մ/վ²:

44.

-2 մ/վ²:

45.

1125 մ :

46.

54 մ:

47.

Սկզբնական դիրքից 540 մ դեպի հարավ:

1665 մ:

48.

6 վ, 2 վ, 4 վ:

10.

s=1ur,

. 583 r

49.

105 մ, 20 մ/վ:

11.

(x x0)

+(y y0)

50.

-10 մ/վ², 20 մ, 0:

51.

2 վ, 15 մ/վ:

ԳԼՈՒԽ III

52.

4 վ, 35 մ:

12.

32 մ/վ:

53.

30 մ/վ, 45 մ:

13.

Ուղղագիծ հավասարաչափ շարժում,

54.

y=25 +20t-5t², 5վ:

x₀=20 մ կոորդինատով կետից, կոոր-

դինատային առանցքի բացասական

ուղղությամբ, կոորդինատների սկզբնա-

ԳԼՈՒԽ V

կետում, 20 մ:

55.

Կոորդինատների սկզբնակետով

14.

10 վ, 100 մ, 8 վ, 12 վ:

անցնող ուղիղ գիծ է

16.

-0, 5 մ/վ, 0,625 մ/վ:

19.

x=x₀+vtcosa, y=y₀+vtsina:

20.

2,4 ր:

21.

11 կմ/ժ, 1 կմ/ժ:

22.

22,5 վ:

23.

212,5 կմ/ժ:

24©

36 օր:

26.

21,2 մ/վ:

56.

0«0001 ռադ/վ,

27.

15 մ/վ:

0«0017 ռադ/վ,

0«105 ռադ/վ:

28.

2,5 ր:

29.

Ջրի նկատմամբ արագությունը պետք է

57.

365:

լինի ափին ուղղահայաց:

58.

1«57 ռադ/վ« 7«85 մ/վ:

30.

8 կմ:

59.

3 ռադ/վ:

ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ՊԱՏԱՍԽԱՆՆԵՐ

265

60. 2 մ:

98. 36«5 կմ/ժ-ով:

61. 5 վ^-1, 5վ^-1, 1 վ, 3,5 մ/վ:

99. 4,7 Ն, 1,7 վ, 6 մ/վ:

62. 4 վ, 25,5 պտ.« 40 մ:

100. 19.8 մ/վ:

63. 465 մ/վ; 0,03 մ/վ²:

101. 0,2:

64. 0,0027 մ/վ²:

102. 29,4 Ն:

65. 29,9 կմ/վ:

103. 22 Ն:

66. 78,5 մ; 7,85 մ/վ:

104. T = (n - k) F n

67. 1 մ:

ԳԼՈՒԽ VIII

68. 7576 մ:

69. 24 մ:

105. 3332Ն:

70. 41,6 մ/վ:

106. 2450 Ն« 1960 Ն:

71. 2,76 մմ:

107. Ձողի մեջտեղից

10 սմ-ով դեպի ծանր բեռը:

ԳԼՈՒԽ VI

108. 20 սմ-ով դեպի մյուս ծայրը:

72. 6,6 մ/վ:

109. 98 Ն:

73. 0,25 մ/վ2, 0,20 մ/վ2:

110. 1«5 կգ:

74. 0,8 Ն:

111. 2 Ն, 4 Ն, 5 սմ:

75. 0,15 մ/վ2:

112. 2,6 սմ:

76. 2,5 մ/վ:

113. 0, 245 Ն:

77. երկրորդ գնդի արագացումը 8 անգամ

114. 4,5 սմ:

մեծ է առաջինից:

115. 980 Ն, 1,7 կՆ:

78. 1,25 մ/վ2:

116. 0«09 մ:

ԳԼՈՒԽ VII

117. Ձողի մեջտեղից

79. 49 Ն/մ:

1«75 սմ-ով դեպի մեծ գունդը:

80. 0,08 մ:

118. Ձողի մեջտեղից 3«64 սմ

հեռավորությամբ:

81. 5000 Ն/մ:

119. 0«075 մ:

82. Կփոքրանա 4 անգամ:

120. 10,7 Ն:

84. 2,25:

121. yc =r

a 4(16

-r)

85. 9R (R-ը Երկրի շառավիղն է):

-ով վերև:

Քառակուսու կենտրոնից 0«06a

86. 7«5 մ/վ:

122. 10 սմ:

87. 1,2 մ, 4 անգամ:

88. 5,6 կմ/վ:

ԳԼՈՒԽ IX

89. 1,51 ժ:

123. 25 կգ

90. 7: 8:

124. 2,5.10^-3 Ջ

91. 2,2 մ/վ2:

125. 20 մ/վ, 52

92. ա) 1010 Ն, բ) 980 Ն,

126. 6,4.10⁶ մ

գ) 940 Ն, դ) 0:

127. 1,3 մ, 5 մ/վ

93. 11,6 Ն:

128. 10 մ/վ

94. 3027 կգ/մ3:

129. 0,55 մ

95. 2 Ն, բ) 4 Ն, գ) 4,7 Ն,

130. 5 կգմ/վ

դ) 4,7 Ն:

131. 7,25 Նվ, 725 Ն

96. Այո, վարորդը գերազանցել էր

132. 18 Ջ

սահմանային արագությունը

11«3 կմ/ժ-ով:

133. 0,09 մ/վ

97. 0,4:

134. 6 մ/վ

266

ՖԻԶԻԿԱ 10

135. 15 մ/վ, փոքր բեկորի արագությանը

162.

2«4 մ/վ:

հակառակ:

163.

490 մ:

136. 0,2 ՄՆ

164.

5 մ:

137. 10,2 մ/վ2

165.

Ձայնի արագությունը փոքրանում է 2

138. 2 կմ/վ

անգամ:

139. v_A=0, v_B=0, v_C= 6 մ/վ

-3

166.

y=10

sin 2r(1500t-5x)

140. 30, 0,87 մ/վ

167.

165 կՆ:

168.

19 կմ:

141.

H= R

3g m+M

169.

1,5 մ, 1 մվ, 0,264 ռադ:

gR+

m+M

ԳԼՈՒԽ XI

m+M

170.

7250 կգ/մ3:

171.

0,0834 կգ, 0,216 կգ:

ԳԼՈՒԽ X

172.

1,12 վ:

142.

0«8 մ:

173.

4,37 սմ²:

143.

2 վ« 0«5 Հց:

174.

44,3 մ/վ, 50 մ³:

144.

0«06 մ« 50 Հց« 0«02 վ:

175.

1,3 մ: Ցուցում: Խնդիրը լուծեք՝ նավա-

145.

Մոծակը՝ 24000-ով ավելի շատ:

կը համարելով անշարժ, իսկ ջուրը՝ նրա

146.

0,1 վ:

նկատմամբ v արագությամբ շարժվող:

147.

0,044 մ/վ, 0,14 մ/վ²:

176.

1370 լ: Ցուցում: Դուրս ցայտող ջրի

շիթի արագությունը անցքի մոտ որոշեք՝

148.

0,3125 վ:

ելնելով Բեռնուլիի բանաձևից: Շիթի

149.

0,8 մՆ, 19,7 մկՋ:

ստորին և վերին մասերում օդի ճնշումը

150.

12 ժամով:

համարեք անփոփոխ:

151.

3«1.10^-3:

177.

2gcH

hm:

152.

Մեծացավ 2 անգամ

153.

24«6 Ջ« 73«8 Ջ:

178.

2ghtS-ով: Ցուցում: Թելի ձգման ուժի

154.

0«15 Ջ« 0«05 Ջ:

Dt փոփոխությունը 1 վ-ում արտահոսող

ջրի շիթի կողմից անոթին հաղորդած

155.

1,26 վ:

իմպուլսն է, որն էլ հավասար է 1 վ-ում

156.

անոթից դուրս հոսող ջրի իմպուլսին:

157.

1«4 անգամ կփոքրանա:

Dmv

Այսպիսով՝

158.

T/8, 3T/8, 5T/8, 7T/8:

որտեղ Dm-ը Dt ժամանակում

2rt

159.

անոթից արտահոսող ջրի զանգվածն

է՝ Dm=tSvDt: v-ն որոշեք Տորիչելիի

160.

4 վ:

բանաձևից:

161.

7«25 մ:

ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ՊԱՏԱՍԽԱՆՆԵՐ

267

ԲՈՎԱՆԴԱԿՈՒԹՅՈՒՆ

ԳԼՈՒԽ I

ԳԻՏԱԿԱՆ ՃԱՆԱՉՈՂՈՒԹՅԱՆ ՄԵԹՈԴՆԵՐԸ

¢1. Ֆիզիկան որպես բնության մասին հիմնարար գիտություն

¢2. Նյութ և դաշտ: Բնության երևույթները որպես նյութի

և դաշտի շարժում և փոխազդեցություն

¢3. Ֆիզիկական երևույթների ուսումնասիրման

փորձարարական և տեսական մեթոդներ

¢4. Մաթեմատիկայի դերը ֆիզիկայում: Աշխարհի ֆիզիկական պատկերը

ԳԼՈՒԽ II

ԸՆԴՀԱՆՈՒՐ ՏԵՂԵԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ՇԱՐԺՄԱՆ ՄԱՍԻՆ

¢5. Մեխանիկական շարժում: Մեխանիկայի հիմնական խնդիրը

¢6. Հաշվարկման մարմին: Հաշվարկման համակարգ:

Մարմնի դիրքը տարածության մեջ

¢7.

Գործողություններ վեկտորներով

¢8. Շառավիղ վեկտոր: Հետագիծ: Ճանապարհ

¢9. Տեղափոխություն: Շարժման օրենք: Շարժումների դասակարգումն

ըստ հետագծի ձևի և ըստ շարժման օրենքի

¢10. Նյութական կետ: Համընթաց շարժում: Պտտական շարժում

ԳԼՈՒԽ III

ՈՒՂՂԱԳԻԾ ՀԱՎԱՍԱՐԱՉԱՓ ՇԱՐԺՈՒՄ

¢11. Ուղղագիծ հավասարաչափ շարժում: Արագություն:

Մեխանիկայի հիմնական խնդրի լուծումն ուղղագիծ

հավասարաչափ շարժման դեպքում

¢12. Ուղղագիծ հավասարաչափ շարժվող մարմնի տեղափոխության,

կոորդինատի և արագության գրաֆիկները

¢13. Շարժման և դադարի հարաբերականությունը: Տեղափոխությունների և

արագությունների գումարումը: Հարաբերական արագություն

ԳԼՈՒԽ IV

ՈՒՂՂԱԳԻԾ ԱՆՀԱՎԱՍԱՐԱՉԱՓ ՇԱՐԺՈՒՄ

¢14. Անհավասարաչափ շարժում: Անհավասարաչափ շարժման միջին

և ակնթարթային արագություն

¢15. Հավասարաչափ փոփոխական շարժում: Արագացում

¢16. Ուղղագիծ հավասարաչափ փոփոխական շարժման հիմնական

հավասարումները:

Շարժման գրաֆիկական պատկերումը

¢17. Մարմինների ազատ անկումը: Ազատ անկման արագացում

¢18. Լաբորատոր աշխատանք 1. Հավասարաչափ արագացող

շարժման ուսումնասիրումը

ԳԼՈՒԽ V

ԿՈՐԱԳԻԾ ՇԱՐԺՈՒՄ

¢19. Արագությունը և արագացումը կորագիծ շարժման դեպքում:

Կորագիծ հավասարաչափ շարժում

268

ՖԻԶԻԿԱ 10

¢_{20. Հավասարաչափ շրջանագծային շարժում}

¢21. Կորագիծ հավասարաչափ արագացող շարժում:

Հորիզոնական ուղղությամբ նետված մարմնի շարժումը

¢22. Հորիզոնի նկատմամբ անկյան տակ նետված մարմնի շարժումը

¢23. Լաբորատոր աշխատանք 2. Մարմնի պարաբոլային

շարժման ուսումնասիրումը

ԳԼՈՒԽ VI

ԴԻՆԱՄԻԿԱՅԻ ՀԻՄՈՒՆՔՆԵՐԸ

Ներածություն

¢24. Նյուտոնի առաջին օրենքը: Հաշվարկման իներցիալ համակարգեր

¢25. Զանգված: Զանգվածը որպես իներտության չափ

¢26. Ուժ: Համազոր ուժ: Ուժի և արագացման կապը

¢27. Նյուտոնի երկրորդ օրենքը: Մարմնի շարժումը

մի քանի ուժերի ազդեցությամբ

¢28. Նյուտոնի երրորդ օրենքը

ԳԼՈՒԽ VII

ԲՆՈՒԹՅԱՆ ՈՒԺԵՐԸ

Ներածություն

¢29. Մարմնի դեֆորմացիա: Առաձգականության ուժ:

Հուկի օրենքը: Կոշտություն

¢30. Լաբորատոր աշխատանք 3. Զսպանակի կոշտության որոշումը

¢31. Գրավիտացիոն փոխազդեցություն: Տիեզերական ձգողության օրենքը:

Գրավիտացիոն հաստատուն:

¢32. Կեպլերի օրենքները

110

¢33. Ծանրության ուժ: Ազատ անկման արագացում

104

¢34. Մարմնի կշիռ: Արագացմամբ շարժվող մարմնի կշիռը: Անկշռություն

106

¢35. Երկրի արհեստական արբանյակներ:

Առաջին տիեզերական արագություն

108

¢36. Շփման ուժեր: դադարի շփման ուժ: Սահքի շփում:

Շփման գործակից: Դիմադրության ուժ

111

¢37. Լաբորատոր աշխատանք 4. Սահքի շփման գործակցի որոշումը

114

¢38. Մեխանիկայի ուղիղ և հակադարձ խնդիրը: Շփման ուժի

ազդեցությամբ մարմնի շարժումը հորիզոնական ուղղությամբ

114

¢39. Մարմնի շարժումը թեք հարթությամբ

120

¢40. Հաշվարկման ոչ իներցիալ համակարգեր: Իներցիայի ուժ:

122

¢41. Պտտվող ոչ իներցիալ համակարգեր: Կորիոլիսի ուժ

Ոչ իներցիալ համակարգերում դիտվող երևույթներ

126

ԳԼՈՒԽ VIII

ՍՏԱՏԻԿԱ

Ներածություն

133

¢42. Ուժերի համազոր: մարմնի հավասարակշռություն:

Հավասարակշռության առաջին պայմանը

134

¢43. Ուժի բազուկ: Ուժի մոմենտ: Մոմենտների կանոնը

137

ԲՈՎԱՆԴԱԿՈՒԹՅՈՒՆ

269

¢44. Միևնույն կողմն ուղղված զուգահեռ ուժերի համակարգ

141

¢45. Զուգահեռ և հակադիր կողմեր ուղղված երկու ուժերի համակարգ:

Ուժազույգ

142

¢46. Լաբորատոր աշխատանք 5. Լծակի հավասարակշռության

պայմանի պարզաբանումը

144

¢47. Զանգվածների կենտրոն և ծանրության կենտրոն

145

¢48. Հավասարակշռության տեսակները

148

¢49. Լաբորատոր աշխատանք 6. Հարթ թիթեղի ծանրության

կենտրոնի որոշումը

150

ԳԼՈՒԽ IX

ՊԱՀՊԱՆՄԱՆ ՕՐԵՆՔՆԵՐԸ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅՈՒՄ

Ներածություն

155

¢50. Մեխանիկական աշխատանք

156

¢51. Ծանրության ուժի աշխատանքը

160

¢52. Առաձգականության ուժի աշխատանքը

162

¢53. Պոտենցիալային ուժեր: Շփման ուժի աշխատանքը

165

¢54. Հզորություն: Օգտակար գործողության գործակից

167

¢55. Էներգիա և աշխատանք: Կինետիկ էներգիա:

Կինետիկ էներգիայի թեորեմը

169

¢56. Պոտենցիալ էներգիա: Պոտենցիալ էներգիայի թեորեմը

171

¢57. Գրավիտացիոն դաշտի պոտենցիալը

175

¢58. Լրիվ մեխանիկական էներգիա: Լրիվ մեխանիկական

էներգիայի պահպանման օրենքը

177

պահպանման օրենքի ուսումնասիրումը

180

¢60. Մարմնի իմպուլս: Ուժի իմպուլս: Իմպուլսի պահպանման օրենքը

183

¢61. Իմպուլսի պահպանման օրենքը

185

¢62. Ռեակտիվ շարժում

188

¢63. Փոփոխական զանգվածով մարմնի շարժումը

190

¢64. Առաձգական և ոչ առաձգական բախումներ

192

¢65. Լաբորատոր աշխատանք 8. Իմպուլսի պահպանման

օրենքի ուսումնասիրումը

197

ԳԼՈՒԽ X

ՄԵԽԱՆԻԿԱԿԱՆ ՏԱՏԱՆՈՒՄՆԵՐ ԵՎ ԱԼԻՔՆԵՐ

Ներածություն

201

¢66. Ազատ տատանումներ: Ներդաշնակ տատանումներ

202

¢67. Ներդաշնակ տատանումներ կատարող մարմնի կոորդինատի,

արագության և արագացման կախումը ժամանակից

արտահայտող հավասարումները և գրաֆիկները

204

¢68. Զսպանակին ամրացված մարմնի տատանումների

պարբերության բանաձևը: Էներգիայի փոխակերպումները

տատանումների պրոցեսում

207

¢_{69. Մաթեմատիկական ճոճանակ: Մաթեմատիկական ճոճանակի}

տատանումների պարբերության բանաձևը

210

270

ՖԻԶԻԿԱ 10

¢70. Լաբորատոր աշխատանք 9. Ազատ անկման արագացման

որոշումը մաթեմատիկական ճոճանակի միջոցով

212

¢71. Մարող և հարկադրական տատանումներ: Ռեզոնանսի երևույթը

212

¢72. Ինքնատատանումներ

216

¢73. Գաղափար ոչ ներդաշնակ տատանումների մասին

218

¢74. Առաձգական դեֆորմացիայի տարածումը միջավայրում:

Ալիքներ: Երկայնական և լայնական ալիքներ: Ալիքի հավասարումը

220

¢75. Ալիքները հոծ միջավայրում: Հարթ և գնդային ալիքներ

223

¢76. Ձայնային ալիքներ: Ձայնի արագություն: Ձայնի ուժգնություն,

տոնի բարձրություն: Ենթաձայն և անդրաձայն: Արձագանք

225

ԳԼՈՒԽ XI

ՀԵՂՈՒԿՆԵՐԻ ԵՎ ԳԱԶԵՐԻ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅԻ ՏԱՐՐԵՐ

Ներածություն

233

¢77. Ճնշումն անշարժ հեղուկում և գազում

233

¢78. Արքիմեդի օրենքը

236

¢79. Հեղուկի (գազի) լամինար և տուրբուլենտ հոսք

239

¢80. Հեղուկի ճնշման կախումն արագությունից: Բեռնուլիի հավասարումը

241

¢81. Մածուցիկ հեղուկի հոսքը: Շրջհոսելիություն

243

¢82. Ինքնաթիռի թևի վերամբարձ ուժը

247

ԽՆԴԻՐՆԵՐ

250

ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ՊԱՏԱՍԽԱՆՆԵՐ

265

ԲՈՎԱՆԴԱԿՈՒԹՅՈՒՆ

271